高数模拟习题集含参考答案

高等数学模拟题

A ．上册：

上册期中（一）

一、试解下列各题： 1．求

。

2．求。

3．设处连续，在处不连续，试研究在处的连续性。

4．求

在上的最大值与最小值。 二、试解下列各题： 1．判断的奇偶性。

2．[5

分]设

，其中，求。 3．[5分]设

，求。

4．[5分]验证罗尔定理对

在上的正确性。

三、试解下列各题：

1．[6分]设函数由方程

所确定，且，其中

是可导函数，，求的值。

2．求极限。

3．求的极值。

四、设圆任意一点M （点M 在第一象限）处的切

线与轴，轴分别交于A 点和B 点，试将该切线与两坐标轴所围成的三角形AOB 的面积S 表示为的函数。

1cos cos 21cos 2cos 8lim

223

-+--→

x x x x x π242320

)1()1(lim

x x x x --+→0)(x x x f =在)(x g 0x )()()(x g x f x F +=0x x x x f +=2

)(]1,1[-)

11(11ln 11)(<<-+-+-=x x x e e x f x x )]

1ln 1ln(1ln[x x x y ++=10<

y +-=

11)

(n y 1074)(2

3--+=x x x x f ]2,1[-)(x y y =)()(2

2y x f y x f y +++=2)0(=y )(x f 1

)4(,21

)2(='='f f 0

=x dx

dy x

x x 1

0)

(cos lim +→2

2)13()(e x x e x f x +++=-222a y x =+),(y x ox oy x

五、用函数连续性“”的定义，验证函数在任意点处连续。

六、求极限

七、求与

的公切线方程。 八、证明：当时，。

九、]一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员的视线的倾角增加率为多少？ 参考答案：

一、1．2。2．7。 3．不连续。

4．

二、 1．为偶函数。

2．

3．

三、1．2．

3．

为极大值。

四．

六．

七．

九．

上册期中（二）

δε-x x f cos )(=0x )0(,lim >--→a a x a x x a a x 2

x ax y +=)0(2>>+=a b bx x y π

<

1sin 2

x x e

x

+

<+-2

)1(,41

)21(==-=-=f M f m )(x f ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+-+-+-=21)ln 1(1)

ln 1ln(11x x x x x x x x dx dy 1)

()1(!)1(2++⋅-=

n n n x n y

7

10

-

==x dx

dy 2

1-

e e e

f f 5

)1(0)22+

==-为极小值；（2

24

2)(x a x a x s -=

a

a 16)(22a

b x b a y --

+=m in 14.0rad

一、试解下列各题：

1．求函数

的连续区间，并求。

2．确定的单调区间。

3．求曲线

的凹凸区间。 4．求曲线在

的对应点处的曲率。

二、试解下列各题： 1．设

不存在，试问

是否存在？并

证明之。

2．求

。

3．设

，求。

4．设，求。

三、[9分]直的铁路线长100公里，铁路线外点处有一工厂，且公里，欲从A 与B 间的铁路线上某点D 处向C 修公路，已知铁路与公路每公里运费之比为 ，问D 选在何处，可使从A 经过D 到达工厂C 的总运费最省？

四、求曲线在点处的切线和法线方程。 五、求极限

。

六、求的极大值与极小值。

七、设对任意有，且在点处存在

，试证：当时

。

参考答案：

一、1．

；0。 2．在上单调增加；在上单调减少。 3．在上上凸，在上上凹。 4．

x x f sin ln )(=x

x sin ln lim 2

π

→x x y -=ln )2()1(2

-+=x x y 3

x y -=21

=

x )

(lim ,)(lim 0

x g A x f x x x x →→=)

()(lim 0

x g x f x x +→x

x x x 31212lim ⎪⎭⎫

⎝⎛-+∞→x

x x x f +=22)()(x f '⎩⎨⎧==t e y t e x t t 2

222sin cos dx

dy AB C BC AB ⊥20=BC 5:3632422=++y xy x )1,1(-M 1sin lim 2sin 2tan 2

---→

x e e x x x πx

x x f ln )(3=)0(,≠xy y x )()()(y f x f xy f +=1=x a f =')1(0≠x x a

x f =

')(z k k k ∈+）（ππ)12(,2y ]1,0(),1[+∞y ]0,(-∞),0[+∞125192=

k