第十七章多元函数微分学习题课

第十七章 多元函数微分学习题课一 疑难问题与注意事项1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义：1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+，0()lim0o ρρρ→=；2）00000[(,)(,)]lim0x y z f x y x f x y y ρρ→∆-∆+∆=；3）,y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα()()()(),0,0,0,0limlim 0x y x y αβ∆∆→∆∆→==．2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结：答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）：0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆，0000000(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆.2）转化为一元函数的导数：()0000,(,)x x xdf x y f x y dx ==，()000,(,)y y y df x y f x y dy ==.例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 ()()211,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx=====.3）先求偏导函数，在代值，即()000(,)(,),x x x y f x y f x y =，000(,)(,)(,)y y x y f x y f x y =.3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结：答 1）求z x ∂∂，把y 当常数，对x 求导，求z y∂∂，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出z x ∂∂，只要在zx∂∂把x 换成y ， y 换成x ，就得到z y∂∂. 3）类似一元函数的求导法则：()()f f xx ∂∂'=∂∂；()uv u v v u x x x∂∂∂=+∂∂∂；2u u v v u v x x x v ⎛⎫∂∂∂- ⎪⎝⎭∂∂=∂；21vv x x v ⎛⎫∂∂- ⎪⎝⎭∂=∂. 4）利用微分的形式不变性和微分四则运算法则先求出全微分，然后得到偏导数. 微分的形式不变性:设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===有连续偏导数，无论,u v 是中间变量还是自变量都有u v dz z du z dv =+，这个结论对于一元函数，三元等其它的多元函数也成立．微分四则运算法则：设以下所设函数都可微()()2,()(),(),(),()dff dd cu cd u d u v du dv u vdu udvd uv vdu udv d v v '==±=±-=+=.5）利用复合函数求导的链式法则.（1）设函数()u t ϕ=，()v t ψ=在点t 处可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数[(),()]z f t t ϕψ=在点t 处可导，并且有d d d d d d z z u z vt u t v t∂∂=+∂∂ 函数结构图是u tzv t从函数结构图中可以看到：一方面，从z 引出两个箭头指向中间变量u 、v ，表示z 是u 、v 的函数，同理u 和v 都是t 的函数；另一方面，由z 出发通过中间变量到达t 的链有两条，这表示z 对t 的导数是两项之和，而每条链由两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而得，例如z u t 表示d d z u u t ∂∂，z v t 表示d d z v v t∂∂，因此d d d d d d z z u z vt u t v t ∂∂=+∂∂．注意这里u 和v 都是t 的一元函数，u ，v 对t 的导数用记号d d u t ，d d vt表示，z 是u ，v 的二元函数，其对应的导数是偏导数，用记号z u ∂∂，zv ∂∂表示，函数经过复合之后，最终z是t 的一元函数，故z 对t 的导数用记号d d z t 表示，称d d zt为全导数，公式（1）称为全导数公式．（2）若(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=在点(,)x y 处都存在偏导数，(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处存在偏导数，且有z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ ． 函数结构图为xu zy xv y我们可以借助函数结构图，直接写出公式（3）和（4），例如z 到x 的链有两条，即zx∂∂为两项之和，z u x 表示z u u x ∂∂∂∂，z v x 表示z v v x ∂∂∂∂，因此z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂．（3）设函数()u x ϕ=在点x 处可导，(,)v x y ψ=在点(,)x y 处存在偏导数，而(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数[(),(,)]z f x x y ϕψ=在点(,)x y 处存在偏导数，且有d d z z u z vx u x v x∂∂∂∂=+∂∂∂∂，z z v y v y∂∂∂=∂∂∂． 函数结构图为 u x z x v y（4）设(,,)z f u x y =具有连续偏导数，而(,)u x y ϕ=具有偏导数，则复合函数[(,),,]z f x y x y ϕ=在点(,)x y 处存在偏导数，且有z f u f x u x x∂∂∂∂=+∂∂∂∂，z f u f y u y y∂∂∂∂=+∂∂∂∂． 函数结构图为 x u y z x x y y注：为了避免混淆，公式右端的z 换成了f ，要注意z x ∂∂和f x ∂∂是不同的，f x∂∂是把(,,)f u x y 中的u 及y 看成不变而对x 求偏导数，zx∂∂是把复合函数[(,),,]z f x y x y ϕ=中的y 看成不变而对x 求偏导数．注 复合函数求偏导数过程中必须搞清楚几点：1）搞清楚函数的复合关系．自变量是哪几个？中间变量是哪几个？正确的设置中间变量可以使函数的复合结构更加清晰，也可以画出函数的复合关系图，更加直观地表示复合关系．求复合函数的偏导数时可根据复合关系图运用“连线相乘，分线相加”的方法写出相应的公式，避免漏项．也就是在关系图中函数到达自变量的路线有几条，偏导数就由几项相加而成，而每一项有由一条路线中各连线的偏导数相乘得到．2）要注意若是偏导数用x ∂∂表示，若是一元函数的导数用d dx表示． 3）求复合函数的高阶偏导数，是按指定的顺序先求一阶偏导数再求二阶偏导数．但是要注意一阶偏导数仍然是以原自变量为自变量，以原中间变量为中间变量的复合函数．4）利用某个变换=x ),(),,(t s y t s ψφ=，将一个含有2222,,,,,yux u y u x u y x ∂∂∂∂∂∂∂∂等的微分式子（或方程）变换成含有2222,,,,,tus u t u s u t s ∂∂∂∂∂∂∂∂等的微分式子（或方程）一般只需根据变换，将新变量视为中间变量，原自变量仍为自变量，代入原式计算、整理、化简即可．4.如何证(,)z f x y =在()00,x y 可微？答：1）利用可微性定义，（尤其适用于证分段点的可微性） （1）先求偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y ； （2）求()(,0,0,,(,)(,)limx y f x x y y f x y f x y x f x y y∆∆→+∆+∆--∆-∆，若极限为0，则(,)z f x y =在()00,x y 可微，否则(,)z f x y =在()00,x y 不可微．2）证(,)z f x y =在()00,x y 的偏导数连续．（适用于初等函数不含分段点） 5.如何求函数(,)z f x y =的全微分?答：1）先求偏导数，再求全微分；2）利用微分的形式不变性和微分四则运算法则来做． 6.函数(,)f x y 连续，偏导数存在，可微有什么关系？答：函数(,)f x y 连续，偏导数存在，可微的关系可用下图表示：偏导数连续连续反例1）证明22221(sin ()(00)(,) 0 ()(00)x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩)，，，，，，，，在点(0,0)处可微，但在点(0,0)处偏导数不连续．证 200(0,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0()x x x f x f f x x x ∆→∆→+∆-==∆=∆∆， 由于函数关于自变量是对称的，则(0,0)0y f =．于是[(0,0)(0,0)]limx y z f x f y ρρ→∆-∆+∆22220(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]lim1[()()]sin[()()]lim x y f x y f f x f y x y x y ρρρρ→→+∆+∆--∆+∆=∆+∆∆+∆=221sinlim0ρρρρ→==，所以函数(,)f x y 在点(0,0)处可微．当(,)(0,0)x y ≠时，由22221(,)(sinf x y x y x y=++)有 222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y =-+++，222222(,)(0,0)(,)(0,0)121lim(,)lim 2sin cos x x y x y x f x y x x y x y x y →→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭， 当点(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，由于222(,)(0,0)0 011lim 2sinlim2sin 0x y x y x x x y x→→===+， 22222(,)(0,0)0 02121limcos lim cos x y x y x x y x y x x →→==++不存在，所以(,)(0,0)lim (,)x x y f x y →不存在，即(,)x f x y 在点(0,0)处不连续，同理(,)y f x y 在点(0,0)处也不连续．反例2 函数22()(00)() 0 ()(00)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，，，，，，，，在点(0,0)处偏导数存在，但不可微．证 点(0,0)是函数(,)f x y 的分界点，类似于一元函数，分段函数分界点处的偏导数 要用定义去求．0(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆， 又由于函数关于自变量x ，y 是对称的，故(0,0)0y f =．因为在点(0,0)处有(0,0)0x f =，(0,0)0y f =，所以3222[(0,0)(0,0)](0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)][()()]x y z f x f y f x y f f x f y x y x y ρ∆-∆+∆+∆+∆--∆+∆=∆∆=∆+∆，如果考虑点(,)x y ∆∆按照y x ∆=∆的方式趋向于点(0,0)，这时有233(,)(0,0)022322()limlim[()()]2()x y x y xx y x x y x ∆∆→∆→∆=∆∆∆∆==∞∆+∆∆，即0[(0,0)(0,0)]limx y z f x f y ρρ→∆-∆+∆不存在，则由可微性定义有(,)f x y 在点(0,0)处不可微．反例3 函数()(00)() 0 ()(00)x y f x y x y ≠==⎩，，，，，，，，在点(0,0)处偏导数存在且在点(0,0)处连续，但不可微．证 点(0,0)是函数(,)f x y 的分界点，类似于一元函数，分段函数分界点处的偏导数 要用定义去求．0(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆， 又由于函数关于自变量x ，y 是对称的，故(0,0)0y f =．()2(,)(0,0)(,)0cos sin lim (,)limlim 00,0x y x y r r f x y f r θθ→→→====即在点(0,0)处连续．因为在点(0,0)处有(0,0)0x f =，(0,0)0y f =，所以22[(0,0)(0,0)](0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]()()x y z f x f y f x y f f x f y x yx y ρ∆-∆+∆+∆+∆--∆+∆=∆∆=∆+∆，如果考虑点(,)x y ∆∆按照y x ∆=∆的方式趋向于点(0,0)，这时有()2222222(,)(0,0)0 lim lim ()()()()1x y x y k xk x x y kx y x k x k ∆∆→∆→∆=∆∆∆∆==∆+∆∆+∆+，因极限值与k 有关，因此 0[(0,0)(0,0)]limx y z f x f y ρρ→∆-∆+∆不存在，则由可微性定义有(,)f x y 在点(0,0)处不可微．反例4 二元函数22 ()(00)() 0 ()(00)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，，，，，，，，在点(0,0)处的偏导数存在，但不连续因而不可微．证 当点(,)x y 沿着直线ykx =趋于(0,0)时，有2222222(,)(0,0) 0 lim lim 1x y x y kxxy kx kx y x k x k →→===+++． 其值因k 而异，这与极限定义中当(,)P x y 以任何方式趋于000(,)P x y 时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数A 的要求相违背，因此当(,)(0,0)x y →时，22(,)xyf x y x y=+的极限不存在．则()f x y ，在点(0,0)处不连续． 注 当函数()f x y ，不连续，则()f x y ，不可微． 反例5函数(,)f x y =(0,0)处连续，但偏导数不存在．证 因为(,)f x y =2R 是一个区域，而2(0,0)R ∈，因此(,f x (0,0)处连续．但00(0,0)(0,0)(0,0)limlim x x x x f x f f xx ∆→∆→∆+∆-==∆∆不存在．由函数关于自变量的对称性知，(0,0)y f 也不存在．注 当偏导数不存在，显然不可微．7．证明()f x y ，在()00,x y 不可微的方法： 答 1）当偏导数有一个不存在，则函数不可微； 2）当函数()f x y ，不连续，则()f x y ，不可微； 3）()(,0,0,,(,)(,)limx y f x x y y f x y f x y x f x y y∆∆→+∆+∆--∆-∆或存在不为0．8．1）可微与方向导数有什么关系？ 2）连续与方向导数有什么关系？ 3）偏导数与方向导数有什么关系？答 1）可微是方向导数存在的充分条件不是必要条件；反例 二元函数(),f x y=()0,0处的两个偏导数不存在，当然不可微，但函数(),f x y ()0,0处沿任意射线l 的方向导数都存在.设在点()0,0处沿任意射线l 的方向余弦是()cos ,cos αβ，在射线l 上任取一点(),x y ()cos ,cos ραρβ=，其中ρ是点(),x y 到原点()0,0的距离.根据方向导数的定义，有()()00cos ,cos 0,0lim lim 1f f f l ρρραρβρρρ++→→-∂===∂，即在点()0,0处沿任意射线l 的方向导数都是1.2）连续不是方向导数存在的充分条件也不是必要条件.反例 设()21,0,0,y x x f x y ⎧<<-∞<<∞=⎨⎩，其余部分这个函数在原点不连续（当然也不可微），但在任何始于原点的任何射线上，都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上f 的函数值恒为零.于是由方向导数定义，在原点处沿任何方向l 都有()0,00fl∂=∂.反例 ()(00)() 0 ()(00)x y f x y x y ≠=⎪=⎩，，，，，，，，在点(0,0)处连续，但函数在此点沿任何方向的方向导数不存在.证 设在点()0,0处沿任意射线l 的方向余弦是()cos ,cos αβ，在射线l 上任取一点(),x y()cos ,cos ραρβ=，其中ρ是点(),x y 到原点()0,0的距离.根据方向导数的定义，有()()001sin cos ,cos 0,0lim lim f f fl ρρρραρβρρρ++→→-∂==∂不存在.3）当函数(,)f x y 在点000(,)P x y 沿任何方向的方向导数存在时，(,)f x y 在点000(,)P x y 的偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 不一定存在.例如二元函数(),f x y 在点()0,0处的两个偏导数不存在，当然不可微，但函数(),f x y ()0,0处沿任意射线l 的方向导数都存在.当函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在时，则函数(,)f x y 在点0P 处沿着x 轴正向，y 轴正向的方向导数都存在，且其值依次为00(,)x f x y ，00(,)y f x y ，函数(,)f x y 在点0P 处沿着x 轴负向，y 轴负向的方向导数也都存在，且其值依次为00(,)x f x y -，00(,)y f x y -．但函数在此点沿任何方向（除去x 轴，y 轴）的方向导数不一定存在.反例(),00,,1,x y x y f x y +==⎧=⎨⎩或其它点有()()0,00,01x y f f ==，但函数f 在此点沿任何方向（除去x 轴，y 轴）的方向导数不存在.反例()0,0,,1,0xy f x y xy =⎧=⎨≠⎩有()()0,00,00x y f f ==，但函数f 在此点沿任何方向（除去x 轴，y 轴）的方向导数不存在.9.混合偏导数2z x y ∂∂∂，2zy x∂∂∂一定相等吗？答 不一定，反例函数()22222222,0,, 0, 0.x y xy x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩它的一阶偏导数为（对分段点用偏导数定义，对其它点直接求偏导，对x 求偏导，把y 看作常数 0(0,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x∆→+∆-==∆，(0,0)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y∆→+∆-==∆，()()()422422222224,0,, 0, 0,x y x x y y x y f x y x y x y ⎧+-⎪+≠⎪=⎨+⎪+=⎪⎩ ()()()422422222224,0,, 0,0,y x x x y y x y f x y x y x y ⎧--⎪+≠⎪=⎨+⎪+=⎪⎩ 进而求f 在()0,0处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得()()(),1lim 0,0,0lim0,000-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆y yyf y f f y x x y xy ()()()1l i m 0,00,l i m0,000=∆∆=∆-∆=→∆→∆x xxf x f f x y y x yx ． 由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关. 注：若()()y x f y x f yx xy ,.,.和都在点连续，则()()0000,,y x f y x f yx xy =.10.若),(y x f z =在点),(000y x P 处满足0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，则点),(000y x P 为),(y x f z =的极值点对吗？反之，若),(000y x P 为),(y x f z =的极值点，则必有0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，对吗？答：不对，偏导数存在的函数的极值点必定是稳定点，但反过来，稳定点未必是极值点．如函数(,)h x y xy =，显然有(0,0)0x h =，(0,0)0y h =，即点(0,0)为稳定点，但点(0,0)却不是极值点．函数(,)f x y =在在点(0,0)处的偏导数不存在，即(0,0)点不是稳定点，但该函数在点(0,0)处有极小值．二 典型例题1.求下列函数在某一点的偏导数： 1）2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f ； 2）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)x y z u u u ；3）()0,0,1,0xy f x y xy =⎧=⎨≠⎩，求(0,0)x f ，(0,0)y f ．解 1）()211,1(1,1)2x x x df x dx f dx dx=====．2）先求偏导函数1z x z x u y y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12z y xz x u y y -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ln zz x xu y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此(1,1,1)1,(1,1,1)1,(1,1,1)0x y z u u u ==-=．3）0(0,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x∆→+∆-==∆，(0,0)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y∆→+∆-==∆，或用轮换性(0,0)0y f =．注 (),f x y 在点(0,0)不连续，不可微． 因为沿x 轴()0y =，有()00lim ,0x y f x y →==，沿直线y x =，有()()()(),0,00lim,lim ,1x y x y xf x y f x x →→===，即函数(),f x y 在点(0,0)不存在极限，从而不连续，于是(),f x y 在点(0,0)也不可微． 2.求偏导数．1）设(0,0)y x z x y x y =+>>，求z x ∂∂，zy∂∂； 2）设arctanxz y=，求z x ∂∂，z y ∂∂；3）设z =z x ∂∂，z y∂∂； 4）设22tz u v e =+，sin u t =，cos v t =，求d d z t； 5）设函数x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 可微，求z z x y x y ∂∂+∂∂； 6）设(,)yz f xy x=，其中f 具有连续偏导数，求z z y y∂∂∂∂，．解 1)1ln y x zyx y y x-∂=+∂（把y 看作常数，对x 求导）． 由轮换性，1ln x y zxy x x y-∂=+∂．2）利用()()f f xx∂∂'=∂∂， 22211z y y xx y x y ∂==∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，22221x zxy yx y x y -∂-==∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭．3）利用2u u v v u v x x x v⎛⎫∂∂∂- ⎪⎝⎭∂∂=∂，()33222z y xxy∂==∂+，利用轮换性有()33222zx yxy∂=∂+．4）函数的结构图为u tz v tt t 于是d d d dt d d d d z z u z v z t u t v t t t∂∂∂=++∂∂∂ 222cos 2(sin )1tuv t u v t e =⋅+⋅-+⋅332sin cos 2sin cos 1sin 4.2tt t t t t e t e =-+=+5）令xu y=，则()z f u =，其函数的结构图为 x z u y 于是22d 11()()d d ()()d z z u x f u f x u x y y yz z u x x x f u f y u y y y y ∂∂''===∂∂⎛⎫∂∂''==-=- ⎪∂∂⎝⎭，，()()0z z x x x xxy f f x y y y y y∂∂''+=-=∂∂． 6）引进中间变量，函数可看作如下的复合函数(,),z f u v =,y u xy v x==而由函数结构图xu zy xv y 可得2()u v z f u f v y f y f x x u x v x∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-∂∂∂∂∂，1u vf u f v z f x f u y v y ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂．为了避免引进中间变量的麻烦，通常用记号1f 表示对第一个中间变量的偏导数，即1u f f =，而用2f 表示对第二个中间变量的偏导数，即2v f f =，同样引用记号12uv f f =,2122,vu vv f f f f ==等等，引用这些记号，直接对未引进中间变量的函数),(xyxy f z =求偏导数，就有122()y z f y f x x ∂=⋅+-∂,121z f x f yx ∂=⋅+⋅∂．3.设(,)z f x y xy =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求z x ∂∂，2zx y∂∂∂．解 令u x y =+，v xy =，则(,)zf u v =，于是u v z f u f v f yf x u x v x∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂， 再求二阶偏导数时注意到u f 及v f 仍是u ，v 的函数，而u ，v 是x ，y 的函数，且函数结构图为x x u u u fy xv fy xv v y y 应用多元复合函数的求导法则得2() ()()()() ()()u v u v u v v u u vz z f yf x y y x yf yf f f y f y y y y u v f f f uy v y ∂∂∂∂⎛⎫==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭()()(1)()() .v v uu uv v vu vv uu uv vv v u v y f f uy v y f f x f y f f x f x y f xyf f ⎛⎫∂∂∂∂++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭=⋅+⋅+++⋅=++++ 这里因为f 具有二阶连续偏导数，故有uv vu f f =，因此可以合并()uv vu uv xf yf x y f +=+． 为方便起见，有时用自然数1，2的顺序分别表示函数(,)f u v 中的两个中间变量u ，v ，这样f u ∂∂，f v ∂∂，2f u v ∂∂∂，22f u ∂∂和22fv∂∂分别用1f ，2f ，12f ，11f 和22f 来表示，则有 12zf yf x∂=+∂， 212122()()()∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂z f yf f f y f x y y y y1112221221112222()().=++++=++++f xf f y f xf f x y f xyf f4.已知),(y x x f z =，其中f 对各变量具有一阶、二阶偏导数，求.,,22222yzy x z x z ∂∂∂∂∂∂∂解,)(,1222221f yxy x f y z f y f x z -=-⋅=∂∂+=∂∂ )1(2122f y f x xz +∂∂=∂∂11122122111()()f f f f y y y =+⋅++,111222211211f y f y f y f +++=,1223221222f y x f y f y x y x z ⋅-⋅-⋅-=∂∂∂.222422322f yx f y x y z +⋅=∂∂注 试讨论下面做法是否正确（1）2111221f y f xz +=∂∂上面把21,f f 看成仅仅是x 的函数，显然是错误的，因为21,f f 是1(,)xf x y ，2(,)x f x y． 求二阶偏导数时应该再用复合函数求导法则．（2）.12111222121122*********f yf y f f y f y f y f x f ++=+++=∂∂ 上式是错误的．因为只有在二阶混合偏导数连续的条件下，才可以交换次序． 5.设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2zx y∂∂∂． 解1221z y y yf f g x y x x ∂⎛⎫'=+- ⎪∂⎝⎭， 2111122212222223111z x x y y y f y xf f f xf f g g x y y y y y xx x x ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫'''=+--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由f 具有二阶连续偏导数，则1221=f f ，则2121122232311=z x y y y f f xyf f g g x y y y x x x x ∂⎛⎫⎛⎫'''-+--- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭． 6.已知2222220u u u u x y x y x y x y∂∂∂∂+++=∂∂∂∂，利用变换t s e y e x ==,化简原方程． 解 ts e y e x ==,即.ln ,ln y t x s ==把,s t 看作中间变量，,s t 是,x y 的函数，故,1su x x t t u x s s u x u ∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 1,u u s u t u y s y t y y t∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂ 22221111u u u u u s u t x x s x x s x s x s s x t s x ∂∂∂∂∂⎡∂∂∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211u u x s x s ∂∂=-+∂∂.11222222tux t u y y u ∂∂+∂∂-=∂∂ 代入所给方程，得.02222=∂∂+∂∂tus u7．设函数arctanxz y=， 1）求dz ，求z x ∂∂，z y∂∂． 2）()1,1dz ．3）求arctanx z y =在1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭的切平面与法线． 解 1）法1：根据()()dff d'=，得222221111x ydx xdy ydx xdydz d y y x y x x y y ⎛⎫--=== ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此22z y x x y ∂=∂+，22z xy x y ∂-=∂+． 法2：22211z y y xx y x y ∂==∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，22221xzxy yx yx y -∂-==∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，22ydx xdy dz x y -=+． 2）()1,112z x ∂=∂，()1,112zy ∂=-∂，()1,11122dz dx dy =-． 3）切平面()()1111422z x y π-=---，法线11411122z x y π---==--． 8．设(,,)u f x y t =，(,)x s t ϕ=，(,)y s t ψ=，利用全微分形式的不变性，求us∂∂，u t∂∂． 解 由全微分形式的不变性，有d d d d f f fu x y t x y t∂∂∂=++∂∂∂， 又因为d d d x s t s t ϕϕ∂∂=+∂∂，d d d y s t s tψψ∂∂=+∂∂， 所以d d d d d d +d d .f f f u s t s t t x s t y s t tf f f f f s t x s y s x t y t t ϕϕψψϕψϕψ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭从而+u f f s x s y s ϕψ∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂， u f f f t x t y t tϕψ∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂． 9.证明：若二元函数f 在点()00,x y 的某邻域()U P 的偏导数x f 与y f 有界，则f 在()U P 连续．证 因为0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆-010002(,)(,)x y f x x y y x f x y y y θθ=+∆+∆∆++∆∆又因为x f 与y f 有界，因此()(),0,0lim0x y z ∆∆→∆=，因此f 在()U P 连续．10．设二元函数f 在区域[][],,D a b c d =⨯上连续，若在int D 内有0x y f f =≡，则f 在D 上有何特性．解 因为()()()()()().,,,0000,0y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ又因为在int D 内有0x y f f =≡，则有()()0,0,f x y f x y ≡，即f 在D 上为常值函数． 11．求函数23u xy yz =+在点0(2,1,1)P -处的梯度及沿方向22-=+l i j k 的方向导数．解 因为2u y x ∂=∂，32uxy z y∂=+∂，23u yz z ∂=∂，于是(2,1,1)1u x -∂=∂，(2,1,1)3uy -∂=-∂，(2,1,1)3u z -∂=-∂， 所以(2,1,1)33u -=--grad i j k ．又因为22-=+li j k 的单位向量为0221333==+-l l i j k l ，所以 0(2,1,1)(2,1,1)2211(33)3333fu l--∂⎛⎫=⋅=--⋅+-=- ⎪∂⎝⎭grad l i j k i j k ．12．求函数2y z xe =在点0(1,0)P 处沿着从点0(1,0)P 到点(2,1)P -的方向的方向导数．解 这里方向l 即向量{}01,1P P=-的方向，因此l 的方向余弦为cos α==cos β== 又因为2y z e x ∂=∂，22y zxe y ∂=∂，于是(1,0)1z x ∂=∂，(1,0)2z y ∂=∂， 所以(1,0)(1,0)(1,0)cos cos 122z z z l x y αβ∂∂∂⎛=+=+⋅=- ∂∂∂⎝． 13．求函数33(,)3f x y xy x y =--的极值．解 先解方程组22(,)330(,)330x y f x y y x f x y x y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，，求得驻点为(0,0)和(1,1)．再求函数33(,)3f x y xy x y =--的二阶偏导数：(,)6xx f x y x =-，(,)3xy f x y =，(,)6yy f x y y =-，在点(0,0)处，0A =，3B =，0C =，290A BAC B B C∆==-=-<，所以，函数在点(0,0)处没有极值．在点(1,1)处，6A =-，3B =，6C =-，2270A BAC B B C∆==-=>，所以，函数在点(1,1)处有极值，且由60A =-<知，函数在点(1,1)处有极大值(1,1)1f =．14．求223(,)332f x y x y x =+-在区域22{(,)2}D x y x y =+≤上的最大值与最小值．解 解方程组2(,)660(,)60x y f x y x x f x y y ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，，得驻点(0,0)与(1,0)，两驻点在D 的内部，且(0,0)0f =，(1,0)1f =．下面求函数223(,)332f x y x y x =+-在边界222x y +=上的最大值与最小值．由方程222xy +=解出222(y x x =-≤≤，代入(,)f x y 可得3()62g x x =-，x ≤≤因为2()60g x x'=-≤，于是3()62g x x =-在⎡⎣上单调减少，所以()g x在x =0y =）处有最大值(6g =+()g x在x =0y =）处有最小值6g =-，即(,)f x y在边界上有最大值(6f =+最小值6f =-将(,)f x y 在D 内驻点处的函数值及边界上的最大值与最小值比较，得(,)f x y 在区域D上的最大值为(6f =+(0,0)0f =．。