第三讲-无理数与实数

代数（二）
根式计算（二）
——无理数与实数
【知识要点】 1．无理数：
定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=…，2
1.414213=， －…，都是无理数。

注意：
①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；
②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；
③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。

2．实数：有理数和无理数统称为实数。

⎧⎧⎫
⎪⎪⎪⎨⎬⎪
⎪⎪⎪⎨⎩⎭
⎪
⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩
正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数
负无理数 3．实数的几个有关概念：
①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。

a+b=0⇔a、b互为相反数。

②倒数：若0
a≠，则1
a
称为a的倒数，0没有倒数。

1
ab a
=⇔、b互为倒数。

③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

即
()
()
()
00
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
==
⎨
⎪
-<
⎩
【典型例题】
例1 在实数，2
5，3.3333，3，0.412⋅⋅，…，π，256
-中，哪些是有理数，
哪些是无理数
例2 （1）下列说法中，正确的是（）
A．带根号的数是无理数 B．无理数都是开不尽方的数
C．无限小数都是无理数 D．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（）
A．若a为实数，则a大于－a B．实数m的倒数一定是1
m
C ．若实数x 、y ，有x y =，则x =y
D ．任何负数的倒数都小于它的相反数
例的相反数之和的倒数的平方为 。

例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简
111c m m m d a b ⎛⎫
÷++- ⎪⎝⎭
的结果是 。

例5 试比较下列各组数的大小；
①和②
，1π-，310-
例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---
（2）当01x <<时，2x 、x 、1
x
的大小顺序是（ ）
A ．21x x x <<
B ．21x x x <<
C ．21x x x <<
D ．21x x x
<<
例7 （1）已知
a 、
b 为实数，且224250a b a b +--+=
（2）若210x -=，求20012002x y +的值。

例8 已知12
a+=，31
b+=，求a+b的最小值。

【练习】
A 组
1．小数，叫做无理数。

2．大于10
-的负整数是。

3．12
-的相反数是，绝对值是，倒数是。

4．比较大小：－7 －43（填“＞”，“＜”或“＝”）
5．在数144，6，()22-，1.23⋅，9
13，
3
π，…（两个3之间依次多一个2）
中无理数的个数有（）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．下列命题中，正确的个数是（）
①两个有理数的和是有理数；②两个无理数的和是无理数；
③两个无理数的积是无理数；④无理数乘以有理数是无理数；
⑤无理数除以有理数是无理数；⑥有理数除以无理数是无理数。

A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
7．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
①带根号的数是无理数；（）
②
一定没有意义；（）
③绝对值最小的实数是0；（）
④平方等于3（）
⑤有理数、无理数统称为实数；（）
⑥1的平方根与1的立方根相等；（）
⑦无理数与有理数的和为无理数；（）
⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。

（）
8．已知x，则x等于（）
A．1.414 C． D． 1.414
±
9．已知实数x满足x x
=-，则（）
A．0
x≤
x< D．0
x> B．0
x≥ C．0
的大小关系是（）
10，21
5
A 215<<
B ．215<215<<215
<<
B 组
11．1
3
，2π，，22
7
中，有理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
12．a 一定是（ ）
A ．有理数
B ．正无理数
C ．正实数
D ．正有理数 13．下列四个命题中，正确的是（ ）
A ．倒数等于本身的数只有1
B ．绝对值等于本身的数只有0
C ．相反数等于本身的数只有0
D ．算术平方根等于本身的数只有1 14．下列说法不正确的是（ ）
A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数
B ．整数可以看成是分母为1的分数
C ．有理数都可以化为分数
D ．无理数是开方开不尽的数
15．代数式21a +，y ，()2
1a -中一定是正数的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
16 ）
A ．m 是完全平方数
B ．m 是负有理数
C ．m 是一个完全平方数的相反数
D ．m 是一个负整数 17．－3的负倒数是（ ） A ．3 B ．－3 C ．13
D ．13
-
18．已知2x =，3y =，且0xy <，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．±1 C ．5 D ．±5
19．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 20．一个数是它的倒数的4倍，则这个数是（ ） A ．4 B ．±4 C ．2 D ．±2
21
10b -=，则33a b -+= 。

22．()0
2234π-+-= 。

C 组
23．一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的 。

24．若a π-=a π-，则4a -= 。

25．若a=5，b=
-a -= 。

26．比较下列各组实数的大小：
（1）11-与； （2）22
7
π-
-与
（3）（4）1127
π-
-与
27．已知4y =，求y x
28．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数。

求：22
22a b a b
--+的值。

29．化简12
30y x 和()1
xy -的值。

D 组
31．已知
x 、y 是实数，且()2
1x y +-x y 的负倒数。

32．已知224410260x y x y +-++=，求12x y -的算术平方根。

33．若b a b a b a -≠,,,都是有理数，那么a 和b （ ）
（A ）都是有理数 （B ）一个是有理数，另一个是无理数 （C ）都是无理数 （D ）是有理数还是无理数不能确定
34．已知实数a 满足a a a =-+-19931992，那么21992-a 的值是（ ）
（A ）1991 （B ）1992 （C ）1993 （D ）1994
35．若014)2003(2=++-y x ，则=+--y y x 3)2(102 。

36．如果实数y x ,满足,04496222=+-+-x y xy x 那么x y = 。

【趣数什锦】
第一次数学危机
公元前五百多年，在古希腊出现了一个毕达哥拉斯学派，那是一个集政治、宗教、学术于一体的组织，它的领导人是毕达哥拉斯（Pythagoras ，公元前572～公元前497年）。

毕达哥拉斯学派继承和发展了泰勒斯的数学思想，认识到数学是以演绎推理为特点的，演绎推理所得到的结果常常与由观察得到的结果相符合，并且有些由
观察难以得出的结论却可以由演绎推理得出，还注意到有些本质上完全不同的现象却表现出相同的数学性质，毕达哥拉斯学派无法解释这种现象，从而把它神秘化，产生了一种幻觉，认为数是万物的本原，即所谓“万物皆数”。

宇宙中的一切事物，都可以通过数来表达。

不过，他们所说的“数”，指的是整数和分数。

即我们今天所接触的正有理数。

毕达哥拉斯学派据说还发现并证明了勾股定理，勾股定理在我国称为商高定理：“直角三角形两直角边（长的直角边叫股，短的直角边叫勾）的平方和等于斜边的平方”。

这是数学中一个十分重要的定理。

当毕达哥拉斯发现这一定理后，马上预见到它的重要性，欣喜若狂。

当即下令杀了100头牛，举行“百牛大祭”，来感谢神的启示，并庆祝自己的成功。

勾股定理的发现，给毕达哥拉斯学派带来了极大的荣誉，可是乐极生悲，正是这一定理的发现，给毕达哥拉斯学派的信仰带来了致命的打击，原来毕达哥拉斯学派所说的“万物皆数”指是都是整数或分数（两整数之比）。

但是根据勾股定理，如果设一个正方形各边的长度为1，那么它的对角线长的平方就等于2。

什么样的数的平方等于2呢毕达哥拉斯学派找不到这样的整数和分数，既然如此简单的正方形的对角线之长都不能用数来表示，还谈什么“万物皆数”呢毕达哥拉斯的一个学生希伯斯指出“这个数不是整数，也不是分数，而是一种人们尚未认识的新数”。

希伯斯一语中的，石破天惊，这一下彻底动摇了“万物皆数”的神秘哲学的基础。

毕达哥拉斯大为震骇，下令封锁这一发现，并声称谁胆敢泄露这一机密给局外人，就要将他处以极刑。

可是，严刑重罚从来就禁锢不住真理，这一事实很快被公之于众，宣布了“万物皆数”的破产，引发了数学史上所谓的“第一次数学危机”，从而导致了实数理论的诞生。

据说，毕达哥拉斯的弟子希伯斯等人因为坚持真理，违背了毕达哥拉斯的禁令，公布了事实的真象，因而遭到同伴的杀害，被抛尸大海，葬身鱼腹。