11.3两条直线的位置关系1
数学课本习题整理(完整版 )
(4)P (-3,-8) L1:2y-7=0
2.已知三角形ABC三个顶点坐标分别为A(2,1)B(5,3)C(-1,5)求三角形ABC,BC边上的高h.
3.已知三角形ABC三个顶点坐标分别为A(1,1)B(9,3)C(2,5)求角BAC的角平分线所在的直线方程。
例4求经过A(1,0) B(3,0) C(2,2)三点的圆的方程.
例5求过点M(2,2 )且与圆 + =4相切的直线的方程.
练习12.2(2)
1.判断下列方程是否表示圆,并说明理由.
(1) + -2x -4y + 6 = 0
(2) + -2x -4y = 0
(3) + -2x -4y + 5 = 0
3.已知直线l:y=ax+2和A(1,4)B(3,1)两点。当l与线段AB相交时,求实数a的取值范围。
4.直线l经过点P(-2,1)且点A(-1,-2)到l的距离等于1,求直线l方程。
12.1曲线和方程
例1已知两点A(-1,1)和B(3,-1),求证:线段AB的垂直平分线ℓ的方程是2x-y-2=0。
例3已知三角形ABC三个顶点坐标分别为A(1,3) B(3,1)C(-1,0),求△ABC面积。
例4已知直线l:y=kx+1与两点A(-1.5)B(4,-2)若直线l与线段AB相交,求k取值范围.
11.4(2)
1.求两条平行线x+y-1=0与2x+2y+1=0得距离
2.已知直线x-y+3平行且距离等于2的直线的方程。
例2造船时,在船体放样中,要画出甲板圆弧线.由于这条圆弧线的半径很大,无法在钢板上用圆规画出,因此需要先求出这条圆弧线的方程,再用描点法画出圆弧线.已知圆弧AB的半径r=29米,圆弧AB所对的弦长l=12米,以米为单位,建立适当的坐标系,并求圆弧AB的方程(答案中的数据精确到0.001米)
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上海二期课改高中数学教材目录(全)高一(上)第1章集合和命题一、集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算二、四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系三、充分条件与必要条件1.5 充分条件, 必要条件四、逻辑初步(* 拓展内容)1.6 命题的运算五、抽屉原则与平均数原则(* 拓展内容)1.7 抽屉原则与平均数原则第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用课题一最大容积问题2.5 不等式的证明(拓展内容)第3章函数的基本性质3.1 函数的概念3.2 函数关系的建立课题二邮件与邮费问题课题三上海出租车计价问题3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质函数的零点(拓展内容)第4章幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数4.1 幂函数的性质与图像二、指数函数4.2 指数函数的图像与性质三、对数4.3 对数概念及其运算换底公式(拓展内容)四、反函数4.4 反函数的概念五、对数函数4.5 对数函数的图像与性质六、指数方程和对数方程4.6 简单的指数方程4.7 简单的对数方程课题四声音传播问题高一(下)第5章三角比一、任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比课题一用单位圆中有向线段表示三角比二、三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱导公式5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.6 三角比的积化和差与和差化积(拓展内容)三、解斜三角形5.7 正弦定理、余弦定理和解斜三角形课题二测建筑物的高度第6章三角函数一、三角函数的性质与图像6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像6.2 正切函数的性质和图像课题三制作弯管6.3 函数的图像函数的性质(拓展内容)二、反三角函数与最简三角方程(拓展内容)6.4 反三角函数6.5 最简三角方程第7章数列7.1 数列7.2 等差数列与等比数列7.3 等差数列与等比数列的通项公式7.4 等差数列的前n项和7.5 等比数列的前n项和雪花曲线(* 拓展内容)课题五组合贷款购房中的数学问题第8章数学归纳法8.1 归纳——猜想——证明8.2 数归纳法的应用高二(上)第9章行列式初步9.1 二阶行列式9.2 三阶行列式第10章平面向量10.1 向量10.2 向量的加减法10.3 实数与向量的乘积10.4 向量的坐标表示及其运算10.5 向量的数量积10.6 向量的应用(* 拓展内容)课题一宇航员的训练第11章坐标平面上的直线11.1 直线的方程11.2 直线的倾斜角和斜率11.3 两条直线的位置关系11.4 点到直线的距离第12章圆锥曲线12.1 曲线和方程12.2 圆的方程课题二追捕走私船12.3 椭圆的标准方程12.4 椭圆的性质12.5 双曲线的标准方程12.6 双曲线的性质课题三探索点的轨迹12.7 抛物线的标准方程12.8 抛物线的性质课题四做一个有趣的实验高二(下)第13章排列与组合一、排列13.1 计数原理I——乘法原理13.2 排列二、组合13.3 组合13.4 计数原理II——加法原理课题一旅行商问题第14章数列的极限14.1 数列的极限14.2 极限的运算法则14.3 无穷等比数列各项的和课题二数列极限在面积计算中的应用第15章复数15.1 复数的概念15.2 复数的坐标表示15.3 复数的加法与减法15.4 复数的乘法与除法15.5 复数的平方根与立方根复数的立方根(* 拓展内容)15.6 实系数一元二次方程第16章空间图形一、平面16.1 平面及其表示法16.2 平面的基本性质二、空间点、直线、平面的位置关系16.3 空间直线与直线的位置关系16.4 空间直线与平面的位置关系16.5 空间平面与平面的位置关系(* 拓展内容)三、多面体16.6 多面体的概念16.7 多面体的直观图16.8 棱柱、棱锥和棱台的体积及表面积课题三凸多面体的顶点数、棱数和面数的关系高中三年级(文科)第17章经济生活中的数学问题17.1 存款课题一连续复利17.2 货款17.3 现值和终值17.4 保险第18章线性规划18.1 满足条件的解集18.2 线性规划问题及其解法课题二线性规划在生活中的应用第19章优选与统筹一、试验设计的若干方法19.1 二分法19.2 0.618法二、统筹规划19.3 统筹规划课题三组装一辆自行车的工序流程第20章概率初步20.1 概率20.2 频率20.3 期望值20.4 事件和的概率20.5 独立事件积的概率课题四福利彩票中的概率计算第21章基本统计方法21.1 总体和样本21.2 抽样技术21.3 实例分析课题五抽样调查实习高中三年级(理科)第17章参数方程和极坐标方程一、参数方程17.1 曲线的参数方程17.2 直线和圆锥曲线的参数方程课题一轨迹探究二、极坐标方程17.3 极坐标系第18章空间向量及其应用18.1 空间向量18.2 空间向量的坐标表示18.3 空间直线的方向向量和平面的法向量18.4 空间向量在度量问题中的应用课题二飞行机器人位置的确定第19章线性规划19.1 线性规划问题19.2 线性规划的可行域19.3 线性规划的解课题三线性规划在生活中的应用第20章概率初步20.1 随机事件和概率20.2 概率的性质和加法公式20.3 独立随机事件20.4 期望值课题四中国邮政贺年有奖明信片的中奖率计算第21章基本统计方法21.1 总体和样本21.2 抽样技术21.3 实例分析21.4 正态分布(拓展内容)拓展型课程专题1矩阵初步1.1 向量的另一种定义1.2 矩阵的概念1.3 矩阵加减法及矩阵与实数的乘积1.4 矩阵的乘法1.5 逆矩阵课题平面图形的矩阵变换专题2 坐标变换与一般二次曲线2.1 坐标系的平移变换2.2 坐标系的旋转变换2.3 一般二元二方方程的讨论与化简专题3 二项式定理3.1 二项式定理3.2 二项式系数的应用专题4 数学建模初步4.1 数学建模的一般步骤4.2 简单数学模型举例专题5 曲线拟合5.1 直接观察法5.2 最小二乘法专题6 复数的三角形式6.1 复数的三角表示6.2 复数三角形式的乘法和除法6.3 复数的乘方和开方6.4 复数三角形式的应用专题7 常见曲线的极坐标方程7.1 圆锥曲线的统一的极坐标方程7.2 几种特殊曲线的极坐标方程课题玫瑰线专题8 随机变量8.1 随机变量8.2 二项式分布8.3 随机变量的数学期望和方差附一期课改高三年级数学课本目录第17章导数及其应用一、导数的概念17.1 变化率与导数17.2 切线与导数17.3 导函数二、导数的运算17.4 导数的运算法则17.5 基本导数公式三、导数的应用17.6 函数的增减性17.7 函数的极值与最大值、最小值第18章定积分及其应用一、定积分的概念18.1 定积分的概率18.2 定积分的性质18.3 基本定积分公式二、定积分的应用18.4 平面图形的面积18.5 体积三、微积分史话。
11.3.1两条直线的位置关系(1)
联立方程组,行列式法判断方程组解的情况.
二、两条直线位置关系
已知两条直线方程为
l1 : a1 x b1 y c1 0 l2 : a2 x b2 y c2 0
c1 b1 c2 b2 , Dy a1 a2 c1 c2
记D
a1
b1
a2 b2
, Dx
Dx Dy 当 D 0 时,两直线相交于点 ( , ) ; D D
x m 2 y 6 解:联立方程组,整理得: (m 2) x 3my 2m 1 m2 D m(m 1)(m 3) m 2 3m
Dx 6 m2 2m 3m 1 6 2m(m 3)(m 3)
l1 : x m y 6 0, l2 : (m 2) x 3my 2m 0
三、典型例题
例1.判定下列各组直线的位置关系,如果相交, 那么求出交点坐标:
2 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : y 0
3 4 解: D 4 两直线相交. 1 0
即两直线相交, 交点坐标为(4,0)
三、典型例题
例1.判定下列各组直线的位置关系,如果相交, 那么求出交点坐标:
当 D Dx Dy 0 时,两直线重合;
当 D 0, Dx 0 或 Dy 0 时,两直线平行.
三、典型例题
例1.判定下列各组直线的位置关系,如果相交, 那么求出交点坐标:
1 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : 7 x 12 y 1 0 2 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : y 0 3 l1 : 3x 4 y 12 0, l2 : 6 x 8 y 5 0
高中数学高二下册:11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时, 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢?
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程,方程确定直线及其位置, 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人,把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人,要看长远,所谓路遥 知马力,日久见人心!
身体健康,学习进步! 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。
合理安排时间,就等于节约时间。——培根 书都读得来的人,还怕有什么做不来的。 能说不能做,不是真智慧。 一分耕耘,一分收获。孩子们,你想明天收获幸福吗?那今天就努力学习吧。——刘玉春
小结
本节课学习了哪பைடு நூலகம்内容?
萤火虫的光点虽然微弱,但亮着便是向黑暗挑战。 小时候画在手上的表没有动,却带走了我们最好的时光。 你身边总有这样一种人:你成功了,他(她)当面恭喜你,暗地里妒嫉你;你失败了,他(她)当面安慰你,背地里笑话你。 通过云端的道路,只亲吻攀登者的足迹。 君子赠人以言,庶人赠人以财。——荀况 我的财富并不是因为我拥有很多,而是我要求的很少。 要掌握书,莫被书掌握;要为生而读,莫为读而生。——布尔沃 时间总会过去的,让时间流走你的烦恼吧! 这个是世界上没有天才,所谓的天才只是比普通人多了百分之一的天赋。如果这个天赋运用不好,那么他就可能变成百分之十的累赘。 如果要给美好人生一个定义,那就是惬意。如果要给惬意一个定义,那就是三五知己、谈笑风生。 世上的事,不如己意者,那是当然的。 生命假如给予你的是一颗柠檬,不要抱怨,下工夫把它榨成一杯柠檬汁吧。 当你被压力压得透不过气来的时候,记住,碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。 愚痴的人,一直想要别人了解他。有智慧的人,却努力的了解自己。
11.3两条直线的位置关系
11.3两条直线位置关系基本概念两条相交直线的交点坐标一般地,设两条直线的方程分别为1l :0111=++c y b x a (11,b a 不全为零)①2l :0222=++c y b x a (22,b a 不全为零)②联立1l 与2l 的方程:1112220a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩…(Ⅰ),此方程组的解,即为直线1l 、2l 交点.两条直线位置关系的判断 判断方式一: 2211b a b a D =,2211b c b c D x --=,2211c a c a D y --=.1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔0≠D 即1221b a b a ≠;交点坐标⎪⎪⎭⎫⎝⎛D D D D y x ,.1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔0=D 且y x D D ,中至少有一个不为零; 1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔0===y x D D D .判断方式二:1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔1221b a b a ≠;1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔1221a b a b =且1221c b c b ≠ 1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔.1221a b a b =且1221c b c b = 判断方式三:1122y k x b y k x b =+=+和1l 与2l 相交⇔方程组(Ⅰ)有唯一解⇔ 12k k ≠; 1l 与2l 平行⇔方程组(Ⅰ)无解⇔1212,k k b b =≠ 1l 与2l 重合⇔方程组(Ⅰ)有无穷多解⇔1212,k k b b ==.例题分析例1已知直线1l :313--=x a y 与2l :01)1(2=+++y a x ,求实数a 的值,使直线1l 与2l 平行. 解:21//l l ,由0=D ,∴(1)60a a +-=,解得3-=a 或2=a , ∴2=a 不符合,∴3a =-即为所求.例2 讨论直线下列各组直线之间的位置关系.(1)06:21=++y m x l 与023)2(:2=++-m my x m l ; (2) )3(1:11-=-x k y l 与)3(1:22+=-x k y l .例3求经过原点且经过直线022:1=+-y x l 与直线022:2=--y x l 的交点的直线方程. 解:∴1l 与2l 的交点是)2,2(,所求的直线方程为x y =.例4 若三条直线1l :023=+-y x ,2l :032=++y x ,3l :0=+y mx ,当m 为何值时,三条直线不能构成三角形?解:三条直线不能构成三角形⇔三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行. (1)若三条直线交于同一点时,解方程组⎩⎨⎧=++=+-032023y x y x , 得⎩⎨⎧-=-=11y x ,即1l 与2l 的交点是(1,1--),把点(1,1--)代入直线3l 的方程得1-=m .(2)若其中至少有两条直线平行时,由1l //2l 得:3-=m ; 由32//l l 得:2=m , 综上:当1-=m 或3-=m 或2=m 时三条直线不能构成三角形.两条直线的夹角我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合,规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ,而两条相交直线夹角的取值范围是(]2,0π. 直线1l 与2l 的夹角公式:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d +⋅++=⋅==θα特别地:1l ⊥2l ⇔02121=+b b a a当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 例1:求下列各组直线的夹角:(1)01243:1=-+y x l , 01127:2=--y x l ; (2)01243:1=--y x l , 3:2=x l ;解:设1l 与2l 的夹角为α,则由两条直线的夹角公式得(1),9651932712743|)12(473|cos 2222=+⋅+-⨯+⨯=α96519327arccos =∴α即为所求;(2) 53arccos ,530143|0)4(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα即为所求. 例2:若直线1l :313--=x a y 与2l :01)1(2=+++y a x 互相垂直,求实数a 的值.解:53-=a .例3:已知直线l 过点)1,4(-P ,且与直线013:=+-y x m 的夹角为10103arccos ,求直线l 的方程.解:(方法一)设l 的方程为0)1()4(=-++y b x a (其中),(b a n =为l 的一法向量),则,10103)1(3|3|2222=-++-b a b a 即|3|322b a b a -=+化简为0)43(=+b a b 解方程,得b a b 43,0-==当0=b 时,则0≠a ,此时方程为4-=x当043≠-=b a 时,方程为0)1(3)4(4=--+y x ,即01934=+-y x综上, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .(方法二)设点斜式,按直线l 的斜率是否存在分两类讨论① 若直线l 的斜率不存在,则过点)1,4(-P 直线l 的方程为4-=x ,设它与直线013:=+-y x m 的夹角α,则10103arccos,101030113|0)1(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα,满足题意. ②若直线l 的斜率存在,那么设直线l 的方程为)4(1+=-x k y ,即014=++-k y kx ,设它与直线013:=+-y x m 的夹角α,则 则,10103)1(3)1(|13|2222=-+-++k k 即|13|132+=+k k ,解得34=k , 所以直线l 的方程为)4(341+=-x y ,化简得 01934=+-y x , 由①②可知, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x . 例4:已知ABC ∆的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(C B A(1)求ABC ∆中A ∠的大小;(2)求A ∠的平分线所在直线的方程.解:(1)方法一:直线AB 的方程为:1=y ,直线AC 的方程为:0534=--y x ,设它们的夹角为α,又A ∠为锐角,所以A ∠=α,则53arccos ,53cos =∴=A A 即为所求;方法二:数形结合,因为34arctan ,34,0=∠∴==A k k AC AB 即为所求.(2)方法一:设角平分线所在直线方程0)1()2(=-+-y b x a ,即02=--+b a by ax .由角平分线与两边AC AB ,成等角,运用夹角公式得|,34|||55|34|||2222b a b ba b a ba b -=⇒+-=+解得 b a b a =-=22或,由题意,舍b a 2=所以角平分线的方程为:02=-y x .方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为212(2122tan=∴--==k A k ),舍或, 又已知它过点(2,1), 所以,角平分线的方程为:02=-y x2、思考题:光线沿直线l 1:022=-+y x 照射到直线l 2:022=++y x 上后反射,求反射线所在直线3l 的方程.解 由)2,2(022022-⎩⎨⎧=++=-+,得反射点的坐标为y x y x .设3l 的方程为0)2()2(=++-y b x a (其中),(b a n =为一法向量,b a ,不同时为零)由反射原理,直线1l 与2l 的夹角等于2l 与3l 的夹角,得b a b a ba b a 211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去b a 2=(否则与l 1重合) ,所以b a 112-=,得3l 的方程为026112=--y x .思考题:在y 轴的正半轴上给定两点A (0,a ),B (0,b ),点A 在点B 上方,试在x 轴正半轴上求一点C ,使∠ACB 取到最大值. 答:ab C =.例1.(1)求经过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程; (2) 求过点(2,1)A ,且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程. 解:(1)所求直线的方程为01032=++y x .(2)所求直线l 的方程为)2(211-=-x y ,即02=-y x .例 2. (如右图)等腰三角形的一个腰所在直线1l 的方程是022=--y x ,底边所在直线2l 的方程是01=-+y x ,点)0,2(-在另一腰上,求这条腰所在直线3l 的方程. 解:设3l 的方程为0)0()2(=-++y b x a (其中),(b a n =为一法向量,b a ,不同时为零),1l 与2l 的夹角是1θ,2l 与3l 的夹角是2θ ,由夹角公式得101cos 1=θ,又1l 、2l 、3l 所围成的三角形是等腰三角形,所以21θθ=,101|2|cos 222=++=b a b a θ025222=++⇒b ab a 即b a b a ==22或舍去b a =2(否则与直线1l 重合), ∴3l 的方程是:042=+-y x .例3、是否存在实数k ,使直线06)2(3=++-y k x 与直线02)32(=+-+y k kx 分别有如下的位置关系: (1)平行; (2)重合; (3)相交; (4)垂直; (5)相交,且交点在第二象限.若存在求出k 的值;若不存在,说明理由.解:联立方程组⎩⎨⎧=+-+=++-02)32(06)2(3y k kx y k x ,由0=D 1,921=-=⇒k k ;由10=⇒=k D x ;由10=⇒=k D y .(1) 9-=k 时,两直线平行;(2)1=k 时,重合; (3)19≠-≠k k 且时,相交;(4)由21310)32)(2(3±=⇒=-+-k k k k 时,垂直; (5)交点坐标为)96,914(+-+-k k ,显然不存在实数k ,使交点在第二象限. 补充练习:1.过原点作直线l 的垂线,若垂足为(2,3)-,则直线l 的方程是 ;答:23130x y -+=2.已知直线024=-+y mx 与直线052=+-n y x 垂直,垂足为),1(p ,则p n m +-的值为 .答:10,12,2m n p ==-=-; 203.求与直线0532=++y x 平行,且在两坐标轴上的截距之和为65的直线l 的方程.答:0132=-+y x4.已知直线l 的方程为01243=-+y x ,求直线'l 的方程,使'l 与l 垂直且'l 与坐标轴围成的三角形面积为6.解 设直线'l 的方程为034=+-m y x ,令0=x ,得3m y =,令0=y ,得4mx -=,由题意:1||||6243m m⨯-⋅=,即1442=m ,12±=m ,所以,所求直线l 的方程为01234=±-y x .5.直线l 过点)2,0(-M 且与直线03:1=-+y x l 和042:2=+-y x l 分别交于点Q P ,,若M 恰为线段PQ 的中点,求直线l 的方程.解 设点),(n m P ,由中点公式,得)24,2(n m Q ---,又点Q P ,分别在1l 、2l 上,列方程组⎩⎨⎧=-----=+-02)24()2(2022n m n m ,解3,6-==n m ,0126=++∴y x 为所求.6. 已知三角形ABC 的顶点)1,3(-A ,AB 边的中线所在的直线方程为059106=-+y x ,B ∠的平分线所在直线的方程为0104=+-y x ,求BC 边所在直线的方程. 解 设点),(b a B ,则AB 的中点)21,23(-+b a P ,由B 点在其角平分线上,中点P 在AB 边的中线上,列出关于b a ,的方程组,解得:)5,10(,5,10B b a ∴==,从而得直线02576:=--y x AB , 由题意,BC 边所在直线的斜率存在,设)10(5:-=-x k y BC ,根据夹角公式,得,7692=-=k k 或其中76=k 舍去(否则BC 与AB 重合),所以BC 边所在直线的方程为06592=-+y x .7. 过点(5,4)A 作一直线l ,使它与两坐标轴正方向分别相交于B ,C ;(1)求直线l 使得三角形OBC 面积最小(2)求直线l 使得两坐标轴上的截距和最小。
1.两条直线的位置关系(基础)知识讲解
两条直线的位置关系(基础)知识讲解【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内,两条直线的位置关系:相交和平行.(1)平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行,用符号“∥”表示. 如下图,两条直线互相平行,记作AB∥CD或a∥b.(2)互相重合的直线通常看做一条直线,两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. (3)相交线:若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线,这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.一组相交线产生两对对顶角。
即∠1和∠3是对顶角,∠2和∠4是对顶角。
∠1和∠2,∠2和∠3,,3和∠4,∠4和∠1是邻补角要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角(1)定义:如果两个角的和是180°,那么这两个角互为补角,简称互补,其中一个角叫做另一个角的补角.类似地,如果两个角的和是90°,那么这两个角互为余角.简称互余,其中一个角叫做另一个角的余角.(2)性质:同角(等角)的余角相等.同角(等角)的补角相等.要点诠释:(1)互余互补指的是两个角的数量关系,而与它们的位置无关.(2)一个锐角的补角比它的余角大90°.2.对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念“三线八角”模型如图,直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截),构成八个角,简称为“三线八角”,如图.(1)条直线AB,CD与同一条直线EF相交.(2)“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成.(3)∠1和∠3,∠2和∠4是对顶角;∠1和∠2,∠1和∠4互为邻补角;∠4和∠5是同旁内角;∠1和∠5是同位角;∠4和∠6是内错角(2)性质:对顶角相等.邻补角互补即和为180︒要点三、垂线1.垂线的定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就称这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.如图.要点诠释:⊥;(1)记法:直线a与b垂直,记作:a b直线AB和CD垂直于点O,记作:AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有:AOC∠=°判定90CD⊥AB.性质2.垂线的性质:(1)平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.要点诠释:(1)性质(1)成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性.(2)性质(2)是“垂线段最短.”实际上,连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4.点到直线的距离:定义:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.要点诠释:(1)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离;(2)求点到直线的距离时,要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度.类型一、两条直线的位置关系1.如图,在正方体中:(1)与线段AB平行的线段_________;(2)与线段AB相交的线段______;(3)与线段AB既不平行也不相交的线段______.类型二、对顶角、补角、余角2.如图所示,直线AB、CD相交于点O,∠1=65°,求∠2、∠3、∠4的度数.举一反三:【变式】如图所示,两直线相交,已知∠l与∠2的度数之比为3:2,求∠1与∠2的度数.类型三、垂线3.下列语句中,正确的有()①一条直线的垂线只有一条.②在同一平面内,过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.③两直线相交,则交点叫垂足.④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角.A.0个 B.1个C.2个D.3个举一反三:【变式】直线l外有一点P,则点P到直线l的距离是( ).A.点P到直线l的垂线的长度.B.点P到直线l的垂线段.C.点P到直线l的垂线段的长度.D.点P到直线l的垂线.4. (山东济宁)如图所示,直线AB、CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠COE=55°.则∠BOD的度数为().A.40°B.45°C.30°D.35°举一反三:【变式】如图, 直线AB和CD交于O点,OD平分∠BOF, OE⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.5. 如图所示,要把水渠中的水引到水池C,在渠岸AB的什么地方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明原因.。
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系 Ting Bao was revised on January 6, 20021两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行:(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2,若其斜率分别为k 1、k 2,则有l 1∥l 2k 1=k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. ②两条直线垂直:(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在,设为k 1、k 2,则有l 1⊥l 2k 1·k 2=-1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.2.几种距离(1)两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)之间的距离|P 1P 2|=x 2-x 12+y 2-y 12. (2)点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离:d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2.(3)两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0(其中C 1≠C 2)间的距离d =|C 1-C 2|A 2+B2.选择题:设a ∈R ,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 解析 充分性:当a =1时,直线l 1:x +2y -1=0与直线l 2:x +2y +4=0平行; 必要性:当直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行时有a =-2或1; 所以“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a 等于( ) B .2- 2 -1 +1解析 依题意得|a -2+3|1+1=1,解得a =-1+2或a =-1-2,∵a >0,∴a =-1+ 2.已知直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8平行,则实数m 的值为( ) A .-7 B .-1 C .-1或-7解析 l 1的斜率为-3+m 4,在y 轴上的截距为5-3m 4,l 2的斜率为-25+m ,在y 轴上的截距为85+m .又∵l 1∥l 2,由-3+m 4=-25+m得,m 2+8m +7=0,得m =-1或-7.m =-1时,5-3m 4=85+m =2,l 1与l 2重合,故不符合题意;m =-7时,5-3m 4=132≠85+m =-4,符合题意已知两条直线l 1:(a -1)·x +2y +1=0,l 2:x +ay +3=0平行,则a 等于( ) A .-1 B .2 C .0或-2 D .-1或2解析 若a =0,两直线方程为-x +2y +1=0和x =-3,此时两直线相交,不平行,所以a ≠0.当a ≠0时,若两直线平行,则有a -11=2a ≠13,解得a =-1或a =2,选D.已知点O (0,0),A (0,b ),B (a ,a 3).若△OAB 为直角三角形,则必有( ) A .b =a 3 B .b =a 3+1aC .(b -a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b -a 3-1a =0D .|b -a 3|+⎪⎪⎪⎪⎪⎪b -a 3-1a =0解析 若以O 为直角顶点,则B 在x 轴上,则a 必为0,此时O ,B 重合,不符合题意;若∠A =π2,则b =a 3≠0,若∠B =π2,根据垂直关系可知a 2·a 3-b a =-1,所以a (a 3-b )=-1,即b -a 3-1a =0,以上两种情况皆有可能,故只有C 满足条件.已知过点A (m +1,0),B (-5,m )的直线与过点C (-4,3),D (0,5)的直线平行,则m 的值为( ) A .-1 B .-2 C .2 D .1 解析 由题意得:k AB =m -0-5-m +1=m -6-m ,k CD =5-30--4=12.由于AB ∥CD ,即k AB =k CD ,所以m-6-m =12,所以m =-2当0<k <12时,直线l 1:kx -y =k -1与直线l 2:ky -x =2k 的交点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析 解方程组⎩⎨⎧kx -y =k -1,ky -x =2k 得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k -1,2k -1k -1,因为0<k <12,所以k k -1<0,2k -1k -1>0,故交点在第二象限.若直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2经过定点( )A .(0,4)B .(0,2)C .(-2,4)D .(4,-2)解析 直线l 1:y =k (x -4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,故直线l 2经过定点(0,2).从点(2,3)射出的光线沿与向量a =(8,4)平行的直线射到y 轴上,则反射光线所在的直线方程为( )A .x +2y -4=0B .2x +y -1=0C .x +6y -16=0D .6x +y -8=0 解析 由直线与向量a =(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率k =12,所以直线的方程为y -3=12(x -2),其与y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y 轴的对称点为(-2,3),所以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知A 正确.填空题:已知a ,b 为正数,且直线ax +by -6=0与直线2x +(b -3)y +5=0互相平行,则2a +3b 的最小值为_____解析 由于直线ax +by -6=0与直线2x +(b -3)y +5=0互相平行,所以a (b -3)=2b ,即2a +3b=1(a ,b 均为正数),所以2a +3b =(2a +3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +3b =13+6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +a b ≥13+6×2b a ·a b =25(当且仅当ba=ab ,即a =b =5时取等号)若直线(3a +2)x +(1-4a )y +8=0与(5a -2)x +(a +4)y -7=0垂直,则a =________ 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a +2)(5a -2)+(1-4a )(a +4)=0,解得a =0或a =1.已知两直线方程分别为l 1:x +y =1,l 2:ax +2y =0,若l 1⊥l 2,则a =________. 解析 ∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2=-1,即a2=-1,解得a =-2.已知直线y =kx +2k +1与直线y =-12x +2的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是________解析由方程组⎩⎨⎧y =kx +2k +1,y =-12x +2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2-4k2k +1,y =6k +12k +1.(若2k +1=0,即k =-12,则两直线平行),∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2-4k 2k +1,6k +12k +1, 又∵交点位于第一象限,∴⎩⎪⎨⎪⎧2-4k 2k +1>0,6k +12k +1>0,解得-16<k <12.直线l 过点P (-1,2)且到点A (2,3)和点B (-4,5)的距离相等,则直线l 的方程为______ 解析 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k (x +1),即kx -y +k +2=0. 由题意知|2k -3+k +2|k 2+1=|-4k -5+k +2|k 2+1,即|3k -1|=|-3k -3|,∴k =-13.∴直线l 的方程为y -2=-13(x +1),即x +3y -5=0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =-1,也符合题意.过点P (0,1)作直线l ,使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,则直线l 的方程为________________解析 设l 1与l 的交点为A (a,8-2a ),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B (-a,2a -6)在l 2上,代入l 2的方程得-a -3(2a -6)+10=0,解得a =4,即点A (4,0)在直线l 上,所以直线l 的方程为x +4y -4=0与直线l 1:3x +2y -6=0和直线l 2:6x +4y -3=0等距离的直线方程是________解析 l 2:6x +4y -3=0化为3x +2y -32=0,所以l 1与l 2平行,设与l 1,l 2等距离的直线l 的方程为3x +2y +c =0,则:|c +6|=|c +32|,解得c =-154,所以l 的方程为12x +8y -15=0.已知两直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,若l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等,则a +b =________解析由题意得⎩⎨⎧a +ba -1=0,4a 2+-b 2=|b |a -12+1.解得⎩⎨⎧a =2,b =-2或⎩⎨⎧a =23,b =2经检验,两种情况均符合题意,∴a +b 的值为0或83已知直线l 1:ax +y -1=0,直线l 2:x -y -3=0,若直线l 1的倾斜角为π4,则a =______;若l 1⊥l 2,则a =________;若l 1∥l 2,则两平行直线间的距离为_______ 解析 若直线l 1的倾斜角为π4,则-a =k =tan45°=1,故a =-1;若l 1⊥l 2,则a ×1+1×(-1)=0,故a =1;若l 1∥l 2,则a =-1,l 1:x -y +1=0,两平行直线间的距离d =|1--3|1+1=2 2.已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2),则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析 设A ′(x ,y ),由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3313,y =413,故A ′⎝⎛⎭⎪⎫-3313,413.解答题:已知两直线l 1:x +y sin α-1=0和l 2:2x ·sin α+y +1=0,求α的值,使得: (1)l 1∥l 2; (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α=0时,直线l 1的斜率不存在,l 2的斜率为0,显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时,k 1=-1sin α,k 2=-2sin α,要使l 1∥l 2,需-1sin α=-2sin α,即sin α=±22. 所以α=k π±π4,k ∈Z ,此时两直线的斜率相等.故当α=k π±π4,k ∈Z 时,l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2+B 1B 2=0是l 1⊥l 2的充要条件,所以2sin α+sin α=0,即sin α=0,所以α=k π,k ∈Z .故当α=k π,k ∈Z 时,l 1⊥l 2.如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线l 1:x +2y -1=0,l 2:x +2y -3=0所截的线段的中点在直线l 3:x -y -1=0上,求其方程.解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x +2y -2=0.设所求直线方程为(x +2y -2)+λ(x -y -1)=0,即(1+λ)x +(2-λ)y -2-λ=0.又直线过(-1,1),∴(1+λ)(-1)+(2-λ)·1-2-λ=0,解得λ=-13.∴所求直线方程为2x +7y -5=0.正方形的中心为点C (-1,0),一条边所在的直线方程是x +3y -5=0,求其他三边所在直线的方程 解 点C 到直线x +3y -5=0的距离d =|-1-5|1+9=3105.设与x +3y -5=0平行的一边所在直线的方程是x +3y +m =0(m ≠-5),则点C 到直线x +3y +m =0的距离d =|-1+m |1+9=3105,解得m =-5(舍去)或m =7,所以与x +3y -5=0平行的边所在直线的方程是x +3y +7=0. 设与x +3y -5=0垂直的边所在直线的方程是3x -y +n =0,则点C 到直线3x -y +n =0的距离d =|-3+n |1+9=3105,解得n =-3或n =9,所以与x +3y -5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x -y -3=0和3x -y +9=0.已知直线l :2x -3y +1=0,求直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程 解 在直线m 上任取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上.设对称点M ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a +22-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b +02+1=0,b -0a -2×23=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =613,b =3013,∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N ,则由⎩⎨⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3).∴由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0.求与直线3x +4y +1=0平行且过点(1,2)的直线l 的方程. 解 依题意,设所求直线方程为3x +4y +c =0 (c ≠1), 又因为直线过点(1,2),所以3×1+4×2+c =0,解得c =-11. 因此,所求直线方程为3x +4y -11=0.求经过两直线l 1:x -2y +4=0和l 2:x +y -2=0的交点P ,且与直线l 3:3x -4y +5=0垂直的直线l 的方程.解 解方程组⎩⎨⎧x -2y +4=0,x +y -2=0,得P (0,2).因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为-43,由斜截式可知l 的方程为y =-43x +2,即4x +3y -6=0.已知△ABC 的顶点A (5,1),AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x -y -5=0,AC 边上的高BH 所在直线方程为x -2y -5=0,求直线BC 的方程.解 依题意知:k AC =-2,A (5,1),∴l AC 为2x +y -11=0, 联立l AC 、l CM 得⎩⎨⎧2x +y -11=0,2x -y -5=0,∴C (4,3).设B (x 0,y 0),AB 的中点M 为(x 0+52,y 0+12),代入2x -y -5=0,得2x 0-y 0-1=0,∴⎩⎨⎧2x 0-y 0-1=0,x 0-2y 0-5=0,∴B (-1,-3),∴k BC =65,∴直线BC 的方程为y -3=65(x -4),即6x -5y -9=0.已知直线l 经过直线l 1:2x +y -5=0与l 2:x -2y =0的交点. (1)若点A (5,0)到l 的距离为3,求l 的方程; (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值.解 (1)易知l 不可能为l 2,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x +y -5)+λ(x -2y )=0,即(2+λ)x +(1-2λ)y -5=0,∵点A (5,0)到l 的距离为3,∴|10+5λ-5|2+λ2+1-2λ2=3,即2λ2-5λ+2=0,∴λ=2,或λ=12,∴l 的方程为x =2或4x -3y -5=0.(2)由⎩⎨⎧2x +y -5=0,x -2y =0,解得交点P (2,1),如图,过P 作任一直线l ,设d 为点A 到l 的距离,则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立).∴d max =PA =5-22+0-12=10.专项能力提升若点(m ,n )在直线4x +3y -10=0上,则m 2+n 2的最小值是 ( ) A .2 B .2 2 C .4 D .23 解析 因为点(m ,n )在直线4x +3y -10=0上,所以4m +3n -10=0.欲求m 2+n 2的最小值可先求m -02+n -02的最小值,而m -02+n -02表示4m +3n -10=0上的点(m ,n )到原点的距离,如图.当过原点的直线与直线4m +3n -10=0垂直时,原点到点(m ,n )的距离最小为2.所以m 2+n 2的最小值为4.已知直线l :y =12x -1,(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ; (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程.解 (1)设Q (x 0,y 0),由于PQ ⊥l ,且PQ 中点在l上,有⎩⎪⎨⎪⎧y 0-4x 0-3=-2,y 0+42=12·x 0+32-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=295,y 0=-85,∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295,-85.(2)在l 上任取一点,如M (0,-1),则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7).∵当对称点不在直线上时,关于点对称的两直线必平行,∴所求直线过点N 且与l 平行, ∴所求方程为y -7=12(x -4),即为x -2y +10=0.。
11.3两条直线的位置关系(2)
5.直线l过点M(0,-2)且与直线l1:x+y-3=0和x2y+4=0分别交于点P、Q,若M恰为线段PQ的 中点,求直线l的方程. 解 设点P(m,n),由中点公式,得Q(-2m,-4-2n), m 2n 2 0 又点P、Q分别在l1、l2上,列方程组, 2(2m) (4 2n) 2 0 解m=6,n=-3, x 6 y 12 0为所求. 6. 已知三角形ABC的顶点A(3,-1),AB边的中线 所在的直线方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线 所在直线的方程为x-4y+10=0,求BC边所在直 线的方程. 2 x 9 y 65 0
(3) l1:x-y +1 =0, l2:x+4=0
已知两条直线的方程分别为: l1: a1x + b1y +c1=0 l2: a2x + b2y + c2=0 求这两条直线的夹角.
解:由l1 ,l2的方程,可构造l1 ,l2的法向量: n1=(a1, b1)和n2=(a2, b2), 于是l1 ,l2的方向向量是: d1=(b1, -a1)和d2=(b2, -a2)
例4.光线沿直线l1:2x+y-2=0照射到直线l2: x+2y+2=0上后反射,求反射线l3所在直线的 方程.
2 x 11y 26 0
练习.在y轴的正半轴上给定两点A(0,a),B(0, b),点A在点B上方,试在x轴正半轴上求一 点C,使∠ACB取到最大值.
C ab
11.3(3)两条直线的位置关系
(2)l1与l2 的法向量坐标n1=(2m,3),n2=(1,-1),由 夹角公式 |2m-3| 2 cos45o=--------=--, 2 求得m=0
高中数学11.3.1平行直线与异面直线课件
所以C1M1=CM.
又因为B1C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M1,
所以∠BMC=∠B1M1C1.
【类题通法】
平行线的传递性的应用
1.空间两条直线平行的证明
一是定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;
二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线,梯形,平行四边形等关
2
所以四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,
所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,
所以∠DNM=∠D1A1C1.
探究点二
空间直线位置关系的判定
【典例2】(1)在正方体ABCD A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的
【解析】(1)在△ABD中,
因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EH∥BD.
同理FG∥BD,则EH∥FG.
故E,F,G,H四点共面;
(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.
又因为四边形EFGH是矩形,
所以EH⊥GH.故AC⊥BD.
【补偿训练】
已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:
11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
基础预习初探
1.在同一平面内,两条直线有几种位置关系?
2.观察如图正方体ABCD-A1B1C1D1,回答下面的问题:
(1)图中∠C1A1B1和∠CAB有什么关系?
(2)图中A1C1∥AC,则“直线A1C1与直线BC1所成的角”与“直线AC与直线BC1所
沪教版高中数学高二下册:11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
小结
本节课学习了哪些内容?
5、仰望天空时,什么都比你高,你会自卑;俯视大地时,什么都比你低,你会自负;只有放宽视野,把天空和大地尽收眼底,才能在苍穹泛 土之间找到你真正的位置。无须自卑,不要自负,坚持自信。
7、有志者自有千方百计,无志者只感千难万难。 3、开启中考成功之门,钥匙有三。其一:勤奋的精神;其二:科学的方法;其三:良好的心态。 6、信心来自于实力,实力来自于勤奋。 4. 即使赚得了全世界,却失去了自己,又有什么意义呢? 6、莫愁前路无知己,天下谁人不识君。 5.未曾失败的人恐怕也未曾成功过— 3、雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 19.烈火试真金,逆境试强者。 10、愈是自己有罪的人愈不肯宽恕别人,这是个规律。---博马舍 13.人不能创造时机,但是它可以抓住那些已经出现的时机。 1、不安于小成,然后足以成大器;不诱于小利,然后可以立远功。——方孝孺 15、如果你想得到,你就会得到,你所需要付出的只是行动。 15.一个人幸运的前提,其实是他有能力改变自己。 3. 生活比电影狠多了,从来不给弱者安排大逆转的情节。 28.没有目的,就做不成任何事情;目的渺小,就做不成任何大事 11.乐观的人在每个危机里看到机会,悲观的人在每个机会里看见危机。 13、春天不播种,夏天就不生长,秋天就不能收割,冬天就不能品尝。 4.因害怕失败而不敢放手一搏,永两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时, 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢?
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程,方程确定直线及其位置, 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
【新教材】11.3.2 直线与平面平行(第1课时)教学设计(1)-人教B版高中数学必修第四册
11.3.2 直线与平面平行(1)本节课是人教B版必修2《立体几何初步》第三大节的第2小节内容,在高中立体几何中占有很重要的地位,因为它与前面所学习的平面几何中的两条直线的位置关系以及立体几何中的线线关系等知识都有密切的联系,而且其本身就是判定直线与平面平行的一个重要方法;同时又是后面将要学习的平面与平面的位置关系的基础,因此学好本节内容知识,不仅可对以前所学的相关知识进行加深理解和巩固,而且也为判断直线与平面平行增添了一种新的方法,同时又为后面将要学习的知识作了很好的铺垫作用。
在教学过程中,通过观察探究,通过合理推理发现直线与平面的判定定理和性质定理,并能准确地使用数学语言表达该定理;能够对直线和平面的判定定理和性质定理作出严密的逻辑论证,能进行一些简单的运用。
通过自主学习,主动参与,积极探究的学习过程,激发学生的自信心和积极性,培养学生良好的思维习惯,渗透转化与划归的数学思想.【教学重点】直线与平面平行的判定定理、性质定理的形成过程及应用【教学难点】线线平行与线面平行的转化一.引入问题1:通过前面几何体的学习,直线和平面有哪几种位置关系?答:直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交问题2:上述三种位置关系,直线与平面分别有几个公共点?直线在平面内:直线l 与平面α有无数个公共点,记作l α⊂ 直线与平面平行:直线l 与平面α没有公共点,//l l αα⇔=∅直线与平面相交:直线l 与平面α仅有一个公共点,lP α=二:直线与平面平行的判定证明:如图所示,假设lP α=,因为直线l 与直线m 平行,所以它们可以确定一个平面(记为β)。
由于,m m αβ⊂⊂,所以m αβ=,又因为,P l P βα∈⊂∈,因此根据平面的基本事实3,点P 一定在α与β的交线m 上,于是直线l 与m 相交,这与//l m 矛盾,所以lα=∅,即//l α.知识点1 直线与平面平行的判定定理1.文字叙述:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行. 2.符号表示:如果l ⊄α,m ⊂α,且l ∥m ,则l ∥α. 3.图形表示:注:根据上述定理,画一条直线与已知平面平行时,通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行. 4.作用:证明直线与平面平行.利用线面平行的判定定理,以及棱柱的侧面都是平行四边形,可以证明棱柱一个底面上的边所在直线一定平行于另一个底面。
两条直线的位置关系课件
(1)若 CD 是直角梯形的直角腰,则 BC⊥CD,AD⊥CD. ∵kBC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有 x=3. 又 kAD=kBC,∴y-x 3=0,即 y=3. 此时 AB 与 CD 不平行.故所求点 D 的坐标为(3,3).
[一点通] 已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法: (1)若两直线l1与l2的斜率均存在,当k1·k2=-1时, l1⊥l2;当k1=k2,且它们在y轴上的截距不相等时,l1∥l2. (2)若两直线斜率均不存在,且在x轴的截距不相等,则 它们平行; (3)若有一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在,则 它们垂直;
5.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试证明△ABC 为直角三角形. 证明:如图所示,AB边所在直线的斜率 kAB =-12, BC边所在直线的斜率kBC=2. 由kAB·kBC=-1,得AB⊥BC,即∠B=90°. 所以△ABC是直角三角形.
[例3] 已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与l2:mx +3y-2=0.
解得m=154. 答案:154
8.△ABC的顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若 △ABC为直角三角形,求m的值. 解:(1)若 A 为直角,则 AC⊥AB,∴kAC·kAB=-1, 即m2-+51·11+ -15=-1,得 m=-7; (2)若 B 为直角,则 AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1, 即-12·m2--11=-1,得 m=3;
4.已知直线l:3x+4y+1=0和点A(1,2),求: (1)过A点且与l平行的直线l1的方程; (2)过A点且与l垂直的直线l2的方程.
解:法一:(1)由已知直线l的斜率为k=-34, 设直线l1斜率为k1, ∵l1∥l2, ∴k1=k=-34, 又∵l过点A(1,2), ∴l1的点斜式方程为y-2=-34(x-1), 即3x+4y-11=0.
原创1:11.3.1 平行直线与异面直线
若E、F不重合,
∴AE与DF为异面直线.
证法二(定理法):
∵AB≠AC,AE⊥BC,F为BC的中点,
∴E、F不重合,
又A∉平面BCD,E∈平面BCD,
DF⊂平面BCD,E∉DF,
∴AE与DF为异面直线.
典例精析
题型五:空间四边形
例6 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
因为∠BGC与∠FD1E的方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.
跟踪练习
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是棱CD,AD的中点,
求证:∠DNM=∠D1A1C1.
证明 如图,连接AC,
在△ACD中,因为M,N分别是CD,AD的中点,
1
所以MN是△ACD的中位线,所以MN∥AC,MN= AC.
=
=
1
1
.∴FG= BD.
3
3
∴FG∥EH且FG≠EH.
∴四边形EFGH是梯形.
跟踪练习
1.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )
A.2对
B.3对
C.6对
D.12对
【解析】选C.如图所示,在长方体AC1中,与对角线AC1成
异面直线的是A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组
DF是△BCD中BC边上的中线,求证:AE和DF是异面直线.
证明 证法一(反证法):
∵B∈EF,C∈EF,而EF⊂β,
假设AE和DF不是异面直线,
∴B∈β,C∈β,又A∈β,D∈β,
则AE和DF共面,
∴A、B、C、D四点共面,
第十一章 11.3 11.3.1 平行直线与异面直线
题型一 平行直线的判定 【例 1】 如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AABE=AAHD,CCFB=CCGD,则 EH 与 FG
的位置关系是________. 解析 连接BD,如图,
∵AAEB=AAHD,∴EH∥BD, 又∵CCFB=CCGD,∴FG∥BD,∴EH∥FG. 答案 平行
【迁移1】 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC, CD,DA的中点,若AC=BD.求证:四边形EFGH是菱形. 证明 在△ABD中,E,H分别为AB,AD的中点, ∴EH 綉12BD.
一、素养落地 1.通过平行直线、异面直线的判断,培养直观想象素养与逻辑推理素养. 2.求证两直线平行有两种常用的方法:一是应用平行线的传递性,二是证明在同一
平面内,这两条直线无公共点.证明时要充分应用好平面几何知识,如平行线分线 段成比例定理、三角形的中位线定理等. 3.求证角相等也有两种常用的方法,一是应用等角定理,在证明的过程中常用到平 行线的传递性,注意两角对应边方向的讨论;二是应用三角形全等或相似.
别是棱CD,AD的中点. (1)求证:四边形MNA1C1是梯形; (2)求证:∠DNM=∠D1A1C1. 证明 (1)如图,连接AC, 在△ACD中, ∵M,N分别是CD,AD的中点, ∴MN是△DAC的中位线,
∴MN∥AC,MN=12AC. 由正方体的性质得: AC∥A1C1,AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且 MN=12A1C1,即 MN≠A1C1, ∴四边形MNA1C1是梯形. (2)由(1)可知MN∥A1C1,又∵ND∥A1D1, ∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补. 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角, ∴∠DNM=∠D1A1C1.
教材拓展补遗 [微判断] 1.平面α内的一条直线l与平面β内的一条直线m是异面直线.( × )
高中数学第十一章立体几何初步11.3空间中的平行关系11.3.1平行直线与异面直线
∴DE 綉13AC,∴DE=13a.
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三、解答题写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,12、 13、15 题各 12 分,14 题 6 分,共 42 分
12.在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分 别是 AB,BC,A′B′,B′C′的中点,求证:EE′∥FF′.
(1)证明:AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′; (2)求S△SA△′ABB′CC′的值.
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解:(1)证明:∵AA′与 BB′相交于 O 点,且OAAO′=OBBO′, ∴AB∥A′B′. 同理 AC∥A′C′,BC∥B′C′. (2)∵AB∥A′B′,AC∥A′C′且 AB 和 A′B′,AC 和 A′C′的方向相反,∴∠BAC=∠B′A′C′. 同理∠ABC=∠A′B′C′,因此△ABC∽△A′B′C′, 又A′ABB′=AA′OO=23.∴S△SA△′ABB′CC′=232=49.
解析:另一组对应边可能平行,也可能不平行,也可能垂直.注 意和等角定理的区别.
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4.E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 四条边的中点,则 EG 与 FH 的位置关系是( C )
A.异面 B.平行 C.相交 D.重合
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解析:由平行的传递性知①正确; 若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 可能平行,也可能相 交或异面,②错误; 若平面 α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∥l,b∥l,则 a∥b,③错 误.
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书:11.3.1平行直线与异面直线含解析
11.3空间中的平行关系11.3.1平行直线与异面直线[课程目标] 1.掌握空间平行直线、异面直线的概念;2.理解空间中两个角相等的条件,能利用等角定理解决相关问题;3.掌握空间四边形的概念和特点.知识点一平行直线与异面直线[填一填]1.平行直线:在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线.2.等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.3.异面直线(1)概念:空间中既不平行也不相交的直线.(2)判断方法:与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.[答一答]1.如何理解异面直线?提示:若直线a,b是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过a、b两条直线.例如,如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异面.2.已知两条直线相交,过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线,这些平行线是否都共面?为什么?提示:都共面,如图所示,a∩b=A,过b上任意一点B作c∥a,则a、c可确定一个平面α,因为A∈a,所以A∈α.又因为B∈c,所以B∈α,所以AB⊂α,即b⊂α.所以a、b、c共面.同理在a上任取一点作b的平行线,都与a、b共面,所以这些平行线都共面.知识点二空间四边形[填一填]顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形.其中4个点都是空间四边形的顶点;连接相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边;连接不相邻顶点间线段叫做空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表示.类型一证明线线平行问题[例1]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为P A,PB,PC,PD的中点,求证:四边形EFGH 是平行四边形.[证明]在△P AB中,∵E、F分别是P A、PB的中点,∴EF綉12AB,同理GH綉12DC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB綉CD,∴EF綉GH,∴四边形EFGH是平行四边形.空间中证明两直线平行的方法有:(1)借助平面几何知识证明,如三角形中位线性质,平行四边形的性质,用成比例线段证平行等.(2)利用平行的传递性,即证明两直线都与第三条直线平行.[变式训练1]如图所示,已知E,F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点,G,H分别是边CD与AD上靠近D的三等分点,求证:四边形EFGH是梯形.证明:在△ABC中,∵E,F分别是AB,BC边上的中点,∴EF綉1 2AC.又在△ACD中,G,H分别是CD,AD边上的三等分点,DH DA =DGDC=13,∴GH綉13AC.∴EF∥GH且EF≠GH,即四边形EFGH是梯形.类型二等角定理[例2]已知E,E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中点.求证:∠BEC=∠B′E′C′.[证明]如图所示,连接EE′.因为E,E′分别是AD,A′D′的中点,所以AE∥A′E′,且AE=A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形.所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.又因为AA′∥BB′,且AA′=BB′,所以EE′∥BB′,且EE′=BB′,所以四边形BEE′B′是平行四边形,所以BE∥B′E′,同理可证CE∥C′E′,又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同,所以∠BEC=∠B′E′C′.1.空间两直线平行的证明方法证明空间两条直线平行的方法有两个:一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线,平行四边形性质,平行线分线段成比例定理等)证明;二是利用平行的传递性,就是需要找到第三条直线c,使a∥c,b∥c,由平行的传递性得到a∥b.2.空间角相等的证明方法(1)等角定理是较常用的方法.(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.[变式训练2]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.求证:△EFG∽△C1DA1.证明:如图,连接B1C.因为G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF∥B1C且GF=12B1C.又ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以CD∥AB且CD=AB,A1B1∥AB且A1B1=AB,所以CD∥A1B1且CD=A1B1,所以四边形A1B1CD为平行四边形,所以A1D∥B1C且A1D=B1C.又B1C∥FG,所以A1D∥FG.同理可证:A1C1∥EG,DC1∥EF.又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG,∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为60°角,所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.类型三异面直线[例3]如图,M,N,E,F,G,H,P,Q是正方体ABCD -A1B1C1D1所在棱的中点,则PQ,EF,GH中与直线MN异面的直线是________.[分析]要判定两条直线的位置关系可以根据定义及相关知识进行判断.[解析]首先,我们不难看出PQ∥MN;其次,根据平面的基本事实的推论2,可得MN,EF交于一点,即MN与EF共面;最后,我们可直观地得到GH与MN异面.[答案]GH判断两条直线是不是异面直线,除了根据定义及平面的基本事实的推论外,直观上的感知也是十分重要的一方面.[变式训练3]如图,已知P为△ABC所在平面外的一点,求证:EF与PC是异面直线.证明:若EF与PC不是异面直线,则存在平面α使得E,F,P,C∈α,从而直线PE与CF都在平面α内,∴A,B∈α,故点A,B,C,P都在α内,与P在平面ABC外矛盾,故EF与PC是异面直线.类型四空间四边形的相关问题[例4]已知空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;(2)若∠HEF=60°,AC=6,BD=8,求四边形EFGH的面积;(3)若AC=BD,则四边形EFGH是什么图形.[解] (1)证明:如图,在△ABD 中,E 、H 分别为AB ,AD 的中点,∴EH 綉12BD ,同理FG 綉12BD ,∴EH 綉FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形.(2)∵BD =8,∴EH =4,同理由AC =6得EF =3,∴S ▱EFGH =EF ·EH ·sin ∠HEF =3×4×sin60°=6 3.∴四边形EFGH 的面积为6 3.(3)∵AC =BD ,∴EF =EH ,∴四边形EFGH 为菱形.空间四边形中的计算与证明,常常转化为各个面上的平行、相交等关系,利用三角形、四边形的有关性质加以解决.[变式训练4] 如图,四边形ABCD 为空间四边形,M ,N 分别是边AB ,CD 的中点,求证:MN <12(AC +BD ).证明:取BC的中点E,连接ME,NE,如图所示,∵M,E分别为AB,BC的中点,∴ME为△ABC的中位线,∴ME=12AC.同理EN=12BD,在△MNE中,根据两边之和大于第三边,可得MN<ME+EN,从而MN<12(AC+BD).1.若直线a和b异面,直线b和c异面,则直线a和c(C) A.异面或相交B.异面或平行C.异面或平行或相交D.相交或平行解析:直线a和b异面,直线b和c异面,则直线a和c可能异面,可能平行,可能相交,故选C.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于(B) A.30°B.30°或150°C.150°D.以上答案都不对解析:∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行,但方向不能确定是否相同.∴∠PQR =30°或150°,故选B.3.如图,点E ,F ,G ,H 分别为空间四边形ABCD 中AB ,BC ,CD ,AD 的中点,若AC =BD ,且AC 与BD 成90°角,则四边形EFGH 是( C )A .菱形B .梯形C .正方形D .空间四边形解析:由已知得GH 綉EF .EH 綉FG .又∵AC =BD ,AC 、BD 成90°角,故GH =EH =EF =FG .且EH ⊥HG .故四边形EFGH 是正方形.4.如图,空间四边形ABCD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点,F 、G 分别是CB 、CD 上的点,且CF CB =CG CD =23.若BD =6 cm ,梯形EFGH的面积为28 cm 2,则平行线EH 与FG 间的距离为8_cm.解析:FG =23BD =4 cm ,EH =12BD =3 cm ,EH ∥FG ,故设EH 与FG 间的距离为h ,则S 梯形EFGH =12(EH +FG )·h =28(cm 2),即72h =28⇒h=8 cm.。
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例题
间的位置关系: 例 2、讨论下列各组直线之 间的位置关系:
( 1 )l 1 : x + m y + 6 = 0 ,
2
( 2 )l 1 : y 1 = k 1 ( x 3 ),
l 2 : (m 2 ) x + 3 my + 2 m = 0 ; l2 : y 1 = k2 (x + 3) 。
2 2 2 a 1 + b12 a 2 + b2
由于两条直线的夹角 θ与向量夹角 α的取值范围 及相互关系,得 cos θ = cos α 及相互关系,
即两条直线的夹角公式 为
cos θ = a 1 a 2 + b1 b 2 a +b
2 1 2 1
a +b
2 2
2 2
特别地,两条直线 l 1、 l 2垂直 特别地, cos θ = 0 , 即 a 1 a 2 + b1 b 2 = 0
( 1 )l 1 : 3 x + 4 y 12 = 0 , l 2 : 7 x 12 y 1 = 0 ; ( 2 )l 1 : 4 x + 6 y 3 = 0 , l 2 : 6 x + 9 y 5 = 0 ; 2 ( 3 )l 1 : 3 x 2 y 6 = 0 , l 2 : x y 2 = 0。 3
两条直线的交点
设直角坐标平面上两条 直线的方程分别为
l 1 : a 1 x + b1 y + c 1 = 0 l 2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0
复习
则二元一次方程组: 则二元一次方程组:
a1 x + b1 y + c1 = 0 a 2 x + b2 y + c 2 = 0
行列式的值: 的解取决于系数构成的 行列式的值: a1 b1 a1 c1 c1 b1 D= Dy = Dx = a 2 b2 a2 c2 c 2 b2
2
设直角坐标平面上两条 直线的方程分别为
l 1 : a 1 x + b1 y + c 1 = 0 l 2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0
则 l 1、 l 2 的方向向量分别为 d 1 = ( b1 , a 1 ), d 2 = ( b2 , a 2 )
两向量的夹角 α 满足
cos α = d1 d2 d1 d2 = a 1 a 2 + b1 b2
(1 )当 D ≠ 0,
即 a 1 b2 ≠ a 2 b1 时,
Dx x= D 方程组有唯一解 Dy y = D Dx D y 此时直线 l 1、 l 2 相交于一点 D ,D
特殊的, 特殊的,当a1a2+b1b2=0时,两直线 1、l2 时 两直线l 垂直。 垂直。
。
(2 )当D = 0 时,
平行?若存在,求 k的值; 的值; 平行?若存在, 若不存在,请说明理由 。 若不存在,
新课
直线l 直线 1与l2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ夹角 如上图所示,当直线 1与 l2相交但不垂 如上图所示 , 当直线l 直时, 仅有一个角是锐角, 直时,θ1和π-θ1,仅有一个角是锐角, - 我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹 我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹 角. π 当直线l 直线l 当直线 1⊥l2时,直线 1和l2的夹角是 当两条直线平行或重合, 当两条直线平行或重合,规定它们的夹 角为0。 角为 。
则二元一次方程组: 则二元一次方程组:
a1 x + b1 y + c1 = 0 a 2 x + b2 y + c 2 = 0
行列式的值: 的解取决于系数构成的 行列式的值:
D= a1 b1 a 2 b2
Dx = c1 b1 c 2 b2
Dy =
a1 c1 a2 c2
(1 )当 D ≠ 0,
即 a 1 b2 ≠ a 2 b1 时,
Dx x= D 方程组有唯一解 Dy y = D Dx D y 此时直线 l 1、 l 2 相交于一点 D ,D
特殊的, 特殊的,当a1a2+b1b2=0时,两直线 1、l2 时 两直线l 垂直。 垂直。
。
(2 )当D = 0 时,
例题
例 4、已知两条直线的方程 是l1 : 3 x + y + 2 = 0 , l 2 : 2 x y 3 = 0,求两条直线的夹角 θ。
例 5、已知直线 l经过点 P 2 , 3 且与直线 π l 0 : x 3 y + 2 = 0 的夹角为 ,求直线 l的方程。 的方程。
3
(
)
( i )若 D x ≠ 0 或 D y ≠ 0
方程组无解,两直线 方程组无解,两直线l1、l2没有公共 即两直线平行。 点,即两直线平行。
(ii)若 D x = D y = 0
方程组有无数解,两直线l1、l2重合。 方程组有无数解,两直线 重合。
例题
例 3、是否存在实数 k,使直线
l 1 : 3 x (k + 2 ) y + 6 = 0 , l 2 : kx + (2 k 3 ) y + 2 = 0
例题
例 3、是否存在实数 k,使直线
l 1 : 3 x (k + 2 ) y + 6 = 0 , l 2 : kx + (2 k 3 ) y + 2 = 0
平行?若存在,求 k的值; 的值; 平行?若存在, 若不存在,请说明理由 。 若不存在,
11.3两条直线的位置关系 11.3两条直线的位置关系
( i )若 D x ≠ 0 或 D y ≠ 0
方程组无解,两直线 方程组无解,两直线l1、l2没有公共 即两直线平行。 点,即两直线平行。
(ii)若 D x = D y = 0
方程组有无数解,两直线l1、l2重合。 方程组有无数解,两直线 重合。
例题
例 1、判断下列各组直线的 位置关系, 位置关系, 若相交,求出交点坐标 : 若相交,
11.3两条直线的位置关系 11.3两条直线的位置关系
两条直线的相交、 两条直线的相交、平行与重合
提问: 提问:在同一平面内两条直线的位置关 系有哪几种? 系有哪几种?这些位置关系在直线方程 上是怎样体现的呢? 上是怎样体现的呢?
设直角坐标平面上两条 直线的方程分别为
l 1 : a 1 x + b1 y + c 1 = 0 l 2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0