立体几何中的轨迹问题探索(教师讲义)

立体几何中的轨迹问题探索一、单选题1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 【详解】由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ， 则当动点M 运动到点N 时，111 22=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，符合C选项的图像特征.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.EF=，长为4的线段AB的两端点分别在直线a、b上2．已知异面直线a、b成60°角，其公垂线段为EF，||2运动，则AB中点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．圆D．以上都不是【答案】A【解析】【分析】AB EF的中点,O P所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出根据条件画出合适的示意图，确定,OM ON之间的关系，然后利用P的坐标形式表示出,OM ON之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.,【详解】如图所示：M N，设EF的中点为O，过O作EF的垂面α，则AB的中点P必在平面α内，设,A B在平面内的射影点为,以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以2212m n mn +-=，又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y，所以)()22122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以223m x y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 将上述结果代入等式2212m n mn +-=中化简可得：2219x y +=，故轨迹是椭圆.故选：A. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aCD．2【答案】D【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C ． 故选：D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.4．已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为2d ，我们把到直线a 与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A ，那么集合A 中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ） A ．椭圆 B ．两条平行直线 C ．一条直线 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】把问题放在正方体ABCD -EFGH 中去，建立空间直角坐标系，找出关于,,x y z 的方程，通过方程判断可能的图形． 【详解】棱长2d ，如图，建立空间直角坐标系，设点M (,,)x y z ，则点M 到平面α的距离为z ，(2,0,2),(0,0,2E d d H d ），(2,0,0),(,,2HE d HM x y z d ∴==-）， |cos ,|2HE HM HE HM HE HMd ⋅∴<>==则sin ,1HE HM<>==点M 到直线a 的距离为：sin ,MH HEHM x ⋅<>==z ∴=整理得：22440y d dz +-=当z d =时，20y =，即0y =，一条直线，C 有可能；当z d >时，24()y d z d =-，即y =B 有可能； 当z 不取常数，为一个变量时，22440y d dz +-=是一个抛物线的方程，D 有可能；故选：A ． 【点睛】本题考查利用空间直角坐标解决空间图形的轨迹问题，是一道难题．5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由BC ⊥平面11ABB A 可知P 到直线BC 的距离即为P 到点B 的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点A ，依次判断各个选项即可. 【详解】BC ⊥平面11ABB A ，PB ⊂平面11ABB A P B B C∴⊥ P ∴到直线BC 的距离为PB ，即P 点到点B 的距离P ∴点轨迹是以B 为焦点，11A B 所在直线为准线的抛物线的一部分又P 在平面11ABB A 上，1AB AA = P ∴点轨迹过点A,A C 中轨迹不是抛物线，则,A C 错误；D 中轨迹不过A ，则D 错误.本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆的一部分 B ．一条线段 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分【答案】B 【解析】 【分析】根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为,,d a d d a -+,根据等体积法可求得d 为常数。

作平面//α平面PBC ,且平面α与平面PBC 的距离为d ,则平面α与平面ABC 的交线即为点M 的轨迹. 【详解】根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为,,d a d d a -+ 正三棱锥各个侧面面积为S,体积为V则()()111333V S d a Sd S d a =-+++ 化简可得V Sd =,即Vd S=为常数 作平面//α平面PBC ,且平面α与平面PBC 的距离为d ,则平面α与底面ABC 的交线即为点M 的轨迹可知M 为一条线段 故选:B 【点睛】本题考查了空间几何体中的轨迹问题,三棱锥等体积法的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.7．设点M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，14AA AD ==，5AB =，点P 在面11BCC B 上，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则P 点的轨迹为（ ）A ．椭圆的一部分B ．抛物线的一部分C ．一条线段D ．一段圆弧根据公式'cos S Sθ=得到11MDP CPM S S ∆∆=，计算得到P 到直线11C M 的距离为定值，得到答案. 【详解】设P 在平面ABCD 的投影为1P ，平面1D PM 与平面ABCD 所成的锐二面角为α 则11cos MDP D PMS S α∆∆=M 在平面11BCC B 的投影为BC 中点1M ，平面1D PM 与面11BCC B 所成的锐二面角为β则11cos CPM D PMS S β∆∆=故1111MDP CPM D PMD PMS S S S ∆∆∆∆=即11MDP CPM S S ∆∆=得到111125,22C M h h ⨯⨯=⨯⨯=即P 到直线11C M 的距离为定值，故P 在与11C M 平行的直线上 又点P 在面11BCC B 上，故轨迹为一条线段. 故答案选C 【点睛】本题考查了立体几何二面角，轨迹方程，通过'cos S Sθ=可以简化运算，是解题的关键. 8．如图为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，动点M 从B 1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B 1的运动过程中，点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，运动的路程x 与l=MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l=f （x ），则此函数图象大致是（ ）A ．B ．【解析】 【分析】先找到点M 的路线，把其路线分成六小段，分析从P 到1B 过程函数的单调性得解. 【详解】由于点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，所以点M 在平面1B AC 上， 运动的路线为11B A C B →→→, 设点P 为B 1C 的中点，l=MA 1+MC 1+MD 中，MA 1+MD 是定值， PC 1是定值，MC 1当M 从C 到1B ,运动到1PB 段时，运动的路程x 慢慢变大时， PM 变大，MC 1变大， 所以函数是增函数，所以C 正确；（类似讨论由1B 到A ，由A 到C 的过程，l=MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l=f （x ）． 故选：C ．【点睛】本题主要考查立体几何轨迹问题，考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11ADD A 及边界上运动，并且保持1BP AC ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）A ．线段1A DB ．线段1ADC ．AD 的中点与11A D 的中点连成的线段 D ．1AA 的中点与1DD 的中点连成的线段【答案】A 【解析】 【分析】先由111,AC A B AC BD ⊥⊥ 得1AC ⊥平面1A DB , 再判断动点P 的轨迹即可得解. 【详解】解：连接1A D ，由111,AC A B AC BD ⊥⊥ 得1AC ⊥平面1A DB , 即点P 在线段1A D 上运动时，总有1BP AC ⊥， 即动点P 的轨迹是线段1A D ， 故选A .【点睛】结构素描而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步，某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为()A ．12BC ．2D ．13【答案】C【解析】【分析】根据几何关系，得到椭圆的半长轴和半短轴与圆柱底面圆的半径之间的关系，然后算出c ，从而得到离心率.【详解】设圆柱底面圆的半径为R ，∵与底面成60°角的平面截圆柱，∴椭圆的半长轴长是2R ，半短轴长是R ，∴c =∴2c e a ==， 故选C【点睛】本题考查二面角转化为平面角求线段之间的关系，求椭圆的离心率，属于简单题.11．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点,1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于（ ）A ．12B ．4πC ．44π- D ．72【答案】A【解析】【分析】P 是底面ABCD 上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，根据已知列出,x y 满足的关系．【详解】如图，以,AB AD 为,x y 轴在平面ABCD 内建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，由1PA PC ≥得≥30x y +-≥，设直线:30l x y +-=与正方形ABCD 的边交于点,M N ，则P 点在CMN ∆内部（含边界），易知(1,2)M ，(2,1)N ，∴1CM CN ==，111122CMN S ∆=⨯⨯=． 故选A ．【点睛】本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面ABCD 上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决．12．长方体 中， 是对角线 上一点， 是底面 上一点，若 ， ，则 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】将 绕边 旋转到 的位置，使得平面 和平面 在同一平面内，则 到平面 的距离即为 的最小值，利用勾股定理解出即可。