近世代数期末考试题库1

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设A＝B＝R(实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R,则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有( d ）个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是(b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等.5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合;,则有-1,0，1，-2，2。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环.4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。

8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---—-—-—-。

9、一个除环的中心是一个—域---——.三、解答题（本大题共3小题,每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。

和可以写成如下对换的乘积：2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。

若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则,而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0，即:，，所以，表示法唯一。

3、设集合，定义中运算“”为ab=（a+b）（modm）,则(，）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分,共25分）1、设是群。

证明：如果对任意的,有，则是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。

1、对于G中任意元x,y，由于,所以(对每个x，从可得）。

2、证明在F里有意义，作F的子集显然是R的一个商域证毕。

近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集(c ）是子群.A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G，＊）中，（d ）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合,＊为加法D、G为有理数集合,＊为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ）A、a*b=a—bB、a＊b=max{a，b｝C、 a*b=a+2bD、a*b=|a-b｜4、设、、是三个置换,其中=（12）（23）(13），=（24）（14），=（1324），则=（ b ）A、 B、 C、 D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ a ）。

A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题（本大题共10小题,每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说:任一个子群都同一个—-—变换全——---—-同构。

2、一个有单位元的无零因子—交换环————称为整环。

3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于-25——--—。

4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与—-—-———同构。

5、A=｛1。

2。

3｝ B=｛2.5.6} 那么A∩B=-——2-—.6、若映射既是单射又是满射，则称为-—-双射--—----—-—-—--.7、叫做域的一个代数元,如果存在的-—不都等于林--—使得。

8、是代数系统的元素,对任何均成立,则称为—-—-单位元-----.9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭;结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----——-—-—。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I，(1 2)},写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“"是E中的运算，（E,）是一个代数系统，问（E，）是不是群,为什么？1、解：H的3个右陪集为：｛I，（1 2)｝,｛（1 2 3 ），(1 3）｝，{（1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2）} ，｛（1 2 3 )，（2 3）},｛(1 3 2 )，(1 3 )｝2、答：(E,）不是群，因为（E，）中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。

列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到（a，b）=17， [a，b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102—85=102—（b-3×102）=4×102—b=4×（a—b）—b=4a-5b。

所以 p=4, q=—5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、证明设e是群〈G，*〉的幺元.令x＝a－1＊b，则a*x＝a＊(a－1*b）＝(a*a－1）＊b＝e*b＝b。

所以，x＝a－1＊b是a＊x＝b的解。

若x'∈G也是a＊x＝b的解，则x'＝e*x'＝（a－1*a）*x'＝a－1*(a＊x')＝a－1＊b＝x.所以，x＝a－1*b是a＊x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]={x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类.若m ︱a–b也记为a≡b（m）.当m=2时，Z2仅含2个元:[0］与[1］。

四、证明题（本大题共2小题,第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（ c ）。

A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（ c）个元素,则不能肯定G是交换群。

A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ d ）。

4、下列哪个偏序集构成有界格（ d ）A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂A、(N，)B、（Z,）C、（｛2，3，4，6,12},｜（整除关系）)D、（P(A),)5、设S3＝｛（1），(12),（13)，（23），（123),（132)}，那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有（ a ）A、（1)，(123）,(132)B、12)，(13)，(23）C、（1)，（123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是———-———-的，每个元素的逆元素是-——-————的。

2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则—-—-a---——-。

3、区间［1，2］上的运算的单位元是——2——-——.4、可换群G中|a｜=6，|x｜=8,则｜ax|=—--24-—-—-——。

5、环Z8的零因子有 --—--—---------——-—----.6、一个子群H的右、左陪集的个数——-相等-—-—-——。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的———-—商权--—-。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的—-—特征-——--—-—。

9、设群中元素的阶为，如果,那么与存在整除关系为—--mIn-—--。

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。

S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。

1．求和；2．确定置换和的奇偶性。

群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如,全白只1种,四白一黑1种，三白二黑2种，…等等,可得总共8种。

2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a—b， ab∈S1∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a—b， ab∈S1和a-b， ab∈S2 ，因而a—b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环.S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1．，；2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

1、证明:假定是R的一个理想而不是零理想,那么a,由理想的定义,因而R的任意元这就是说=R，证毕。

2、证必要性：将b代入即可得.充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=（ab2a)ba=ab2 (aba）=ab2a=e，近世代数模拟试题四一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分.1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d )个元素.A.2B.5C.7D.102。

设A＝B＝R（实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的( c ）A.满射而非单射B。

单射而非满射C。

一一映射D。

既非单射也非满射3。

设S3＝{（1)，（12）,(13）,（23），(123)，（132)}，那么,在S3中可以与（123)交换的所有元素有（）A.(1),(123)，（132）B。

(12），（13)，（23）C.（1)，(123）D.S3中的所有元素4。

设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ d ）个。