数理统计教程课后重要答案习题

第一章:统计量及其分布

19.设母体ξ服从正态分布N

(),,2

σμξ

和2

n S 分别为子样均值和子样方差,又设

()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量

1

1

1+--+n n S n

n ξ

ξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫

⎝⎛+21,

0σn n N 分布. 所以

()1,0~12

1N n

n n σξ

ξ+-+ 而

()1~22

2

-n nS n

χσ

且2

n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以

()1~1111--÷+--+n t S n n n n S n

n

n σ

ξ

ξ分布. 即

1

1

1+--+n n S n

n ε

ε服从()1-n t 分布. 20.

(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布

N

()

ρσσ

μμ2

2212

1

,,,的子样,设

()∑∑∑===-===n i i i n

i n i i n S n n 12

111,

1,1ξξηηξξξ

2

,()2

1

21∑=-=n i i n S ηηη和 ()()

()

()∑∑∑===----=

n

i i n

i i

i n

i i

r 1

2

21

1

ηηξξ

ηηξξ

试求统计量

()

122

2

21--+---n S rS S S η

ξηξμμηξ的分布.

解: 由于()

.21μμηξ-=-E ()()

=

-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D n

n n

n

2

12

22

12σσρ

σσ-+

.

所以

()()

n 2

12

22

121

2σρσσσμμ

ηξ-+---服从()1,0N 分布 .

()

()()()()

()()[]

2

1

1

2

1

2

1

212

22

122ηξηξ

ηηξξηηξξ---=----+-=-+∑

∑∑∑====i i

n

i i i n

i i n

i i n

i S rS S S n

i i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 22

2-+与ηξ-相互独立.

(

)()1~222

2

12

2212

2--+-+n S rS S S n χ

σρσσση

ξηξ, 所以 统计量

()

122

2

21--+---n S rS S S η

ξηξμμηξ()()

(

)

()

1)2(22212

22

12

22

12

22121

--+-+-+---=

n S rS S S n n

σρσσσσρσσσμμ

ηξη

ξηξ服从()1-n t 分布.

第二章：估计量

1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.

解: p E =ξ ξ=∴p

ˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数

()()⎪⎩

⎪⎨⎧<<-=其它,00,2

;2a

x x a a a x f 中参数a 的矩法估计

3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩

⎪⎨⎧<<-=其它,00,2

;2a

x x a a a x f 中参数a 的矩法估计

量. 解: ()322

a

dx x a a

x E a

=-=

⎰

ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a

中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()

()

∏∏==

+=+=

n

i i n

i n

n

i x x L 1

11α

α

ααα ()i i x ∀<<1

∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα

令()0ln 1ln 1

=++=∂∂∑=i n

i x n

L ααα， 得 ∑=--=n

i i

L x

n

1

ln 1ˆα

。