用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系

知识点一：求平面的法向量

例1.已知平面

α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，

C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，

AB

＝(1，－2，－4)，AC →＝(1，－2，－4)，

设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)． 依题意，应有n ·AB = 0， n ·

AC → = 0.

即⎩⎨

⎧

x －2y －4z ＝0

2x －4y －3z ＝0

，解得⎩⎨

⎧

x ＝2y

z ＝0

.

令y ＝1，则x ＝2.

∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在

平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．

“用向量法”求法向量的解题步骤：

（1）设平面的一个法向量为),,(z y x n =； （2）找出（或求出）平面内的两个不共线

的向量的坐标),,(),,,(2

2

2

1

1

1

c b a b c b a a ==；（3）根据法

向量的定义列出方程组

⎪⎪⎨

⎧=•0

a n ；

练习：， 如图所示，已知点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，求平面ABC 的一个法向量。

知识点二：利用向量方法证平行关系

（1）线线平行：设直线1

l 、2

l 的方向向量分别为、

，则l

l λ=⇔⇔////2

1

（2）线面平行：

①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可；

②设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为

，则0//=⋅⇔⊥⇔μμαl ；

③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行：

①证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量νμ//；

②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行.

例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：

1

1//ODC C B 面.

证方法一：∵1

B C =1

A D ，

∴D A C B 1

1

//，又1

1

ODC D A 面⊂,1

1

ODC C B 面⊄

∴1

1

//ODC C B 面

证法二： ∵1

B C =1

1

B C +1

B B =1B O +1O

C +1

D O +OD

=1OC +OD .

∴

1B C

，1

OC ，OD 共面.

又B 1C ⊄

面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.

证法三: 如图建系空间直角坐标系xyz D -，设正方体

的棱长为1，则可得

B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，12，1，

C 1(0,1,1)，

1B C

＝(－1,0，－1)，

OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1

2，－1，

1

OC ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12，12，0.

设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则

10,

0,

n OD n OC ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩ 得

⎩⎪⎨⎪⎧

－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①

－12x 0＋1

2

y 0＝0 ②

令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．

又 1

B C ·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝

0，

∴1

B C ⊥n ，∴B 1C∥平面ODC 1.

【反思】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与1B C 共线；二是说明1B C 能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明1B C 与平面的法向量垂直．

练习：如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC

所在平面互相

垂直，CF BE //，︒=∠=∠90CEF BCF ，3=AD ，2=EF .求证：//AE 平面DCF .

证明：如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF

和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C —xyz.

设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ， 则C(0,0,0)，A(3，0，a)，

B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)． AE →＝(0，b ，－a)， CB ＝(3，0,0)，

BE

＝(0，b,0)，

所以

CB

·AE → = 0，CB

·BE = 0，从而CB

⊥AE ，CB ⊥BE.

所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF ，所以