2021-2022学年江西省上饶市高二上学期期末质量检测数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年江西省上饶市高二上学期期末质量检测数学（理）试题一、单选题1．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为（ ） A ．20 B ．25 C ．40 D ．50【答案】A【分析】根据系统抽样定义可求得结果． 【详解】分段的间隔为10002050= 故选：A2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校男教师的人数为（ ）A ．167B ．137C ．123D ．113【答案】C【分析】根据图形分别求出初中部和高中部男教师的人数，最后相加即可.【详解】初中部男教师的人数为110×(1-70%)=33；高中部男教师的人数为150×60%=90， ∴该校男教师的人数为33+90=123. 故选：C.3．已知x 是[0,3]上的一个随机的实数，则使x 满足240x -≤的概率为（ ） A ．13B ．23C ．12D ．14【答案】B【分析】先解不等式得到x 的范围，再利用几何概型的概率公式进行求解. 【详解】由240x -≤得22x -≤≤，即[0,2]x ∈， 所以使x 满足240x -≤的概率为202303P -==-．4．由1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与2不能相邻的排法总数为（ ） A ．20 B ．36 C ．60 D ．72【答案】D【分析】先排3，4，5，然后利用插空法在4个位置上选2个排1，2. 【详解】先排3，4，5,,共有336A = 种排法，然后在4个位置上选2个排列1,2，有2412A = 种排法， 则1与2不能相邻的排法总数为61272⨯=种， 故选：D.5．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间[0,]e 上的随机数1231000,,,,x x x x 和1231000,,,,y y y y ，因此得到1000个点对(),(1,2,3,,1000)i i x y i =，再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（ ）A ．0.70B ．1.04C ．1.86D ．1.92【答案】D【分析】根据几何概型的概率公式即可直接求出答案.【详解】易知2S e =正，根据几何概型的概率公式，得2601000S S =阴正，所以2226013 1.92100050S e e ==≈阴. 故选：D.6．随机地向两个标号分别为1与2的格子涂色，涂上红色或绿色，在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为（ ） A ．13B ．23C ．14D ．12【分析】根据古典概型的概率公式即可得出答案.【详解】在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色有红色与绿色两种情况，其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的情况有1种， 所以在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为12. 故选：D.7．在某市第一次全民核酸检测中，某中学派出了8名青年教师参与志愿者活动，分别派往2个核酸检测点，每个检测点需4名志愿者，其中志愿者甲与乙要求在同一组，志愿者丙与丁也要求在同一组，则这8名志愿者派遣方法种数为（ ） A ．20 B ．14 C ．12 D ．6【答案】B【分析】分（甲乙）、（丙丁）再同一组和不在同一组两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：依题意甲乙丙丁四人再同一组，有222A =种；（甲乙），（丙丁）不在同一组，先从其余4人选2人与甲乙作为一组，另外2人与丙丁作为一组，再安排到两个核酸检测点，则有224212C A =种，综上可得一共有21214+=种安排方法， 故选：B8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是（ ）A ．910B ．1011C ．1112D ．111【分析】模拟程序运行后,可得到输出结果,利用裂项相消法即可求出答案. 【详解】模拟程序运行过程如下: 0)1,0kS,判断为否,进入循环结构,1)110,2122S k =+==⨯,判断为否,进入循环结构, 2)11,3223S k =+=⨯,判断为否,进入循环结构, 3)111,422334S k =++=⨯⨯,判断为否,进入循环结构, …… 9)111,10223910S k =+++=⨯⨯,判断为否,进入循环结构, 10)1111,112239101011S k =++++=⨯⨯⨯,判断为是, 故输出1112231011S =+++⨯⨯111111101122310111111=-+-++-=-=, 故选:B.【点睛】本题主要考查程序框图,考查裂项相消法,难度不大.一般遇见程序框图求输出结果时,常模拟程序运行以得到结论. 9．已知随机变量X ，Y 满足()21,X N σ，()20,Y N σ~，且(0)0.2P X <=，则()21P Y <的值为（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0..5D ．0.6【答案】D【分析】利用正态分布的计算公式：2(,)XN μσ ，()b P X b μσ⎛⎫-≤=Φ ⎪⎝⎭()b a P a X b μμσσ⎛⎫⎛⎫--<≤=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】21),(X N σ~ 且(0)0.2P X <=01110.2σσ⎛⎫⎛⎫-∴Φ=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.8σ⎛⎫∴Φ= ⎪⎝⎭又20),(Y N σ~2111()(1)611120.P Y P Y σσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∴=-<=Φ-Φ=Φ-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<故选：D10．在40,220,4x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则35a b +的最小值是（ ） A ．20 B ．40 C ．60 D ．80【答案】C【分析】首先画出可行域，找到最优解，得到关系式作为条件，再去求35a b+的最小值. 【详解】画出40,220,4x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩的可行域，如下图：由22040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得(2,2)M由40220x y x y --=⎧⎨-+=⎩得(10,6)N ；由4040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得(4,0)P ；目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取最大值时必过N 点， 则1062a b +=则()3535925925533030260b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （当且仅当11,106a b ==时等号成立） 故选：C11．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（ ） A ．45B ．12C ．47D ．38【答案】D【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C CA 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=. 故选：D12．设10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表所示，随机变量Y 满足21Y X =+，则当a 在10,2⎛⎫⎪上增大时，关于()D Y 的表述下列正确的是（ ）A ．()D Y 增大B ．()D Y 减小C ．()D Y 先增大后减小 D ．()D Y 先减小后增大 【答案】A【分析】先求得参数b ，再去依次去求()E X 、()D X 、()D Y ，即可判断出()D Y 的单调性.【详解】由+()1a b a b -+=得12b =则11()1()3222E X a a =⨯-+⨯=-，222211()(02)(12))(32)3122D X a a a a a a a =-++-+-+-+⨯=-++（由21Y X =+得2()(21)4(34(132))D Y D X D a X -+=-+==a 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上增大时, ()D Y 增大.故选：A 二、填空题13．设变量x ，y 满足约束条件0,20,30.y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最大值为___________.【答案】6【分析】根据线性约束条件画出可行域，把目标函数转化为2y x z =-+，然后根据直线2y x z =-+在y 轴上截距最大时即可求出答案.【详解】画出可行域，如图，由2z x y =+，得2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过点()3,0时，2z x y =+有最大值，且最大值为6. 故答案为：6.14．某校开展“读书月”朗诵比赛，9位评委为选手A 给出的分数如右边茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后算得平均分为91，复核员在复核时发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是___________.选手A8 7 8 9 9 9 2 4 x 1 5【答案】4【分析】根据题意分5x ≤和5x >两种情况讨论，再根据平均分公式计算即可得出答案. 【详解】解：当5x ≤时，则去掉的最低分数为87分，最高分数为95分， 则88898992949190917x +++++++=⨯， 所以4x =，当5x >时，则去掉的最低分数为87分，最高分数为90x +分， 则平均分为888989929491956389177++++++=≠，与题意矛盾，综上4x =. 故答案为：4.15．4(2)x y z +-展开式中2x yz 的系数是___________. 【答案】24-【分析】根据二项展开式的通项公式，可知()42x y z +-展开式中含2x 的项，以及()22y z -展开式中含yz 的项，再根据组合数的运算即可求出结果.【详解】解：由题意可得，()42x y z +-展开式中含2x 的项为()()222422262C x y z x y z -=-，而()22y z -展开式中含yz 的项为()1224C y z yz -=-，所以2x yz 的系数为24-. 故答案为：24-.16．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________. 【答案】3589【分析】由题意可分为5步、6步、7步、8步、9步、10步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：由题意可分为5步、6步、7步、8步、9步、10步共6种情况，①5步：即5步两阶，有551C =种；②6步：即4步两阶与2步一阶，有2615C =种；③7步：即3步两阶与4步一阶，有3735C =种；④8步：即2步两阶与6步一阶，有2828C =种；⑤9步：即1步两阶与8步一阶，有199C =种； ⑥10步：即10步一阶，有10101C =种；综上可得一共有89种情况，满足7步登完楼梯的有35种；故7步登完楼梯的概率为3589故答案为：3589三、解答题17．2021年7月29日，中国游泳队获得了女子4200⨯米自由泳接力决赛冠军并打破世界纪录.受奥运精神的鼓舞，某游泳俱乐部组织100名游泳爱好者进行自由泳1500米测试，并记录他们的时间（单位：分钟），将所得数据分成5组：[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]，整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)求出直方图中m 的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计这100位游泳爱好者1500米自由泳测试时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）. 【答案】(1)0.022 (2)40.9 ，40.75【分析】（1）利用频率之和也即各矩形的面积和为1即可求解. （2）利用平均数和中位数的计算方法求解即可. (1)由10(0.0050.0400.0250.008)1m ⨯++++= ， 可得0.022m = . (2) 平均数为：200.05300.22400.40500.25600.0840.9x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ， 设中位数为n ，则0.050.22(35)0.040.5n ++-⨯= ， 解得40.75n = .18．城南公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活棕榈树的株数，数学期望83E ξ=.(1)求p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率. 【答案】(1)23p =，ξ的分布列见解析； (2)1127. 【分析】（1）根据二项分布知识即可求解；（2）将补种棕榈树的概率转化为成活的概率，结合概率加法公式即可求解. (1)由题意知，()4,B p ξ，又843E p ξ==，所以23p =，故未成活率为21133-=，由于ξ所有可能的取值为0,1,2,3,4，所以()400412103381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()311412813381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222423821237P C ξ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭=⎝⎭， ()1334123233381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()0444121643381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ξ的分布列为(2)记“需要补种棕榈树”为事件A ，由（1）得，()()18811281812727P A P ξ=≤=++=， 所以需要补种棕榈树的概率为1127. 19．在二项式nx ⎛⎝展开式中，第3项和第4项的二项式系数比为310.(1)求n 的值及展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项是第几项. 【答案】(1)12n =，常数项为55128(2)5【分析】（1）求出二项式的通项公式，求出第3项和第4项的二项式系数，再利用已知条件列方程求出n 的值，从而可求出常数项，（2）设展开式中系数最大的项是第1r +项，则11121211121211221122rr r r r r r r C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，从而可求出结果 (1)二项式nx ⎛ ⎝展开式的通项公式为43112r rn r r n r r r n n T C x C x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 因为第3项和第4项的二项式系数比为310， 所以23310n n C C =，化简得23103n n C C =，解得12n =，所以412311212rr r r T C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令41203r -=，得9r =，所以常数项为99121552128C ⎛⎫=⎪⎝⎭ (2)设展开式中系数最大的项是第1r +项，则11121211121211221122rr r r r r r r C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 1322(1)12r r r r-≥⎧⎨+≥-⎩，解得101333r ≤≤， 因为*r N ∈，所以4r =，所以展开式中系数最大的项是第5项20．为让“双减”工作落实到位，某中学积极响应上级号召，全面推进中小学生课后延时服务，推行课后服务“52+”模式，开展了内容丰富､形式多样､有利于学生身心成长的活动.该中学初一共有700名学生其中男生400名､女生300名.为让课后服务更受欢迎，该校准备推行体育类与艺术类两大类活动于2021年9月在初一学生中进行了问卷调查.(1)调查结果显示：有34的男学生和23的女学生愿意参加体育类活动，其他男学生与女学生都不愿意参加体育类活动，请完成下边22⨯列联表.并判断是否有95%的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关？(2)在开展了两个月活动课后，为了了解学生的活动课情况，在初一年级学生中按男女比例分层抽取7名学生调查情况，并从这7名学生中随机选择3名学生进行展示，用X表示选出进行展示的3名学生中女学生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】（1）根据初一男生数和女生数，结合有34的男学生和23的女学生，愿意参加体育类活动求解；计算2K的值，再与临界值表对照下结论；（2）根据这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名由抽到女学生的人数X可能为0,1,2,3，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.(1)解：因为初一共有700名学生其中男生400名､女生300名，且有34的男学生和23的女学生，所以愿意参加体育类活动的男生有300名，女生有200名，则22⨯列联表如下：22700(300100200100) 5.83 3.841500200400300K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为愿意参加体育类活动与学生的性别相关； (2)这7名学生中男生有4名，女生有3名，随机选择3名学生进行展示， 抽到女学生的人数X 可能为0,1,2,3，所以()()3021434333774180,13535C C C C p X p X C C ======， ()()1203434333771212,33535C C C C p X p X C C ======, 所以随机变量X 的分布列如下：()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 21．2021年国庆期间，某电器商场为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每消费满8千元，可减8百元.方案二：消费金额超过8千元（含8千元），可抽取小球三次，其规则是依次从装有2个红色小球､2个黄色小球的一号箱子，装有2个红色小球､2个黄色小球的二号箱子，装有1个红色小球､3个黄色小球的三号箱子各抽一个小球（这些小球除颜色外完全相同），其优惠情况为：若抽出3个红色小球则打6折；若抽出2个红色小球则打7折；若抽出1个红色小球则打8折；若没有抽出红色小球则不打折.(1)若有两名顾客恰好消费8千元，他们都选中第二方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率；(2)若你朋友在该商场消费了1万元，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案. 【答案】(1)247256(2)选择方案二更划算【分析】（1）要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球，求出没有抽出红色小球的概率，再根据对立事件的概率公式即可得出答案；（2）若选择方案一，则需付款100008009200-=（元），若选择方案二，设付款金额为X 元，则X 可取6000，7000，8000，10000，求出对应概率，从而可求得X 的期望，在比较X 的期望与9200的大小即可得出结论. (1)解：根据题意得要使方案二比方案一优惠，则需要抽出至少一个红球， 设没有抽出红色小球为事件A ，则()223344416P A =⨯⨯=，所以所求概率()()232471116256P P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭；(2)解：若选择方案一，则需付款100008009200-=（元）， 若选择方案二，设付款金额为X 元， 则X 可取6000，7000，8000，10000，()2211600044416P X ==⨯⨯=，()2232212215700044444444416P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()2232232217800044444444416P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()31000016P X ==， 故X 的分布列为所以()1573600070008000100007937.516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元），因为92007937.5>， 所以选择方案二更划算.22．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据： x 12345678y 56.5 31 22.75 17.8 15.95 14.5 13 12.5根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型by a x=+和指数函数模型dx y ce =分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为0.19548.376x y e -=，ln y 与x 的相关系数10.929r =-.(1)用反比例函数模型求y 关于x 的回归方程；(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y 服从正态分布()2,N μσ，用样本平均数y 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，若非原料成本y 在(,)μσμσ-+之外，说明该成本异常，并称落在(,)μσμσ-+之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？参考数据（其中1i u x =）： u2u821ii u=∑81ii y=∑821ii y=∑81i ii u y=∑0.611545.555⨯ 193.194 0.34 0.115 1.53 184 5777.555 93.06 30.70513.9参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，其回归直线ˆˆˆya bx =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，相关系数()()niix x y y r --=∑【答案】(1)506y x=+(2)反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元， (3)见解析 【分析】（1）令1u x =，则by a x=+可转化为y a bu =+，求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可， （2）求出y 与1x的相关系数2r ，通过比较12,r r ，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将10x =代入回归方程中可求结果（3）利用已知数据求出样本标准差s ，从而可得非原料成本y 服从正态分布()223,13.9N ，再计算(,)μσμσ-+，然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论 (1) 令1u x =，则by a x =+可转化为y a bu =+， 因为184238y ==， 所以8228121893.0680.3423ˆ501.5380.348i ii i i u y u ybu u==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，所以ˆˆ23500.346ay bu =-=-⨯=，所以650y u =+， 所以y 关于x 的回归方程为506y x=+ (2)y 与1x的相关系数为()()82iiu u y y r --=∑88i iu y u y-=∑30.50.99330.705==≈因为12r r <，所以用反比例函数模型拟合效果更好，把10x =代入回归方程得5061110y =+=（元）， 所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元 (3) 因为184238y ==，所以23μ=，因为样本标准差为13.9s ===≈=， 所以13.9σ=，所以非原料成本y 服从正态分布()223,13.9N ，所以()()(,)2313.9,2313.99.1,36.9μσμσ-+=-+=因为56.5在(,)μσμσ-+之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因。