高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题

一。选择题（每题4分，共20分）

1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）

2.

2.已知 $2x^2y=2$，求

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-

x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-

F(x)-xF'(x)$。

二。填空：（每题4分，共20分）

1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-

1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的

值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^

2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-

1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则

$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若

$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

5.求 $\int\frac{x+1}{(x+2)(x^2+1)}dx$，答案为（未完成）。

三。解答题（每题5分，共20分）

1.设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$，求 $F''(x)$。

解：首先有 $F'(x)=\int_a^x f(t)dt+xf(x)-\int_a^x

f(t)dt=x\cdot f(x)+\int_a^x f(t)dt$，所以 $F''(x)=f(x)$。

2.求不定积分 $\int\frac{x^5+1}{x^2(x^2+1)^2}dx$。

解：首先将 $\frac{x^5+1}{x^2(x^2+1)^2}$ 拆分为

$\frac{1}{x^2}-\frac{2x}{(x^2+1)^2}+\frac{x^2}{(x^2+1)^2}$，然后分别对三个部分求积分，得到 $\int\frac{1}{x^2}dx=-

\frac{1}{x}+C_1$，$\int\frac{-

2x}{(x^2+1)^2}dx=\frac{1}{x^2+1}+C_2$，

$\int\frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(x^2+1)-

1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2+1}-

\ln|x^2+1|\right)+C_3$，因此原式为 $-

\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2+1}-\ln|x^2+1|+C$。

3.求极限

$\lim\limits_{x\to\infty}\int_0^{x^4}\frac{1+t^2\sin t}{1+t^4\sin t}dt$。

解：由夹逼定理，$0\leq\frac{1+t^2\sin t}{1+t^4\sin

t}\leq\frac{1+t^2}{1+t^4}$，因此

$\lim\limits_{x\to\infty}\int_0^{x^4}\frac{1+t^2\sin t}{1+t^4\sin t}dt=\lim\limits_{x\to\infty}\int_0^{x^4}\frac{dt}{t^2+1}-

\lim\limits_{x\to\infty}\int_0^{x^4}\frac{t^4\sin t}{1+t^4\sin

t}dt$。第一个积分的极限为 $\frac{\pi}{2}$，第二个积分的绝对值不超过

$\int_0^{x^4}\frac{t^4}{1+t^4}dt=\int_0^1\frac{u^{3/4}}{1+u^{ 3/4}}du$，因此由比较判别法可知其极限为 $0$。故原极限的值为 $\frac{\pi}{2}$。

4.求曲线 $y=\ln x$ 在 $x=1$ 处的切线方程。

解：由导数的定义，$\lim\limits_{h\to 0}\frac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\ln(1+h)^{1/h}=1$，因此曲线 $y=\ln x$ 在 $x=1$ 处的斜率为 $1$。又因为曲线过点 $(1,0)$，所以切线方程为 $y=x-1$。

32x→x→22-4xx4，求表面积为a而体积为最大的长方体的体积。

解：设长方体的三棱的长为x、y、z，则问题就是在条件2(xy+yz+xz)=a2下求函数V=xyz的最大值。

构成辅助函数F(x,y,z)=xyz+λ(2xy+2yz+2xz-a2)，解方程组F

x

x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0

F

y

x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0

F(x,y,z)=xy+2λ(y+x)=0

2xy+2yz+2xz=a2，x=y=z=√(a/6)，得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，V=√(a3/36)。所以最大值就在这个可能的值点处取得。

求由曲线y=e^x，y=e^-x与直线x=1所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x轴旋转所成旋转体体积。（10分）解：曲线y=e^x与y=e^-x的交点为(0,1)，曲线y=e^x与y=e^-x和直线x=1的交点分别为(1,e)和(1,e^-1)，所围平面图形如图阴影部分，取x为积分变量，其变化范围为[0,1]，所求面积为