新教材人教A版选择性必修第一册 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直 学案

第2课时空间中直线、平面的垂直素养目标·定方向课程标准学法解读1．理解直线的方向向量和平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象)2．能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理．(逻辑推理)3．能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系．(逻辑推理)必备知识·探新知知识点空间中垂直关系的向量表示设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则线线垂直l1⊥l2⇔__u1⊥u2__⇔__u1·u2＝0__线面垂直l1⊥α⇔__u1∥n1__⇔__∃λ∈R，u1＝λn1__面面垂直α⊥β⇔__n1⊥n2__⇔__n1·n2＝0__思考：怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系？提示：(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．关键能力·攻重难题型探究题型一利用向量方法证明线线垂直典例1如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，P A ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．求证：无论点E 在边BC 上的何处，都有PE ⊥AF ．[分析] 只需证明直线PE 与AF 的方向向量互相垂直即可．[证明] 方法1：以A 为原点，以AD ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (0,1,0)，C (a,1,0)，于是F ⎝⎛⎭⎫0，12，12．∵E 在BC 上， ∴设E (m,1,0)， ∴PE →＝(m,1，－1)， AF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12． ∵PE →·AF →＝0，∴PE ⊥AF ．∴无论点E 在边BC 上何处，总有PE ⊥AF ． 方法2：因为点E 在边BC 上，可设BE →＝λBC →， 于是PE →·AF →＝(P A →＋AB →＋BE →)·12(AP →＋AB →)＝12(P A →＋AB →＋λBC →)·(AB →＋AP →) ＝12(P A →·AB →＋P A →·AP →＋AB →·AB →＋AB →·AP →＋λBC →·AB →＋λBC →·AP →)＝12(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0， 因此PE →⊥AF →．故无论点E 在边BC 上的何处，都有PE ⊥AF ．[规律方法] 利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．【对点训练】❶ 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1．求证：AB 1⊥MN ．[证明] 如图，以平面ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴，AC →，AA 1→所在直线为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B 1⎝⎛⎭⎫32，12，1，M ⎝⎛⎭⎫34，34，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，14．即AB 1→＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，MN →＝⎝⎛⎭⎫－34，14，14．故AB 1→·MN →＝－38＋18＋14＝0．因此AB 1→⊥MN →，即AB 1⊥MN ． 题型二 利用向量方法证明线面垂直典例2 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别为棱AB ，BC ，B 1B 的中点．求证：D 1M ⊥平面EFB 1．[分析] 一种思路是不建系，利用基向量法证明D 1M →与平面EFB 1内的两个不共线向量都垂直，从而根据线面垂直的判定定理证得结论；另一种思路是建立空间直角坐标系，通过坐标运算证明D 1M →与平面EFB 1内的两个不共线向量都垂直；还可以在建系的前提下，求得平面EFB 1的法向量，然后说明D 1M →与法向量共线，从而证得结论．[证明] 方法1：因为E ，F ，M 分别为棱AB ，BC ，B 1B 的中点，所以D 1M →＝D 1B 1→＋B 1M →＝DA →＋DC →＋12B 1B →，而B 1E →＝B 1B →＋BE →＝B 1B →－12DC →，于是D 1M →·B 1E →＝⎝⎛⎭⎫DA →＋DC →＋12B 1B →·⎝⎛⎭⎫B 1B →－12DC →＝0－0＋0－12＋12－14×0＝0，因此D 1M →⊥B 1E →．同理D 1M →⊥B 1F →，又因为B 1E →，B 1F →不共线，因此D 1M ⊥平面EFB 1．方法2：分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫1，1，12，B 1(1，1,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0， 于是D 1M →＝⎝⎛⎭⎫1，1，－12，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，B 1F →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，－1， 因此D 1M →·B 1E →＝1×0＋1×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0，故D 1M →⊥B 1E →； 又D 1M →·B 1F →＝1×⎝⎛⎭⎫－12＋1×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0，故D 1M →⊥B 1E →． 又B 1E →，B 1F →不共线，因此D 1M ⊥平面EFB 1．方法3：分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫1，1，12，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0． 于是D 1M →＝⎝⎛⎭⎫1，1，－12，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，B 1F →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，－1， 设平面EFB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，于是n ⊥B 1E →，n ⊥B 1F →，因此⎩⎨⎧－12y －z ＝0，－12x －z ＝0，取x ＝2，则y ＝2，z ＝－1，即n ＝(2,2，－1)， 而⎝⎛⎭⎫1，1，－12＝12(2,2，－1)，即D 1M →＝12n ， 所以D 1M →∥n ，故D 1M ⊥平面EFB 1． [规律方法] 坐标法证明线面垂直的两种思路 (1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直．(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行．【对点训练】❷ 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD ．[证明] 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO ．因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC ．因为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1．取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1，1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)．所以AB 1→＝(1,2，－3)，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →＝(－2,1,0)． 方法一：因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0， AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0．所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD ． 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD ．方法二：设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥BA 1→，n ⊥BD →， 故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ， 所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD ． 题型三 利用向量方法证明面面垂直典例3 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，点E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C ．[分析] 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0．[解析]由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以点B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0，2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1．∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1．∴n 2＝(1，－1,4)， ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C ．[规律方法] 1．利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．【对点训练】❸ 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1．[证明] 如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0，2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)，因为D 为BC 的中点，所以D 点坐标为(1,1,0)，所以AA 1→＝(0,0，3)，AD →＝(1,1,0)，BC →＝(－2,2,0)，CC 1→＝(0，－1，3)，设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1得x 1＝1，z 1＝0， 此时n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0，n 2·CC 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝1，z 2＝33， 此时n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33．所以n 1·n 2＝1－1＋0＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1．题型四 探究性问题典例4 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P (0,1，a )，则A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，C 1(0,1,1)，A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1P →＝(－1,1， a －1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DC 1→＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B 1→＝0，n 1·A 1P →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋(a －1)z 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝(a －1)z 1，y 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝a －1，此时n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2，z 2＝－y 2.令y 2＝1，得x 2＝－2，z 2＝－1，此时n 2＝(－2,1，－1)．因为平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，所以n 1·n 2＝0，即－2(a －1)－1＝0，得a ＝12．所以当P为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ．[规律方法] 空间向量适合解决这类立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．解题时，把要说明成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．【对点训练】❹ 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，E 是B 1C 的中点．(1)求cos 〈BE →，CA 1→〉；(2)在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ？若存在，求出|AF →|；若不存在，请说明理由．[解析] (1)以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC ＝2a ，∠ABC ＝90°， ∴AB ＝BC ＝2a ．∴B (0,0,0)，A (2a,0,0)，C (0，2a,0)，B 1(0,0,3a )，A 1(2a ，0,3a )，C 1(0，2a,3a )，D ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，3a ，E ⎝⎛⎭⎫0，22a ，32a ，CA 1→＝(2a ，－2a,3a )，BE →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，32a ．∴|CA 1→|＝13a ，|BE →|＝112a ，CA 1→·BE →＝0－a 2＋92a 2＝72a 2．∴cos 〈BE →，CA 1→〉＝BE →·CA 1→|BE →||CA 1→|＝7143143．(2)存在．理由如下：假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ．不妨设AF ＝b ，则F (2a,0，b )，CF →＝(2a ，－2a ，b )，B 1F →＝(2a,0，b －3a )，B 1D →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0． ∵CF →·B 1D →＝a 2－a 2＋0＝0，∴CF →⊥B 1D →恒成立．由B 1F →·CF →＝2a 2＋b (b －3a )＝b 2－3ab ＋2a 2＝0，得b ＝a 或b ＝2a ，∴当|AF →|＝a 或|AF →|＝2a 时，CF ⊥平面B 1DF ．易错警示典例5 在四面体A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．判断平面BEF 与平面ABC 是否垂直．[错解] 过B 作Bx ∥CD ，∵CD ⊥BC ，∴Bx ⊥BC ．建立如图所示空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量n ＝(1,0,0)，设BC ＝a ，则CD ＝a ，BD ＝2a ，∵∠ADB ＝30°，∴AB ＝2a ，∴C (0，a,0)、D (a ，a,0)、A (0,0，2a )，∵E (0，a 2，22a )、F (a 2，a 2，22a )． ∵n ·BE →＝0，n ·BF →≠0，∴n 不是平面BEF 的法向量，故平面BEF 与平面ABC 不垂直．[辨析] 上述解答有三处主要错误，一是混淆了面面平行与面面垂直的向量表示，当平面ABC 与平面BEF 垂直时，应有两平面的法向量垂直，从而应是n 是否与BE →、BF →共面，二是D 点的坐标错误，D 点的横坐标应为负值，三是计算错误，在Rt △ABD 中，由∠BDA＝30°，BD ＝2a 应得AB ＝6a 3． [正解]建立如图所示坐标系Bxyz ，取A (0,0，a )，则易得 B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，a 2，F ⎝⎛⎭⎫0，32a ，a 2， 则有EF →＝⎝⎛⎭⎫－34a ，3a 4，0， BA →＝(0,0，a )、BC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0． ∵EF →·BA →＝0，EF →·BC →＝0，∴EF ⊥AB ，EF ⊥BC ．又∵AB ∩BC ＝B ，∴EF ⊥平面ABC ．又∵EF ⊂平面BEF ，∴平面ABC ⊥平面BEF ．。