第二章 应力分析

第二章：应力分析

§2-1 几个基本概念

一 力的几个基本概念：

弹性力学是塑性力学的基础，在讲塑性力学之前必须讲一部分弹性力学，它们所研究的内容都是力和变形。所以必须从力的概念入手。

1 外力：物体与物体之间的相互作用称之为力。在这里我们称之为外力。外力可分为二类：

1） 面力：作用在物体表面的力称之为面力。面力可分为集中力和分

布力。

2） 体力：作用在物体内各质点上的力为体力。如重力、磁力、惯性

力。

2内力：在外力的作用 下，物体内各质点间就会产生相互作用，这种质点间的相互为内力。内力可以用平衡法求得。

3 应力：单位面积上的内力。更确切地说，作用在质点上的内力。应力可分为三类：

1） 全应力：用L 面截受力体，得面积为A ，在A 面上取一点Q ，围绕Q 取一很小面积

为ΔF ，设ΔF 上的内力合力为ΔP, 则有F P S lin F ∆∆=

→∆0

=dF dP

为A 面上Q 点的全应力。S 是一个极限的概念，表示每一点的应力是不同的。单位面积上的内力是一个

平均的概念。每一点是相同的。这之间有一定区别。

2） 正应力：将全应力分别向法向和切向分解垂直于A 平面方向的分

量为正应力。

3） 剪应力：将全应力分别向法向和切向分解平行于A 平面方向的分

量为剪应力。 二 应力的求法：

一根圆棒受单向拉伸力P 的作用，棒的截面积为F ，在棒内任意取一点Q,过Q 可以做无数个平面，我们任意取一平面M ，其面积为A ，其法线与轴线的夹角为θ，根据圣维南原理，两端受力很复杂，而离端点较远的地方其应力比较简单，各点的应力状态为单向应力状态。各点的应力是一样的，都等于平均应力。

θθ

cos cos F P

F P A

P dF dp S ====

将S 向法线方向投影：

θθσ2cos cos F

P

S =

= 将S 向平面方向投影：

θθθτcos sin sin F

P

S =

= 令

0σ=F

P

则有：

θσσ20cos = θθστcos sin 0=

三 应力和平面方向的关系：

我们已经看到，F 面上的应力和M 面上的应力不同，即：同一点上的不同平面上的应力是不同的，现在专门讨论这一问题。

1 在不同的平面上，θ不同，同上的应力不同

过A 点可以做无数个平面，由于它的θ不同，面上的应力不同，M 是过Q 点的任意平面，它的法线与轴线的夹角为θ，同是过Q 点的平面，由于它的θ角不同，面上的应力不同，也就是说，过Q 点的面上的应力随θ变化，是θ的函数。 2 已知

0σ=F

P

应用上面的公式可以求得任意θ面上的应力 3 单向应力状态下Q 点的应力状态可以用任意面上的应力表示或者用0σ=F

P

表示。 用

0σ=F P 表示有两层意思，1） 0σ=F P 已知或可以求得。2）由0σ=F

P 可以求得任意面上的应力。

§2-2直角坐标系中一点的应力状态

一 直角坐标系中一点的应力状态的表示方法 1切取单元体

如图所示，是一个受力复杂的物体，将其放在一个直角坐标系中， 该物体中，任取一点Q,作三对分别垂直于X 、Y 、Z 轴的平面，每对平面间的距离无限小，如此可以切出一个无限小的六面体，称之为单元体，单元体有六个微分面。 2 微分面的命名

在单元体上，垂直于x 轴的微分面为x 面，垂直于y 轴的称y 面，垂直于z 轴的称z 面，三个微分面分别垂直于三条轴，三条轴就是三个面的法线方向。每对微分面相互平行，而另三个微分面相互垂直。 3 应力分量的表示 在空间中，一个物体受到一个复杂力系的作用时，物体内部每个质点都是一个受力的单元体，单元体无限小，小到单元体的每一个面都经过这个点，单元体可以代表这一个点，单元体每个微分面上都有力的作用，可以将微分面上的力合成一个合力，在x 面上的合力为S x ，在y 面上的合力为S y ，在z 面上的合力为S z ，这三个合力都称为全应

力。

1） 应力分量的表示：分别将S x 、S y 、S z 三条轴投影， S x 向x 、y 、z 轴投影可得：σxx σxy σxz

S y 向x 、y 、z 轴投影可得：σyx σyy σyz S z 向x 、y 、z 轴投影可得：σzx σzy σzz

若引入张量符号ij σ表示，其中i,j=x,y,z i 取x ，j 分别取x 、y 、z 可得：σxx σxy σxz

i 取y ，j 分别取x 、y 、z 可得：σ

yx

σ

yy

σ

yz =ij σ

i 取z, j 分别取x 、y 、z 可得：σzx σzy σ

zz

2) 角标记法

前面的角标表示作用面，后面的角标表示力的作用方向。例如：σxx 表示作用在x 面上的作用方向为x 的作用力。因为垂直于x 面的为正应力，一般用σx 表示。σxy 表示作用在x 面上y 方向的应力，切于x 面，为剪应力，一般用τxy 表示。同理σxz 表示作用在x 面上z 方向的应力，切于x 面，为剪应力，一般用τxz 表示。以此类推可得：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ

4应力分量的正负号：

1） 微分面的正负号：在单元体上，外法线指向坐标轴的正向的微分面为正面，反之为负面，

如前面、上面、右面为正面，其它为负面。

2） 应力分量的正负：在正面上，指向坐标轴正向的应力分量为正，反之为负。在 负面上，

指向坐标轴负向的应力分量为正，反之为负。所以有正正为正，负负为正，正负为负，负正为负。也可以说同号为下，异号为负。

5每对正负微分面上应力之间的关系（如x 面正负面之间的关系）单元体很小，小到六个微分面都经过同一质点，实际上每对微分面就成了一个微分面的正负两个面，作用 在正面上的正应力和作用 在负面上的正应力就成了大小相等方向相反的都 经过同一质点的绝对值相等的力。根据应力正负号规定，同号为下，异号为负，这一对应力的符号也相同。对于剪 应力τxz 作用 x 的正面上，方向是y 的正方向，为正剪应力，在负面上，方向为负，也为正剪应力，剪应力成对出现，而且，值相等，以此类推，正反面上的应力一样可以相互代替。所以六个面上的应力可以用三个微分面上的应力表示。 6 相互垂直上的应力之间的关系：

一般情况下，z y x σσσ≠≠ 但有：

yx xy ττ= zx xz ττ= zy yz ττ=

二 质点任意面上的应力和边界条件

1 质点的应力状态可用三个相互垂直的微分面上的应力分量表示

我们已经知道，两个微分面上的应力可以相互代替，只要知道 三个相互垂直的微分面上的应力分量，也就知道了另三个相互垂直的微分面上的应力分量，设我们已经知道了三个微分

面上的应力分量为⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ 若过Q 点任意面上的应力分量能被求出，我们

说Q 点的的应力状态可以用⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ表示，为此我们将单元体放入直角坐标

系中，使单体的各棱平行于x 、y 、z 轴，过Q 点作任意平面M ，因为质点无大小，只有位

置，设法方向为N ，切单元体成为一个四面体，如图所示：该面上的应力如果能够求出，我

们说：Q 点的应力状态可以用⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ表示。

1） 求M 面上的全应力