方阵问题

方阵问题

日常生活中，我们经常见到把人或物排成正方形的形状，比如用花盆摆成正方形，同学们要参加运动会入场式，要进行队列操练，解放军排着整齐的方队接受检阅等，无论是训练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这一类的数学问题，在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。掌握这类问题的解题规律，可以提高我们的解题能力，培养思维的灵活性。今天我们将共同研究和分析这类问题。

士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，恰好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它中空方阵。

观察中实方阵，我们不难发现方阵的基本特点：

①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。

②去掉横竖各一排时，有且只有1个物体是同时属于被减去的一行和一列。

③如果把最外圈形成的正方形叫第一层，再向里一圈叫第二层的话，会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2，相邻两层相差总个数为8。

④每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系

四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4

每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1

⑤中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数

观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点：

中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－中空方阵的层数）×中空方阵的层数×4

下面我们就利用以上特点进行解题。

例1 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？

分析与解答：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：

（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。

（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示。因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1，或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1。

本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人）

或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人）

还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人）

或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人）

答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。

例2 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？

分析与解答：如图，最外一层每边摆6枚，根据方阵每行每列个数相等特点，因此一共有6×6＝36枚棋子。

最外一层每边有6枚，如果用6×4＝24枚，就认为是最外一层棋子数的答案的话，那就错了。因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次，这样的顶点一共有4个，需要把多数的减去，才能得到正确的结果。列式是6×4－4＝20枚。

说明：这道题还可以这样想：数每边棋子时，可以按上图先划分成4个相等的块，这样每边就有5枚了，因此用5×4＝20枚，也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同，至少还有两种方法，请同学们试一试。

例3 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？

分析与解答：要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有100人，用100÷4＝25人，每边是不是25人呢？不是的，因为平均分成4份后，还需要再加上1，才正好是每边上的人数，列式应该为100÷4＋1＝26人。因此方阵中一共有26×26＝676人。

答：一共有676人。

说明：这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时，不要认为和“知道了正方形周长，求边长”一样，还必须要加上1。

例4 若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？

分析与解：由于纵横两个方向各增加1人，因此不但将剩余12人摆上，而且还差9人，说明一横行与一竖行的人数总和是12＋9＝21人。

又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21人先加上被重复数过的1人，再除以2，也就得到每边人数。列式为（21＋1）÷2＝11人。求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为11×11＝121人，用121人减去差的9人就是原来人数，列式为121－9＝112人。也可以根据原来的方阵再加上12，请你试一试。

答：原有学生112人。

前四个例题涉及的都是实心方阵问题。下面我们来研究中空方阵问题。

例5 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？

分析与解答1：请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现，有如下特点：

（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2；

（2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。

最外层队员的总数：12×4－4＝44（人）

三层共有队员的总数：44+（44－8）+（44－8×2）

＝44+36+28＝108（人）

分析与解答2：如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数：

（12－3）×3＝9×3＝27（人）

三层共有队员数：27×4＝108（人）

答：彩车周围的少先队员共有108人。

这个问题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。

例6 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？

分析与解答1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，可知最外层共有棋子数：

（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（个）

最外层每边的棋子数：56÷4+1＝15（个）

分析与解答2：如例5的图，把棋子分成相等的四部分。

每一部分的棋子数：200÷4＝50（个）

每一部分每排的棋子数：50÷5＝10（个）

最外层每边的棋子数：10＋5＝15（个）

综合列式为：200÷4÷5＋5＝15（个）

答：最外边一层每边有15枚棋子。