数学建模经典教材战斗模型

第六节 战斗模型：高阶线性模型

人类会厌倦睡觉，厌倦爱情； 会厌倦唱歌；厌倦跳舞； 但是战争，却永不停歇。

——荷马〈伊利亚特〉

很早以前荷马的这句话，一直被人类所证实。

战争是一个古老的而又很新的事情，许多人想逃避却又不得不面对。 决定一场战争胜负的因素是很多的，也是很复杂的，不是一个简单的数学模型所能解决的。毛主席说：决定战争胜负的是人，而不是一两件新式武器。哲人说：人心的向背决定战争的胜负。但人心是模糊的，很难说清楚。这里，我们不想讨论战争胜负的原因。只是从数学的角度来探讨决定一场战争胜负的一些因素。

早在第一次世界大战期间，nchester 就指出了几个预测战争结局的数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的，后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年结束的越南战争。

Lanchester 提出的模型是非常简单的，他只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加；战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率以及战争的类型（正规战、游击战）等有关，这些模型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说还有参考价值。更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。

一般战争模型

用)(t x 和)(t y 表示甲乙交战双方时刻t 的兵力，不妨视为双方的士兵人数，

假设

1、每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用),(y x f 和),(y x g 表示。

2、第一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）与本方的兵力成正比。

3、每一方的增援率是给定的函数，用)(t u 和)(t v 表示。 由此可以写出关于)(t x 和)(t y 的微分方程为

(,)(),0

(,)

(),

dx f x y x u t dt dy g x y y

v t dt

（1）

下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f 、g 的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。

正规战争模型

设想一下中世纪的欧洲战场或者第一次世界大战的战场：作战的双方摆好队型，堂堂正正开战。

我们假设： 甲乙双方都用正规部队作战，我们只须分析甲方的战斗减员率),(y x f 。 甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内，一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，可以简单地设f 与y 成正比，即f=ay ，a 表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），称乙方的战斗有效系数，a 可以进一步分解为y y a

r p ，其中y r 是乙方的射

击率（每个士兵单位时间的射击次数），y p 是每次射击的命中率。

类似地有g

bx ，且甲方的战斗有效系数,,x x x x b

r P r p 是甲方的射击率和命中率，

于是在这个模型中方程（1）化为

()

()

dx

ay x u t dt dy bx

y

v t dt

（2）

在分析战争结局时忽略非战斗减员一项（与战斗减员相比，这项很小），并且假设双方都没有增援，记双方的初始兵力分别是00,y x ，方程（2）简化为

(0)

0(0)0

,dx

ay dt dy

bx

dt

x x y y （3） 不直接求解方程（3），而在相平面上讨论相轨线的变化规律更容易判断双方的胜负，由方程（3）可得

dy bx

dx

ay

（4） 其解为

22

ay bx k （5）

注意到方程（3）的初始条件，有

2200k

ay bx （6）

由（5）式确定的相轨线是双曲线族，如右图 ，

箭头表示随时间t 的增加，)(),(t y t x 的变化趋势，

可以看出，如果0k

，轨线将与y 轨相交，这就是说存在1t ，使11()0,()

0k

x g y t a

，

即当甲方兵力为零时乙方兵力为正值，表明乙方获胜，同理可知，0k 时甲方获胜，而当k=0时双方战平。

进一步分析某一方譬如乙方取胜的条件，由（6）式并注意到a,b 的含义，乙方获胜的条件可表为

2

00

(

)x x

y y

y r p b x a

r p （7） （7）式说明双方初始兵力之比00/x y 以平方关系影响着战争的结局，例如若乙方兵力增加到原来的2倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增加到4倍，或者说，若甲方的战斗力譬如射击率x r 增加到原来的4倍（y y x p r p ,,均不变），那么为了与此相抗衡，乙方只须将初始兵力0y 增加到原来的2倍，由于这个原因正规战争模型称为平方律模型。

游击战争模型

双方都用游击部队作战。

甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为x s 的隐蔽区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况，这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方兵力的增加而增加，因为在一个有限区域内，士兵越多，被杀伤的就越多，这样可以简单地假设cxy f ，且乙方战斗有效系数c 可表为rv

y y y y

x

s c

r p r r s ，其中y r 仍为射击率，而命中率y p 等于乙方一次射击的有效面积ry s 与甲方活动面积x s 之比。

类似地有,rx

x x x

y

s g

dxy d

r p r s 。于是在这个模型中方程（1）化为 ()

()

dx cxy x u t dt dy dxy y

v t dt

（8）

忽略,x y 并设0u

v ，在初始条件下（8）式为 (0)0(0)0

,dx xcy dt dy dxy

dt

x x y

y （9）