北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 6.2垂直关系的性质》
平面与平面垂的性质
【教学目标】1 理解并掌握直线与平面，平面与平面垂直及其与直线与直线
垂直的关系，并会应用。
2 通过定理及性质的学习，学会解决有关垂直问题。
【知识梳理】
一复习回忆
前面我们学习了
1平面与平面垂直的定义：判定平面与平面垂直的方法
2平面与平面垂直的判定定理，解决了平面与平面垂直的问题；反之，在平面与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？
二学习目标
1掌握平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理重点〕
2能够灵活地应用面面垂直的性质定理证明有关问题难点〕
三课堂探究
探究点1：平面与平面垂直的性质
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线在平面α内，那么直线与平面β的位置关系有哪几种可能？
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上
是否存在直线与地面垂直？
思考3:长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？
平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
探究点2：平面与平面垂直的性质的应用
思考1:假设α⊥β，过平面α内一点A作平面β的垂线，垂足为B，那么点B 在什么位置？说明你的理由
思考2:如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，此直线与该平面是何位置关系。
高中数学北师大版必修2教案-6_垂直关系_教学设计_教案_1
教学准备1. 教学目标1.掌握直线与平面及平面与平面垂直的性质定理，并会应用。
2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力2. 教学重点/难点1.掌握直线与平面及平面与平面垂直的性质定理，并会应用。
2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力3. 教学用具4. 标签教学过程二．重点知识（课前自学完成）1.阅读课本P38-40完成下列问题。
2．何谓直线与平面垂直的性质定理：文字描述：图形呈现：符号表示：1. 何谓平面与平面垂直的性质定理：图形呈现：符号表示：三、知识应用例1、如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点求证：DF∥平面ABC例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直且相交，分别交AC、A1D于E、F 求证：EF∥BD1四自测达标1.对于直线m, n和平面，，能得出的一个条件是（）2.下列命题错误的是（）A．若，那么内的所有直线都垂直于B. 若，那么内一定存在直线平行于C. 若不垂直于，那么内定不存在直线垂直于D. 若，那么内有无数条直线都垂直于3.若直线a//直线b，且a平面，则直线b与平面的关系是（填“一定”或“不一定”）垂直4.已知三棱锥P-ABC，PA=PB，AC=BC，D为AB的中点，（1）求证：平面PAB平面PCD（2）求证：若E为PCD的垂心，则CE平面PAB。
1.6.2垂直关系的性质 教案 (高中数学必修二北师大版)
6．2垂直关系的性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解线面垂直、面面垂直性质定理的含义．(2)能运用性质定理证明相关问题．2．过程与方法通过对定理的理解，培养学生独立解决问题的能力和体会数形结合的思想方法．3．情感、态度与价值观通过对定理的探究，培养学生用数学思维方式解决问题，培养学生的空间观念、空间想象能力．●重点难点重点：垂直关系的性质定理．难点：垂直关系的性质定理的应用．(教师用书独具)●教学建议本节知识是在学习了垂直关系的判定后继续对垂直关系的研究，教学时可以引导学生思考判定定理与性质定理的相互联系．让学生进一步明确，由直线和平面垂直可以推出两个平面相互垂直，而由两个平面相互垂直也可以推出直线和平面垂直，这一方面说明两种垂直之间有密切的联系，另一方面也说明两者之间可以互相转化．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答所提问题，理解线面垂直及面面垂直的性质⇒通过例1及互动探究，使学生掌握直线与平面垂直的应用⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握垂直的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？【提示】平行．黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？【提示】画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即可．如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.图1－6－16【思路探究】证明BD1和EF分别垂直于同一个平面即可．【自主解答】如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1 平面BDD1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.1．正方体的体对角线与它不共面的面对角线垂直．如本题中，BD1⊥AC，BD1⊥A1D.2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理证明．在本例中，若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C?【解】若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG⊥平面AB1C.已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，求证：P A⊥平面ABC.【思路探究】欲证线面垂直需寻求线线垂直，而已知条件中面面垂直可得到线线垂直．【自主解答】如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 6.1垂直关系的判定》
《直线与平面垂直的判定》教学设计吉水二中谢志强1教材分析教学内容本节是北师大版高中数学必修2第一章直线与平面垂直的判定”，内容为直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用通过让学生观察实例引出直线和平面垂直的概念:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直而直线与平面垂直的判定定理是让学生通过折纸试验来感悟的:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直该定理把原来定义中要求与任意一条无限直线垂直转化为只要与两条有限相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定具有可操作性地位作用直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况,它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的轴心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一通过该内容的学习，进一步培养和发展学生空间想象能力、合情推理能力、一定的推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化2学情分析基础水平之前学生已经学习了两直线共面或异面互相垂直的位置关系，学习了直线与平面平行的判定和性质，有了研究方法的体验，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的空间想象能力、几何直观能力、推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识认知困难学生学习的困难之一是如何从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的因为学生直观感知中的形象和定义中“直线与平面内的任意一条直线都垂直”的内涵是有距离的教学中首先通过一些实例让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再利用“旗杆与变动的影子的关系”的情境，从中概括出定义，体会直线与平面垂直定义的合理性学生学习的另一个困难是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要“两条相交直线”的理解，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”,这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生理解上的思维障碍教学中可充分利用“折纸”试验，引导学生进行操作、观察、思考与说理，挖掘“折纸”活动的数学内涵，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认3教学目标1知识与技能:借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义;通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题2过程与方法:在探索直线与平面垂直判定定理的过程中进一步培养学生的空间观念，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，同时体验和感悟转化的数学思想方法(3)情感态度与价值观:让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心4重点难点1教学重点:直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理2教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用5教法教具2教法:本课采用“引导一探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲教师引导学生通过观察、分析、实验、讨论、说理等活动，领悟定义与判定定理的本质内涵，通过对例题和练习的思考、板演、交流与说理，体验思路的形成过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提髙课堂效率3教具:投影仪，多媒体课件（以PowerPoint为平台）；学生自备学具:三角形纸片、笔表直线、课本表平面6教学过程直观感知直线与平面垂直的形象在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行我们已经系统研究过了，接下来要研究直线与平面相交的情形问题1展示日常生活中具有直线与平面相交的四个例子，图三、图四与图一、图二的相交有何不同？意图:基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察,让学生直观感知直线与平面相交中的特例——直线与平面垂直的形象，由此引出课题问题2在已学的空间几何体的直观图中，说说你心目中哪些直线与平面是垂直的？意图:基于学生的数学现实，在已学的几何模型中感知直线与平面垂直的位置关系抽象概括直线与平面垂直的定义问题3根据我们已有的经验，对于直线与平面垂直的位置关系，研究的内容、方法分别是什么？意图：明确研究的内容，通过对已有知识经验的回顾，引导学生用平面外直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形，体会知识形成的自然性问题4将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（红线处）与桌面的位置关系（如图1），此时书脊与每页书与桌面的交线的位置关系如何？问题5观察圆锥SO（图2），它给我们以轴垂直于底面的形象，轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？意图:问题4旨在让学生发现书脊所在直线始终与书页和桌面交线垂直，问题5旨在引导学生根据异面直线所成角的概念，圆锥的轴与底面任意一条直线垂直问题6若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你认为该直线与此平面垂直吗？意图:通过观察、讨论与举例，引导学生认识定义的“充要性”与“合理性”，由此得出直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。
高中数学北师大版必修2第一章《6.2垂直关系的性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
高中数学北师大版必修2第一章《6.2垂直关系的性质》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案【名师授课教案】1教学目标1. 掌握面面垂直的性质定理;2 能通过实验提出自己的猜想并能进行论证,灵活运用知识学会分析问题、解决问题。
2、能力目标:以学生的经验为基础,通过实验、分析、猜想、归纳、论证、运用培养学生分析问题、解决问题的能力;在与位置有关的推理、有条理的具体操作、想象与描述等数学活动感知和体验空间与图形的现实意义。
在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念。
逐步培养抽象的逻辑思维,使学生学会提出问题,培养学生解决问题的能力。
通过变式练习培养学生的发散思维,培养学生的创新能力。
3、情感目标:进一步丰富数学学习的成功体验,激发对空间图形研究的兴趣,形成积极参与数学活动,主动与他人合作交流的意识。
2学情分析1.充分利用现实情景,尽可能增加教学过程的趣味性、实践性。
利用多媒体课件和实物模型等丰富学生的学习资源,生动活泼地展示图形,强调学生的动手操作实验和主动参与。
通过实验-猜想-论证-运用,培养学生分析问题解决问题的能力;通过丰富多彩的集体讨论、小组活动,以合作学习促自主探究。
2.教师是学生学习的组织者、促进者、合作者;在本节的备课和教学过程中,为学生的动手实践,自主探索与合作交流提供机会,搭建平台;鼓励学生提出自己的见解,学会提出问题,尊重学生的个人感受和独特见解;帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值,作学生健康心理、健康品德的促进者、催化剂。
通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适,自我选择3重点难点重点:掌握面面垂直的性质定理;难点:定理的应用。
4教学过程。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 6.2垂直关系的性质》4
学生在小 组思考交 流，利用性 质定理解 题。
巩固检测， 给学生留 时间思考， 采用口答 形式，让学 生完成前 3 题，第 4 题 让学生说 解题思路 再整理（看 时间是否 充裕），根
据学生回 答情况进 行点评。
通过作业 布置，检测 学生对本 节内容的 掌握情况， 便于及时 调整教学 计划。
从知识、方 法和思想 等几个方 面完成本 节课的知 识归纳和 方法总结。 同时做好 课后教学 工作得失 反思。
编写人： 杨思兰 审核人： 数学组陈文标 编制时间：2021-3-19 姓名：
课题：直线与平面垂直的性质
班级：
学习内容
个性笔记
【学习目标】
通过目标
1. 理解直线与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语 展示,让学
言描述该定理
生明白要
2 掌握证明直线与平面垂直的性质定理的证明方法
学习的内
3 了解垂直的判定定理和性质定理的相互联系，能运用性质解决一 容,达到什
C l // m 菱形 ABCD
所D在垂平''直面，那M么 MA 与
'
D
BD
的位C置关
A 平行
B 垂直相交 α
P
M
引导学生 阅读教材, 体会线面 垂直的性 质定理得 运用,顺势 引出课题
引导学生
C 异面且垂直 D 相交但不垂直
D
画图,用符
C
号表 b
A
B
(2) 若 a , a b ，则 b //
出证明思
P
路帮助学
E
生梳理证
A
D
明方法，让
B
C
学生逐步
明确反证
法的使用
北师大版高中必修26.1垂直关系的判定课程设计 (2)
北师大版高中必修26.1垂直关系的判定课程设计课程设计目的本课程设计的主要目的是帮助高中数学学生理解并掌握垂直关系的定义和判定方法。
具体目标包括：•理解垂直关系的定义•掌握通过斜率、倾斜角和向量等方法判定垂直关系的技巧•能够灵活应用垂直关系的判定方法解决实际问题预备知识在进行本课程设计前，学生需要掌握以下知识：•直线的方程（一次函数）•向量的基本概念•向量的数量积和向量积课程设计过程第一步：定义垂直关系首先，引导学生回顾直线的一般方程式 y = kx + b（其中 k 为斜率，b 为截距）。
然后，引导学生了解两条直线之间的垂直关系应该满足什么条件，具体表现在两方面：•斜率的乘积为 -1。
即若直线 L1 的斜率为 k1，直线 L2 的斜率为k2，那么有k1×k2 = -1。
•两条直线的倾斜角之和为 90 度。
通过这样的定义，引导学生深入理解垂直关系的概念和本质，并让学生自己完成相关知识点的整理。
第二步：通过斜率判定垂直关系第二步的主要目的是让学生掌握在已知直线的一般方程式 y = kx + b 的情况下，如何通过斜率来判定两条直线之间的垂直关系。
对此，推荐使用下列思路：•了解斜率的性质和含义，培养对平行和垂直的感性认识。
•利用斜率的乘积为 -1 的性质来判定两条直线之间的垂直关系。
•通过具体例子，帮助学生掌握这一判定方法的具体运用。
第三步：通过倾斜角判定垂直关系第三步的主要目的是让学生掌握在已知两条直线的倾斜角度数的情况下，如何直接判定两条直线之间的垂直关系。
对此，推荐使用以下步骤：•在平面直角坐标系中画出两条直线，并且确定让角度的基准线（例如，横轴）。
•利用正弦定理和余弦定理计算出两条直线与基准线的夹角。
•判断两角之和是否等于 90 度，从而根据定义判断两条直线之间的垂直关系。
第四步：通过向量判定垂直关系第四步的主要目的是让学生掌握通过向量积来判定垂直关系的方法。
具体来说，可以使用以下思路：•通过向量的基本概念，让学生了解向量的含义和性质，培养学生对向量运算的感性认识。
北师大版高中数学必修二垂直关系的性质学案
§1 垂直关系的性质（第三课时）班级组号姓名一、学习目标：1.掌握直线与平面及平面与平面垂直的性质定理，并会应用。
2.通过定理的学习，培养和发展学生的空间想象能力，推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力，几何直观感知能力二．重点知识（课前自学完成）1.阅读课本P38-40完成下列问题。
2．何谓直线与平面垂直的性质定理：文字描述：图形呈现：baα符号表示：3.何谓平面与平面垂直的性质定理：图形呈现：βNMαBA符号表示：三、知识应用例1. 如图所示，ΔPAC为等腰三角形，AC为底边，平面PAC⊥平面ABC ，PD为ΔPAC 的顶角平分线，试判断PD与平面ABC是否垂直？并说明理由。
（A级）ABCDP例2.如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证：（1）EM⊥平面A A1C1C（2）平面A1EC⊥平面AA1C1C；（B级）EMA1B1C1ABC四自测达标1.对于直线m, n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（A级）（）2.下列命题错误的是(B级) （）A．若α⊥β，那么α内的所有直线都垂直于βB. 若α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βC. 若α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βD. 若α⊥β，那么α内有无数条直线都垂直于β3.若直线a//直线b，且a⊥平面α，则直线b与平面α的关系是（填“一定”或“不一定”）垂直（A级）4.已知三棱锥P-ABC，PA=PB，AC=BC，D为AB的中点，（1）求证：平面PAB⊥平面PCD（2）求证：若E为∆PCD的垂心，则CE⊥平面PAB（B级）EDCAP5. 有公共底边的两个等腰∆ABC和等腰∆BCD，已知AB=AC=13，BD=CD=6，BC=10，试求AD为何值时，平面BCD⊥平面ABC 。
（B级）DCB。
6.2垂直关系的性质-北师大版必修2教案
6.2 垂直关系的性质-北师大版必修2教案一、课程目标本节课的主要目标是学习垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理，理解垂直关系的性质，掌握相关定理的证明以及应用。
二、教学重难点1.领会垂线两定理和平行四边形性质的证明过程2.掌握垂心及其性质，应用定理解决实际问题3.熟练运用相关公式和算法解决相关数学题目三、教学内容及教学时长1. 垂线两定理教学内容•垂线两定理的内容和定义•垂线两定理的证明和推论•实例探究教学时长2学时教学步骤1.引入垂线两定理的背景以及应用价值（5分钟）2.教授垂线两定理的定义，并分别讲解两个定理的证明过程（30分钟）3.指导学生通过实例练习巩固掌握（50分钟）2. 平行四边形性质教学内容•平行四边形定义及基本性质•平行四边形四小定理•实例分析教学时长2 学时教学步骤1.引入平行四边形的知识点，让学生理解其定义以及基本性质（5分钟）2.介绍平行四边形的四小定理，并带领学生掌握证明方法（30分钟）3.实例分析，让学生通过练习提升应用能力（75分钟）3. 垂心定理教学内容•垂心的定义及其性质•垂心定理的运用•实例探究教学时长3 学时教学步骤1.以实例为引入，让学生直观理解垂心的概念和性质（15分钟）2.教授垂心定理的证明过程，并指导学生运用算法化解实际问题（80分钟）3.综合讲解相关公式，让学生通过反复练习掌握技巧技巧（85分钟）四、教学评价本节课的教学评价主要考核学生对垂线两定理、平行四边形性质和垂心定理及其应用的掌握情况，评价途径包括日常课堂练习、作业表现和期中期末评测。
五、教学建议本节课主要是将具体问题虚化为抽象问题，激发学生解决抽象问题的思维能力，因此在教学中应注重概念的剖析和证明方法的灵活运用，尤其要关注重整理概念，突出方法，并利用实例进行讲解，提高学生的应用实践能力和解题能力。
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计 (2)
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计一、教学目标1.了解垂直关系的定义及其性质；2.能够判断两条直线是否垂直；3.能够求垂直的直线之间的夹角大小；4.能够应用垂直关系解决问题。
二、教学重难点1.垂直关系的定义及其性质；2.求垂直的直线之间的夹角大小。
三、教学内容3.1 引入通过展示建筑物中多个垂直的直线，引导学生认识垂直关系的重要性，并引出垂直关系的定义与性质。
3.2 讲解（1）定义：•垂直：两条直线或两个平面相互垂直，当且仅当它们的交角为90度时。
•垂线：过给定点，与给定直线相交而且与该直线垂直的线段称为垂线。
（2）性质：•垂直的直线之间的夹角为90度。
•垂直的直线上任意两点与直线的距离相等。
3.3 实例演练1.给定两条直线，如何判断它们是否垂直？–检查这两条直线之间的夹角是否为90度。
2.已知一条直线L和直线L’上两个点A、B，如何在直线L’上找到与点A构成的垂线？–连接AB，过B点做L’的垂线，交于点C，则AC即为所求垂线。
3.在三角形ABC中，AC垂直于BC，如何求∠CAB的度数？–利用垂直关系求出∠ABC的度数，然后用三角形内角和定理求解。
3.4 训练与拓展1.已知四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90度，AC垂直于BD，求证:AD=BC。
2.在平面直角坐标系中，直线L：y=−2x+5，直线L’过点(2,3)且垂直于直线L，求直线L’的解析式及它与直线L的夹角大小。
3.学生自选问题解决，主要涉及垂直关系的应用。
四、教学方法1.案例教学法：通过实例演示和解题分析，引导学生掌握垂直关系的性质和应用。
2.问答教学法：通过提问，帮助学生理解概念，熟悉垂直关系的定义及其性质。
3.组织小组讨论：让学生在小组内讨论垂直关系的应用，激发学生思考和创新意识。
五、教学评价1.课堂练习，以掌握垂直关系的定义及其性质为主；2.课后习题，以巩固垂直关系的运用为主；3.课程设计，在实际问题中运用垂直关系解决问题，开发学生的思维能力和实际运用能力。
1.6.2垂直关系的性质学案(北师大版必修2)
6.2 垂直关系的性质自主学习1．掌握并会应用直线与平面垂直的性质，理解平行与垂直之间的关系．2．掌握两个平面垂直的性质定理并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号：________________．2．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内__________于它们________的直线垂直于另一个平面．符号：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒__________．3．两个重要结论(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．图形表示为：符号：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．对点讲练直线与平面垂直的性质定理的应用例1已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c．求证：AB∥c．点评判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特殊几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．变式训练1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF∥BD1．面面垂直的性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB．点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．例3平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：P A⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．点评证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．变式训练3在三棱锥P—ABC中，P A⊥平面ABC，平面P AB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理． 3．判定线面垂直的方法主要有以下五种： (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β．课时作业一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能 4．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD 等于( )A ．aB ．22a C ．32a D ．52a 5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题6．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是______________．(只填序号即可)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．7．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O 为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．8．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题9．如图，α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，DE⊂β，BC⊥DE．求证：AC⊥DE．10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．6．2垂直关系的性质答案自学导引1．a⊥α，b⊥α⇒a∥b2．垂直交线a⊥β3．(1)aα(2)a∥α对点讲练例1证明过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ．因为b⊥β，cβ，所以b⊥c．①因为a⊥α，cα，所以a⊥c．又a′∥a，所以a′⊥c．②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c．变式训练1证明连接AB1，B1C，B1D1，BD．∵B1B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥B1B．又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．又∵BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1，同理可证B1C⊥BD1．∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．又∵EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，又BD1⊥平面AB1C，∴EF∥BD1．例2证明(1)由题知△P AD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面P AD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面P AD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．变式训练2证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD．例3证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F．∵平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面P AC，P A平面P AC，∴DF⊥AP．作DG⊥AB于G．同理可证DG⊥AP．DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴P A⊥平面ABC．(2)连接BE并延长交PC于H．∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE．又∵AE∩BE＝E，∴PC⊥面ABE．∴PC⊥AB．又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB．又PC∩P A＝P，∴AB⊥平面P AC．∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．变式训练3证明在平面P AB内，作AD ⊥PB 于D ．∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB ， ∴AD ⊥平面PBC ． 又BC平面PBC ，∴AD ⊥BC ．又∵P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB ． 又AB 平面P AB ，∴BC ⊥AB ． 课时作业1．D [∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l ． ∵AB ∥l ，∴AB ∥m ．故A 一定正确．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ．从而B 一定正确． ∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α．∴AB β，lβ．∴AB ∥β．故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立．故D 不一定成立．]2．C [①②③正确，④中n 与面α可能有：n α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．] 3．D 4．A 5．A[如图：由已知得AA ′⊥面β，∠ABA ′＝π6，BB ′⊥面α，∠BAB ′＝π4，设AB ＝a ，则BA ′＝32a ，BB ′＝22a ，在Rt △BA ′B ′中，A ′B ′＝12a ，∴AB A ′B ′＝21．]6．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用， ②为面面平行的性质，③为公理4的应用． 7．6解析 由题意知CO ⊥AB ，∴CO ⊥面ABD ，∴CO ⊥OD ，∴直角三角形为△CAO ，△COB ，△ACB ，△AOD ，△BOD ，△COD ．8．若①③④，则②(或若②③④，则①)9．证明 ∵α⊥β，α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，∴AB ⊥β． ∵DE ⊂β，∴AB ⊥DE ．∵BC ⊥DE ，AB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥DE ． 10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．。
《垂直关系的性质》示范公开课教学设计【高中数学必修2北师大版)
《垂直关系的性质》教学设计教材分析:本节内容在立体几何学习中，在垂直的判定方法的基础上进一步研究立体几何中垂直关系的性质:线面垂直、面面垂直的性质定理.结合有关的实物模型，归纳出垂直关系的性质定理.本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，以及之后的考试中都是最为核心的内容,当然也最为复杂.特别是面面垂直的性质定理应用.通过直观感知、操作确认、合情推理归纳出直线与平面垂直的性质定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力.教学目标：【知识与能力目标】1. 掌握直线与平面垂直的性质定理；2. 掌握两平面垂直的性质定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面垂直的性质定理解决相关问题．【过程与方法】1. 学生通过观察实物及模型，归纳得出直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理.2. 通过读图、识图、画图的过程，培养空间想象能力及运用图形和符号语言进行交流的能力.【情感态度与价值观】学生在观察、探究、发现中学习，在自主、合作、交流中学习.体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极地学习态度，提高学习的自我效能感.教学重难点：【教学重点】归纳出直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理.【教学难点】直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理的合情推理及其应用.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：之前我们学习了线面垂直、面面垂直的判定定理.那今天我们一起来研究如果题目中告诉你线面垂直、面面垂直你能得到什么结论呢？比如,旗杆与地面的垂直,那旗杆和地面上他的影子是什么关系呢？问题1：我们知道，如果线⊥线，可推出线⊥面。
反过来，如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的直线有何关系？问题2：如果两条直线都和同一个平面垂直，那么这两条直线的位置关系如何？问题3：装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的依据是什么？问题4：我们知道，如果面//面，可推出线//面。
1.6.2 垂直关系的性质教案 (高中数学必修2北师大版)
6.2 垂直关系的性质判定定理和性质定理间的相互联系.的内在联系.1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． (2)符号表示：若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .(3)图形表示： (4)作用：线⊥面⇒线∥线． 预习交流1直线与平面垂直除了上述性质外，还有哪些性质？提示：直线与平面垂直的性质还有：①一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；②两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面；④垂直于同一直线的两个平面平行．预习交流2在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的．在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？提示：根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆中一个与工件表面垂直，其他都和工件表面垂直．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．(2)符号表示：若α⊥β，α∩β＝b ，a α，a ⊥b ，则a ⊥β.(3)图形表示：(4)作用：面面垂直⇒线面垂直． 预习交流3平面与平面垂直除了上述性质外，还有哪些性质？ 提示：平面与平面垂直还有如下性质．(1)如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线在该平面内；(2)如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线垂直于第三个平面．预习交流4(1)若α⊥β，aα，bβ，则a⊥b成立吗？提示：不一定成立．a与b可能平行、相交或异面．只有当直线a垂直于α与β的交线时，才有a⊥b成立．(2)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB.若α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥βC.若α⊥β，lα，则l⊥βD.若α⊥β，α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β提示：根据面面垂直的性质定理逐一判断.选项A缺少了条件：lα；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直性质定理的全部条件，故选D.1．线面垂直性质的应用如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.思路分析：本题以正方体为载体，给出了EF分别与两条异面直线A1D，AC垂直，要证EF∥BD1，只需证明EF与BD1同垂直于某一平面即可，由条件可知这里当然选择平面AB1C.证明：如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD 1平面BDD 1B 1，∴BD 1⊥AC. 同理BD 1⊥B 1C ，∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C. ∵EF ⊥A 1D ，A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C.又EF ⊥AC ，且AC ∩B 1C ＝C ， ∴EF ⊥平面AB 1C.∴EF ∥BD 1.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC.求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D.又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC. 又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON ∥12CD ∥12AB.∴ON ∥AM.又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形．∴ON ＝AM.∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB.∴M 是AB 的中点．证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线； (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的． 2．面面垂直性质的应用如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，AF ∥BE ，AF⊥EF，AF=EF=12BE.求证：EA⊥平面ABCD.思路分析：解答本题的关键是证明EA⊥AB，为此应该在平面四边形ABEF中，利用AF∥BE，AF⊥EF，AF=EF=12BE等条件计算AB，AE，BE的长度，利用勾股定理逆定理证明．证明：设AF=EF=a，则BE=2a.过A作AM⊥BE于M，∵AF∥BE，∴AM⊥AF.又∵AF⊥EF，∴AM∥EF，∴四边形AMEF是正方形．∴AM＝a，EM＝MB＝a，∴AE＝AB＝2a，∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AE平面ABEF，∴EA⊥平面ABCD.1．(2011江苏高考，16)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.。
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质课程设计
北师大版高中必修26.2垂直关系的性质课程设计一、课程目标通过本课程的学习，学生应当达到以下几个目标：1.理解垂直关系的性质；2.能够应用垂直关系的性质解决实际问题；3.培养抽象思维和推理能力；4.强化数学语言表达能力。
二、课程内容2.1 垂直关系的概念通过对几何图形的观察，引入垂直关系的概念。
定义垂直关系，并通过实例讲解垂直关系的性质。
2.2 垂直关系的性质介绍垂直关系的性质，包括：•垂直关系两条线段的长度成比例；•垂直关系两条线段的乘积之和等于另一条线段的平方；•垂直关系两条线段所成角的正弦积等于1。
2.3 应用垂直关系解决实际问题引入一些实际问题，让学生练习如何应用垂直关系的性质解决问题。
例如：•如何计算一个建筑的高度；•如何测量一个房间的面积；•如何在地图上找到两个城市之间的最短距离。
2.4 综合应用提供一些综合性的问题，让学生运用垂直关系的性质进行分析和求解。
三、教学方法3.1 信息导入通过视频、图片、实物等形式引入垂直关系的概念。
3.2 概念讲解通过PPT或黑板，讲解垂直关系的定义和性质。
3.3 练习与实践让学生通过练习和实践，更好地理解和掌握垂直关系的性质。
3.4 交流与合作鼓励学生在组内进行交流和合作，讨论问题并找出解决方法。
四、教学评估通过学生的日常作业、小测验、期中、期末考试等方式对学生的学习情况进行评估。
五、拓展阅读在课程中提供一些相关拓展阅读，让学生更深入地了解垂直关系及其应用。
例如：•巴比伦人如何借助垂直关系解决土地测量问题•如何使用垂直关系在网球场上计算球速六、课程总结通过课程总结，强化学生对垂直关系的理解和应用。
结束语本课程的设计旨在通过实际应用，让学生更好地掌握垂直关系的性质，培养他们的抽象思维和推理能力，提高数学语言表达能力。
希望本课程能够帮助学生更好地学习和应用数学知识。
高中数学 第1章 立体几何初步 6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质(教师用书)教案 北师大版必修2
6.2 垂直关系的性质学习目标核心素养1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．(重点)2．理解并掌握空间“平行〞与“垂直〞之间的相互转化．(难点、易错点)3．能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题．(难点)1.通过学习直线与平面、平面与平面垂直的性质定理提升数学抽象、直观想象素养．2．通过应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题，培养逻辑推理素养.1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．(2)符号语言：l⊥α，m⊥α⇒l∥m.(3)图形语言：如下图．(4)作用：证明两直线平行．思考1：过一点有几条直线与平面垂直？提示：一条．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m⇒l⊥α.(3)图形语言：如下图．(4)作用：证明直线与平面垂直．思考2：假设α⊥β，那么α内的直线与β内的直线有什么位置关系？提示：平行、相交、异面．思考3：假设α⊥β，那么α内的直线是否都与β内的直线垂直？提示：不是．1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，那么直线CE垂直于()A．AC B．BD C．A1D1D．A1AB[可证BD⊥平面AA1C1C，而CE平面AA1C1C，故BD⊥CE.]2．假设平面α⊥β，直线a∥α，那么()A．a⊥βB．a∥β或aβC．a与β相交D．aβ或a∥β或a与β相交D[a与β三种位置关系都有可能．]3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，那么这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行B[圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确．]4．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，那么()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线[答案]B线面垂直的性质【例1】如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[证明]因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.证明线线平行常用如下方法：(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点；(2)利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.[跟进训练]1．如图，平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB，因此，a∥l.面面垂直性质的应用【例2】如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.[证明]如图，在平面P AC内作AD⊥PC于点D，∵平面P AC⊥平面PBC，AD平面P AC，平面P AC∩平面PBC＝PC，且AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴AD⊥BC.∵P A⊥平面ABC.BC平面ABC，∴P A⊥BC，∵AD∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，又AC平面P AC，∴BC⊥AC.1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．2．证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理．应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线．以上三点缺一不可．[跟进训练]2．如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.[证明]∵平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，BC平面ABCD，∴BC⊥平面VAB，∵VA平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA平面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.垂直关系的综合应用[探究问题]1．如图，四边形ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于点K，连接DK.判断平面SBC与平面KBD是否垂直，并说明理由．提示：垂直．连接AC(图略)．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD.又∵SC⊥BK，BK∩BD＝B，∴SC⊥平面KBD.又SC平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD.2．在上述问题中，判断平面SBC与平面SDC是否垂直，并说明理由．提示：不垂直．假设平面SBC⊥平面SDC.∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC.∵DC平面SDC，∴BK⊥DC，又AB∥CD，∴BK⊥AB.∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面SBC，又SB平面SBC，∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立．∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.【例3】如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)假设E为BC边的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．[思路探究]解答此题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论．[解](1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，∵△P AD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB平面PGB，∴AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.本例条件不变，试求二面角P-BC-A的大小．[解]如例题解答图，易知PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BC.又四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.又AD∥BC，∴BG⊥BC，∴BC⊥平面PBG，∴BC⊥PB.∴∠PBG为二面角P-BC-A的平面角．又PG＝32a，BG＝32a，PG⊥BG，∴∠PBG＝45°.∴二面角P-BC-A的大小为45°.立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行〞与“垂直〞关系的内在联系，提供了“垂直〞与“平行〞关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直〞间的内在联系，表达了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：1．思考辨析(1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行．()(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，那么这两条直线互相垂直．(3)假设平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，那么平面α⊥平面γ. ()[解析](3)×，α∥γ或α∩γ＝l.[答案](1)√(2)√(3)×2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结论：①过P与l垂直的直线在α内；②过P与β垂直的直线在α内；③过P与l垂直的直线必与α垂直；④过P与β垂直的平面必与l垂直．其中正确的命题是()A．②B．③C．①④D．②③A[因为α⊥β，α∩β＝l，P∈l，所以过点P作β的垂线必在平面α内且和l垂直，①③④可能成立，也可能不成立．]3．∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________2[∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，过点P作PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，连接OD，OE，那么PD＝PE＝3，∴CD＝CE＝OD＝OE＝22－(3)2＝1，∴PO＝PD2－OD2＝3－1＝ 2.∴P到平面ABC的距离为 2.]4．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.[证明]∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，∵AC平面ABC，MN平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∴四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN平面ABC，BC平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，且MN、DN平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC.。
高中数学 第一章 立体几何初步 6.2 垂直关系的性质学
6．2 垂直关系的性质学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．知识点一直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？梳理性质定理知识点二平面与平面垂直的性质思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？梳理性质定理类型一线面垂直的性质及应用例1 如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．跟踪训练1 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，aα，a⊥AB.求证：a∥l.类型二面面垂直的性质及应用例2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练2 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.类型三垂直关系的综合应用命题角度1 线线、线面、面面垂直的转化例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E 和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.反思与感悟(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.命题角度2 垂直中的探索性问题例4 已知在三棱锥A －BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ (0＜λ＜1)．(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?反思与感悟 解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此种类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力． 跟踪训练4 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱C 1D 1的中点，F 为棱BC 的中点．(1)求证：AE ⊥DA 1；(2)在线段AA 1上是否存在一点G ，使得AE ⊥平面DFG ？并说明理由．1．在空间中，下列命题正确的是( )A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交D．以上都有可能3．已知直线l⊥平面α，直线m平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④4．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.5. 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：答案精析问题导学知识点一思考平行．梳理平行知识点二思考容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．梳理一个平面内交线垂直aαa⊥l题型探究例1 证明如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.跟踪训练1 证明∵PA⊥α，lα，∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α，aα，∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.例2 证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB平面PAB，∴BC⊥AB.跟踪训练2 证明(1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG，∴AD⊥PB.例3 证明(1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.又AD平面PAD，BE平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)在平行四边形ABED中，由AB⊥AD，可得ABED为矩形，故有BE⊥CD.①由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD.再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF.②而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.由于CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.跟踪训练3 证明∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，作AE⊥BC 于点E，如图，则AE⊥平面BCD.又CD平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，AE∩BC＝E，AE ，BC平面ABC，∴CD ⊥平面ABC ，又AB 平面ABC ，∴AB ⊥CD . 又AB ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，AC 、CD 平面ACD .∴AB ⊥平面ACD .又AB 平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面ACD .例4 (1)证明 ∵∠BCD ＝90°， ∴BC ⊥CD .∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD . 又∵AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . ∵AE AC ＝AF AD，∴EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面ABC . 又∵EF 平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面ABC .故不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)解 由(1)，得EF ⊥平面ABC ，BE 平面ABC ， ∴EF ⊥BE .要使平面BEF ⊥平面ACD ，只需BE ⊥AC . ∵∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，∴BD ＝ 2. 又∵AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°， ∴AB ＝6，AC ＝7， ∴BE ＝AB ·BC AC ＝427，∴AE ＝677， ∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .跟踪训练4 (1)证明 连接AD 1，BC 1，由正方体的性质可知，DA 1⊥AD 1，DA 1⊥AB ，又AB ∩AD 1＝A ，∴DA 1⊥平面ABC 1D 1.又AE 平面ABC 1D 1，∴DA1⊥AE.(2)解如图所示A1点即为G点，证明如下：连接A1F由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.当堂训练1．D 2.D 3.C 4. 55．证明因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面SCD.又因为BC平面SBC，所以平面SCD⊥平面SBC.11。
高中数学新北师大版精品学案《垂直关系的性质》
垂直关系的性质【学习目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理。
2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系。
【学习重难点】重点：垂直关系的判定及性质的应用。
难点：线面垂直在线线垂直与面面垂直关系间的转化。
【学习过程】一、知识梳理1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面。
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝，a⊆∉2 cm3 cm6 cm图，在三棱锥，OF⊥n，由于β⊥γ，γ∩β＝m，所以OE⊥面β，所以OE⊥，同理OF⊥，OE∩OF＝O，所以⊥γ。
]3．A[若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾。
]4．C5．A6．D7．①③④解析由性质定理知②错误。
8．7 cm解析 2 cm3 cm6 cm是线段AC1的中点，∴MF∥AN。
又∵MF⊆平面ABCD，AN平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（2）连接BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC．A1A平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A 1．在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，∴Na∥BD，∴Na ⊥平面ACC1A1．又∵Na 平面AFC1，∴平面AFC1⊥平面ACC1A1．。
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北师大版高中必修26.2垂直关系的性质教学设计前言
垂直关系是高中数学中的一个重要概念，对应的性质也是非常关键的。
学生对此的理解和把握，对于后续的数学学习同样意义重大。
因此，我们需要针对垂直关系的性质，制定科学合理的教学方案，以帮助学生更好地学习和掌握该知识点。
教学目标
1.理解垂直关系的定义和性质
2.掌握垂直关系性质的证明方法
3.训练学生熟练应用垂直关系性质解题的能力
教学过程
1. 导入
垂直关系性质的教学，可以通过以下问题来引入：
•如何确定两条直线是否垂直？
•如何确定一个向量的垂直向量？
•垂线段的性质是什么？
通过这些问题，可以帮助学生加深对垂直关系的认识，为后续学习做好准备。
2. 学习
2.1 垂直关系的定义
讲授垂直关系的定义和符号表示，由简单到复杂，帮助学生建立直观的概念。
2.2 垂直关系的性质
让学生通过大量的实例探究垂直关系性质，尤其是：
•一条直线与平面上一点垂直，则过该点的所有直线都与该直线垂直。
•如果两条直线相互垂直，则它们的方向向量垂直。
在讲解性质的过程中，要结合具体的实例进行讲解，以便学生更好地理解。
2.3 垂直关系的证明
介绍垂直关系性质的证明方法，让学生通过严密的证明步骤，了解性质背后的原因和内在联系。
3. 实践
3.1 课堂练习
通过设计一些小组互动、小组对抗等活动形式，让学生在课堂上进行练习，巩固知识点，提高应用能力。
3.2 作业
布置相关的练习和题目，以调动学生的自主学习积极性，培养学生的自主学习能力。
4. 总结
对课程的内容进行总结，让学生通过回顾所学内容，进行知识结构的梳理和信息的整合。
教学方法
通过探究式的学习方法，让学生在教师引导下，通过自己动手实践、研究，掌握垂直关系的相关知识和技能。
教学评价
通过检查课堂互动情况和学生完成作业效果，在教师、同学和自评的基础上，进行教学评价和反思。
结语
垂直关系是高中数学中至关重要的知识点，教师通过科学的教学方案，可以为学生的数学学习奠定良好的基础。