立体几何中的轨迹问题探索(教师讲义)

立体几何中的轨迹问题探索

一、单选题

1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系

() l f x =，则此函数图象大致是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】 【分析】

先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 【详解】

由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，

设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ， 则当动点M 运动到点N 时，

111 22

=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，

符合C选项的图像特征.

故选：C

【点睛】

本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.

EF=，长为4的线段AB的两端点分别在直线a、b上2．已知异面直线a、b成60°角，其公垂线段为EF，||2

运动，则AB中点的轨迹为（）

A．椭圆B．双曲线C．圆D．以上都不是

【答案】A

【解析】

【分析】

AB EF的中点,O P所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出

根据条件画出合适的示意图，确定,

OM ON之间的关系，然后利用P的坐标形式表示出,

OM ON之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.

,

【详解】

如图所示：

M N，设EF的中点为O，过O作EF的垂面α，则AB的中点P必在平面α内，设,A B在平面内的射影点为,

以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：

设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以2212m n mn +-=，

又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y

，所以)()

22122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

，所以223m x y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 将上述结果代入等式2

2

12m n mn +-=中化简可得：2

219

x y +=，故轨迹是椭圆.

故选：A. 【点睛】

本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.

3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )

A ．a

B ．

2

a

C

D

．

2

【答案】D

【分析】

设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】

解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F 面1A BE ，

F ∴落在线段HI 上，

正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，

1122

HI CD a ∴==，

即F 在侧面11CDD C ． 故选：D ．

【点睛】

本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.

4．已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为2d ，我们把到直线a 与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A ，那么集合A 中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ） A ．椭圆 B ．两条平行直线 C ．一条直线 D ．抛物线

【答案】A 【解析】 【分析】

把问题放在正方体ABCD -EFGH 中去，建立空间直角坐标系，找出关于,,x y z 的方程，通过方程判断可能的图形． 【详解】

棱长2d ，如图，建立空间直角坐标系，

设点M (,,)x y z ，则点M 到平面α的距离为z ，

(2,0,2),(0,0,2E d d H d ），

(2,0,0),(,,2HE d HM x y z d ∴==-）

， |cos ,|2HE HM HE HM HE HM

d ⋅∴<>=

=

则sin ,1HE HM

<>=

=

点M 到直线a 的距离为：

sin ,MH HE

HM x ⋅<>==

z ∴=

整理得：22

440y d dz +-=

当z d =时，2

0y =，即0y =，一条直线，C 有可能；

当z d >时，2

4()y d z d =-，即y =

B 有可能； 当z 不取常数，为一个变量时，2

2

440y d dz +-=是一个抛物线的方程，D 有可能；