流体力学_龙天渝_一元气体动力学原理

第九章 一元气体动力学基础

一、学习指导 1. 基本参数 （1） 状态方程

气体的压强p ，密度ρ以及温度（绝对）T 满足状态方程

p RT ρ=

式中，R 为气体常数，对于空气，287/()R J kg K =⋅。 （2） 绝热指数k

/p v k c c =

式中，c p 和c v 分别是等压比热和等容比热，他们与气体参数地关系为

1p k c R k =

-，1

1p c R k =-

（3） 焓和熵

焓h 的定义是

p

h e ρ=+

式中，e 是气体内能，v e c T =。h 可一表示为 p h c T =

熵的表达式为

ln

()

k

p

s cv c ρ=+常数

（4） 音速c

c =（5） 马赫数马赫数M 的定义是

u

M c =

式中，u 是气流速度；c 是音速。

2. 一元恒定流动的运动方程 （1） 气体一元定容流动

ρ=常数

22p

v g γ+=常数 （2） 气体一元等温流动

T =常数，p

RT c

ρ

==

2

ln 2v c p +=常量

2

ln 2v RT p +=常量

（3） 气体一元绝热流动

k p c

ρ= 2

12k p v k ρ⋅+-=常量

3. 滞止参数

气流在某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降低至零时，断面各参数所达到的值，称为气流在该断面的滞止参数。用p 0、ρ0、T 0、i 0、c 0表示滞止压强、滞止密度、滞止温度、滞止焓值、滞止音速。

0/T T ，0/p p ，0/ρρ，0/c c 与马赫数M 的函数关系：

2

0112T k M T -=+

1

1

200112k k

k k p T k M p T ---⎛⎫

⎛⎫==+ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

1

11

1

200112k k T k M T ρρ---⎛⎫⎛⎫==+ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

1

1

2

2

200112c T k M c T -⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

4. 气体一元恒定流动的连续性方程

2(1)dA dv M A v =-

（1） M<1为亚音速流动，v

（2） M>1为超音速流动，v>c ，因此dv 与dA 正负号相同，速度随断面面积增大而加快；随断面面积减小而减慢。 （3） M ＝1即气流速度与当地音速相等，此时称气体处于临界状态。气体达到临界状态的断面，称为临界断面。 二、难点分析

1. 绝热流动与等熵流动

绝热流动是流体与外界不发生热交换的流动；等熵流动是绝热，而且没有摩擦无能量损失的流动。

2. 滞止状态和临界状态

气体的滞止状态是速度为零的地方的热力学状态，常数用下标0

表示：p 0， T 0，ρ0。

滞止参数是描述可压缩流体流动的一个常数，在实际流动中可能出现，也可能不出现。滞止参数的物理意义是：如果用一根小管将某点的气流等熵的引至一个容器中，则容器内的压强、温度就是气流中该点的滞止压强p 0和滞止温度T 0 。

临界状态是指速度v 和当地音速c 相等的那点的热力学状态，参数用下标*表示：p *，T *，ρ* 。

临界参数的物理意义与滞止参数的物理意义类似。 三、习题详解

【1】 大气温度T 睡海拔高度z 变化的关系式是00.0065T T z =-，

0288T K =，一架飞机在10km 高空以时速900km/h 飞行，求其马赫数。

【解】410z m =，00.0065223T T z K =-=

299.33/c m s ==

v 0.8352v

M c =

=

【2】 过热水蒸气（k ＝1.33，R ＝462J/（kg •K ））在管道中作等熵流动，在截面1上的参数为：t 1=50℃，p 1=105Pa ，u 1=50m/s 。如果截面2上的速度为u 2=100m/s ，求该处的压强p 2 。 【解】

1862/()1p k

c R J k g K k =

=⋅-

22

21121()3212p

T T u u K c =+

-=

1

22110.9753

k k p T p T -⎛⎫== ⎪⎝⎭

，5

20.975310p Pa =⨯

【3】 过热水蒸气（k ＝1.33，R ＝462J/（kg •K ））的温度为430℃，压强为5×106Pa ，速度为525 m/s ，求水蒸气的滞止参数。 【解】

1862/()1p k

c R J k g K k =

=⋅-

2

02p p u c T c T =+

2

012p T T u

c =+

因为 (430237)703T K K =+=

所以 0770T K =

1

00 1.4970

k k p T p T -⎛⎫== ⎪⎝⎭

，6

07.484810p Pa =⨯

3

00

21.04/p kg m RT ρ=

=

【4】 过热水蒸气（k ＝1.33，R ＝462J/（kg •K ））的滞止参数为p 0＝5×106Pa ，T0＝600K ，测得气流某出的马赫数M ＝0.6，试求该处的速度u ，压强p 。

【解】 2

0111.0594

2T k M T -=+=，566.36T K =

1

000.7925

k k p T p T -⎛⎫== ⎪⎝⎭

，

5

00.7925 4.1210p p Pa ==⨯

u =因为

1862/()1p k

c R J kg K k =

=⋅-

所以 535.94/u m s =

【5】 毕托管测得静压为358502

N m （表面）总压与静压差为65.861kPa ，由气压计读得大气压为100.66kPa ，而空气流得滞止温度为27℃，分别按不可压缩与可压缩情况计算空气流得速度。

【解】 已知2

35850p N m =表压

总压－静压＝65.861kPa

100.66a p kPa = 027T =℃

()3330035850100.661065.86110202.37110p p p p p pa ==+-=+⨯+⨯=⨯总

p RT ρ= ()33

000202.37102.3528727327p k g m RT ρ⨯===⨯+

（1）不可压0 2.35ρρ==（密度不变，即开始流动得密度）

2002p p

v ρρ+=

236.75v m s

=== （2）可压缩（绝热）