初中数学中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--巩固练习题及答案(基础)
人教版数学九年级上学期课时练习-一元二次方程解法-因式分解法(巩固篇)(人教版)
专题21.13 一元二次方程解法-因式分解法（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．方程()22x x x -=-的根是（ ）A ．1x =B ．12x =，20x =C ．11x =，22x =D ．2x =2．在数轴上原点两侧两点A 、B ，其中点A 表示的数是a ，点B 表示的数是2a a +，如果A ，B 两数的绝对值相等，那么a 的值是（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．-23．在平面直角坐标系中，点2(2,1)A x x +与点(3,1)B -关于y 对称，则x 的值为（ ） A ．1 B ．3或1 C ．3-或1 D ．3或1-4．已知关于x 的方程20x px q ++=的两个根为11x =，22x =-，则二次三项式2x px q++可分解为（ ）A ．()()12x x +-B ．()()12x x ++C ．()()12x x -+D ．()()12x x --5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+4（x 2﹣2x +1）﹣5＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ）A ．﹣5或1B ．﹣1或5C ．1D ．56．若实数a 、b 满足2222()(3)10a b a b +++=，则a 2+b 2的值为（ ） A ．-5 B ．-2或5 C ．2 D ．-5或-2 7．用换元法解分式方程2221x x x x -+=-时，如果设2x x y -=，则原方程可化为关于y 的整式方程是（ ）．A ．2210y y ++=B ．2210y y +-=C ．220y y -+=D ．220y y +-= 8．解方程2221x x x x++=+时．如果设2y x x =+，那么原方程可化为（ ）A ．220y y +-=B ．220y y -+=C ．220y y ++=D ．220y y --= 9．已知矩形的长和宽是方程2680x x -+=的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）A ．6B ．7C ．20D ．10．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程x 2﹣14x ＋48＝0的两根，则此三角形的斜边长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1411．若三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程257(5)x x x -=-的根，则此三角形的周长为（ ）A ．12B ．14C ．12或14D ．13或1512．如图，一次函数y =-3x +4的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），过点P 分别作OA 和OB 的垂线，垂足为C ，D ．若矩形OCPD 的面积为1时，则点P 的坐标为（ ）A ．（13，3）B ．（12，2）C ．（12，2）和（1，1）D ．（13，3）和（1，1） 二、填空题13．方程220220x x -＝的解是______．14．已知关于x 的一元二次方程x 2-4mx +3m 2=0，若m ＞0，且该方程较大的实数根为1，则m 的值为_________．15．x =-的解是_____．16．若0x >，0y >，50x y --=，则x y =__________． 17．方程x 2213x x-=-3x ﹣4中，如果设y ＝x 2﹣3x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是________．18．已知实数a 、b 满足()()2222228a b a b +-+=，则22a b +的值为___________． 19．在实数范围内，已知221221x x x x +++=，则1x x+的值是______． 20．阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，①1x =±；当4y =时，24x =，①2x =±；①原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用__法达到__的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程222()4()120x x x x +--+=的解为________________．21．如果m 是方程x 2＋2x －3＝0的实根，那么代数式m 3－7m 的值是 _____．22．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x 3－x ＝0，它的解是_____________．23．已知正比例函数513y x =图像上有一个点M ，点M 的横坐标是方程x 2+6x ﹣91＝0的根，则点M 的纵坐标为 ___．24．如图，点A 在数轴的负半轴，点B 在数轴的正半轴，且点A 对应的数是21x -，点B 对应的数是2x x +，已知5AB =，则x 的值为______．三、解答题25．解方程：(1)x 2－2x －3＝0 (2)（x ﹣3）2＝2x ﹣626．用适当的方法解下列方程：(1)2-430x x (2)()3-2-2x x x =27．阅读下列例题的解答过程：解方程：3（x －2）2＋7（x －2）＋4＝0解：设x －2＝y ，则原方程化为：3y 2＋7y ＋4＝0①a ＝3，b ＝7，c ＝4，①b 2－4ac ＝72－4×3×4＝1①y 716-±=． ①y 1＝－1，y 2＝－43． 当y ＝－1时，x －2＝－1，①x ＝1；①当y ＝－43时，x －2＝－43，①x ＝23． ①原方程的解为：x 1＝1，x 2＝23．(1)请仿照上面的例题解一元二次方程：（x －3）2－5（x －3）－6＝0；(2)若()()222223a b a b ++-=，求代数式22a b +的值．28．例：解方程()()42181150x x ---+=解：设()21t x =-，则28150t t -+=解得3t =或5t =当3t =时有()213x -=，解得1x =±当5t =时有()215x -=，解得1x =±①原方程的解为1x =1x =±认真阅读例题的解法，体会解法中蕴含的数学思想，并使用例题的解法及相关知识解方程()()632172180x x +-+-=29．阅读例题，解答问题： 例：解方程220x x --=． 解：原方程化为220x x --=． 令y x =，原方程化成220y y --=解得12y =，21y =-（不合题意，舍去）． 2x ∴=．2x ∴=±．①原方程的解是12x =，22x =- 请模仿上面的方法解方程：()215160x x ----=．30．以下是婷婷解方程 x （x －3）＝2（x －3）的解答过程：解：方程两边同除以（x －3），得：x ＝2①原方程的解为x ＝2试问婷婷的解答过程是否有错误？ 如果有错误，请写出正确的解答过程．31．对于实数a 、b ，定义一种新运算“a ①b ”，规定如下：2a b ab b =-☆，例如22322130=⨯-=☆．(1)若12x =☆，则满足条件的x 值为______；(2)对于()12a x -=☆，存在两个不同的数值x ，求a 的取值范围；(3)若22x x >☆☆时，求x 的取值范围．32．阅读例题，解答问题：例：解方程x 2﹣|x |﹣2＝0，解：原方程化为|x |2﹣|x |﹣2＝0．令y ＝|x |，①y 2﹣y ﹣2＝0解得：y 1＝2，y 2＝-1当|x |＝2，x ＝±2；当|x |＝-1时（不合题意，舍去）①原方程的解是x 1＝2，x 1＝-2，仿照上例解方程（x +1）2﹣5|x +1|﹣6＝0．参考答案1．C【分析】移项后用因式分解法求解即可．解：①x (x −2)=x −2，①x (x −2)−(x −2)=0，①(x −2)(x −1)=0，①x -2=0，或x -1=0，①x 1=2，x 2=1．故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．2．D【分析】根据A ，B 两数的绝对值相等，且在数轴上原点两侧，可得关于a 的一元二次方程，解方程并检验即可得到答案．解：①点A 、B 在数轴上原点两侧，且表示的两数的绝对值相等，①20a a a ++=，解得：120,2a a ==-，当10a =时，点A 、B 表示的两数都是0，是在数轴上的同一个点，①不符合题意，应舍去，①2a =-．故选：D ．【点拨】本题考查了数轴上绝对值相等的两点对应的数之间的关系，涉及到了绝对值的意义，相反数的概念和解一元二次方程等知识点，解决本题的关键是能正确列出方程并且正确求解，最后要检验结果是否符合题意．3．C【分析】先根据关于y 轴对称点的坐标特点建立方程，然后解一元二次方程，即可得出结果． 解：①A 、B 两点关于y 轴对称，①223x x +=，①()()310x x +-=，解得3x =-或1，故选：C ．【点拨】本题考查了关于y 轴对称点的坐标特点和解一元二次方程，根据关于y 轴对称点的坐标特点建立方程是解题的关键．4．C【分析】根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式，即可得出答案． 解：①关于x 的方程20x px q ++=的两个根为11x =，22x =-，①原方程为：（x －1）（x ＋2）＝0，①二次三项式2x px q ++可分解为()()12x x -+，故选：C ．【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式． 5．C【分析】设y ＝x 2﹣2x +1，将已知方程转化为关于y 的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．解：设y ＝x 2﹣2x +1，则y 2+4y ﹣5＝0，整理，得（y +5）（y ﹣1）＝0，解得y ＝﹣5（舍去）或y ＝1，即x 2﹣2x +1的值为1，故选C ．【点拨】本题考查了用换元法解和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握换元法解和因式分解法．6．C【分析】根据换元法，令a 2+b 2=m ，将原式整理成含有m 的一元二次方程，解出m 的值，根据题意对m 的值进行取舍即可.解：令a 2+b 2=m ，原式可化为：(3)10m m +=，即23100m m +-=，解得：m=-5或m=2，因为a 2+b 2≥0所以m=2a²+b²=2故答案为C.【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法求一元二次方程根，进而求出相应代数式的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够用m 将所求式子替换下来.7．C【分析】根据换元法，可得答案．解：设x 2﹣x ＝y ，原方程等价于y ﹣1＋2y＝0， 两边都乘以y ，得y 2﹣y ＋2＝0，故选：C ．【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法．8．A【分析】根据方程的特点，设2y x x =+，可将方程中的x 全部换成y ，转化为关于y 的分式方程，去分母转化为一元二次方程．解：把2y x x =+代入原方程得：21y y +=，方程两边同乘以y 整理得：220y y +-=. 故选A.【点拨】此题考查换元法解分式方程，解题关键在于掌握运算法则.9．D【分析】设矩形的长和宽分别为a 、b ，解出a 、b ，利用勾股定理得到矩形的对角线长代入计算出矩形的对角线长即可．解：设矩形的长和宽分别为a 、b ，①x 2﹣6x +8＝0①(x ﹣4)(x ﹣2)=0①x =4或x =2，①长和宽是方程的两个实数根∴a ＝4，b ＝2，所以矩形的对角线长==故选：D ．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，也考查了矩形的性质及勾股定理，熟练掌握一元二次方程的解法及勾股定理是解题的关键．10．C【分析】先解方程x 2-14x +48=0，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．解：①x 2﹣14x +48＝0，①（x ﹣6）（x ﹣8）＝0，①x ＝6或8；①两直角边为6和8，①10，故选：C ．【点拨】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法．11．A【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 解：解方程257(5)x x x -=-得：12=7=5x ，x ，①1＜第三边的边长＜7，①第三边的边长为5．①这个三角形的周长是3+4+5=12．故选：A ．【点拨】此题考查因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，解题关键在于要注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．12．D【分析】由点P 在线段AB 上可设点P 的坐标为（m ，-3m +4）（0＜m ＜43），进而可得出OC =m ，OD =-3m +4，结合矩形OCPD 的面积为1，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再将其代入点P 的坐标中即可求出结论．解：①点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），且直线AB 的解析式为y =-3x +4，①设点P 的坐标为（m ，-3m +4）（0＜m ＜43）， ①OC =m ，OD =-3m +4．①矩形OCPD 的面积为1，①m （-3m +4）=1，①m 1=13，m 2=1， ①点P 的坐标为（13，3）或（1，1）． 故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及，找出关于m 的一元二次方程是解题的关键．13．0或2022【分析】先将x 提取出来，可得等式()20220x x -=，则x =0或x -2022=0，由此可解出x 的值． 解：220220x x -＝，()20220x x -=，则x =0或x -2022=0，解得：10x =，22022x =，故答案为：0或2022．【点拨】本题考查利用提取公因式解一元二次方程，能够掌握提取公因式是解决本题的关键．14．13【分析】直接由因式分解法解出一元二次方程的两根，然后根据0m >比较大小代入即可得出答案．解：22430x mx m -+=，()(3)0x m x m ∴--=，即方程的两根为1x m =，23x m =，0m >，3m m ∴>，即31m =，得13m =． 故答案为：13． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．15．x ＝﹣1【分析】将方程两边同时平方，再解一元二次方程，根据二次根式有意义的条件取舍解．x =-，∴5x +6＝x 2，∴x 2﹣5x ﹣6＝0，（x ﹣6）（x +1）＝0∴x 1＝6，x 2＝﹣1，当x ＝6时原方程没有意义，∴x ＝﹣1．答案：x ＝﹣1．【点拨】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，二次根式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．16．25【分析】根据题意原方程可变形为2250-=，再利用因式分解法解答，即可求解．解：①0x >，0y >，50x y --=，①2250-=，①0=，①0x >，0y >0≠，0=5=， ①25x y =． 故答案为：25【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．17．y 2+4y ﹣1＝0【分析】先将原方程移项，把y ＝x 2﹣3x 代入整理即可得到答案．解：原方程移项得：x 2﹣3x 213x x-+-4＝0中， 把y ＝x 2﹣3x 代入原方程得：y 1y-+4＝0， 方程两边同乘以y 整理得：y 2+4y ﹣1＝0．故答案为：y 2+4y ﹣1＝0．【点拨】此题考查了用换元法解一元二次方程，正确掌握方程换元的方法是解题的关键．18．4【分析】设y =a 2+b 2，原式化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即为a 2-b 2的值．解：设y =a 2+b 2，原式化为y 2-2y -8=0，即（y -4）（y +2）=0，可得y -4=0或y +2=0，解得：y 1=4，y 2=-2，①y =a 2+b 2>0①a 2+b 2=4．故答案为：4．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，学生做题时注意a 2+b 2的值为正数． 19．-3【分析】直接利用换元法解方程，再利用一元二次方程的解法分析得出答案． 解：设1x a x+=， 则221221x x x x +++=， 211()2()21x x x x+++-=， 故2230a a +-=，解得：11a =，23a =-， 当11x x+=时， 则210x x -+=，此时△241430b ac =-=-=-<，∴此方程无解， 故11x x+≠， 故1x x +的值是3-． 故答案为：3-．【点拨】此题主要考查了换元法解方程，正确解一元二次方程是解题关键． 20． 换元 降次 13x =-，22x =【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．（2）利用题中给出的方法先把x 2＋x 当成一个整体y 来计算，求出y 的值，再解一元二次方程．解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）设x 2＋x ＝y ，原方程可化为y 2−4y −12＝0，解得y 1＝6，y 2＝−2．由x 2＋x ＝6，得x 1＝−3，x 2＝2．由x 2＋x ＝−2，得方程x 2＋x ＋2＝0，①=b 2−4ac ＝1−4×2＝−7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1＝−3，x 2＝2．故答案为：① 换元；①降次；①x 1＝−3，x 2＝2．【点拨】本题应用了换元法，把关于x 的方程转化为关于y 的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．21．6-【分析】先求出m 的值，再代入代数式求解即可． 解： x 2＋2x －3＝0∴ ()()310x x +-=∴ 13,1x x x =-=m 是方程x 2＋2x －3＝0的实根∴ 13,1x x x =-=∴()()33737327216m m =--⨯-=-+=-－或 ()()337171176m m =-⨯=-=-－ 故答案为：6-．【点拨】本题考查了代数式的计算问题，掌握解一元二次方程的方法、代入法是解题的关键．22．1230,1,1x x x ==-=【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可. 解：30,x x110,x x x则0x =或10x +=或10,x -=解得：1230,1, 1.x x x故答案为：1230,1, 1.x x x【点拨】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.23．3513或5-##5-或3513【分析】根据因式分解法解一元二次方程，进而将两根分别代入正比例函数解析式即可求得点M 的纵坐标解：x 2+6x ﹣91＝0即()()7130x x -+=解得127,13x x ==-点M 的横坐标是方程x 2+6x ﹣91＝0的根，∴当7x =，解得3513y =，当13x =-时，解得5y =- ∴点M 的纵坐标为3513或5- 故答案为：3513或5- 【点拨】本题考查了解一元二次方程，正比例函数上点的特征，正确的解一元二次方程是解题的关键．24．-2【分析】根据数轴上点的位置可得2210x x x -<<+，即可得到()2215AB x x x =+--=，由此解方程，再根据210x -<即12x <进行求解即可． 解：由数轴上点的位置可得2210x x x -<<+，①()2215AB x x x =+--=即260x x --=，①()()230+-=x x ，解得3x =或2x =-，①210x -<即12x <， ①2x =-，故答案为：-2．【点拨】本题主要考查了数轴上两点的距离，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握数轴上两点的距离以及解一元二次方程的方法．25．(1)x 1＝3，x 2＝－1(2)x 1＝3，x 2＝5【分析】（1）把常数项移到右边后，用配方法解一元二次方程即可；（2）把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：x 2－2x －3＝0移项，得：x 2－2x ＝3，配方，得：x 2－2x ＋1＝3＋1，即（x －1）2＝4．两边同时开方，得：x －1＝±2，①x 1＝3，x 2＝－1．(2)解：（x ﹣3）2＝2x ﹣6①（x ﹣3）2＝2（x ﹣3），①（x ﹣3）2﹣2（x ﹣3）＝0，则（x ﹣3）（x ﹣5）＝0，①x ﹣3＝0或x ﹣5＝0，解得：x 1＝3，x 2＝5．【点拨】此题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键．26．(1)1231x x ==， (2)12123x x ==，【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解：(1)2-430x x()()310x x --=解得1231x x ==，(2)()322x x x -=-()()2310x x --= 解得12123x x ==，【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 27．(1)122,9x x == (2)223a b +=【分析】（1）令3t x =-，则原方程为2560t t -=-，然后根据因式分解法进行求解方程即可；（2）令22y a b =+，则原方程可化简为2230y y --=，然后根据因式分解法进行求解方程即可．(1)解：令3t x =-，则原方程为2560t t -=-， ()()160t t +-=①60t -=或10t +=，①121,6t t =-=，当1t =-时，则31x -=-，解得：2x =；当6t =时，则36x -=，解得：9x =；①原方程的解为122,9x x ==；(2)解：令22y a b =+，则原方程可化简为2230y y --=，()()130y y +-=①30y -=或10y +=，①121,3y y =-=，①220a b +≥，①当1y =-时不符合题意，①3y =，即223a b +=；①原方程的解为223a b +=．【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解一元二次方程是解题的关键．28．11x =-，212x =【分析】利用题中给出的方法先把(2x +1)3当成一个整体t 来计算，求出t 的值，再解一元二次方程．解：设()321t x =+，则2780t t --=，解得1t =-或8t =，当1t =-时有()3211x +=-，解得1x =-，当8t =时有()3218x +=，解得12x =， ①原方程的解为11x =-，212x =． 【点拨】本题考查了一元二次方程-换元法，看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．29．17x =，25x =-【分析】根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可． 解：原方程化为215160x x ----=． 令1y x =-，原方程化成2560y y --=． 解得16y =，21y =-（不合题意，舍去）．16x ∴-=，16x ∴-=±．①原方程的解是17x =，25x =-．【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程．30．有错误，见分析【分析】首先判断出婷婷解方程的过程是错误的，再移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：婷婷的解答过程有错误．(3)2(3)x x x -=-移项，得：()()3230x x x ---=()()320x x --=x －3＝0或x －2＝013x =，22x =【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．31．(1)2或1- (2)78a >且a ≠1 (3)12x <或2x > 【分析】（1）根据定义列出一元二次方程，解方程求解即可；（2）根据定理列出一元二次方程，根据一元二次方程有2个不同实根，令0∆>，求得a 的范围即可；（3）根据题意列出不等式，进而因式分解，根据同号为正列出一元一次不等式组求解即可(1) 解：2a b ab b =-☆∴211x x x =⨯-☆12x =☆22x x ∴-=即()()210x x -+=解得122,1x x ==-故答案为：2或1-(2)()12a x -=☆()212a x x ∴--=即()2120a x x ---=①存在两个不同的数值x ，()()()214120a ∴∆=---⨯->，且a ≠1， 解得78a >且a ≠1 (3)22x x >☆☆∴2242x x x ->-即()()2120x x -->则2102x x ->⎧⎨>⎩或2102x x -<⎧⎨<⎩解得12x <或2x > 【点拨】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式组，理解新定义是解题的关键．32．15=x ，27x =-【分析】 原方程化为215160x x +-+-=，令1y x =+，得2560y y --=，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 解：原方程化为215160x x +-+-=， 令1y x =+，∴2560y y --=， 解得1261y y ==-，，当16x +=，16x +=±，即x ＝5或x ＝-7， 当11x +=-时（不合题意，舍去），∴原方程的解是15=x ，27x =-．【点拨】本题主要考查解一元二次方程和换元法，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．。
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题(附答案)
人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）人教版初三上学期数学一元二次方程及解法练习题（附答案）（1）；（2）；（3）；（4）。
4、一元二次方程根的判别式与其根的关系：综合练习： 1．观察下列方程: ①x2=1 ②3x2=1-x ③x(x-1)= x -1 ④ +2x-5=0 ⑤x2-y-1=0 ⑥x2-(x-3)2=9 其中是一元二次方程的是 . 2.把方程(x-2)(x+3)=5化为一元二次方程一般形式为 .其中二次项系数为 . 一次项系数为 . 常数项为 . 3.关于x的方程（m+2）xn-1-(2m-1)x-3=0,当时,它是一元二次方程,当时,它是一元一次方程. 1、用直接开平方法解方程：⑴x2=9 ⑵3x2=12 ⑶ 1/3 x2-3=0 ⑷ (3x+1)2=1 ⑸(2x-1)2 -9=0 ⑹x2+4x+4=1(7)．x2=16 (8) . 2x2 -6 =0 (9) (x+1)2=4(10) (3x+2)2=4 （11）3(x-1)2=15 （12）x2+6x+9=25能力提升： 1.关于x的方程（n-1）xn2+1-(2n+1)x-3=0,当n= 时,它是一元二次方程 2.解一元二次方程：(1) x2+2x+1=4 （2）x2+2x-3=0一元二次方程及解法（2）配方法步骤：举例说明题组训练： 1、把下列方程化为（x+ m）2=n（m，n是常数，n≥0）的形式（1）x2+2x=48；（2）x2－4x=12；（3）x2－6x+6=0；（4） 2、完成下列填空：x2+4x+4=(__+__)2 x2-8x+___=(__―__)2 4x2+__x+25=(___+__)2 16 x2+__x+1=(__+__)2 x2+10x+___=(__+__)2 x2-5x+___=(__―__)29x2-__x+25=(___+__)2 9 x2-¬__x+1=(__-__)2 3、用配方法解方程（1）x2-10x-11=0 （2）x2－6x+4= 0 （3）x2+4x－16= 0（4）x2－4x=12；（5）x2－6x=7 （6）x2+8x+2=0（7）x2－4x-5=0 （8） x2+5x+2=0 （9）3x2+2x－5=0（10）2y2+y－6=0 （11）3x2+8x-3=0 (12)-2x2=5x-3一元一次方程及解法（3）求根公式推导过程：（和应用求根公式的步骤）根的判别式与根的关系：跟踪训练：先用根的判别式判断根的情况再求解：（1）x -x-1=0；（2）5x +2=3x2；（3）y -6=5y(4)3t -2t-1=0 (5)4x(x-1)=x -1 （6）x2－6x+4= 0(7)3x +1=2 x （8）2y2+y－5= 0 （9）x2－4x=12；（10）3x2+6x=1 （11）2t2-7t－4=0； (12)x2-x-1=0(13)y2-6=5y (14)3t2-2t-1=0 (15)4x(x-1)=x2-1一元一次方程及解法（4）因式分解法解一元二次方程的原理： 1、填空（1）方程x2=x的解是。
中考数学易错题专题复习-一元二次方程组练习题及答案解析
∴ ．
（2）（y+2）2=12，
∴ 或 ，
∴
2．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．
【答案】x1=1+ ，x2=1﹣
【解析】
试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.
试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，
解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ．
（1）解方程求两条线段的长。
（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。
（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。
【答案】（1）2和6；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）求解该一元二次方程即可;
（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；
（3）设分为两段分别是 和 ，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可.
【详解】
解：（1）由题意得 ，
即： 或 ，
∴两条线段长为2和6；
（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，
由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：
∴此等腰三角形面积为 = ．
（3）设分为 及 两段
∴ ，
∴ ，
∴面积为 .
【点睛】
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.
8．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．
【答案】1
【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．
中考复习——一元二次方程及分式方程(附答案)
一元二次方程及分式方程专题训练一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、当 a ＿＿＿＿时，方程 (a－1) x2＋x－2＝0 是一元二次方程。
２、方程 2x (1＋x)＝3 的一般形式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
３、当 x＝＿＿＿＿时，分式x＋1x＋2的值等于45。
４、方程 2x2＝32 的解为＿＿＿＿。
５、方程21－x2－1＝11＋x的解为＿＿＿＿。
６、方程 x2－5x－6＝0 可分解成＿＿＿＿与＿＿＿＿两个一元一次方程。
７、已知 m 是方程 x2－x－23＝0 的一个根，则 m2－m＝＿＿＿＿。
８、2x2＋4x＋10＝2 (x＋＿＿＿)2＋＿＿＿＿。
９、以－2 和 3 为根的一元二次方程为＿＿＿＿＿＿（写出一个即可）。
10、如果方程 x2－3x＋m＝0 的一根为 1，那么方程的另一根为＿＿＿＿。
11、如果方程x＋1x－2－1＝m2－x有增根，那么 m＝＿＿＿＿。
12、长 20m、宽 15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的12，若四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为＿＿＿＿。
二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、下列方程中是一元二次方程的是（）A、x＋3＝5B、xy＝3C、x2＋1x＝0 D、2x2－1＝0２、若关于 x 的方程2x－ax－1＝1 无解，则 a 的值等于（）A、0B、1C、2D、4 ３、方程 2x (x－2)＝3 (x－2) 的根是（）A、x＝32B、x＝2C、x1＝32，x2＝2 D、x＝－32４、把方程 x2＋3＝4x 配方得（）A、(x－2)2＝7B、(x－2)2＝1C、(x＋2)2＝1D、(x＋2)2＝2５、某车间原计划 x 天内生产零件 50 个，由于采用新技术，每天多生产零件 5 个，因此提前3 天完成任务，则可列出的方程为（）A、50x－3＝50x－5 B、50x＝50x－3－5 C、50x－3＝50x－5 D、50x＝50x－3－5６、把一个小球以 20m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系：h＝20t－5t2，当 h＝20 时，小球的运动时间为（）A、20sB、2sC、(22＋2) sD、(22－2) s三、解下列方程：（每题 6 分，共 36 分）１、x (x＋5)＝24 ２、2x2＝(2＋3) x ３、x2－4x＝5 ４、4 (x－1)2＝(x＋1)2５、5x＝7x－2６、x＋1x－1－1＝4x2－1四、解答题：（每题 8 分，共 32 分）１、解关于 x 的方程ax－ab＝1＋x（a≠b）２、方程 x2＋3x＋m＝0 的一个根是另一根的 2 倍，求 m 的值。
中考数学专题复习分类练习 一元二次方程组综合解答题含答案解析
中考数学专题复习分类练习一元二次方程组综合解答题含答案解析一、一元二次方程1．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1=1+3，x2=1﹣3【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1=1+3，x2=1﹣3．2．计算题（1）先化简，再求值：21xx-÷（1+211x-），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.6．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x 2.7．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．8．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a ≤174；（2）x =1或x =2 【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围；（2）根据（1）确定出a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤174； （2）由（1）可知a ≤174， ∴a 的最大整数值为4，此时方程为x 2﹣3x +2=0，解得x =1或x =2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x 米2， 根据题意得：4600022000x -﹣46000220001.5x-= 4 解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（20﹣3x ）（8﹣2x ）=56 解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米．10．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=±1.【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解．【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，∴52=5（6﹣p 2），∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．11．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n 中黑点的个数分别是 、 ．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n 个点阵中有 个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n 个；（1）61；3n 2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．12．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．13．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a 、b 、c 为等腰三角形的三边，∴2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，∴k ＝32或2． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.14．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.15．利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息信息1：甲乙两种商品的进货单价和为11；信息2：甲商品的零售单价比其进货单价多2元，乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元：信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元．()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元，在不考虑其他因素的条件下，当a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件（2）当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元【解析】【分析】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据总利润=单件利润⨯销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】()1设甲种商品的进货单价是x 元/件，乙种商品的进货单价是y 元/件，根据题意得：()()113x 222y 437x y +=⎧++-=⎨⎩， 解得：{56x y ==．答：甲种商品的进货单价是5元/件，乙种商品的进货单价是6元/件． ()2当零售单价下降a 元/件时，每天可售出()5001000a +件，根据题意得：()()250010001500a a -+=，整理得：22310a a -+=，解得：10.5a =，21a =．答：当a 定为0.5或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：()1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；()2找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
专题复习】九年级数学上册 一元二次方程解法练习100题(含答案)
专题复习】九年级数学上册一元二次方程解法练习100题(含答案)1.解方程：$2x^2-8x+3=0$，使用公式法。
2.解方程：$(2x-1)(x+3)=43$。
3.解方程：$4y^2+4y-1=-10-8y$。
4.解方程：$(x-1)(x-3)=8$。
5.解方程：$5x^2-8x+2=0$。
6.解方程：$x(x-3)=10$。
7.解方程：$x^2-2=-2x$。
8.解方程：$3x(7-x)=18-x(3x-15)$。
9.解方程：$4x(3x-2)=6x-4$。
10.解方程：$x^2+12x+27=0$。
11.解方程：$2x^2-4x+1=0$，使用配方法。
12.解方程：$4(x-1)^2=9(x-5)$。
13.解方程：$x^2-6=-2(x+1)$。
14.解方程：$x^2+4x-5=0$。
15.解方程：$2x^2+5x-1=0$。
16.解方程：$3(x-2)^2=x(x-2)$。
17.解方程：$2x^2-3x-2=0$。
18.解方程：$2x^2-7x+1=0$。
19.解方程：$x^2-6x-4=0$，使用配方法。
20.解方程：$x^2-4x-3=0$。
21.解方程：$x^2-5x+2=0$。
22.解方程：$x^2-4x+8=0$。
23.解方程：$3x^2-6x+4=0$。
24.解方程：$(x-2)(x-3)=12$。
25.解方程：$(x-3)(x+7)=-9$。
26.解方程：$3x^2+5(2x+1)=0$，使用公式法。
27.解方程：$x^2-12x-4=0$。
28.解方程：$(x-5)(x-6)=x-5$。
29.解方程：$x^2-8x-10=0$。
30.解方程：$x(x-3)=15-5x$。
31.解方程：$5x(x-3)=(x+1)(x-3)$。
32.解方程：$x^2+8x+15=0$。
33.解方程：$25x^2+10x+1=0$。
34.解方程：$x^2+6x-7=0$，使用配方法。
35.解方程：$x^2+4x-5=0$，使用配方法。
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--巩固练习
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--巩固练习一、一元二次方程的解法及应用1.解法一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程可以通过以下步骤进行：- 求解判别式D = b^2 - 4ac的值，判别式D的值决定了方程的根的情况。
-当D>0时，方程有两个不相等的实数根。
-当D=0时，方程有两个相等的实数根。
-当D<0时，方程没有实数根。
-根据判别式D的值分情况讨论：-当D>0时，设方程的两个根为x1和x2，则有：x1=(-b+√D)/(2a)，x2=(-b-√D)/(2a)。
-当D=0时，有一个重根，设方程的根为x，则有：x=-b/(2a)。
-当D<0时，方程没有实数根。
2.应用一元二次方程的应用非常广泛，涉及到物理、工程、经济等领域。
-物理：一元二次方程可以用于描述自由落体运动的高度、抛物线的轨迹等问题。
-工程：在建筑、土木等工程领域中，一元二次方程可以用于解决各种问题，如建筑物的最大高度、桥梁的弯曲等等。
-经济：在经济学中，一元二次方程可以用于解决收入、支出以及市场需求等问题。
二、分式方程的解法及应用1.解法分式方程是指含有分式表达式的方程。
解分式方程可以通过以下步骤进行：-化简分式方程，将其转化为简单的方程。
-求解方程，得到未知数的值。
-检验所得解是否满足原方程，若满足则为方程的解，否则无解。
2.应用分式方程的应用也非常广泛，主要用于解决涉及到分数的问题，如比例、扇形的面积等。
-比例：分式方程可以用于解决比例的问题，如已知两个量的比例关系，可以通过设未知数，列方程，求解来计算其中一个未知数的值。
-扇形的面积：分式方程可以用于求解扇形的面积。
通过设未知数，列方程，求解来计算扇形的半径、弧长等。
三、巩固练习以下是一些巩固练习题，以帮助你巩固一元二次方程和分式方程的解法及应用。
1.求解一元二次方程-2x^2+3x-2=0-x^2-5x+6=02.求解分式方程-(x+1)/(x-2)=1/3-(2x-3)/(x+4)-1/2=1/(x+4)3.应用题-一个矩形的长是宽的3倍，如果矩形的周长是32，求矩形的长和宽。
专题2.6 一元二次方程和分式方程的解法及运用(专项练习)
专题2.6一元二次方程和分式方程的解法及运用（专项练习）一、单选题1．（2021·河南郸城·九年级期中）方程20x x -=的根是（）A ．1x =B ．1x =，0x =C ．0x =D ．1x =-，0x =2．（2021·全国·九年级专题练习）解分式方程132x 11x-=--，去分母得（）A ．()12x 13--=-B ．()12x 13--=C ．12x 33--=-D ．12x 23-+=3．（2021·河北滦州·九年级期中）用配方法解一元二次方程2650x x -+=时，下列变形正确的为（）A ．2(3)14x +=B ．2(3)14x -=C ．2(3)4x +=D ．2(3)4x -=4．（2021·湖北·武汉市洪山区杨春湖实验学校九年级阶段练习）已知m ，n 是x 2-2x -2016=0的两个实数根，则22m n +的值为（）A ．1008B ．2016C ．2018D ．20205．（2021·湖北随州·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程x 2+8x +7＝0，则方程可化为（）A ．（x +4）2＝9B ．（x ﹣4）2＝9C ．（x +8）2＝23D ．（x ﹣8）2＝96．（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝07．（2021·四川内江·中考真题）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A ．20%B ．25%C ．30%D ．36%8．（2021·广西河池·中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定9．（2021·广东海珠·一模）为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前5天按原计划的速度生产，5天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产x 万支疫苗，则可列方程为（）A ．32032031.25x x =-B ．3205320531.25x xx x --=-C ．32032031.25x x=+D ．3205320531.25x xx x--=+10．（2021·河北滦州·八年级期中）关于x 的方程32211x mx x -=+++无解，则m 的值为（）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．511．（2021·四川巴中·中考真题）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值见表格，则下列结论①c ＝2；②b 2﹣4ac ＞0③方程ax 2+bx ＝0的两根为x 1＝﹣2，x 2＝0④7a +c ＜0其中正确的有（）x …﹣3﹣2﹣112…y…1.8753m1.875…A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④12．（2021·全国·九年级专题练习）若整数a 使关于x 的不等式组1112341x xx a x -+⎧≤⎪⎨⎪->+⎩，有且只有45个整数解，且使关于y 的方程2260111y a y y+++=++的解为非正数，则a 的值为（）A ．61-或58-B ．61-或59-C ．60-或59-D ．61-或60-或59-二、填空题13．（2021·全国全国·八年级专题练习）代数式31x -与代数式23x -的值相等，则x ＝_____．14．（2021·江西·南昌市心远中学八年级期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程_____．15．（2021·全国·八年级专题练习）若关于x 的方程322x m x x-=--有增根，则m 的值为________16．（2021·全国·八年级）已知分式方程21+-x ax＝1的解为非负数，则a的取值范围是_____．17．（2021·四川万源·八年级期末）若关于x的分式方程2755x ax x-+=--有增根，则a的值为_______18．（2021·江苏姜堰·八年级期中）近年来，我市大力发展城市快速交通，张老师开车从家到学校有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线A的平均速度。
中考真题一元二次方程专题(详细答案)
一元二次方程专题练习1、（2013•自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．2、（2013•自贡）已知关于x的方程x2-（a+b）x+ab-1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）3、（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解4、（2013•珠海）某渔船出海捕鱼，20XX年平均每次捕鱼量为10吨，20XX年平均每次捕鱼量为8.1吨，求20XX年-20XX年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．5、（2013•重庆）“4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑1/2m次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值．6、（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）7、（2013•新疆）方程x2-5x=0的解是（）A．x1=0，x2=-5B．x=5 C. x1=0，x2=5D．x=08、（2013•新疆）如果关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是9、（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．10、（2013•厦门）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k 是整数），称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2-6x-27=0，x2-2x-8=0，x2+3x−27/4=0，x2+6x-27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．11、（2013•黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，则m2+n2的值是12、（2013•平凉）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是13、（2013•攀枝花）设x1，x2是方程2x2-3x-3=0的两个实数根，则的值为14、（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？15、（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x+8=0，则△ABC的周长是16、（2013•六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-2B．k＜2C．k＞2D．k＜2且k≠117、（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42-4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=18、（2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k的值．19、（2013•荆门）设x1，x2是方程x2-x-2013=0的两实数根，则20、（2013•江西）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程21、（2013•呼和浩特）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是（）A．3或-1B．3C．1-3或122、（2013•衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（）A．168（1+x）2=128B．168（1-x）2=128C．168（1-2x）=128D．168（1-x2）=12823、（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a-1=0有两根为x1和x2，且x12-x1x2=0，则a的值是（）A．a=1B．a=1或a=-2C．a=2D．a=1或a=224、（2013•广州）若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断25、（2013•德宏州）如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，CD⊥AD，AB：CD=5：4，另外三边的和为20米．设AB的长为5x米．（1）请求出AD的长（用含字母x的式子表示）；（2）若该花圃的面积为50米2，且周长不大于30米，求AB的长．26、（2013•成都）一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根27、（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．28、（2013•巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．。
中考数学《一元二次方程》专题训练(附带答案)
中考数学《一元二次方程》专题训练（附带答案）一、单选题1．关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k＜－1D．k＞－12．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≥﹣4D．k≥43．关于x的一元二次方程方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．4．方程x2﹣5x=0的解是()A．x1=0，x2=﹣5B．x=5C．x1=0，x2=5D．x=05．用配方法解一元二次方程x2+6x−10=0，此方程可变形为（）A．(x+3)2=1B．(x−3)2=1C．(x−3)2=19D．(x+3)2=19 6．已知b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个实数根，则ab的取值范围为（）A．ab≥18B．ab≤18C．ab≥14D．ab≤147．已知A=x2+3，B=2x+1，则A，B的大小关系正确的是（）A．A＞B B．A＜BC．A=B D．与x的大小有关8．已知关于x的一元二次方程2x²+4x·sinα+1=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x −12）2=54C．（x −12）2＝1D．（x −12）2=3410．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．2500(1+x)2=3200B．2500(1−x)2=3200C．3200(1−x2)=2500D．3200(1−x)2=250011．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2=19B．（x﹣2）2=7C．（x+2）2=7D．（x+4）2=1912．下列关于x的方程中，没有实数解的是（）A．x2﹣4x+4=0B．x2﹣2x﹣3=0C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x+5=0二、填空题13．某企业2018年底缴税80万元，2020 年底缴税96.8万元，设这两年该企业交税的年平均增长率为x根据题意，可得方程为。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)--初中数学【名校学案+详细解答】
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】 类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --= 【答案】C ；【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误；B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符号一元二次方程的要求；故本选项正确；D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x2-4x-1=0； (4) (1-)x2=(1+)x．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t ＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ 123x =，21x =． (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ 11t =，212t =． 类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ． a ＞1C ． a ≤1D ．a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a ≥1．故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式． 【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+g ，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=．∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm ，由题意得4x 2＝10×8×(1-80%)．解得x 1＝2，x 2＝-2．经检验，x 1＝2符合题意，x 2＝-2不符合题意舍去．∴ x ＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．【总结升华】设小正方形的边长为x cm ，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在欲砌50m 长的墙，砌成一个面积300m 2的矩形花园，则BC 的长为多少 m?【答案】解：设AB=x 米，则BC=（50﹣2x ）米．根据题意可得，x （50﹣2x ）=300，解得：x 1=10，x 2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x 1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC 的长为20m ．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．。
(完整版)九年级数学中考复习专题一元二次方程练习题及答案
中考数学复习专题一元二次方程一、选择题:1、若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．02、方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+3）2=4 D．（x﹣3）2=43、关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．04、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=1965、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞16、关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是( )A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠07、已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．108、若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣39、有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x值为（） A．5 B．6 C．7 D．810、毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为（）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人11、某市2013年生产总值（GDP）比2012年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2013年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A.12%+7%=x%B.（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C.12%+7%=2•x%D.（1+12%）（1+7%）=（1+x%）212、设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（）二、填空题:13、方程2x2﹣1=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．14、若关于x的方程(a＋3)x|a|－1－3x＋2＝0是一元二次方程，则a的值为________________．15、把方程（2x+1）（x—2）=5－3x整理成一般形式后，得，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
中考数学一元二次方程与分式方程专题练习含解析
一元二次方程与分式方程一、选择题1．下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为．7．若关于x的方程有增根，则m的值是．8．方程的解是；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．15．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．一元二次方程与分式方程参考答案与试题解析一、选择题1．下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】①②③小题利用移项与变形b2﹣4ac与0的大小关系解决；处理第④小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点情况．【解答】解：①b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，正确；②若b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；③b2﹣4ac=4a2+9c2+12ac﹣4ac=4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2﹣4ac＞0，正确；④二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数．2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形【考点】根的判别式；梯形．【分析】AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，即判别式△=b2﹣4ac≥0，可得到AB与CD的关系，再判定四边形的形状．【解答】解：∵a=1，b=﹣3m，c=2m2+m﹣2∴△=b2﹣4ac=（﹣3m）2﹣4×1×（2m2+m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0∴方程有两个不相等的实数根．∴AB≠CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是梯形．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，梯形的判定求解．3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【考点】根的判别式；正比例函数的性质．【分析】正比例函数的图象经过第二、四象限，则（a+1）＜0，求出a的范围，结合一元二次方程的△，来判断根的情况．【解答】解：由题意知，（a+1）＜0，解得a＜﹣1，∴﹣4a＞4．因为方程x2+（1﹣2a）x+a2=0的△=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a＞5＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】（1）正比例函数y=kx，当k＜0，图象过二、四象限；k＞0时，图象过一、三象限．（2）一元二次方程的△＞0时，有两个不相等的实数根．（3）本题要会把a＜﹣1转化为1﹣4a＞5．二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠±2．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程成立的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，∴m2﹣4≠0，∴m≠±2．【点评】此题比较简单，考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】二次方程有实数根即根的判别式△≥0，找出a，b，c的值代入列出k的不等式，求其取值范围．【解答】解：因为关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，所以△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）=4﹣4k≥0，解之得，k≤1．又因为k≥0，1﹣2k≠0，即k≠，所以k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零和被开方数大于零这两个隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为16．【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；菱形的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD 的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD 的周长．【解答】解：∵解方程x2﹣7x+12=0得：x=3或4∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；∴菱形的边长为4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16．【点评】由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．7．若关于x的方程有增根，则m的值是2．【考点】分式方程的增根．【专题】计算题．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故答案为：2．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．方程的解是x=0；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为±1．【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】本题考查解分式方程能力，观察可得方程最简公分母为2（x﹣2），去分母，化为整式方程求解．分式方程﹣1=0无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．【解答】解：方程两边同乘2（x﹣2），得2x﹣2=x﹣2，解得x=0．经检验x=0是原方程的根，故方程的解是x=0；（1）x=1为原方程的增根，此时有ax+1﹣（x﹣1）=0，即a+1﹣（1﹣1）=0解得a=﹣1．（2）方程两边都乘（x﹣1），得ax+1﹣（x﹣1）=0，化简得：（a﹣1）x=﹣2．当a=1时，整式方程无解．综上所述，当a=±1时，原方程无解．【点评】将分式方程化为整式方程的关键是确定最简公分母，要根据分式的分母确定最简公分母．分母是多项式能进行分解的要先进行分解，再去确定最简公分母．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．【考点】解分式方程．【专题】阅读型．【分析】此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：x+=c+的解为x1=c，x2=，据规律解题即可．【解答】解：（1）猜想的解是x1=c，x2=．验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+，∴方程成立；当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+，∴方程成立；∴的解是x1=c，x2=；（2）由得，∴x﹣1=a﹣1，，∴x1=a，x2=．【点评】解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律：x+=c+的解为x1=c，x2=．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式；待定系数法求反比例函数解析式．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）把m的值，代入方程，解方程即可；（2）运用根的判别式判断，列出判别式的表达式，再变形成为非负数，得出△≥0即可；（3）可根据求根公式求出x1、x2，代入y=x2﹣2x1中，得出关于m的函数关系式，根据m＞0，画出函数图象．【解答】解：（1）若m=1，方程化为x2﹣5x+4=0即（x﹣1）（x﹣4）=0，得x﹣1=0或x﹣4=0，∴x1=1或x2=4；证明：（2）∵mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，∴△=[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2∵m≠0，∴（m+2）2≥0，即△≥0∴方程有实数根；解：（3）由求根公式，得．∴或x=1∵=2+∵m＞0，∴=2+＞2∵x1＜x2，∴x1=1，∴即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：【点评】本题重点考查了反比例函数的性质（点评不合题意）及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（此题并没有设计，需要重新检查此题），是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于75°或15°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；所以此三角形的底角等于75°或15°【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）在解析式y=﹣x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标；（2）根据MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论．【解答】解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴A（4，0），B（0，4）；（2）∵MN∥AB，，∴OM=ON=t，∴S1=OM•ON=t2；（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN==2，直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，易得AB=4，则×4h=4×4×，解得h=2，故t=2时，点P在l上，2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．F点的坐标满足，即F（t，4﹣t），同理E（4﹣t，t），则PF=PE=|t﹣（4﹣t）|=2t﹣4，所以S2=S△MPN﹣S△PEF=S△OMN﹣S△PEF，=t2﹣PE•PF=t2﹣（2t﹣4）（2t﹣4）=﹣t2+8t﹣8；②当0＜t≤2时，S2=t2，t2=，解得t1=﹣＜0，t2=＞2，两个都不合题意，舍去；当2＜t≤4时，S2=﹣t2+8t﹣8=，解得t3=3，t4=，综上得，当t=或t=3时，S2为△OAB的面积的．【点评】本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用三角形的相似的性质．是一个难度较大的综合题．13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．把图象经过的坐标代入求出k与b 的值．（2）根据路程与速度的关系列出方程可解．（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇．再由1得出y=﹣90x+300．设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间．【解答】解：（1）方法一：由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．∵图象经过点（0，300），（2，120），∴解得，∴y=﹣90x+300．即y关于x的表达式为y=﹣90x+300．方法二：由图知，当x=0时，y=300；x=2时，y=120．所以，这条高速公路长为300千米．甲车2小时的行程为300﹣120=180（千米）．∴甲车的行驶速度为180÷2=90（千米/时）．∴y关于x的表达式为y=300﹣90x（y=﹣90x+300）．（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距300千米．∴甲乙相遇用时为：300÷（90+60）=2，当0≤x≤2时，函数解析式为s=﹣150x+300，2＜x≤时，S=150x﹣300＜x≤5时，S=60x；（3）在s=﹣150x+300中．当s=0时，x=2．即甲乙两车经过2小时相遇．因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟=小时，所以在y=﹣90x+300中，当y=0，x=．所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为﹣2=2（小时）．乙车与甲车相遇后的速度a=（300﹣2×60）÷2=90（千米/时）．∴a=90（千米/时）．乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示．【点评】本题以行程问题为背景，考查由一次函数图象求解析式．分析相遇问题，求相遇时间及速度，依据速度和时间画函数图象，重点考查学生的观察、理解及分析解决问题的能力．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=﹣24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=﹣3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24x2+21600x+2400000=﹣24（x﹣450）2+7260000，∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．15．（2009•潍坊）要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；相切两圆的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）把P、Q合并成矩形得长为（60﹣3×硬化路面的宽），宽为（40﹣2×硬化路面的宽），由等量关系S P+S Q=S矩形ABCD÷4求得并检验．（2）两等量关系2×O1到AD的距离=40；2×圆的半径+2×圆心到边的距离=60，列方程组求出并检验．【解答】解：（1）设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得：（60﹣3x）×（40﹣2x）=60×40×，解得，x1=10，x2=30，经检验，x2=30不符合题意，舍去．所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．（2）设想成立．设圆的半径为r米，O1到AB的距离为y米，根据题意，得：，解得：y=20，r=10，符合实际．所以，设想成立，则圆的半径是10米．【点评】分析图形特点，根据题意找出等量关系列出方程或方程组，解决问题并检验．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．（2）三角形MPA中，底边AM的长为3﹣x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．（3）本题要分三种情况：①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA﹣BN，PQ=AB﹣PN根据勾股定理即可求出x的值．③MA=PA，不难得出AP=BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．【解答】解：（1）；（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由（1）得：PN=，则PQ=QN﹣PN=4﹣=x依题意，可得：AM=3﹣x，S=AM•PQ=（3﹣x）•=2x﹣x2=﹣（x﹣）2+∵0≤x≤1即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着x的增大而增大．∴当x=1时，S有最大值，S最大值=（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：①若PM=PA，∵PQ⊥MA，∴四边形ABNQ是矩形，∴QA=NB=x，∴MQ=QA=x，又∵DM+MQ+QA=AD∴3x=3，即x=1②若MP=MA，则MQ=3﹣2x，PQ=，MP=MA=3﹣x在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2=MQ2+PQ2∴（3﹣x）2=（3﹣2x）2+（x）2，解得：x=（x=0不合题意，舍去）③若AP=AM，由题意可得：AP=x，AM=3﹣x∴x=3﹣x，解得：x=综上所述，当x=1，或x=，或x=时，△MPA是等腰三角形．【点评】本题是点的运动性问题，考查了图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．（3）题要按等腰三角形腰和底的不同分类讨论．。
2022年中考复习专题《一元二次方程的解法》同步训练含答案
2022年中考复习专题《一元二次方程的解法》同步训练含答案一元二次方程的解法一、选择题1．方程〔x﹣2〕〔x+3〕=0的解是〔〕 A．x=2 B．x=﹣3C．x1=﹣2，x2=3D．x1=2，x2=﹣32．方程x2﹣5x=0的解是〔〕 A．x1=0，x2=﹣5B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=03．以下计算正确的选项是〔〕 A．a4?a3=a12B．C．〔x2+1〕0=0 D．假设x2=x，那么x=14．一元二次方程x〔x﹣2〕=2﹣x的根是〔〕 A．﹣1 B．2C．1和2 D．﹣1和25．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程〔x﹣2〕〔x﹣4〕=0的根，那么这个三角形的周长是〔〕 A．11 B．11或13C．13 D．以上选项都不正确 6．方程x2﹣2x=0的解为〔〕A．x1=1，x2=2 B．x1=0，x2=1 C．x1=0，x2=2 D．x1=，x2=2 7．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是〔〕 A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=﹣3 D．x1=1，x2=38．方程x〔x﹣3〕+x﹣3=0的解是〔〕 A．3B．﹣3，1 C．﹣1 D．3，﹣19．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，那么这个三角形的周长是〔〕A．11 B．13 C．11或13 D．11和13 10．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是〔〕 A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2二、填空题11．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的解为．第1页〔共5页〕C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=212．假设实数a、b满足〔4a+4b〕〔4a+4b﹣2〕﹣8=0，那么a+b= ． 13．将x2+6x+3配方成〔x+m〕2+n的形式，那么m= ．14．一元二次方程x〔x﹣6〕=0的两个实数根中较大的根是． 15．方程x2﹣2x=0的解为． 16．方程x2﹣2x﹣3=0的解是． 17．一元二次方程x2﹣3x=0的根是． 18．填空：x2﹣4x+3=〔x﹣〕2﹣1．19．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，那么这个等腰三角形的周长为．20．实数m，n满足m﹣n2=1，那么代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于． 21．对于实数a，b，定义运算“﹡〞：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．假设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，那么x1﹡x2= ．22．现定义运算“★〞，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，假设x★2=6，那么实数x的值是．三、解答题23．解方程：x2﹣10x+9=0．24．阅读以下材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：〔1﹣﹣﹣〕×〔+++〕﹣〔1﹣﹣﹣﹣〕×〔++〕．令++=t，那么原式=〔1﹣t〕〔t+〕﹣〔1﹣t﹣〕t =t+﹣t2﹣t﹣t+t2 = 问题：〔1〕计算〔1﹣﹣﹣﹣…﹣〕×〔++++…++〕﹣〔1﹣﹣﹣﹣﹣…第2页〔共5页〕﹣﹣〕×〔+++…+〕；〔2〕解方程〔x2+5x+1〕〔x2+5x+7〕=7．25．选取二次三项式ax2+bx+c〔a≠0〕中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=〔x﹣2〕2﹣2；②选取二次项和常数项配方：，或③选取一次项和常数项配方：根据上述材料，解决下面问题：〔1〕写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；〔2〕x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值． 26．〔1〕解方程：x2﹣5x﹣6=0；〔2〕解不等式组：27．解方程：x2+2x﹣3=0．28．解方程：3x〔x﹣2〕=2〔2﹣x〕 29．阅读材料：用配方法求最值． x，y 为非负实数，∵x+y﹣2∴x+y≥2，当且仅当“x=y〞时，等号成立．≥0．例如：当x＞0时，求y=x++4的最小值．解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6．的最小值．〔1〕尝试：当x＞0时，求y=〔2〕问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算〔即：使〕？最少年平均费用为多少万用多少年的年平均费用最少，年平均费用=第3页〔共5页〕元？第4页〔共5页〕参考答案一、选择题1．D；2．C；3．B；4．D；5．C；6．C；7．A；8．D；9．B；10．D；二、填空题11．x1=，x2=1；12．﹣或1；13．3；14．6；15．x1=0，x2=2；16．x1=3，x2=﹣1；17．x1=0，x2=3；18．2；19．15；20．4；21．3或﹣3；22．﹣1或4 第5页〔共5页〕。
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解一、一元二次方程的解法一元二次方程是指一个未知数的平方最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有以下几种：1.因式分解法：对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。
2. 公式法：利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，计算出方程的根。
3.完全平方式：对一元二次方程进行配方处理，将其化为完全平方的形式，然后求解。
4.图像法：将方程的解与图像相结合，通过观察图像的交点来确定方程的解。
二、一元二次方程的应用1.抛物线问题：一元二次方程常用来描述抛物线的形状与运动轨迹。
在物理学、工程学等领域中，抛物线的特性与运动轨迹有很多应用。
2.几何问题：一元二次方程可以用来解决与几何问题相关的计算和推理。
如求解一个平面图形的面积、找到一个图形的对称轴等。
3.速度问题：一元二次方程可以用来描述具有变速度的运动过程。
在物理学和运动学中，可以通过一元二次方程来计算运动物体的速度、加速度等相关参数。
4.财务问题：一元二次方程可以用来解决与财务相关的问题，如计算利润、成本和销售量之间的关系等。
5.人口增长问题：一元二次方程可以用来描述人口增长的模型。
通过一元二次方程的解，可以预测人口增长的趋势和规律。
总结：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，掌握解一元二次方程的方法对于提高数学学习的能力和解决实际问题具有重要意义。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用数学知识解决问题。
北师大初中数学中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--巩固练习(提高)(推荐)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A ．abB ．a bC ．a b +D ．a b - 2．（2015•泰安模拟）方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为( ). A ．3 B ．－3 C ．13 D ．13- 4．如果关于x 的方程2313x m x m -=--有增根，则的值等于（） A. B. C. D. 35．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米6．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题7．（2015•平房区二模）方程﹣1=的解为 8．关于x 的一元二次方程2(1)10m x m x --+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．9．已知x 1=－1是方程052=-+mx x 的一个根，则m 的值为 ；方程的另一根x 2= .10．某市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意可列方程为_____ ___． 11．若关于ｘ的方程11-+x ax －１＝０有增根，则ａ的值为 . 12．当 k 的值是 时，方程 1-x x =x x x k --22 只有一个实数根.三、解答题13．（2015•宝应县校级模拟）解下列分式方程：（1）；（2）． 14. 若关于x 的方程 12-x k － xx x -2 ＝x kx 1+ 只有一个解，试求ｋ值与方程的解．15．某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2010年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以 后每年以相同的增长率投资，2012年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2010年到2012年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？16. 从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．题甲：若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、．（1）求实数k 的取值范围；（2）设t βα+=，求t 的最小值．DP 并延长，交AB 的延长线于点Q ．（1）若31=PC BP ，求AQ AB 的值； （2）若点P 为BC 边上的任意一点，求证1==BQ AB BP BC ． 我选做的是_______题．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】将－a 代入20x bx a ++=中，则a 2－ab+a=0，则a －b+1=0∴a－b=－1（恒为常数）. 2.【答案】C ；【解析】∵方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，∴（a+1）x+a+1=0，解得x=﹣1，当x=﹣1时，a=2，故选C ．3.【答案】B ； 【解析】121212113=31x x x x x x ++==--. 4.【答案】B ； 【解析】把方程两边都乘以若方程有增根，则x=3,即5+m=3,m=-2.5.【答案】A ；【解析】如图将路平移，设路宽为x 米，可列方程为：（30－x ）（20－x ）=551，解得：x=1或者x=49（舍去）.6.【答案】C ；【解析】由题意得方程有实数根，则分两种情况，当a －6=0时，a=6,此时x=34， 当a －6≠0时，△=b 2－4ac≥0，解得a≤263， 综合两种情况得整数a 的最大值是8.二、填空题7．【答案】x=； 【解析】方程的两边同乘2（3x ﹣1），得4﹣2（3x ﹣1）=3，解得x=．检验：把x=代入2（3x ﹣1）=1≠0．∴原方程的解为：x=．8．【答案】2m ≠且1m ≠；【解析】 △＞0且m-1≠0.9．【答案】m=－4；x 2=5；【解析】由题意得：05)1()1(2=-⨯-+-m 解得m=－4当m=－4时，方程为0542=--x x解得：x 1=－1 x 2=5所以方程的另一根x 2=5.10．【答案】272(1)56x -=；【解析】平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)11．【答案】－１；【解析】原方程可化为：（ａ－１）ｘ＝－２．∵分式方程有增根, ∴ ｘ=1把ｘ=1代入整式方程有ａ＝－１.12．【答案】 －１，０，３；【解析】原方程可化为：ｘ２＋２ｘ－ｋ＝０当⊿=２２＋４ｋ＝０，即ｋ＝－１时，ｘ１＝ｘ２＝－１当⊿=２２＋４ｋ＞０，即ｋ＞－１时，方程有两个不等实数根．由题意可知：① 当增根ｘ＝0时，代入二次方程有k ＝０，方程唯一解为ｘ＝－２；② 当增根ｘ＝１时，代入二次方程有k ＝３，方程唯一解为ｘ＝－３.所以ｋ＝－１，０，３.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）方程的两边同乘（x+1）（x ﹣1），得2﹣（x+1）=（x+1）（x ﹣1），解得x=﹣2或1．检验：把x=1代入（x+1）（x ﹣1）=0．x=1是原方程的增根，把x=﹣2代入（x+1）（x ﹣1）=3≠0．∴原方程的解为：x=﹣2．（2）方程的两边同乘x 2，得2（x+1）2+x （x+1）﹣6x 2=0，解得x=﹣或2．检验：把x=﹣代入x 2=≠0．把x=2代入x 2=4≠0．∴原方程的解为：x 1=﹣，x 2=2．14.【答案与解析】原方程可化为：ｋｘ２－（３ｋ－２）ｘ－１＝０当ｋ＝０时，原方程有唯一解 ｘ＝21 当ｋ≠０时,⊿=（3k －2）2＋4k=5k 2＋4（k －1）2 ＞０，知方程必有两个不等实数根．此时由题意可知：一元二次方程两根，一根是分式方程的根，另一根是分式方程的增根０或１． 当ｘ＝０时，不符合舍去；当ｘ＝１时，代入得ｋ＝21，分式方程的解是ｘ＝－２． 所以当ｋ＝０时，原方程有唯一解ｘ＝21；当ｋ＝21时，原方程有唯一解ｘ＝－２．15.【答案与解析】（1）设A 市投资“改水工程”年平均增长率是x ，则2600(1)1176x +=．解之，得0.4x =或 2.4x =-（不合题意，舍去）．所以，A 市投资“改水工程”年平均增长率为40%．（2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）．A 市三年共投资“改水工程”2616万元．16.【答案与解析】题甲：（1）∵一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、，∴0≥∆，即0)12(4)2(422≥---k k ，解得2-≤k ．（2）由根与系数的关系得：k k 24)]2(2[-=---=+βα， ∴2424-=-=+=kk k k t βα， ∵2-≤k ，∴0242<-≤-k， ∴2244-<-≤-k ， 即t 的最小值为－4．题乙：（1）四边形ABCD 为矩形，∵AB =CD ，AB ∥DC ，∴△DPC ∽△QPB ， ∴31==CP PB DC BQ ， ∴BQ DC 3=， 全品中考网 ∴4333=+=BQ BQ BQ BQ AB ． （2）证明：由△DPC ∽△QPB ， 得BPPC BQ DC =， ∴BPPC BQ AB =， 11=-+=-+=-BQ AB BP PC BQ AB BP PC BP BQ AB BP BC ．。
2021年九年级中考数学第二轮复习专题 一元二次方程和分式方程的解法及其应用
2021年九年级中考数学第二轮复习专题：【一元二次方程和分式方程的解法及其应用】 解答题1. 如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？2. 在“情系海啸”捐款活动中,某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计,得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的45. 信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.3. 当x 满足条件时，求出一元二次方程x 2-2x-4=0的根.4. 如图，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780. (1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．5. 某市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600 m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天.(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化;(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天?6. 一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？7. 某工程队修建一条长1200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？(2)在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？8. 某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完；商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，售价每台也上调了200元．(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元？(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？9. 某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．(1)这两次各购进这种衬衫多少件？(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？10. 已知关于x 的方程 2220x ax a b --+=，其中a 、b 为实数.（1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由；（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围.11. 已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．12. A 、B 两种型号的机器加工同一种零件，已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20个零件，A 型机器加工400个零件所用时间与B 型机器加工300个零件所用时间相同，求A 型机器每小时加工零件的个数．13. 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子．根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．14. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2019年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2012年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2019年到2021年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？15. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.16. 关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值.17. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2.(1)问4、5两月平均每月降价的百分率约是多少？(参考数据：0.9≈0.95)(2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．18. 甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？19. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？20. 根据要求，解答下列问题.(1)解下列方程(直接写出方程的解即可):①方程x 2-2x+1=0的解为 ;②方程x 2-3x+2=0的解为 ;③方程x 2-4x+3=0的解为 ;…(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想:①方程x 2-9x+8=0的解为 ;②关于x 的方程 的解为x 1=1，x 2=n.(3)请用配方法解方程x 2-9x+8=0，以验证猜想结论的正确性.21. 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．22. 从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．题甲：若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、．（1）求实数k 的取值范围；（2）设k t βα+=，求t 的最小值．题乙：如图（16），在矩形ABCD 中，P 是BC 边上一点，连结DP 并延长，交AB 的延长线于点Q ．（1）若31=PC BP ，求AQ AB 的值； （2）若点P 为BC 边上的任意一点，求证1==BQAB BP BC ．我选做的是_______题．23. 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．24. 莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润．25. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x 2－5x ＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 既为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？。
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中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）
【巩固练习】 一、选择题
1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A ．()216x +=
B ．()216
x -= C ．()229x += D ．()229x -=
2．关于x 的一元二次方程2
210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()
x x -的值是（ ） A ．1 B ．12
C ．13
D ．25
3．若关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1k >-
B ． 1k >-且0k ≠
C ．1k <
D ． 1k <且0k ≠
4．若关于x 的一元二次方程0235)1(2
2=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
5．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2
，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.
A ．2
13014000x x +-= B ．2
653500x x +-= C ．2
13014000x x --= D ．2
653500x x --=
6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．若ax 2
+bx+c=0是关于x 的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是____ ____． 8．如果方程ax 2
＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．
9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．
10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02
142=-+-m x x 有两个相等的实数根；
此时这两个实数根是 .
11．如果分式方程1+x x =1
+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1
-x m
= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .
三、解答题 13. （1）解方程：
x x x x 414341
2+-=---； （2）解方程：x x x x 22
1103
+++=.
14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分
钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.
15．关于x 的一元二次方程12
01x p x x 有两实数根=-+-、.2x （1）求p 的取值范围；
（2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.
16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地
（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？ （2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；
【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，
整理即可得到B 项是正确的.
2.【答案】C ；
【解析】∵22
127x x += ∴
221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.
原方程化为2
30x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=
3.【答案】B ；
【解析】由题意得方程有两个不相等的实数根，则△=b 2
－4ac>0，即4+4k>0.解得1k >-且0k ≠. 4.【答案】B ；
【解析】有题意2
320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.
5.【答案】B ；
【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2
653500+-=x x . 6.【答案】B ；
【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。
又已知乘车的时间为b 小时，故汽车的速度为/S av
B b
-千米小时，应选.
二、填空题 7．【答案】a>-2且a ≠0； 【解析】不可忘记a ≠0． 8．【答案】a ＜1且a ≠0； 【解析】△＞0且a ≠0. 9．【答案】100)1(1202=-x ；
【解析】平均降低率公式为(1)n
a x
b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后
的量.)
10．【答案】m=2
9；x 1=x 2=2．
【解析】由题意得，△=(－4)2
－4(m －2
1)=0
即16－4m+2=0，m=2
9．
当m=2
9时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=2．
11．【答案】-1；
【解析】原方程可化为：ｘ＝ ｍ．
∵ 原分式方程无解 ∴ｘ=－1，故代入一次方程有ｍ＝－１． 所以，当ｍ＝－１时，原分式方程无解. 12．【答案】当ｍ≤
4
1
且ｍ≠０时； 【解析】原方程可化为：ｍｘ２
－ｘ＋１＝０
当ｍ＝０时，得ｘ＝１，原分式方程无解，不符合题意舍去．
当ｍ≠０时, ⊿=１２
－４ｍ≥０，解之ｍ≤4
1 所以，当ｍ≤4
1
且ｍ≠０时，原分式方程有实数根．
三、解答题
13.【答案与解析】 （1）部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412
= ∴x ＝2
经检验：x ＝2是原分式方程的根.
（2）原方程可化为：
x x x x
22131
3++
+=+ ∴或x x x x 2231
3+=+=
解之得：，x x 12341132121
6
21,,=
-±=-±
1,23,412x x =
=-经检验：.
14.【答案与解析】
设这列火车的速度为x 千米/时 根据题意，得
方程两边都乘以12x ，得
解得 经检验，是原方程的根
答：这列火车原来的速度为75千米/时.
15.【答案与解析】
（1）由题意得：.0)1(4)1(2
≥---=∆p
解得：4
5≤
p
（2）由9)]1(2)][1(2[2211=-+-+x x x x 得，.9)2)(2(2
222
11=-+-+x x x x
.
1,1,01,01,
01,22221122
2121221-=--=-∴=-+-=-+-∴=-+-p x x p x x p x x p x x p x x x x 的两实数根是方程Θ
.9)1(,9)12)(12(2=+=-+-+∴p p p 即
.4,2-==∴p p 或 .4,4
5
-=∴≤
p p p 的值为所求Θ
说明：1．可利用,1,12121x x x x -==+得121x x -=代入原求值式中求解；
16.【答案与解析】
设AD=BC=xm ，则AB=（80－2x ）m （1）由题意得：x （80－2x ）=750 解得：x 1=15， x 2=25 ， 当x=15时，AD=BC=15m ，AB=50m
当x=25时，AD=BC=25m ，AB=30m
答：当平行于墙面的边长为50m ，斜边长为15m 时，矩形场地面积为750m 2
；或当平行于墙面的边长为30m ，邻边长为25m 时矩形场地面积为750m 2
. （2）由题意得：x （80－2x ）=810 △=40－4×405=1600－1620=－20＜0 ∴方程无解，即不能围成面积为810m 2
的矩形场地.。