等分圆周的分类
等分圆周的分类
等分圆周的分类等分圆周是尺规作图的一小部分的内容，把一个圆周分成n 等份，就可以作出圆内接或外切正n边形，即有趣又实用的几何作图问题。
等分圆周分成两大类的作图法：一类是能用尺规准确作出一些等分圆周的问题，例如：二等分圆周、三等分圆周、四等分圆周、五等分圆周、六等分圆周、八等分圆周、十等分圆周、十二等分圆周、十七等分圆周等等；二类是不能用尺规准备作出等分圆周的问题，即用尺规等分圆周的近似作图的问题，有四种方法能近似作出等分圆周，例如：1、莱纳基法；2、陀因皮耶法；3、改良法；4、对称、对应中心投影法等等。
根据自己在读大专时，已经学习过几何作图这本书，对这本书里面的内容也掌握地比较好，再加上自己对作用也比较感兴趣，另外在这学期，自己也学习本科开设的初等几何研究的课程。
所以自己对一些等分圆周的作图还是掌握地比较好，现在介绍自己学习过的等分圆周的作图。
一、能用尺规准确作出一些等分圆周的问题，而且这些作法的正确性能用平面几何去证明。
1、二等分圆周的尺规作图例1、已知：一个圆。
B A求作：圆的二等分。
作法：(1)作圆O；(2)作圆的直径A B；证明：因为角A O B为180°，所以A、B是圆O的二等分点。
2、三等分圆周的尺规作图例2、已知：一个圆。
A求作：圆的三等分。
作法：(1)作圆的直径A D；(2)以D为圆心、O D为半径作圆，交圆于B、C两点；(3)连结A B、A C、B C；则三角形A B C为所求作圆的内接正三角形，即A、B、C圆的三等分。
证明：连结C O、C D,由作图可知圆O和圆D的半径相等，从而有O C=O D=C D=1/2A D,因为三角形是圆O的内接三角形，A D是圆O的直径，所以三角形是直角三角形，所以角C A D=30°；同理：角B A D=30°，所以角B A C=60°；又因为A D是圆O和圆D两圆的圆心连线，C B是圆O和圆D的公共弦。
圆形等分三份-概述说明以及解释
圆形等分三份-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述圆形等分三份是一个有趣且具有几何特点的问题。
在数学中，圆形是一个无限多边的图形，其中每一个点到圆心的距离都相等。
而圆形等分三份的意思是将一个圆形分成三个相等的部分，每个部分的面积和弧长都相等。
圆形等分三份的问题在几何学和数学中一直都备受关注。
它既有理论上的意义，也有实践上的应用。
当我们面临需要将一个圆形区域均匀分割的问题时，圆形等分三份的方法就可以派上用场。
在本文中，我们将探讨圆形等分三份的方法以及其应用。
首先，我们将介绍圆形等分三份的概念和意义。
接着，我们将详细讨论可行的方法和解决途径。
最后，我们将总结讨论的结果，并展望未来在这一领域中的可能发展。
本文旨在提供对圆形等分三份问题的深入理解，以及为读者提供可行的解决方案。
通过阅读本文，读者将能够更好地理解圆形等分三份的方法和应用，并在需要时能够灵活运用相关知识。
接下来，我们将详细介绍本文的结构安排，以便读者能够更好地理解和掌握文中的内容。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：文章结构的设计是为了使读者更好地理解和跟随整篇文章的逻辑和主题。
本文将按照以下结构来进行论述：第一部分是引言。
在引言中，我们将对圆形等分三份这个主题进行概述，说明文章的目的和意义。
同时，我们也会简要介绍本文的结构和组织方式。
第二部分是正文。
正文部分将分为两个要点进行阐述。
2.1 第一要点：在这一部分，我们会详细介绍如何将一个圆形等分成三等份。
我们将从数学的角度出发，通过几何知识和计算方法，解释如何确定等分点的位置和角度。
同时，我们还会探讨一些实际应用场景，比如如何在工程设计中运用圆形等分三份的原理。
2.2 第二要点：在这一部分，我们将进一步探讨圆形等分三份的应用领域和意义。
我们将以美术和设计为例，介绍圆形等分三份在艺术创作中的运用，以及如何利用这一原理产生美感和对称感。
此外，我们还将讨论一些其他领域（如地理、生物等）中可能存在的圆形等分三份的现象和规律。
圆的等分
圆的三等分先用圆规画一个圆，在圆上任意取一个点，以圆的半径为半径画弧，交圆与两点，再以其中一个点，以原半径为半径画弧，又交圆与两点（其中一个点与最初的一点重合），用另一点画弧，再交一点即把圆三等分圆的五等分方法一:首先在纸上用圆规画个圆，然后画出圆的两条相互垂直的直径AC与BD；之后分别用C、D作圆心，用直径BD的半径作弧，两弧交在E点。
则OE便近似等于圆的内接正五边形之边长。
自A点开始，用OE作半径在圆周上依次截出四个点来，连接相邻的二个点，得到的那个正五边形便叫做圆的内接正五边形(因为它的五个顶点都在圆上)。
有了此五个顶点。
就很易画出五角星了。
方法二：首先在纸上画个圆，画出圆的直径AB来。
之后把AB三等分(这个工作可使用有刻度的直尺来作，分点作C与D；过点C作EF垂直于AB，交圆周在E、F；连接ED并且延长和圆周交在H；连接FD，并且延长和圆周交在G；最后连接AH与AG，所以，五角星便近似地画出来。
方法三：【自己想的，不是很好，但也是种方法】用直尺测量圆的半径，计算内接五边形边长=2r*sin(72/2)然后任取圆周一点画圆得两个交点，再一其中一点画圆再得一个交点重复一次，得五个交点即是内接五边形得五个定点，成功圆的六等分先用任意半径画一个圆（画好后圆规两脚之间的距离不能动），再将圆规的一针固定在圆周上，以刚才画圆的半径为半径，在这个圆周上连续截五段弧，则这五段弧与圆周的交点，加上最初固定的一点将一个圆分成六等分。
（可用等边三角形加以证明）圆的七等分这在建筑工程制图里是个很经典的作业1.以圆心为坐标原点，建立坐标系2.以Y轴上方与圆的交点为圆心，前一个圆的直径为半径做圆，交X轴与两点A B3.把小圆的Y轴直径7等份等份点1 2 3 4 5 6 7 8 ；4.连接；2A，2B，3A，3B，4A，4B......5.把圆上各点连接即得！！作圆内接任意多边形（以七边形为例）（1）将直径AB七等分；（2）以B为圆心，BA为半径作圆弧，交水平中心线于M和N两点;（3）M和N分别与各奇数点(1,3,5点)连接,连线分别交圆周于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ和Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ点.(注意,作奇数边多边形时连奇数等分点,作偶数多边形时则连偶数等分点); （4）依次连接Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,B,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ点，即得正七边形圆的八等分在圆周上任选一点A,以A为圆心，作圆与已知圆交于B、C两点。
机械制图 几何作图 圆周的等分和正多边形
1)分别以长、短轴为直径画同心圆； 2)N 等分圆周（大圆和小圆分成相 同的等分）；
3)过大圆上各分点画短轴的平行线；
4)过小圆上各分点画长轴的平行线； 5)连接相应平行线的交点得椭圆。
§1-3 几何作图
四、工程上常用的曲线
1.椭圆 已知长、短轴——四心扁圆法画近似椭圆。
O4 E
作图步骤：1)连接长短轴端点AC ;
13.8
1:10
7
§1-3 几何作图
二、斜度和锥度
举例：以1:1 的比例抄画下图所示平面图形。
32 7 7 13.8 13.8 50 7 1:10 7 32
50
1:10
§1-3 几何作图
二、斜度和锥度
2.锥度
定义：圆锥的底圆直径与其高之比。
1:4 α L H
tanα = H / 2L 2tanα = H / L——1:n
圆弧连接作图举例 3.用半径为R 的圆弧外切两已知圆弧。
O
R
t1
O1
t2
O2
§1-3 几何作图
四、工程上常用的曲线
工程上常用的曲线有： 1.椭圆 2.抛物线 3.双曲线 4.阿基米德螺线 5.圆的渐开线 6.摆线 以下逐一介绍各类曲线的画法。
§1-3 几何作图
四、工程上常用的曲线
1.椭圆 已知长、短轴——同心圆法绘制椭圆。
t
连接圆弧
t
R1+R
已知圆
连接圆弧的圆心在与已知圆同心的圆周上，半径为R1+R ； 切点在已知圆的圆心和连接圆弧的圆心的连线上。
§1-3 几何作图
三、圆弧连接
圆弧连接的作图原理 与已知圆弧相切—内切
圆周等分点-概述说明以及解释
圆周等分点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述圆周等分点是指将一个圆周分成等距离的几个点的方法和原理。
在数学领域中，圆周等分点是一个重要的概念，它涉及到几何学、代数学和应用数学等多个学科的知识和理论。
圆周等分点的研究与应用在实际生活中具有广泛的意义和重要性。
本篇长文将围绕圆周等分点展开深入的探讨和分析。
首先，我们将介绍圆周等分点的概念和定义，从数学角度解释圆周等分点的含义和特点。
其次，我们将探讨圆周等分点的性质，包括等分点的个数、位置关系和分布规律等方面。
最后，我们将探讨圆周等分点在实际应用中的一些典型案例，如地理测量、建筑设计等领域的应用。
本文的目的在于全面深入地研究圆周等分点的理论和应用，为读者提供一个系统的介绍和了解。
通过对圆周等分点的研究和应用的分析，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力和水平。
进入正文部分，我们将继续深入讨论圆周等分点的概念，并介绍一些重要的定理和性质。
同时，我们还将结合具体的例子和实际问题，探讨圆周等分点的应用和实际意义。
通过具体案例的分析，我们可以更加直观地理解和应用圆周等分点的知识和方法。
最后，在结论部分，我们将总结圆周等分点的主要内容和研究成果。
同时，我们还将深入思考圆周等分点的重要性和潜在的研究方向。
希望通过本文的阅读，读者们能够更好地理解和应用圆周等分点的知识，从而提高数学学习和实际应用能力。
在展望部分，我们将对圆周等分点的未来发展进行初步的展望和探讨。
随着科学技术的不断进步和数学研究的深入，圆周等分点的研究将在更广泛的领域和更高的层次上得到应用和推广。
通过对圆周等分点的研究和应用的持续深入，我们相信将会有更多的新理论和新方法被提出和应用于实践中。
总之，本篇长文将全面系统地介绍圆周等分点的知识和应用。
通过对圆周等分点的概念、性质和应用的深入研究，我们将为读者提供一个全面了解和应用圆周等分点的机会。
希望通过本文的阅读，读者们能够对圆周等分点有更深入的认识，并能够把这些知识和方法应用到实际问题中。
三角函数等分圆周
三角函数等分圆周三角函数是高中数学中的重要内容，而等分圆周则是三角函数中的一个重要方法。
它将圆周分成若干等份，进而构建成一个圆形的坐标系，为我们研究角度与弧度的关系提供了极大的便利。
一、坐标系的构建由于圆周有360度，因此我们可以将圆周分为n个等份，每份所对应的角度为360/n。
接下来，我们以圆心为原点建立直角坐标系，以x轴作为起始线段，并在圆上依次标出n个等分点，再将圆上的点与x轴相连，就可以构建出一个圆形的坐标系。
二、三角函数的计算在坐标系中，我们可以通过直线与圆上的相交点，产生三角形，进而定义三角函数。
根据坐标系的构建方式，我们取一个点P，坐标为(x,y)，则它到x轴的距离即为弧度，这样，我们就可以定义sin、cos、tan三个函数了。
sinx = ycosx = xtanx = y / x这些函数的值可以通过计算机通过比例关系计算出来，也可以通过画图仪器进行测量。
三、三角函数在圆周中的应用有了三角函数，我们可以在圆周中求出任意角度的正弦、余弦、正切等函数值。
例如，当我们需要求出角度为45度的正弦值时，我们可以在圆周上构建出角度为45度的三角形，并标出正弦对边和斜边的长度，然后计算它们的比值即可。
同样地，我们可以求出所有角度的三角函数值。
四、三角函数等分圆周在工程应用中的意义三角函数等分圆周在航空、航天、导航等领域中具有重要意义。
例如，人造卫星在空间中进行运动时，需要不断地将卫星的位置转换成地球上的经纬度坐标，而这一转换需要用到三角函数等分圆周的知识。
再例如，在飞机上进行导航时，需要通过三角函数等分圆周的知识求出飞机的位置和航向。
总之，三角函数等分圆周是高中数学中重要的知识点，它所涉及的三角函数和圆周的知识，在工程应用中具有广泛的应用。
掌握这一知识点，可以帮助我们更好地理解三角函数，进而深入理解数学的本质。
圆周及弧的实用精确等分
圆周及弧的实用精确等分湖南娄底华达技校黄正洪人们不能用尺规对圆周和弧作任意等分，对此情形我曾在CIP书号为2015185547的［费马大定理的一个初等证明］的［试论作图题的重要性］一文中叙述为：用尺规作图的方法，我们只可以对圆周进行二等分、三等分、四等分、五等分、及这些等分的〃倍等分……我们不能对圆周进行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即为，圆周和弧的尺规等分一直都在困扰着人们的思绪，但是在工程实践中，此一问题的存在又是一个实实在在的大问题，且一直到现在为止，人们借助等分工具也还是没有一种完全有效的办法能够彻底解决此结之忧。
故有需要之时，人们不得不采用估算、测量、逼近或近似作图的方法去权宜面对，而权宜面对的结局往往不令人满意。
究竟有没有切实可行的手段能突破这个数学王国里传留的难题呢？有道是山不转水转，既然在二维的平面上不能用尺规作图的方式去圆我们的圆周和弧的精确等分之梦，那么我们就另辟蹊径去通向光明。
众所周知，圆锥体及其想象延伸体的表面包含了天下所有的圆周和弧，它们在三维空间里的呈现是那么的光彩夺目，是那么的脉脉含情，就让我们从这缘份里开始探索吧，精诚所至必能金石为开。
《一》：准备一个顶角为600、高为200的正圆锥体，由于确定了锥顶角为600，知正圆锥体的正面投影是一等边三角形，进而知此圆锥体的母线之长刚好与底圆直径相等，规定此圆锥体能沿其铅垂轴心线能作上下平移。
我们把这样一个圆锥体叫做等分工具锥。
《二》：准备一根已标记有几个等分点的专用细线，将其首尾重叠，然后固定细线的多余部分，这样就形成了一个边长相等的任意几边形，规定这个几边形的边长之和不得超过工具锥底圆的周长。
《三》：将任意八边形套在等分工具锥上。
《四》：将一个直径若30、长若200、用软材料制成的薄壁圆柱开口刷悬置于工具锥铅垂轴心线的正上方，且确定此圆柱开口刷的每一刷片受力时能同时均等向外侧沿锥面阔开而形变成锥台。
《五》：将工具锥沿铅垂轴心线向上平移，此时圆柱开口刷因被动受力而压实了任意八边形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等分圆周的分类
等分圆周是尺规作图的一小部分的内容，把一个圆周分成n 等份，就可以作出圆内接或外切正n边形，即有趣又实用的几何作图问题。
等分圆周分成两大类的作图法：一类是能用尺规准确作出一些等分圆周的问题，例如：二等分圆周、三等分圆周、四等分圆周、五等分圆周、六等分圆周、八等分圆周、十等分圆周、十二等分圆周、十七等分圆周等等；二类是不能用尺规准备作出等分圆周的问题，即用尺规等分圆周的近似作图的问题，有四种方法能近似作出等分圆周，例如：1、莱纳基法；2、陀因皮耶法；3、改良法；4、对称、对应中心投影法等等。
根据自己在读大专时，已经学习过几何作图这本书，对这本书里面的内容也掌握地比较好，再加上自己对作用也比较感兴趣，另外在这学期，自己也学习本科开设的初等几何研究的课程。
所以自己对一些等分圆周的作图还是掌握地比较好，现在介绍自己学习过的等分圆周的作图。
一、能用尺规准确作出一些等分圆周的问题，而且这些作法的正确性能用平面几何去证明。
1、二等分圆周的尺规作图
例1、已知：一个圆。
B A
求作：圆的二等分。
作法：(1)作圆O；
(2)作圆的直径A B；
证明：因为角A O B为180°，所以A、B是圆O的二等分点。
2、三等分圆周的尺规作图
例2、已知：一个圆。
A
求作：圆的三等分。
作法：(1)作圆的直径A D；
(2)以D为圆心、O D为半径作圆，交圆于B、C两点；
(3)连结A B、A C、B C；则三角形A B C为所求作圆的内接正三角形，即A、B、C圆的三等分。
证明：连结C O、C D,由作图可知圆O和圆D的半径相等，从而有O C=O D=C D=1/2A D,因为三角形是圆O的内接三角形，A D是圆O的直径，所以三角形是直角三角形，所以角C A D=30°；同理：角B A D=30°，所以角B A C=60°；又因为A D是圆O和圆D两圆的圆心连线，C B是圆O和圆D的公共弦。
所以A D垂直平分C B；所以A B=A C;所以三角形是等边三角形，即把圆三等分。
3、四等分圆周的尺规作图
例3、已知：一个圆。
D
B
求作：圆的四等分。
作法：在二等分圆周的基础上，再把每一等分弧所对的圆心角进行二等分，角的一平分线与圆弧的交点为所求的分点，这样与二等分点便四等分圆周了。
4、五等分圆周的尺规作图
例4、已知：一个圆。
Y
Z
X
求作：圆的五等分。
作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径A Z、X Y；
(2)作出半径O Y的中点M，以M为圆心、M A为半径画弧，交O X于N;
(3)以A为圆心、A N为半径画弧，交弧A X于E;
(4)连结A E;则弧A E为圆O的一段五等分弧，角A O E是一个圆角的五分之一。
证明：设圆的半径为R，在直角三角形A O N中，由上述的物
边形作图可知：A N平方=A O平方=O N平方=A O平方+(A M-O M)平方；而A O=R,O M=R/2,A M=[R平方+(R/2)平方]开根号，所以A N=1/2根号[10-2根号5]R.又因为A N=A E,所以A E=A N=1/2根号[10-2根号5]R是半径为R的圆内接正五边形的边长，即把圆五等分。
5、六等分圆周的尺规作图
例5、已知：一个圆。
求作：圆的六等分。
作法：(1)作圆O及其直径A D；
(2)分别以A、D为圆心、以圆O为半径O A为半径画弧交圆O于B、F、C、E四点；
(3)依次连结A B、B C、C D、D E、E F、F A；则六边形A B C D E F 为所求作圆的内接六边形，即A、B、C、D、E、F圆的六等分。
证明:连结O B、O C、O E、O F，因为A B=O A=A B,所以角A O B=60°，同理:角D O E=角C O D=角A O F=60°。
因为角A O D=180°，所以角
B O C=角E O F=60°。
所以角A O B=角B O C=角E O F=角D O E=角
C O D=60°。
所以A、B、C、D、E、F圆的六等分。
6、八等分圆周的尺规作图
例6、已知：一个圆。
D
C A
求作：圆的八等分。
作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径A C、B D；
(2)分别作角A O B和角A O D的平分以及它们的反向延长线交圆O于E、F和G、H；
(3)则A、E、B、H、C、G、D、F圆的八等分点。
7、十等分圆周的尺规作图
例7、已知：一个圆。
T M
N
J
P
求作：圆的十等分。
作法：在五等分圆周的基础上，再把每一等分弧所对的圆心角进行二等分，角的一平分线与圆弧的交点为所求的分点，这样与二等分点便十等分圆周了。
8、十二等分圆周的尺规作图
例7、已知：一个圆。
求作：圆的十二等分。
B A
作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径A C、B D；
(2)分别以A、B、C、D为圆心，以O A为半径作弧交圆O的八个点:E、F、G、H、Q、P、M、N；则A、E、M、D、N、H、B、G、P、C、Q、F十二个点便是圆的十二等分点。
9、十七等分圆周的尺规作图
例7、已知：一个圆。
B S
A
求作：圆的十七等分。
作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径A C、B D；
(2)作点E,使E O=1/4A O,连结C E;
(3)作角C E B的平分线E F;
(4)作角F E B的平分线E G,角C O于P;
(5)作角G E H=45°，交C D于Q；
(6)以C Q为直径作圆，交O B于K；
(7)以P为圆心，P K为半径作圆，交C D于L、M;
(8)分别过M、L作C D的垂线，交圆O于N、R;
(9)作弧N R的中点S,则弧S N为圆O的1/17弧；
(10)以S为起点，线段S N的长度在圆O圆周上顺时针或逆时针截取，便把圆O17等分。
二、不能用尺规准确作出等分圆周的问题，即用尺规近似作出等分圆周，而且这些作法的正确性不能用平面几何去证明。
1、莱纳基法
B A
作法：(1)画出圆O后，以直径A B为一边作出正三角形A B C;
(2)在O A上取A P=2/N A B;
(3)连结C P,交圆O于M;
(4)则弧A M可以近似地作为圆O的一段n等分弧；角M O A可以近似地作为周角的1/n。
2、改良法
B A
作法：(1)画出圆O后，以直径A B为一边作出正三角形A B C;
(2)在A B上取O P=O Q=2/n O A；
(3)连结C P、C Q并延长，使与圆O分别相交于M、N；
(4)则M N可以近似地作为圆O的一段n等分弧；角M O N可以近似地作为周角的1/n。
以上是自己在学习过的基础上总结出基本作图的方法，这些只是有限个的等分圆周，不过只要掌握好一些基本作图的方法，也能作出另一些的等分圆周的，例如，１、要作出十等分圆周，只要作出五等分圆周，再在五等分圆周的基础上，再把每一等分弧所对的圆心角进行二等分，角的一平分线与圆弧的交点为所求的分点，这样与二等分点便十等分圆周了。
２、要作出二十四等分圆周，只要作出十二等分圆周，再在十二等分圆周的基础上，再把每一等分弧所对的圆心角进行二等分，角的一平分线与圆弧的交点为所求的分点，这样与二等分点便二十四等分圆周了，等等．．．，也可以利用这些作法，作出很多漂亮的图案，例如：窗花图案、五角星、建筑中的瓷砖块等等。
经过学习等分圆周的作法，发现尺规作图很多的妙处！。