高数模拟习题集含参考答案
2024年高考数学模拟试题与答案解析
2024年高考数学模拟试题与答案解析一、选择题1.设集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=3k,k∈Z},则A∩B={()}A.{x|x=6k,k∈Z}B.{x|x=2k,k∈Z}C.{x|x=3k,k∈Z}D.{x|x=k,k∈Z}【答案】B解析:集合A包含所有2的倍数,集合B包含所有3的倍数。
A ∩B表示同时属于A和B的元素,即同时是2和3的倍数的数,也就是6的倍数。
所以A∩B={x|x=6k,k∈Z},故选B。
2.若函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=2,则c的值为()A.4B.3C.2D.1【答案】A解析:函数f(x)=x²-4x+c的图像的对称轴是x=-b/2a,即x=2。
根据对称轴的公式,得到-(-4)/(21)=2,解得c=4。
故选A。
3.已知等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2,若S3=18,S6-S3=24,则a4的值为()A.6B.8C.10D.12【答案】B解析:根据等差数列的前n项和公式,得到S3=3(a1+a3)/2=18,即a1+a3=12。
又因为S6-S3=24,得到a4+a5+a6=24。
由等差数列的性质,a3+a6=a4+a5。
将a3+a6替换为a4+a5,得到3a4+3a5=48,即a4+a5=16。
解方程组a1+a3=12和a4+a5=16,得到a4=8。
故选B。
二、填空题4.若|x-2|≤3,则|x+1|的取值范围是______【答案】-2≤x≤5解析:由|x-2|≤3,得到-3≤x-2≤3,即-1≤x≤5。
再由|x+1|的图像可知,当-3≤x≤5时,|x+1|的取值范围是-2≤x≤5。
5.已知函数f(x)=2x²-3x+1,求f(1/2)的值。
【答案】3/4解析:将x=1/2代入函数f(x),得到f(1/2)=2(1/2)²-3(1/2)+1=2/4-3/2+1=3/4。
三、解答题6.(1)求证:对任意正整数n,都有n²+2n+1≥n+2。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3,求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案:C2. 求下列数列的通项公式:数列:1, 1/2, 1/3, 1/4, ...A. a_n = nB. a_n = 1/nC. a_n = n^2D. a_n = 1/(n+1)答案:B3. 已知圆x^2 + y^2 = 9,点P(1, 2),求点P到圆心的距离。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案:C4. 已知向量a = (3, -4),向量b = (-2, 3),求向量a与向量b的夹角θ。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案:B5. 已知函数y = x^3 - 3x^2 + 4x,求导数y'。
A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 5C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x + 2答案:A6. 已知等差数列的第5项为15,第8项为25,求公差d。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案:B7. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3,b = 4,c = 5,求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 15答案:A8. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x),求f(π/4)的值。
A. √2B. √3C. 2D. 1答案:A9. 已知复数z = 1 + i,求z的共轭复数。
A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i答案:A10. 已知函数y = x^2 - 6x + 9,求函数的最小值。
A. 0B. 3C. 6D. 9答案:A二、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分。
)11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1,求f''(x)的值。
高考数学模拟试题含答案详解
高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $,求 $ f(2) $ 的值。
答案:将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $,得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。
2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$,公差为 $d = 2$,求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
答案:等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$,代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$,得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。
3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$,公比为 $q = 3$,求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。
答案:等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$,代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$,得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。
4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$,夹角为$60^\circ$,求第三边长 $c$。
答案:利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$,代入 $a = 5$,$b = 8$,$C = 60^\circ$,得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$,所以 $c = 7$。
5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $,求 $ g(x) $ 的定义域。
答案:由于 $x$ 不能为 $0$,所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。
二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $,求 $ h(x) $ 的定义域。
答案:由于根号内的值不能为负,所以 $4 x^2 \geq 0$,解得$2 \leq x \leq 2$。
高三数学模拟试题含答案
高三数学模拟试题含答案第一题:计算题已知 a = 3,b = 5,c = 7,d = 9,请计算以下表达式的值,并给出计算过程。
1) x = a + b × c - d2) y = (a + b) × c - d3) z = a + (b × c - d)解答:1) x = 3 + 5 × 7 - 9 = 3 + 35 - 9 = 292) y = (3 + 5) × 7 - 9 = 8 × 7 - 9 = 56 - 9 = 473) z = 3 + (5 × 7 - 9) = 3 + (35 - 9) = 3 + 26 = 29第二题:选择题在下面的选项中,选择一个正确答案。
1) 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口方向与参数 a 的关系是:A. a > 0,开口向上B. a > 0,开口向下C. a < 0,开口向上D. a < 0,开口向下解答:B. a > 0,开口向下第三题:解方程请求解以下方程,并给出解的步骤。
1) 2x - 5 = 3x + 12) x^2 - 4x + 3 = 0解答:1) 2x - 5 = 3x + 1移项得:2x - 3x = 1 + 5化简得:-x = 6解得:x = -62) x^2 - 4x + 3 = 0因为该方程无法直接分解成两个一次因式相乘的形式,因此使用求根公式:x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a代入 a = 1,b = -4,c = 3,得:x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 4 × 1 × 3)) / 2 × 1化简得:x = (4 ± √(16 - 12)) / 2计算得:x = (4 ± √4) / 2化简得:x = (4 ± 2) / 2分解得:x1 = (4 + 2) / 2 = 3x2 = (4 - 2) / 2 = 1因此方程的解为 x1 = 3,x2 = 1第四题:证明请证明勾股定理,即直角三角形中,直角边平方和等于斜边平方。
高考模拟数学试卷加答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 下列各数中,属于无理数的是:A. √2B. 3/4C. 2.5D. 1/√32. 已知函数f(x) = 2x - 3,则f(-1)的值为:A. -5B. -1C. 1D. 53. 下列方程中,无实数解的是:A. x^2 - 4 = 0B. x^2 + 4 = 0C. x^2 - 2x + 1 = 0D. x^2 + 2x + 1 = 04. 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则第10项an的值为:A. a1 + 9dB. a1 + 8dC. a1 - 9dD. a1 - 8d5. 在直角坐标系中,点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为:A. (3, 2)B. (2, 3)C. (3, 3)D. (2, 2)6. 若log2(x + 3) = 3,则x的值为:A. 5B. 7C. 8D. 97. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5,则该三角形的面积S为:A. 6B. 8C. 10D. 128. 下列不等式中,恒成立的是:A. x + 1 > 0B. x^2 > 0C. x^3 > 0D. x^4 > 09. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上,且顶点坐标为(1, -2),则a的值为:A. 1B. -1C. 2D. -210. 在等比数列{an}中,若a1 = 2,公比为q,则第5项an的值为:A. 2q^4B. 2q^5C. 2q^3D. 2q^2二、填空题(本大题共5小题,每小题10分,共50分。
)11. 若等差数列{an}的前n项和为S_n,公差为d,首项为a1,则S_n = _______。
12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4,则f(x)的顶点坐标为 _______。
13. 在直角三角形ABC中,∠C = 90°,AC = 3,BC = 4,则AB的长度为_______。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题1. 已知集合A={x | x² - 1 = 0},则A的元素个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4答案:B2. 若a > 0,b < 0,则a与b的和的符号为()A. 正B. 负C. 零D. 无法确定答案:D3. 设函数f(x) = √(x²-2x+1),则f(3)的值为()A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B4. 在△ABC中,角A = 60°,边AC = 5cm,边BC = 4cm,则边AB 的长度为()A. 3.5cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm答案:C5. 某商店对现金支付的商品提供10%的折扣,小明购买了一件原价500元的商品,他需要支付多少元?()A. 45元B. 50元C. 450元D. 500元答案:C二、计算题1. 已知函数f(x) = |x - 3| + 2,求f(5)的值。
解:当x = 5时,f(x) = |5 - 3| + 2 = 4答案:42. 解方程:3x + 5 = 2(x - 1) + 7解:展开得:3x + 5 = 2x - 2 + 7移项得:3x + 5 = 2x + 5化简得:x = 0答案:03. 已知函数f(x) = x² - 4x + 5,求f(3)的值。
解:当x = 3时,f(x) = 3² - 4 × 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2答案:24. 某商品在经过两次10%的折扣后,售价为270元,求其原价。
解:设原价为x元,则经过第一次折扣后为0.9x元,经过第二次折扣后为0.9 × 0.9x元。
根据题意,0.9 × 0.9x = 270,解方程得:x = 300答案:300三、应用题1. 一辆自行车上午以每小时20公里的速度向南骑行,下午以每小时15公里的速度向北骑行。
如果来回共耗时8小时,求行程的总长度。
高校数学高考模拟试题答案
高校数学高考模拟试题答案一、选择题1. (2021年全国卷Ⅰ)设函数f(x) = a|x-1| + x,若f(x)在区间[0,2]上是增函数,则实数a的取值范围是______。
解析:首先,我们需要分析函数f(x)的单调性。
当x≥1时,f(x) = ax + x - a;当x<1时,f(x) = -ax + x + a。
要使f(x)在[0,2]上是增函数,我们需要保证对于任意的0≤x₁<x₂≤2,都有f(x₁)≤f(x₂)。
对于x₁≥1,x₂≥1的情况,我们有a(x₁ - 1) + x₁ ≤ a(x₂ - 1) + x₂,化简得a ≤ x₂ - x₁。
由于x₂ - x₁的最大值为1,所以a ≤ 1。
对于x₁<1,x₂≥1的情况,我们有-a(x₁ - 1) + x₁ ≤ a(x₂ - 1) + x₂,化简得a ≥ -1。
因此,a的取值范围是[-1, 1]。
2. (2021年全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}满足a₁ + a₄ = 10,a₂+ a₅ = 17,求a₃的值。
解析:设等差数列{an}的首项为a₁,公差为d。
根据题意,我们有以下方程组:a₁ + a₄ = a₁ + (a₁ + 3d) = 10a₂ + a₅ = (a₁ + d) + (a₁ + 4d) = 17解这个方程组,我们得到:a₁ + 3d = 10a₁ + 5d = 17将第一个方程乘以-1,然后将两个方程相加,得到:2d = 7d = 3.5将d的值代入第一个方程,得到:a₁ + 10.5 = 10a₁ = -0.5现在我们知道了首项a₁和公差d,可以求出a₃的值:a₃ = a₁ + 2d = -0.5 + 7 = 6.53. (2021年北京卷)已知函数g(x) = x² - 2x + 5,求g(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。
解析:首先,我们观察函数g(x) = x² - 2x + 5,这是一个二次函数,其开口向上,对称轴为x = 1。
高三数学模拟试题及答案
高三数学模拟试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 下列函数中,哪一个是奇函数?A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 已知集合A={1, 2, 3},B={2, 3, 4},求A∪B。
A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 3, 4}C. {2, 3, 4}D. {1, 2, 3}3. 若sin(α) = 1/2,且α为锐角,求cos(α)的值。
A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/24. 已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,求其第5项a5。
A. 17B. 14C. 11D. 85. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25,求圆心坐标。
A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (0, 0)D. (4, 3)6. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是多少?A. 0B. -4C. 4D. 17. 已知直线y = 2x - 3与抛物线y^2 = 4x相交于两点,求这两个点的坐标。
A. (1, -1), (3, 3)B. (1, 1), (3, -1)C. (1, 1), (3, 3)D. (1, -1), (3, -1)8. 已知向量a = (2, 3),b = (-1, 2),求a·b。
A. 4B. -1C. 1D. -49. 已知三角形ABC,∠A = 60°,a = 5,b = 7,求c的长度。
A. 3B. 4C. 6D. 810. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5,求f'(x)。
A. 3x^2 - 6x - 9B. x^2 - 6x - 9C. 3x^2 - 6x + 5D. x^3 - 3x^2 - 9二、填空题(每题4分,共20分)11. 已知等比数列{bn}的首项b1=8,公比q=2,求其第4项b4的值。
2023高考数学模拟试题(带答案解析)
2023高考数学模拟试题(带答案解析)第一部分:选择题1. 设$A$ 为向量组$\alpha_1,\alpha_2$ 与$\beta$ 的张成空间,则下列命题成立的是()A. 若 $\beta = \alpha_1 + \alpha_2$,则 $\beta \in A$B. 若 $\beta \in A$,则 $\beta$ 一定能表示成$\alpha_1,\alpha_2$ 的线性组合C. 若 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关,则 $\beta \notin A$D. 若 $\beta = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2$,则$\beta \in A$答案:B解析:$\forall \beta \in A$,$\beta$ 一定是向量组$\alpha_1,\alpha_2$ 的线性组合,即 $\beta = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2$,故选 B。
2. 已知函数 $f(x)=\frac{2x^2-8x}{x-4}$,若 $f(a)=5$,则$a=$()A. 4B. 5C. 6D. 7答案:6解析:$f(x)=\frac{2x^2-8x}{x-4} = \frac{2x(x-4)}{x-4} = 2x$所以 $f(a)=5$ 即 $2a=5$,解得 $a=\frac{5}{2}$。
故选 C。
第二部分:填空题1. 若 $|a|=3,|b|=1$,则 $|\frac{1}{2}a-2b|=$()答案:$\frac{\sqrt{17}}{2}$解析:$|\frac{1}{2}a-2b| = \frac{1}{2}|3\alpha - 2\beta| =\frac{1}{2}\sqrt{9+4}= \frac{\sqrt{17}}{2}$。
2. 已知 $cos A = -\frac{1}{3}$,则 $tan \frac{A}{2}=$()答案:$-\frac{1}{2}$解析:由 $\cos A = -\frac{1}{3}$,得 $\sin A = \frac{\sqrt{8}}{3}$,且由 $\cos A = -\frac{1}{3}$ 得 $A\in (90^\circ,180^\circ)$。
高考数学模拟试题及答案 (二十套)
【解析】
【分析】
以点 为坐标原点, 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ,利用空间向量法可判断A选项的正误;证明出 平面 ,分别取棱 、 、 、 、 、 的中点 、 、 、 、 、 ,比较 和六边形 的周长和面积的大小,可判断B选项的正误;利用空间向量法找出平面 与棱 、 的交点 、 ,判断四边形 的形状可判断C选项的正误;将矩形 与矩形 延展为一个平面,利用 、 、 三点共线得知 最短,利用平行线分线段成比例定理求得 ,可判断D选项的正误.
9.Keep是一款具有社交属性的健身APP,致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼,记录你每天的训练进程.不仅如此,它还可以根据不同人的体质,制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位:十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是()
,则 , ,所以B正确.
对于选项C、D, ,
令 ,即 ,所以 ,则令 ,
,令 ,得
由函数 的图像性质可知:
时, , 单调递减.
时, , 单调递增.
所以 时, 取得极小值,
即当 时 取得极小值,
又 ,即
又因为在 上 单调递减,所以
所以 时, 取得极小值,
即当 时 取得极大值,
又 ,即
所以
当 时,
所以当 ,即 时,f(x)在(-π,+∞)上无零点,所以C不正确.
A.月跑步里程最小值出现在2月
B.月跑步里程逐月增加
C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
高中数学模拟试题及答案
高中数学模拟试题及答案一、选择题(每小题4分,共40分。
每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请将正确选项的字母填在题后的括号内。
)1. 若函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \),则\( f(2) \)的值为()A. 1B. 3C. -1D. -32. 下列不等式中,不正确的是()A. \( 2 > 1 \)B. \( 0 < -1 \)C. \( 3 \leq 3 \)D. \( -4 \geq -5 \)3. 已知集合\( A = \{1, 2, 3\} \),\( B = \{2, 3, 4\} \),则\( A \cap B \)为()A. \( \{1\} \)B. \( \{2, 3\} \)C. \( \{2, 3, 4\} \)D. \( \{1, 2, 3, 4\} \)4. 函数\( y = \log_{2}(x) \)的反函数是()A. \( y = 2^x \)B. \( y = \log_{10}(x) \)C. \( y = \sqrt{x} \)D. \( y = x^2 \)5. 若\( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \),则\( \cos(2\alpha) \)的值为()A. \( \frac{1}{2} \)B. \( -\frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( -\frac{1}{4} \)6. 已知\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \),则\( xy \)的值为()A. \( \frac{1}{5} \)B. \( \frac{1}{25} \)C. \( 5 \)D. \( 25 \)7. 直线\( y = 2x + 1 \)与\( y = -x + 4 \)的交点坐标为()A. \( (1, 3) \)B. \( (3, 1) \)C. \( (-1, 3) \)D. \( (-3, 1) \)8. 函数\( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)在\( x = 1 \)处的导数为()A. 1B. -1C. 3D. -39. 圆的方程为\( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 \),则圆心坐标为()A. \( (2, 3) \)B. \( (-2, -3) \)C. \( (0, 0) \)D. \( (3, 2) \)10. 等比数列\( \{a_n\} \)的首项\( a_1 = 2 \),公比\( q = 3 \),则\( a_5 \)的值为()A. 162B. 486C. 729D. 243二、填空题(每小题4分,共20分。
高等数学模拟考试题及答案1
《高等数学》模拟试题一一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.点1=x 是函数112--=x x y 的 ( )A .连续点B .可去间断点C .跳跃间断点D .无穷间断点2.设)(x f 在),(b a 内可导,则在),(b a 内,0)(>'x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的 ( )A .必要条件B .充分条件C .充分必要条件D .无关条件3.设x x x F cos )(2+=是)(x f 的一个原函数,则)(x f 等于 ( )A .x x cos 2B .2cos xxC .x x sin 33+D .x x sin 2-4.级数∑∞=-11)1(n nn( ) A .绝对收敛 B .条件收敛 C .发散 D .敛散性不确定 5.微分方程'''20y y y ++=的通解为 ( )A .x ceB ..x ce -C .12()x c c x e +D .12()x c c x e -+二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1. =--+→121lim21x x x . 2. 设),1cos()(+=x x f 则=')(x f .3. 过点(1,1,1)且与平面2x +3y =1垂直的直线方程为4. 设,1xyz =则=dz . 5. 设⎰-+=xx x dx x f 02,1sin )(则=')(x f .三、计算题(本大题共6小题,共48分).1. 计算极限: 302)1ln(limx dttxx ⎰+→ (5分).2.设0sin 2=++z z x e xy ,求xz∂∂ (5分). 3.设x x x f ln 2)(2-=,求)(x f 的单调区间和极值.(8分)4.D 是由曲线x e y =,Ox 轴,Oy 轴及4=x 围成的平面区域,试在(0,4)内找一点0x ,使直线0x x =平分平面区域D 的面积.(8分)5.验证函数2()n yz x f x =满足方程2z z x y nz x y ∂∂+=∂∂(其中f 可微).(8分) 6.改变二次积分21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰的积分次序(7分)7.求解下列微分方程:'2'1.y xy x y -=+(7分)四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明:当1>x 时,1)1(2ln +->x x x .(6分) 2.函数f (x )在[0,1]上可导,且f (1)=2120()xf x dx ⎰,证明:存在一点ξ∈(0,1)使得ξf '(ξ)+ f (ξ)=0 (6分).《高等数学》模拟试题二一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.曲线11+-=x x y 的垂直渐近线为 ( ) A .1-=x B .1=x C .1-=y D .1=y2.当0→x 时,)21ln(xα+与x 是等价无穷小,则α等于( )A .2B . 2-C .21D .21-3.下列式子中正确的是 ( )A .⎰+='c x f dx x f )3()3(B .'[()]()d f x dx f x =⎰C .⎰=bax f dx x f dx d )()( D .⎰⎰=-b a b a du u f dx x f 0)()( 4.下列命题中,正确的是 ( )A .0lim =∞→n n u ,则∑∞=1n n u 必收敛 B .0lim =∞→n n u ,则∑∞=1n n u 必发散C .0lim ≠∞→n n u ,则∑∞=1n n u 必收敛 D .0lim ≠∞→n n u ,则∑∞=1n n u 必发散5.微分方程'''23x y y y xe +-=的特解形式为 ( )A .()x ax b e +B .2x ax eC .x axeD .2()x ax bx e + 二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)6. 201cos limx xx →-=7. 设x x x f ln )(=,则='')1(f . 8.'(sin 1)cos f x xdx +⎰=9. 过点(2,0,1)且与直线210x y z==垂直的平面方程为 10. 幂级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02n nx 的收敛半径为=R .三、计算题(本大题共4小题,共48分).1. 求极限: lim (arctan )2x x x π→+∞- (5分).2.设),(y x z z =是由方程133=-xyz z 确定的隐函数,求全微分dz (5分).3.求函数x x x f ln )(2-=在],1[e 上的最值(8分).4.求由曲线1-=x y ,4=x 与0=y 所围成的平面图形绕Ox 轴旋转所得到的旋转体的体积V (8分).5.f (x )在[0,1]上连续,求证211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰ (7分).6.求解下列微分方程: 2()0ydx x y dy ++= (7分).7.已知1(0),2f =-求f (x )使曲线积分[()]()x l e f x ydx f x dy +-⎰与路径无关,并计算(8分).(1,1)(0,0)[()]()x e f x dx f x dy +-⎰四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明:当x >0时,2x arctan x >ln(1+x 2) (6分).2.设f (x )在(-1,1)内可微,且f (0)=0, |f ' (x )|< M (M >0), 试证在(-1,1)内恒有|f (x )|<M(6分).《高等数学》模拟试题三一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.设53)(+=x x f ,则[]2)(-x f f 等于 ( )A .149+xB .33+xC .149-xD .33-x2.设x x f 3)(= ,则ax a f x f a x --→)()(lim 等于( )A .3ln 3aB .a3 C .3ln D .3ln 3a3.设函数f (x )连续,0(),s t I t f tx dx =⎰其中t >0,s >0,则积分I ( )A .依赖于s 和tB .依赖于s ,t,xC .依赖于t 和xD .依赖于s ,不依赖于t4.级数111nn a∞=+∑收敛的条件为( ) A .a ≥1 B .a >1 C . a ≤1 D .a <15.微分方程0cos =+x y dxdy的通解为 ( )A .x c y sin =B .x ce y sin -=C .x ce y cos -=D .x c y cos =二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 设3lim ln()16,xx x a x a→∞+=-则a =12. 设22sin ,cos ,x t y t ==则dydx=13. ⎰=xdx x sin cos 3 .14.''()xf x dx ⎰=5.设sin y =xy , 则dydx= 三、计算题(本大题共4小题,共48分). 1. 求极限lim x →+∞(5分).2.求函数f (x )=20(1)(2)xt t dt --⎰的极值(7分).3.平面图形由曲线3,4y x y x=+=,求此图形的面积S (7分).4.求微分方程'cot ln y x y y =满足初始条件4x y π==(5分).5.求幂级数112nnn n x ∞=+∑的收敛区间以及和函数 (8分). 6. 计算二重积分:⎰⎰+Ddxdy y x )3(22,其中区域D 是由直线2,1,2,====x x x y x y 围成(8分)7.设函数f (x )满足0()()()x xx f x x f t dt e tf t dt +=+⎰⎰,求f (x ) (8分).四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明:当0>x 时,2211)1ln(x x x x +>+++(6分).2.证明:双曲线)0(1>=x xy 上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积等于2(6分).《高等数学》模拟试题一参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.B 2.B 3.D 4.B 5.D二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)1.1422.2sin(1)x x +3.111230x z z ---==4.2()ydx xdyxy + 5. sin 2x -+三、计算题(本大题共4小题,共44分).1.解:220322000ln(1)ln(1)21111limlim lim 6310331x x x x t dtx x x x xx →→→++==⨯=⨯=++⎰ 2.解:方程两边对x 求导得:22sin cos 0xy z zye x z x z x x∂∂+++=∂∂22sin 1cos xy z ye x z x x z∂+∴=-∂+3.解:对函数x x x f ln 2)(2-=求导得:'1()4f x x x =-,令11140 ()22x x x -==-得舍去, 列表:x (0,12) 12 (12,+∞) y’ - 0+ y单减极小值1ln 22+单增由表可知, f (x )在(0,12)上单调减少,在(2,+∞)上单调增加,在12x =处取得极小值1ln 22+.4.解:由题意知,4x xx x e dx e dx =⎰⎰,所以0041x x e e e -=-401 ln2e x +∴=5.证:求函数2()nyz x f x =的偏导数: 113223222()()()()2(),n n n n z y y y y y nx f x f nx f x yf x x x x x x---∂-=+•=-∂ 22221()()(),n n z y y x f x f y x x x-∂=•=∂ 所以132222222222[()2()]2[()] ()2()2()n n n n n n z z y y yxy x nx f x yf y x f x y x x xy y ynx f x yf x yf nzx x x -----∂∂+=-+∂∂=-+=6.解:21101(,)yy dy f x y dx --⎰⎰=0110(,)x dx f x y dy +-⎰⎰+110(,)xdx f x y dy -⎰⎰7.解:整理方程为1(1)dy dx y x x =-+,所以 (ln(1))(ln ln(1))d y d x x -=-+ 1ln(1)ln1xy C x -=++ 11x y Cx =++ 四、证明题(本大题共2小题,共12分).1.证明:令2(1)()ln ,(0)21x F x x F x -=-=+,由于2'2(1)()0 (1)(1)x F x x x x -=>>+, 所以,当1>x 时()(0)20F x F >=>,即1)1(2ln +->x x x .2.证明:令()()F x xf x =,函数F (x )在[0,1]上可导. 根据积分中值定理,存在1(0,)2c ∈,使得1122001(1)(1)2()2()2()()2F f xf x dx F x dx F c F c ====••=⎰⎰再根据罗尔定理,存在一点ξ∈(c ,1使得'()0,F ξ=即 ξf '(ξ)+ f (ξ)=0《高等数学》模拟试题二参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、 填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)(sin 1)f x C ++ 40x y +-=三、计算题(本大题共4小题,共48分).22221arctan12lim (arctan )lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞--+-====+-233()0z dz yzdx xzdy xydz -++=2 yzdx xzdydz z xy+∴=-x x x f ln )(2-=求导得:'()2ln f x x x x =--,令'()0,f x =得12x e-=. 比较112211(),(1)0,()22f e e f f e e e --====-可知, f (x ) 在],1[e 上的最小值为2e -,最大值为12e.4442211119(1)()22V dx x dx x x ππππ==-=-=⎰⎰222111111000()()()[]()()yyyx x x dy f x dx dx e f x dy f x e dy dx e e f x dx ===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰20ydx xdy y dy ++=31()03d xy y +=313xy y C +=曲线积分与路径无关的条件,有()()x df x e f x dx=+' (())x y y e y f x -==微分方程'x y y e -=的通解为x x y ce xe =+,由于1(0),2f =-有12c =-,所以1()2x x f x e xe =-+四、证明题(本大题共2小题,共12分).2()2arctan ln(1),(0)0F x x x x F =-+=,由于'2222()2arctan 2arctan 0 (0)11x xF x x x x x x =+-=>>++, 所以,当x >0时()(0)0F x F >=,即2x arctan x >ln(1+x 2).设x 为(-1,1)内任意点,函数f (x )在[x ,0](x <0)或[0, x ](x >0)上可导. 根据拉格朗日中值定理,存在介于x 与0之间的点c ,使得''|()||()(0)||()||0||()|f x f x f f c c f c M =-=-<<《高等数学》模拟试题三参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)2-141cos4x C-+'()()x f x C++cosyy x-三、计算题(本大题共4小题,共48分).3 lim lim lim2 x x x→+∞===f(x)=2(1)(2)xt t dt--⎰求导得:'2()(1)(2)f x x x=--,令'()0,f x=得121,2x x==. 列表:由表可知, f112320017(1)(2)[584]12t t dt t t t dt--=-+-=-⎰⎰.3321131(4)(43ln)43ln32S x dx x x xx=--=--=-⎰整理微分方程得tanlndyxdxy y=1ln ln tan ln|cos|y xdx x C==-+⎰ln|cos|xCey e-=对于初始条件4x y π==C =1. 所以所求特解为ln|cos |x e y e-=幂级数112n n n n x ∞=+∑的收敛半径为1112lim lim 222n n n n n n u n R u n +→∞→∞++==⨯=+,且当x =2或-2时幂级数发散,所以幂级数的收敛区间为(-2,2).设其和函数为S (x ),则1'1112221''22122222()(1)() (1)()222(1)2 ()()1(1)(1)444 1.(2)(2)(1)2n nn n n n n n x x S x n t n t t t t t t t t tt t t x x x x xx x ∞∞∞+===∞+==+=+=+-+====+++++===-+++∑∑∑∑⎰⎰+Ddxdy y x)3(22化为二次积分为222222122223311(3)(3) [()]830.xxDx xx y dxdy dx x y dy x y y dx x dx +=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰'()()xx f x f t dt e +=⎰两边再求导数,整理得到'''()()x f x f x e +=或'''x y y e +=微分方程'''x y y e +=对应的齐次方程的通解为12x y c c e -=+,特解为12x y e =.所以'''x y y e +=的通解为1212x x y c c e e -=++.又由于(0)1f =(原方程两边代入x =0), '(0)1f =(求一次导数后的方程两边代入x =0),所以11,c =212c =-,所求方程的解为11sh 2x x e e y x --=+=+.四、证明题(本大题共2小题,共12分).()ln(1(0)0F x x x F =+=,由于'()ln(0 (0)F x x x =>>,所以,当x >0时()(0)0F x F >=,即2211)1ln(x x x x +>+++.t 为(0,+∞)内任意点,双曲线1y x =上在x=t 处的切线方程为 211()y x t t t -=-- 该直线与两坐标轴分别相交于2(0,),(2,0)A B t t由A ,B 和坐标原点O 形成三角形面积为12|||2|22S t t=⨯⨯=所以结论成立.。
高三数学模拟试卷及答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + 1,若f(x)的图像关于x = a对称,则a的值为()A. 0B. 1C. 2D. 无法确定2. 下列函数中,在定义域内单调递增的是()A. y = x^3B. y = x^2C. y = -x^2D. y = x^3 + 3x^23. 若等差数列{an}的公差为d,首项为a1,则第n项an等于()A. a1 + (n - 1)dB. a1 - (n - 1)dC. a1 + ndD. a1 - nd4. 在△ABC中,若a=3,b=4,c=5,则sinA的值为()A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/55. 若log2x + log2y = 1,则x和y的取值范围是()A. x > 0, y > 0B. x > 0, y ≤ 0C. x ≤ 0, y > 0D. x ≤ 0, y ≤ 06. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2,若f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增,则a 的取值范围是()A. a < 0B. a > 0C. a = 0D. a ≠ 07. 在直角坐标系中,点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是()A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)8. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|,则z在复平面上的轨迹是()A. 实轴B. 虚轴C. 圆心在原点,半径为1的圆D. 直线y = x9. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2,公比q = 3,则第n项an等于()A. 2 3^(n-1)B. 2 3^nC. 2^n 3D. 2^n / 310. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值,则a,b,c之间的关系是()A. a > 0, b = 0, c < 0B. a > 0, b ≠ 0, c < 0C. a < 0, b = 0, c >0 D. a < 0, b ≠ 0, c > 0二、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)11. 若等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5 = 25,S9 = 45,则S13 = _______。
高三数学模拟考试卷及答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1在区间[1, 2]上的零点个数为:A. 0B. 1C. 2D. 32. 若复数z满足|z-1| = |z+1|,则复数z在复平面内的几何意义是:A. 实部为0B. 虚部为0C. 到原点的距离为2D. 到x轴的距离为23. 下列各式中,正确的是:A. sin^2x + cos^2x = 1B. tan^2x + 1 = sec^2xC. cot^2x + 1 = csc^2xD. sin^2x + cot^2x = 14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3 = 9,S5 = 21,则首项a1为:A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c(a≠0)的图象开口向上,且与x轴的两个交点分别为(-1, 0)和(3, 0),则a、b、c的关系是:A. a + b + c = 0B. a - b + c = 0C. -a + b + c = 0D. -a - b + c = 06. 若平面α上的直线l与平面β所成的角为θ,平面α与平面β所成的角为β,则下列关系式中正确的是:A. θ = βB. θ + β = 90°C. θ = 90° - βD. θ = 90° + β7. 在三角形ABC中,若角A、B、C的对边分别为a、b、c,则下列关系式中正确的是:A. a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosAB. b^2 = a^2 + c^2 - 2accosBC. c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosCD. a^2 = b^2 + c^2 + 2bccosA8. 下列函数中,在区间(0, +∞)上单调递减的是:A. y = 2^xB. y = log2xC. y = x^2D. y = x^39. 已知向量a = (2, -1),向量b = (-3, 2),则向量a·b的值为:A. 5B. -5C. 0D. 710. 下列不等式中,正确的是:A. log2(3) > log2(2)B. log3(3) < log3(2)C. log2(2) < log2(3)D. log3(2) < log2(3)二、填空题(本大题共5小题,每小题10分,共50分)11. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的导数f'(x) = 0的解为x1、x2,则f(x)的极值点为______。
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》
1. 《2024年高考数学模拟试题及答案》一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1、已知集合 A ={x |-2 < x < 3},B ={x | x² 5x + 4 <0},则A ∩ B =()A {x | 1 < x < 3}B {x |-2 < x < 1}C {x | 1 < x < 4}D {x |-2 < x < 4}2、复数 z =(1 + i)(2 i)在复平面内对应的点位于()A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、已知向量 a =(1, 2),b =(m, -1),若 a ⊥ b,则 m =()A -2B 2C -1/2D 1/24、某中学高一年级有学生 1000 人,高二年级有学生 800 人,高三年级有学生 600 人,现采用分层抽样的方法从该校抽取一个容量为 n的样本,若从高二年级抽取了 80 人,则 n 的值为()A 200B 240C 280D 3205、函数 f(x) = log₂(x² 4x + 3)的单调递增区间是()A (∞, 1)B (∞, 2)C (2, +∞)D (3, +∞)6、若直线 l₁:ax + 2y + 6 = 0 与直线 l₂:x +(a 1)y + a² 1= 0 平行,则 a =()A -1B 2C -1 或 2D 17、已知等差数列{aₙ}的前 n 项和为 Sₙ,若 a₁= 2,S₃= S₅,则公差 d =()A -2B 0C 2D 48、已知圆 C:(x 1)²+(y 2)²= 4 与直线 l:x y + 1 = 0 相交于 A,B 两点,则弦长|AB| =()A 2√2B 2√3C 4D 69、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()(正视图和侧视图是等腰三角形,底边为 4,高为 4;俯视图是边长为 4 的正方形)A 32B 64C 128/3D 256/310、设函数 f(x) =sin(ωx +φ)(ω > 0,|φ| <π/2)的最小正周期为π,且f(π/8) =√2/2,则()A f(x)在(0, π/2)上单调递减B f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递增C f(x)在(0, π/2)上单调递增D f(x)在(π/8, 3π/8)上单调递减11、已知函数 f(x) = x³ 3x,若过点 M(2, t)可作曲线 y = f(x)的三条切线,则实数 t 的取值范围是()A (-6, -2)B (-4, -2)C (-6, 2)D (0, 2)12、已知双曲线 C:x²/a² y²/b²= 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为 F₁,F₂,过 F₂作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 H,若|F₂H| = 2a,则双曲线 C 的离心率为()A √5B 2C √3D √2二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13、已知函数 f(x) = 2sin(2x +π/6),则 f(x)的最小正周期为_____14、若 x,y 满足约束条件 x +y ≥ 1,x y ≥ -1,2x y ≤ 2,则 z= x + 2y 的最大值为_____15、已知抛物线 y²= 2px(p > 0)的焦点为 F,点 A(4, 2)在抛物线上,且|AF| = 5,则 p =_____16、已知数列{aₙ}满足 a₁= 1,aₙ₊₁= 2aₙ + 1,则 a₅=_____三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17、(10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a = 3,b = 5,c = 7、(1)求角 C 的大小;(2)求△ABC 的面积18、(12 分)已知数列{aₙ}是等差数列,a₁= 1,a₃+ a₅=14、(1)求数列{aₙ}的通项公式;(2)设数列{bₙ}满足 bₙ = aₙ × 2ⁿ,求数列{bₙ}的前 n 项和 Sₙ19、(12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PA ⊥底面 ABCD,PA = AB = 2,AD = 4,∠BAD = 60°(1)证明:BD ⊥平面 PAC;(2)求二面角 P BD A 的余弦值20、(12 分)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B原料 3 吨。
高数模拟试题及答案
高数模拟试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 下列函数中,不是偶函数的是:A. f(x) = x^2B. f(x) = cos(x)C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)2. 函数f(x) = 2x - 1在x=1处的导数是:A. 0B. 1C. 2D. -13. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + 2y = x的解:A. y = (1/3)x^3 - x^2 + CB. y = x^2 - 2x + CC. y = x^2 + 2x + CD. y = x - 2 + C4. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点(1,0)处的切线斜率是:A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是:A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/36. 以下哪个级数是收敛的:A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...7. 以下哪个选项是泰勒级数展开的公式:A. f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ...B. f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + f''(1)(x-1)^2/2! + ...C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...D. f(x) = f(1) + f'(0)(x-1) + f''(0)(x-1)^2/2! + ...8. 以下哪个矩阵是可逆的:A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 1]C. [1 2; 2 4]D. [0 1; -1 0]9. 以下哪个是二阶偏导数的连续性条件:A. f_xx = f_yyB. f_xy = f_yxC. f_xx = f_yy = 0D. f_xy = f_yx = 010. 以下哪个是拉格朗日乘数法的应用场景:A. 求解线性方程组B. 求解最小二乘问题C. 求解线性规划问题D. 求解非线性方程组二、填空题(每题2分,共20分)11. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。
高中数学模考试题及答案
高中数学模考试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 已知函数f(x)=2x^2-3x+1,求f(2)的值。
A. 3B. 5C. 7D. 92. 若a,b,c是等差数列,且a+c=10,b=6,则a+b+c的值为多少?A. 16B. 18C. 20D. 223. 圆的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=25,求圆心坐标。
A. (2, -1)B. (-2, 1)C. (2, 1)D. (-2, -1)4. 已知向量a=(3, -2),向量b=(1, 2),求向量a与向量b的数量积。
A. -1B. 2C. 4D. -45. 函数y=x^3-3x^2+2在区间[1,2]上的最大值是多少?A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,若a=2,b=1,则双曲线的渐近线方程为?A. y=±x/2B. y=±2xC. y=±x/√2D. y=±√2x7. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. -18. 若函数f(x)=x^2-4x+3,求f(x)的对称轴方程。
A. x=2B. x=-2C. x=4D. x=-49. 已知等比数列{an}的前三项分别为2,6,18,求该数列的公比q。
A. 3B. 1/3C. 1/2D. 2/310. 求定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/3二、填空题(每题4分,共20分)1. 已知直线l的方程为y=2x+3,求直线l与x轴的交点坐标。
2. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx的值。
3. 若矩阵A=\begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix},求矩阵A的行列式。
4. 已知抛物线y=x^2-6x+8,求该抛物线的顶点坐标。
高考数学模拟试题及答案
高考数学模拟试题及答案一、选择题1. 在一个数列中,已知首项为2,公差为5,若第六项为27,则该数列的前n项和为多少?A. 120B. 117C. 115D. 90答案:B. 1172. 已知函数f(x) = x² + 3x + 2,g(x) = 2x + 1,则f(g(3))的值为多少?A. 144B. 81C. 50D. 48答案:A. 1443. 已知等差数列的首项为4,公差为3,若数列的第n项大于50,则n的最小值为多少?A. 16B. 17C. 18D. 19答案:C. 184. 某校有300名学生,其中男生占总数的40%,女生中80%在学校各项竞赛中获奖。
现在从这些学生中随机抽取一个学生,求该学生是女生且没有获奖的概率。
A. 0.48B. 0.32C. 0.16D. 0.08答案:C. 0.16二、填空题1. 已知函数f(x) = 3x² + 2,g(x) = 2x + 1,则f(g(2))的值为________。
答案:352. 若a:b = 3:2,b:c = 4:5,则a:b:c = ________。
答案:12:8:103. 直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm,其斜边的长为________。
答案:5cm4. 简化根式√(16x²y)的结果为________。
答案:4xy三、计算题1. 已知集合A = {2, 4, 6, 8, 10},集合B = {3, 6, 9},则集合A∪B = ________。
答案:{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}2. 解方程组:2x + 3y = 124x - 5y = 3的解为x = ________,y = ________。
答案:x = 3,y = 23. 某商品原价为200元,商家打7折促销,同时又进行满200减50的优惠活动。
小明购买了该商品,他实际支付了多少元?答案:135元4. 已知三角形ABC,角A为70°,BC=5cm,AC=8cm,请计算三角形ABC的面积(结果保留一位小数)。
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高等数学模拟题A .上册:上册期中(一)一、试解下列各题: 1.求。
2.求。
3.设处连续,在处不连续,试研究在处的连续性。
4.求在上的最大值与最小值。
二、试解下列各题: 1.判断的奇偶性。
2.[5分]设,其中,求。
3.[5分]设,求。
4.[5分]验证罗尔定理对在上的正确性。
三、试解下列各题:1.[6分]设函数由方程所确定,且,其中是可导函数,,求的值。
2.求极限。
3.求的极值。
四、设圆任意一点M (点M 在第一象限)处的切线与轴,轴分别交于A 点和B 点,试将该切线与两坐标轴所围成的三角形AOB 的面积S 表示为的函数。
1cos cos 21cos 2cos 8lim223-+--→x x x x x π242320)1()1(limx x x x --+→0)(x x x f =在)(x g 0x )()()(x g x f x F +=0x x x x f +=2)(]1,1[-)11(11ln 11)(<<-+-+-=x x x e e x f x x )]1ln 1ln(1ln[x x x y ++=10<<x y 'x xy +-=11)(n y 1074)(23--+=x x x x f ]2,1[-)(x y y =)()(22y x f y x f y +++=2)0(=y )(x f 1)4(,21)2(='='f f 0=x dxdy xx x 10)(cos lim +→22)13()(e x x e x f x +++=-222a y x =+),(y x ox oy x五、用函数连续性“”的定义,验证函数在任意点处连续。
六、求极限七、求与的公切线方程。
八、证明:当时,。
九、]一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升,其速率为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问观察员的视线的倾角增加率为多少? 参考答案:一、1.2。
2.7。
3.不连续。
4.二、 1.为偶函数。
2.3.三、1.2.3.为极大值。
四.六.七.九.上册期中(二)δε-x x f cos )(=0x )0(,lim >--→a a x a x x a a x 2x ax y +=)0(2>>+=a b bx x y π<<x 021sin 2x x ex+<+-2)1(,41)21(==-=-=f M f m )(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+-=21)ln 1(1)ln 1ln(11x x x x x x x x dx dy 1)()1(!)1(2++⋅-=n n n x n y710-==x dxdy 21-e e ef f 5)1(0)22+==-为极小值;(2242)(x a x a x s -=aa 16)(22ab x b a y --+=m in 14.0rad一、试解下列各题:1.求函数的连续区间,并求。
2.确定的单调区间。
3.求曲线的凹凸区间。
4.求曲线在的对应点处的曲率。
二、试解下列各题: 1.设不存在,试问是否存在?并证明之。
2.求。
3.设,求。
4.设,求。
三、[9分]直的铁路线长100公里,铁路线外点处有一工厂,且公里,欲从A 与B 间的铁路线上某点D 处向C 修公路,已知铁路与公路每公里运费之比为 ,问D 选在何处,可使从A 经过D 到达工厂C 的总运费最省?四、求曲线在点处的切线和法线方程。
五、求极限。
六、求的极大值与极小值。
七、设对任意有,且在点处存在,试证:当时。
参考答案:一、1.;0。
2.在上单调增加;在上单调减少。
3.在上上凸,在上上凹。
4.x x f sin ln )(=xx sin ln lim 2π→x x y -=ln )2()1(2-+=x x y 3x y -=21=x )(lim ,)(lim 0x g A x f x x x x →→=)()(lim 0x g x f x x +→xx x x 31212lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx x x f +=22)()(x f '⎩⎨⎧==t e y t e x t t 2222sin cos dxdy AB C BC AB ⊥20=BC 5:3632422=++y xy x )1,1(-M 1sin lim 2sin 2tan 2---→x e e x x x πxx x f ln )(3=)0(,≠xy y x )()()(y f x f xy f +=1=x a f =')1(0≠x x ax f =')(z k k k ∈+)(ππ)12(,2y ]1,0(),1[+∞y ]0,(-∞),0[+∞125192=k二、1.不存在。
2.3.4.三.当时总运费最省四.切线:;法线。
五.0。
六.为极大值,为极小值。
上册期中(三)一、试解下列各题:1.设,当时,求。
2.求极限。
3.求曲线的凹凸区间。
4.设曲线方程为,试求曲线在点处的法线方程。
5.求曲线在点(4,8)处的曲率及曲率半径。
二、试解下列各题:1.确定函数的间断点及其类型。
2.求3.设,求.4.试确定的值,使有拐点(),且在处有极大值为1,并求此函数的极小值。
三、求数列极限。
四、设由方程所确定,求。
3e xx x f 24)(+=')sin (cos cos )cos (sin sin t t t t t t dx dy -+=km BD 15=054=--y x 034=-+y x e e f 3)1(3=-e ef 3)1(3-=12)(+==x x f y 0201.0,1=∆=x x dy y 与∆20sin )cos 1(2sin limx x x x x -⋅→x x y sin -=462++=x x y )4,2(--32x y =xx ex f --=111)()arcsin(lim 2x x x x -++∞→⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos ln 22dx y d ,,,c b a c bx ax x y +++=231,1-0=x 1!sin lim32+∞→n n n n )(x y y =xx y y 1)(+=dxdy五、设,试确定常数之值,使处处可导.六、设在上为正值的可导函数,证明,使。
七、以椭圆的长轴为底,作一个与此椭圆内接的等腰梯形,试求它的面积的最大值。
参考答案:一.1.。
2.1。
3.在上上凹,在上上凸 4.5.二.1.为的第二类无穷间断点;为的第一类跳跃间断点。
2.3.4.;此函数的极小值为 三.0。
四.。
五.。
七.。
上册期末(一)一、试解下列各题:⎪⎩⎪⎨⎧-++++=x x d cx bx ax x x x f 2232)(1100≥<<≤x x x d c b a ,,,)(x f )(x f ],[b a ),(b a c ∈∃)()()()()(lna b c f c f a f b f -'=)0,20(sin cos a b t t b y ta x <<≤≤⎩⎨⎧==πAB ABCD 0201.0,02.0==∆dy y y ]2,2[πππ+k k ]22,2[ππππ++k k 0102=++y x 10380,800103==R k 0=x )(x f 1=x )(x f 6πt t t t t dxy d sin )sin (cos cos 22-=1,0,3==-=c b a 3)2(-=y y xy x y y x y dx dy -++-=2]ln )(1[0,1,3,2==-==d c b a ab s 433max =1.求极限。
2.设为可导函数,,求。
3.设,求。
4.求极限。
二、试解下列各题:1.求极限。
2.求曲线的凹凸区间。
3.求。
4.向量和构成的角,且,试求。
三、当为何值时,抛物线与三直线所围成的图形面积最小。
四、设,其中为常数,,求。
五、设,讨论函数在处的连续性与可导性。
,由方程的可导,且,使得。
)tan1sin1(1lim0xxxx-→)(xf)(2)()(x f exfx⋅=ϕ)(xϕ')100()2)(1()(---=xxxxxf )0(f'xxxee xxx sin2lim0----→xxx2cot)2(lim2ππ-→)2()1(2-+=xxyxdxx arctan2⎰ab︒=60ψ8,5==baba+a2xy=0,1,++==yaxax⎩⎨⎧===mtytxxfln)(m)0(>t1=tdxydnn⎩⎨⎧+=xxxf1)(≥<xx⎰--∈=x xdttfxF1]1,1[,)()(=xx2)(xfy=)(xf],ba),(ba∈ξ1997)(=ξB参考答案:一、1.2.3.4.2。
二、1.2.在曲线上凸,在[0,曲线上凹3. 4.三、当时,最小。
四、五、在处连续但不可导。
六、七、八、极小值为,无极大值。
上册期末(二)一、试解下列各题: 1.设对于适合的有且,求。
2.计算数列极限。
3.求。
4.计算。
二、试解下列各题: 1.设函数由方程所确定,且,21]2)([)()()(+'⋅='x f e x f x f x x f )(ϕ!100)0(='f 21]0(,-∞)∞+Cx x x x +++-)1ln(6161arctan 3122312921-=a s nt nn m dx y d ==1)(x F 0=x 2ln 12-=x y 53+2)2(=-y )(x f 1)()(≠y f x f yx ,)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+1)0(≠f )0(f ]2))1(321[(21lim 2n n n n --+++++∞→ ⎰xdxx csc cot 3dxx x ⎰-21)(x y y =)()(22y x f y x f y +++=2)0(=y其中是可导函数,,求的值。
2.设 ,求。
3.求。
4.设为非零向量,且向量在向量上的投影等于向量在向量上的投影。
问向量有什么关系。
三、求。
四、设,求使在上是偶函数。
五、设曲线方程为,求此曲线在的点处的切线方程。
六、求。
七、在空间直角坐标系中,分别为坐标平面上各坐标轴之间夹角的平分线,求它们两两之间的夹角。
八、求极限。
九、设是以为周期的连续函数,证明:或是以为周期的周期函数,或是线性函数和周期函数之和。
十、两厂在直河岸的同侧,沿河岸,离岸4公里,与相距5公里,今在河岸边建一水厂,从水厂到厂的每公里水管材料费是厂的倍,问水厂设在离厂多远才使两厂所耗总的水管材料费为最省?参考答案: 一、1. 2.)(x f 1)4(,21)2(='='f f 0=x dxdy ⎩⎨⎧+x x )1ln(00<≥x x )0(f '⎰+∞+12)1(x x dxb a,a b b a b a ,301sin tan 1limx x x x +-+→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=x x x x f 10)()(ψ000>=<x x x )(x ψ)(x f ),(+∞-∞⎩⎨⎧+=++=t t y tt x cos sin 22=x ⎰++)1)(1(2x x dx321,,l l l zox yoz xoy .,xx x x cos 110)arcsin (lim -→)(x f T dt t f x F xx ⎰=0)()(T B A ,A B A B C B A 5C A 0)0(=f 21-3. 4. 二、1. 2. 3.4..三、四、 五、六、七、八、十、当时两厂所耗总的水管材料费最省。