条件概率定义
条件概率全概公式
例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所
有可能结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素，它们的出现是
等可能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到：
P(A B)116P(AB ) 3 36 P(B)
A与B , A 与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
着红色，故 同理可知
PA 1
2
PBPC1
其 中 P ( F G ) 1 - P ( F ) P ( G ) 0 .9 3 7 5
代入得
P(W)0.782
二 、全概率公式 贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算 比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公 式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
95 94 5 0.046 100 99 98
3、 事件的相互独立性 对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的
问题中事件B发生的概率与事件A发生的条 件下事件B发生的概率是相等的，即
PB|APB,
相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从 而
P ( A B ) P ( A ) P ( B |A ) P ( A ) P ( B )
2
P A B P A C P B C 1 P AB 1C
概率的条件与独立总结
概率的条件与独立总结概率论是数学的一个重要分支，主要研究随机事件的发生规律以及计算其可能性大小。
在概率论中，条件概率与独立事件是两个基本的概念。
本文将从这两个角度出发，对条件概率与独立事件进行总结和讨论。
一、条件概率的概念与计算方法条件概率是指在给定某一条件下，事件发生的概率。
设A、B为两个事件，且P(B)≠0 ，则在事件B发生的条件下，事件A发生的概率记为P(A|B)。
计算条件概率的方法如下：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、条件概率的性质条件概率具有一些重要的性质。
首先，当两事件A、B相互独立时，条件概率P(A|B)与事件A的概率P(A)是相等的，即P(A|B) = P(A)。
其次，条件概率满足乘法公式，即 P(AB) = P(A|B) * P(B)。
最后，根据全概率公式，我们可以得到P(A) = P(AB1) + P(AB2) + ... + P(ABn)，其中B1、B2、...、Bn为一系列互不相容的事件，并且它们的并集为全集。
三、独立事件的概念与判定方法独立事件是指两个事件相互之间不受对方发生与否的影响。
设A、B为两个事件，如果P(A|B) = P(A)，则事件A与事件B相互独立。
同时，根据乘法公式可以得到P(AB) = P(A) * P(B)。
根据这个公式，我们可以判断两个事件是否独立。
四、条件概率与独立事件的关系条件概率与独立事件之间有密切的关系。
如果事件A与事件B是独立的，那么条件概率P(A|B)与事件A的概率P(A)相等。
反过来，如果条件概率P(A|B)与事件A的概率P(A)相等，那么可以推导出事件A与事件B是独立的。
五、实际应用与案例分析概率论中的条件概率与独立事件在实际生活中有广泛的应用。
例如，考虑一个学生复习某门课程的情况。
如果我们已知该学生复习了课本，并且能够独立地完成每个练习题的概率为0.8，那么考试中该学生能够得到好成绩的概率是多少？根据条件概率的定义，我们可以计算出该概率为 P(好成绩|复习) = 0.8 * P(好成绩)。
名词解释条件概率的概念
名词解释条件概率的概念
条件概率是统计学家研究随机事件的必修课，也是概率统计的核心内容。
条件概率定义为考虑已经发生某种事件后，其他事件发生的概率。
它实际上就是一个简单条件下，某种情况发生的可能性。
一般来说，条件概率表达在形式上就是：条件概率 P (A | B) = P (A 交 B)/P (B)，其中P (A)表示事件A发生的概率，P (B)表示事件B发生的概率，而P (A 交 B)则是表示A与B同
时发生的概率。
也就是说，它表示在知道已经发生第一个事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率，最常用在概率分布中，多用来计算相关事件发生概率：也即一个给定的事件A，再加上一个直接说明事件A发生的前提条件B，按照该条件概率可以求出事件A发生的概率，也可以对另一个事件（D）比较事件A发生的概率及事件 D发生的概率。
相当于是让前提条件B作为研究被检验的指标，以此来研究和判断事件A与事件D发生的可能性。
也就是说，条件概率在研究中主要是来描述一个给定的前提条件后，其他事件可能发生的情况及概率，来考察研究中的特定结论发生的可能性。
常常使用这样的表达：知道已经发生的条件B，事件A的发生概率为P (A | B)。
它可以以较精确的方式描绘出某种事件的发
生概率，是描述随机事件的重要工具之一。
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
条件概率
§1.4 条件概率本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。
一、条件概率的定义条件概率要涉及两个事件A 与B ，在事件B 已经发生的条件下，事件A 再发生的概率称为条件概率，记为P (A |B )。
它与前面所讲的无条件概率是两个完全不同的概念。
例1.5.1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场提供矿泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体情况如下：A ：“选出的阀门来自厂1”，B ：“选出的阀门有缺陷” 则P (A )=15/25，P (B )=7/25，P (AB )=5/25。
那么P (A |B )=5/7=57/2525=()()P AB P B ； P (B |A )=5/15=1/3=515/2525=()()P AB P A 。
解释：按厂家和有无缺陷做树状图，很容易求得P (B |A )和P (A |B )。
例 1.4.1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间是{,,,}bb bg gb gg Ω=，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 代表大的是男孩小的是女孩，依次类推……。
讨论：A =“家中至少有一个女孩”， B =“家中至少有一个男孩” 计算：(),()P A P B(|),(|)P A B P B A定义1.4.1 设A ，B 是样本空间Ω中的两事件，若()0P B >，则称()(|)()P AB P A B P B = 为“在B 发生下A 的条件概率”，简称条件概率。
例1.4.2 设某样本空间Ω含有25个等可能的样本点，事件A 含有15个样本点，事件B 含有7个样本点，交事件AB 含有5个样本点计算：(),()P A P B ，()P AB(|),(|)P A B P B A概率的有关性质对条件概率是否成立？ 如：(|)1(|)P A B P A B =-当12,A A 互不相容时，1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ 实际上都是成立的。
条件概率讲义
P( Ai )P(B｜Ai )
n
P( Ai )P(B｜Ai )
j 1
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为 原因的先验概率和后验概率.
P(A贝i)(叶i=斯1,2公,…式,n从)是数在量没上有刻进划一了步这信种息变（化不。 知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸 事件发生可能性大小的认识.
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
分析：事件B已经发生，因此，这时试验的所
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素，它们的出现是等可能 的，其中只有1个在A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到，这里
P(A|B) 1 1 6 P( AB) . 3 3 6 P(B)
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出
例2: 对以往数据分析结果表明，当机器调整得 良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生 某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器 开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已 知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整 良好的概率是多少？ 解: 设A：“产品合格”，B：“机器调整良好”， 则P(A|B)=0.9，P(A| B )=0.3,P（B）=0.75，
当有了新的信息（知道B发生），人们对诸 事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.
例3: 假定用甲胎蛋白法诊断肝癌，P（A|B1） =0.99,P（A|B2）=0.05，其中B1表示“被检 验者患有肝癌”， B2=B1, A 表示“被检 验者试验反应为阳性”。据调查某地区居民
条件概率
Probabilit
条件概率的性质
Probabilit
例 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25 岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率.
解 ：设A表示“活到20岁以上”的事件，B表示“活
Probabilit
到25
P（A）=0.7,P(B)=0.56，且B A.
P( A | B)
4 P( AB) 10
Probabilit
4 5
4 4 10 P( AB) P( A | B) 5 5 P( B) 10
B
AB A
条件概率的定义
定义1.4.1 设（Ω，F ，Ｐ）为一概率空间， Ａ∈ F ，Ｂ∈ F ，且Ｐ（B）＞０，在“已 知事件Ｂ 已经发生”的条件下，“事件 Ａ 发生”的条件概率Ｐ(A|B)定义为:
Probabilit
Probabilit
4、 根据以往的临床记录，某种诊断癌 症的试验具有如下的效果：若以A表示事 件“试验反应为阳性”，以C表示事件” 被诊断者患有癌症”，则有P（A|C） =0.95，P( A | C ) 0.95 ．现在对自然人群 进行普查，设被试验的人患有癌症的概率 为0.005。即P(C)＝0.005。试求P(C|A)
Probabilit
Probabilit
4
四、贝叶斯公式
全概率公式的逆问题 设在进行随机试验中该事件B已发生，问 在这条件下，各原因发生的条件概率是多 少？
Probabilit
A1 A2
A3
B A4 A7
A5 A6 A8
四、贝叶斯公式
Probabilit
1.3 条件概率、全概率公式
• 例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的实 验具有如下效果：被诊断者有癌症，实验反应 为阳性的概率为0.95，被诊断者没有癌症，实 验反应为阴性的概率为0.98，现对自然人群进 行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为 0.005，求：已知实验反应为阳性，该被诊断者 确有癌症的概率。
P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P( A | B) P( AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
“条件概率”是“概率”吗？
条件概率符合概率定义中的三个条件 对概率所证明的一些结果都是用） 设A、B ，P(A)>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A).
推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
• 例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品， 采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽1台，求 第三次抽到合格品的概率。
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能
结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素,它们的出现是等
可能的,其中只有1个在集A中. 于是
定理1.3 贝叶斯公式
设事件A1, A2 ,..., An是的一个划分，B是任意一个事件
且P(B)>0, P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则有
条件概率的定义_
知识点名称：条件概率的定义 主讲人：杨宇明
一. 条件概率
例: 抛掷两个均匀的骰子，已知其点数和大于7， 求掷出点数和11的概率。
已知事件B发生的条件下，事件A发生的可能 性的客观度量称为条件概率，记为P(A|B)。
例1 某种产品100件，其中有5件是不合格品，而 5件不合格品中又有3件是次品，2件是废品，现 任意在100件产品中抽取一件，已知抽到的是不 合格品，求：它是废品的概率．
由于 AB=B，P(A)=0.2，P(AB)=P(B)=0.15
所以 P(B | A) P( AB) 0.15 0.75 P( A) 0.2
P(B | A) CC73C133120 39
计算是把A当成样本空间来算的。
例3 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在20年 内发生特大洪水的概率为80％，在30年内发生特大洪 水的概率为85％，该地区现己无特大洪水20年了，在 未来10年内也不会发生特大洪水的概率是多少?
解: 令A＝{该地区从某次特大洪水发生后20年内无特 大洪水}, B＝{该地区从某次特大洪水发生后30年内 无特大洪水)，则所求的概率为P(B|A)
P Ai B P Ai B
i1
i1
条件概率也是概率，概率的其它性质也满足 例：
P(B1 B2 | A) P(B1 | A) P(B2 | A) P(B1B2 | A) P(B | A) P(B | A) 1,
注： p( B | A) + p( B | A) 一般不再等于1
注意：
条件概率P(A|B) 与无条件概率 P(A) 之间没有 确定的大小关系。
对条件概率P(A|B)的理解： •Ω 上的条件概率 •Ω1上的概率（ Ω1=Ω∩B ）
注意：学会判断问题是否涉及条件概率。
条件概率及全概率公式
求解如下: 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3
则 B=A1B+A2B+A3B
由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+ P(A3)P(B |A3)
依题意，
P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1
为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 可求得:
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
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例1 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的. 其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占 20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为 90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机 抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大?
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素，它们的出现是等 可能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
又如，10件产品中有7件正品，3件次品， 7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这 10件中任取一件，记
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多 少解? : 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1: P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
PAnB PAn PB An
条件概率
0.25
3
0.04
0.25
(1)设这家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且
无区别的标记，在仓库中随机地取一只晶体管，
求它是次品的概率,(2)在仓库中随机地取－只元 件,若巳知取到的是次品,问它来自哪个厂的可能 性最大?
例9 根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验 具有以下的效果:若以A表示事件“试验反应为 阳性”,以C表示事件“被ห้องสมุดไป่ตู้断者患有癌症”,则 有:
n
P( A) P(Bi )P( A | Bi ) i 1
上式称为全概率公式
证明： 因为B1,…Bn为Ω的一个划分
n
n
所以 A A S A ( Bi ) ABi
i 1
i 1
且 AB1, AB2 , , ABn 互不相容
故由概率的有限可加性和乘法公式得
n
P( A) P( ABi )
P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件B发生的条件下，事件A的条 件概率.
条件概率的性质
设B是一事件，且P(B)>0，则P(.|B)满足概率的 三条公理，即
(1). 非负性：对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
(2). 规范性： P (Ω | B) =1 ；
(3). 可列可加性：设 A1,…,An…互不相容，则
n
P( A) P(Bi )P( A | Bi )
i 1
—— 将复杂事件A分解成若干互不相容的较简 单事件之和，然后求相应的概率.
—— 做题时，注意将复杂事件表述出来，再来 寻找导致该事件发生的各种可能的原因（或途
径，或前提条件），由此找到Ω的划分。
请思考以下问题： 条件概率P(A|B)与P(A)的区别 条件概率P(A|B)与P(A)数值的大小关系 有没有P(A)=P(A |B)的情形，若有请举出例子
条件概率
§ 1.4 条件概率一、条件概率条件概率的直观定义：设有事件A ，B ，P （A ）>0，在事件A 发生的条件下，B 发生的概率称为条件概率。
记为P （B|A ）条件概率的性质i i j i i i 1i 11P(|A)12P(|)13i=12,i j,P(|)P(|)B S A B B A B A φ∞∞==≤≤=≠=∑（） 非负性：0；（） 规范性： =；（） 可列可加性；若B ，，，....，且B 则有；以上是三条基本性质，象前面一般概率一样也可推出以下性质：(1)P(|)0A φ=i i j nn i i i 1i 1i=12,i j,P(|)P(|)B B A B A φ===≠=∑（2）有限可加性；若B ，，，....，且B 则有；(3)P(|A)1P(|)()B B A =-重要公式(4)A B P{(B-A)|C}P(B|C)P(A|C)⊂=-（减法公式）若，则(5)P{(A+B)|C}P(A|C)P(B|C)P(AB|C)=+-（一般加法公式）n ni i i j i=1i 11i j n n 1i j k 12n 1i j k n (6)(P(A |B)P(A |B)P(A A |B)P(A A A |B)...........(1)P(A A .......A |B)=≤<≤-≤<<≤=-+-+-∑∑∑∑多除少补原理）二、 乘法公式将条件概率公式 P (A B )P (A |B )P (B )= 改写 P(AB)P(B)P(A|B)=称为乘法公式 利用结合律推出多个事件的乘法公式：三个事件积的乘法公式 123P (A A A )12312P (A A )P (A |A A )= 312=P()P()P(A |A A )１２１ＡＡ｜Ａn 个事件积的乘法公式123n 1213123123n 123n-1P(A A A .........A )(A )(A |A )(A |A A )(A |A A A )......(A |A A A .........A )P P P P P =⋅三、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。
概率论 第四节条件概率 全概率公式
乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示“取到的产品为正
B1, B2品, B”3 分，别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知 P(B1 ) 0.2, P(B2 ) 0.3, P(B3 ) 0.5
P( A B1 ) 0.95, P( A B2 ) 0.9, P( A B3 ) 0.8
当有了新的信息（知道B发生），人们对
诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。 由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、 0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混 合在一起。
（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、
我们也称A ，B，C 是相互独立的事件。 定理 若事件A与B是相互独立的，则
A与B ,A与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
冒病毒是相互独立的，则所求概率为
P1500 Ai 1 PA1A2 A1500
i1
1 PA1PA2 PA1 1 1 0.002 1500 1 e1500 ln 10.002
1 e15000.002 1 e3 0.95
从这个例子可见，虽然每个带有感冒病 毒的可能性很小，但许多聚集在一起时空气 中含有感冒病毒的概率可能会很大，这种现 象称为小概率事件的效应。卫生常识中,不让 婴儿到人多的公共场所去就是这个道理。
条件概率乘法公式
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行 的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在 该试验条件下事件A发生的可能性大小.
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加 “B发生”这个条件时A发生的可能性大小， 即P(A|B)仍是概率.
设B={零件是乙厂生产}
300个 300个
乙厂生产
A={是标准件} 所求为P(AB).
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
设B={零件是乙厂生产} 300个
A={是标准件} 所求为P(AB) .
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
监狱看守通知三个囚犯, 在他们中要随机 地选出一个处决 , 而把另外两个释放. 囚犯 甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁 将获得自由.
丙 乙 甲
因为我已经知道他们两人中 至少有一人要获得自由，所 以你泄露这点消息是无妨的.
NO！
如果你知道了你的同伙中谁将获释， 那么，你自己被处决的概率就由 1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的 两个囚犯中的一个了.
(5) 可列可加性 :设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件,则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P ( AB) P ( A | B) , P(B)>0 P ( B) 掷骰子 2)从加入条件后改变了的情况去算
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
名词解释-条件概率：
名词解释-条件概率：
条件概率是概率论中的一个重要概念，它不单独表示一种事件发生的概率，而是一种与前一个发生的事件有关的概率。
因此，它被称为"条件概率"。
在定义上来讲，条件概率是事件A在事件B发生的条件下发生的概率，即P （A|B）。
这里A和B是事件，P（A|B）表示在B已经发生的条件之下，A发生的概率。
它比普通的概率更加精细，应用场景也更加广泛。
它不仅可以表示单一事件的发生概率，而且可以表示多个事件对自身发生可能性的影响。
条件概率的概念可以用于多种行业实际的应用，特别是在投资、保险、预测、统计和决策等领域。
例如，投资者可以根据股市的走势和市场波动等因素，分析股票的条件概率，作出最佳的买入和卖出决策；保险公司根据历史赔偿统计数据，计算未来不同的风险的条件概率，制定出恰当的赔偿方案等等。
条件概率是概率论中最常用的一种概念，它既可以表示单一事件发生的概率，又可以表示多个事件发生的概率及其之间的关系。
它能够更精细地测量不同行业内因素之间的关系，从而为业务决策提供更加科学而有效的分析支持，为公司节省更多财力，实现经济效益的最优化。
条件概率和贝叶斯公式的区别
条件概率和贝叶斯公式的区别1. 什么是条件概率说到条件概率，咱们先来个小故事。
想象一下，你跟朋友约好去参加一个派对。
可是，派对的地点可不是随便的地方，而是朋友家。
于是，你心里就想着：“如果我知道朋友已经到了，那我去的可能性是不是就更大了呢？”这就是条件概率的雏形。
1.1 条件概率的定义简单来说，条件概率就是在某个条件下，发生某件事情的概率。
换句话说，就是你知道了一些信息后，对其他事件的看法会有变化。
比如说，如果你知道派对上有你喜欢的音乐，那么你去的几率就大幅提高了，对吧？这里的“有你喜欢的音乐”就是一个条件，而“你去派对”就是事件。
条件概率就像是你在做决定前多了一层过滤，帮你更好地理解事物之间的关系。
1.2 实际应用生活中，条件概率无处不在。
比如天气预报，假如你看到明天的天气是阴天，那你带伞的几率就增加了。
这样的例子多了去了，咱们每天都在用，只是可能没意识到罢了。
换句话说，条件概率就像是你掌握的秘密武器，让你在复杂的情况下做出更明智的选择。
2. 贝叶斯公式的魅力接下来，咱们聊聊贝叶斯公式。
听到这个名字，有人可能会皱眉头，心想：“这是什么高深的东西？”其实，它并不难。
贝叶斯公式就像是一种超能力，能让你根据已有的信息，推断出新的结果。
就像侦探片里的福尔摩斯，根据一些线索推理出真相。
2.1 贝叶斯公式的基本思路贝叶斯公式的核心就是更新你的信念。
举个例子，如果你一开始觉得明天下雨的可能性很大，突然看到了一条消息说“明天天气会好”，那么你就得重新评估一下，明天下雨的可能性是不是降低了。
这种“更新”的过程，就是贝叶斯公式的精髓所在。
公式看起来可能有点复杂，但实际运用时，咱们就要关注这个变化的过程，记住，不断调整自己的看法，才是关键。
2.2 实际应用在很多领域，贝叶斯公式都是不可或缺的，比如医学、金融、甚至游戏设计。
医生在诊断病人时，会根据病人的症状、历史病历等信息，不断调整对病情的判断。
这就好比你在玩一款解谜游戏，通过每一步的线索，不断修正自己的思路，最终找到答案。
名词解释-条件概率
名词解释-条件概率
条件概率是指在一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
具体而言，如果事件A和事件B有关联，并且我们已知事件A已经发生，那么事件B发生的概率就是条件概率，通常表示为P(B|A)。
在数学上，条件概率的定义式为：
P(B|A) = P(A and B) / P(A)
其中，P(A and B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
条件概率在统计学和概率论中有着重要的应用。
例如，在医学研究中，我们可能会研究某个疾病发生的条件概率，即在某些特定条件下，某个疾病发生的概率。
或者在市场营销中，我们可能会考虑在某个产品已经销售的情况下，客户对该产品的满意度。
另外，条件概率也可以用于预测模型的评估中。
例如，如果我们想要评估一个模型的预测准确度，我们可以使用条件概率来计算在给定实际值和模型预测值的情况下，模型预测正确的概率。
总之，条件概率是一种在概率论和统计学中广泛应用的概念，它可以帮助我们更好地理解和评估事件发生的风险和可能性。
条件概率否定
条件概率否定摘要：一、条件概率的定义与性质1.条件概率的概念2.条件概率的性质二、条件概率的否定1.条件概率的否定定义2.条件概率否定公式三、条件概率否定的应用1.在概率论中的应用2.在实际生活中的应用正文：条件概率否定是概率论中的一个重要概念，它涉及到条件概率的性质以及其在实际问题中的应用。
首先，我们需要了解条件概率的定义与性质。
条件概率是指在一定条件下，某一事件发生的概率。
具体来说，如果事件A 和事件B 是两个互斥事件，那么在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率就称为条件概率。
用符号表示为：P(B|A)。
条件概率具有以下几个性质：1.非负性：P(B|A) ≥ 0，即条件概率的值非负。
2.规范性：P(B|A) = 0，当且仅当A 和B 是互斥事件。
3.乘法公式：P(A∩B) =P(A) × P(B|A)，其中A 和B 是两个独立事件。
在了解了条件概率的性质之后，我们进一步探讨条件概率的否定。
条件概率的否定是指在一定条件下，某一事件不发生的概率。
用符号表示为：P(B|A)。
根据条件概率的否定定义，我们可以得到条件概率否定公式：P(B|A) = 1 - P(B|A)最后，我们来看一下条件概率否定在概率论和实际生活中的应用。
在概率论中，条件概率否定可以用来计算某一事件在给定条件下不发生的概率，从而帮助我们更好地理解事件的相互关系。
在实际生活中，条件概率否定在诸如医学、金融、保险等领域具有广泛的应用，例如在疾病诊断、投资决策和风险管理等方面。
总之，条件概率否定是概率论中的一个重要概念，它涉及到条件概率的性质以及其在实际问题中的应用。
条件概率函数
条件概率函数条件概率函数是一种特殊的概率函数，它可以用来描述两个或多个随机变量之间的概率关系。
它是一种特殊的函数，可以表示一组条件下某件事情发生的概率。
它具有两个参数，即条件和一个无条件变量。
在一般条件下，条件概率函数的定义如下：设X、Y是两个随机变量，则它们之间的条件概率函数为P(X/Y)，它表示在Y取一定值的情况下，X取某个值的概率。
条件概率函数的性质1、Y的取值范围是无穷的时，条件概率函数P(X/Y)可以表示X 的联合分布，它对Y的整个取值范围求和得到1，即：$∑_y P(X|Y=y)=1$2、设X、Y是两个独立的随机变量，则：$P(X|Y=y)=P(X)$3、设X、Y是两个确定关系的随机变量，它们之间的条件概率函数表示的是X的条件分布，当Y的取值范围有限的时候，条件概率函数的和是不等于1的，即：$∑_y P(X|Y=y)≠1$条件概率函数的实际应用条件概率函数在实际应用中应用非常广泛，它可以用来解决实际问题。
它可以用来表示多个随机变量之间的关系，从而用于提出解决实际问题方案。
例如，在机器学习中，条件概率函数可以用来确定特征向量与类别之间的关系，从而用于分类任务。
此外，在推荐系统的实际应用中，条件概率函数可用于估计物品的关系，从而实现用户的推荐。
条件概率函数的理论研究条件概率函数的理论研究也在迅速发展。
它的研究主要集中在条件概率函数的统计性质和模型学习等方面。
在模型学习领域，研究者提出了各种模型学习算法，如最大似然估计算法、最小二乘法等，以更好地模拟条件概率函数，并更加准确地预测结果。
同时，研究者还探讨了此类算法的效率和可伸缩性，为实际应用提供了更完善的技术支持。
结论条件概率函数是一种重要的概率函数，它具有重要的实际应用价值。
它可以用于描述多个随机变量之间的概率关系，同时它的实际应用也广泛，在机器学习、推荐系统等领域都有广泛的应用。
同时，条件概率函数的理论研究也在不断发展和完善，提出了各种模型学习算法、优化算法等，为实际应用提供了技术支持。
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条件概率定义
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条件概率是指已知一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
它的计算方法是
根据相关试验的结果统计出发生概率最大的事件作为单一结论。
具体来说，条件概率就是
指已知某一事件A发生的前提下，另一事件B发生的概率。
其计算公式是：
P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
条件概率可以用于各种事件的测定，如自然现象的研究、药物的效果、社会现象的分
析等。
它的应用可以在改善食品质量，改善治疗药物的疗效，提高社会安全性等方面得到
雄厚的贡献。
例如，人们可以分析一次精神分裂所犯罪行的发生概率，以及和某种心理障
碍有关的犯罪行为出现的概率等。
此外，条件概率还可以应用于提高决策效果，它来源于统计学相关概念，可以通过对
不确定事件发生概率进行统计，确定最佳的选择。
例如，假如我们可以采取的决策中，以
犯罪为条件考虑，那么我们就可以通过分析犯罪发生的概率，判断最佳方案，从而提高决
策效率。
条件概率也广泛用于财务分析中，它可以帮助金融机构分析财务风险，提高风险评估
的准确度，预测企业的盈利能力，以及确定它们的行为是否正确、合理以及可行等。
此外，条件概率还可以用于企业的投资决策。
通过它，可以根据过去的不同时期的资产表现，对
未来的投资进行估值，并有效限制投资风险，实现长期的财务收益。