带变号格林函数的四阶三点边值问题的多个正解的存在性

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三点边值问题解的存在性、唯一性及多解的存在性研究

目录中文摘要 (1)英文摘要 (3)第一章绪论 (5)1.1研究背景及本文的主要工作 (5)1.2预备知识 (5)第二章带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性 (7)2.1引言 (7)2.2预备知识和引理 (8)2.3主要结果及证明 (14)第三章三点边值问题多解的存在性 (25)3.1引言 (25)3.2上下解与度理论,变分方法 (26)3.2.1上下解 (26)3.2.2上下解与度理论 (29)3.2.3上下解与变分方法 (31)3.3多解及变号解的存在性 (38)参考文献 (50)在读期间发表的学术论文 (54)致谢 (55)山东师范大学硕士学位论文三点边值问题解的存在性、唯一性及多解的存在性研究董瑶(山东师范大学数学与统计学院,济南,山东,250358)摘要近年来,在微分方程领域,三点边值问题在物理、化学、生物学等学科内一直被广泛应用,在如今科技迅速发展的时代,边值问题的应用更加普遍.随着对微分方程三点边值问题需求的提高,学者们关于三点边值问题的正解的研究也逐渐深入.但是我们发现,迄今为止,对于三点边值问题的多个解,无穷多解,以及变号解的研究文章却是少之又少.本文也将围绕着三点边值问题解的情况展开研究,我们首先对于特殊的三点边值问题的正解展开研究,其次,对于更加一般的三点边值问题,我们将研究它的多解的情况.第一章,我们介绍了三点边值问题的研究背景,本文主要做的工作以及一些预备知识.第二章,我们考虑如下三点边值问题：{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),其中K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,并且λ是一个正参数.本章建立了针对三点边值问题的上、下解定理,并主要应用此定理,结合比较原则、第一特征值第一特征函数、Arzela-Ascoli引理等知识,在问题中的K,a,η,λ处于不同范围时,我们得出带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性等结论.在第三章,我们研究如下问题,{︃−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)=au(η).在本章,我们进行了对于三点边值问题多解的存在性研究.首先,我们定义了针对此问题的广义的上下解定义,其次为建立上下解方法与度理论的联系,我们给出了严格上下解的定义,并在上下解存在的情况下,利用度理论给出了三个解的存在性结论.此外,我们将上下解方法与变分方法结合,在空间W1,2((0,1))1中,将上述问题转化成为了能量泛函,通过求该泛函的临界点,得到了三点边值山东师范大学硕士学位论文问题解的存在性结论.我们利用此方法,通过改变条件,得出了三点边值问题的四个解、五个解以及变号解的存在性结论.另外,当右端项f(t,u(t))具有特殊形式时,我们得出问题具有无穷多个解的结论.关键词:三点边值问题;多解;上下解;度理论;变分方法.分类号:O175.8山东师范大学硕士学位论文The Existence,Uniqueness and MultipleSolutions of Three-point Boundary ValueProblemsYao DongInstitute of Mathematics and Statistics,Shandong Normal UniversityJinan,Shandong,250358,P.R.ChinaABSTRACTIn recent years,in the field of differential equations,the three-point boundary value problem has been widely used in physics,chemistry,biology and other fields. In the era of rapid development of science and technology,the application of the three-point boundary value problem is more and more common.With the increasing demand for three-point boundary value problems of differential equations,many scholars have gradually deepened their research on the positive solutions of three-point boundary value problems.However,we find that there are very few studies on multiple solutions,infinite solutions and sign-changing solutions of three-point boundary value problems.In this thesis,we will study the solutions of three-point boundary value problems.Firstly,we will study the positive solution of special three-point boundary value problems.Secondly,for more general three-point boundary value problems,we will obtain the existence of its multiple solutions.In the Chapter1,we introduce the background of three-point boundary value problems and the main work of this paper,and we give some preliminary knowledge.In the Chapter2,we consider the three boundary value problems{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),where K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,andλis a positive parameter.In this chapter,we establish the upper and lower solution theorem for the three-point boundary value problems,and combine this theorem with the knowledge of comparison principle,eigenvalues and corresponding eigenfunctions,and Arzela-Ascoli lemma.When K,a,ηandλare in different ranges,we obtain the existence, uniqueness,and dependence of the solutions on the three-point boundary value problem with singular nonlinear terms.山东师范大学硕士学位论文In Chapter3,we study the following problem{︃−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)=au(η).In this chapter,we make a study on the existence of multiple solutions to the three-point boundary value problem.Firstly,we define a generalized definition of the upper and lower solutions for this problem.And secondly,to establish the connection between the upper and lower solution method and degree theory,we give the definition of the strictly upper and lower solutions.In the presence of the upper and lower solutions,the existence of three solutions is given by using the degree theory.In addition,we combine the upper and lower solution method with the variational method.In space W1,2((0,1)),we transform the above problem into1an energy functional.By finding the critical point of the functional,we obtain the existence conclusion of the solution of the three-point boundary value problems. We use this method to obtain the existence of four solutions,five solutions,and sign-changing solutions for the three-point boundary value problem by changing the conditions.In addition,when the right term f(t,u(t))with special forms,we obtain that the problem has infinitely many solutions.Keywords:three-point boundary value problem,multiple solutions,upper and lower solutions,degree theory,variational method.Classification:O175.8山东师范大学硕士学位论文第一章绪论1.1研究背景及本文的主要工作最初的微分动力系统理论,是在经典力学蓬勃发展的背景下发展起来的.众所周知,Newton开创了一套体系相对完备的经典力学理论,他和Leibniz创立了微积分的理论基础,这部分数学与物理的发展是相辅相成的.在处理许多物理问题中,人们首先想到的是微分方程,这与经典力学理论与微分方程的共同发展是脱不开关系的.微分方程初值问题和边值问题是微分方程理论研究的重要课题,其中初值问题仅与定义域中的某一点有关,而边值条件至少与定义域中的两个不同的点有关.自然界中的许多物理现象都可以归结为一些典型的方程来研究.因此,研究三点边值问题解的情况就显得非常必要.再者,奇异边值问题起源于化学非均相催化剂、非牛顿流体以及导电材料中的热传导理论的研究,应用前景也逐渐广泛,如大气对流、边界层流动、天体运动等,因此具有奇异性的微分方程边值问题解的研究也成为重要的研究方向之一．在目前的研究中,绝大部分是通过利用锥上的不动点定理来证明解的存在性以及多解性.而我们发现,上、下解方法对于研究边值问题的解也有很重要的作用.上下解方法在两点边值问题中的研究已较为广泛,但在三点边值问题中的应用相对较少,且大多条件较为严格.所以如何把已有的较为成熟的两点边值问题的上下解方法应用到三点边值问题中,并且适当减少所需条件从而得出解的相关结论,是本文需要重点考虑的问题之一.此外,拓扑度理论对于研究三点边值问题解的存在性也非常有用,我们还将将上下解方法与拓扑度理论相结合,借助拓扑度的计算,来得出三点边值问题多个解存在的结论.而我们通过阅读大量的文献发现,关于两点边值问题和椭圆形边值问题经常有无穷多解方面的理论结果，而三点边值问题无穷多个解的存在性还未被研究过，我们计划将上下解方法与变分方法结合,将边值问题转换成一个能量泛函,然后通过寻找能量泛函的临界点来证明此临界点是原问题的解,从而得出相关的结论.1.2预备知识本文中,我们将用到以下空间符号：C([0,1])是[0,1]上连续函数u(t)的全体,‖u‖=max|u|∞,山东师范大学硕士学位论文C 1([0,1])={u :[0,1]→R |u (t )在[0,1]上连续可微},‖u ‖=max {|u |∞,|u ′|∞},其中|u ′|∞=max t ∈[0,1]|u ′(t )|.显然,C 1([0,1])是一个Banach 空间.W 2,1((0,1))是函数集,若u ∈W 2,1((0,1)),则u ∈C 1([0,1]),且二阶弱导u ′′∈L 1(0,1).W 1,21((0,1))={u ∈W 1,2((0,1))|u (0)=0,u (1)=au (η)}.此空间相应的范数为||u ||=(∫︀10|u ′|2dt )12.Arzela-Ascoli 引理对于我们解决文章中的问题是非常重要的.引理1.2.1.(Arzela-Ascoli 引理)[39]任何定义在区间[a,b ]上的一致有界且等度连续的函数族{f (x )},必可从中选出一个在此区间上一致收敛的子列.下面是关于线性方程{︃−x ′′(t )=λx (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η)(1.1)的特征值和特征函数的相关引理.引理1.2.2.[30]问题(1.1)的频谱由一组严格递增的特征值序列λk >0,k =1,2,···组成,特征函数φk =sin(λ12k t ).此外,(i)lim k →+∞λk =+∞;(ii)φk (t )在(0,1)内有k −1个简单零点,k =2,3,···并且φ1在(0,1)上严格为正.在文献[9]中,作者对微分方程{︃−x ′′(t )=f (t,x (t )),0<t <1,x (0)=ax (η),x (1)=0建立了最大值原理.引理1.2.3.假设0<η<1,且F ={x ∈C [0,1]∩C 2(0,1),x (0)−ax (η)≥0,x (1)≥0}.若x ∈F 使得−x ′′(t )≥0,t ∈(0,1),那么x (t )≥0,t ∈[0,1].山东师范大学硕士学位论文第二章带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性2.1引言本章中,我们研究以下三点边值问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.1)其中K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,p,q>0,并且λ是一个正参数.我们在p,q处于不同范围下展开研究,分别是0<p,q<1,0<p<1的情况.1987年,Ilin和Moiseev开始对非线性二阶m点边值问题展开研究[19,20].从那以后,出现了许多关于一般非线性多点边值问题解的存在性结果,见文献[10], [14],[23],[30]及它们的参考文献.例如,2007年,Rynne[30]采用Rabinowitz bifur-cation理论研究了以下问题：⎧⎪⎨⎪⎩−u′′=f(u),on(0,1),u∈R×X, u(0)=0,u(1)=m−2∑︁i=1αi u(ηi),其中,m≥3,ηi∈(0,1),αi>0,m−2∑︁i=1αi<1且f(0)=0.Rynne在文中给出了该问题变号解的存在性.2008年,Rynne利用半特征值法和Fuˇc ik光谱理论研究了如下问题的可解性和不可解性：{︃−u′′=f(u)+ℎ,on(0,1),u(0)=0,u(1)=αu(η),我们知道,上下解方法对于研究边值问题是非常重要的,见文献[3],[6],[8],[26], [27],[32],[33],[36],[37],[16].因此,建立上下解方法对于研究三点边值问题是重要且有必要的.2007年,杜新生和赵增勤[9]研究了如下三点边值问题,{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=ax(η),x(1)=0,其中,0<a<1,0<η<1.在f不减的条件下,作者利用单调迭代技巧和上下解方法得出了正解存在的充要条件.2008年,在f递减的条件下,二人[10]又研究了山东师范大学硕士学位论文如下m点边值问题,⎧⎪⎨⎪⎩−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1), u(0)=m−2∑︁i=1αi u(ηi),u(1)=0.作者通过构造问题的上下解得出了问题正解的存在和唯一性结果.同年,韦忠礼在[33]中构造了三点边值问题的上下解,并且给出问题{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=ax(η),x(1)=0.的正解存在的充要条件.另一方面,奇异边值问题出现在化学非均相催化剂、非牛顿流体以及导电材料的热传导理论中,见文献[2,4,5,7,11,31].史俊平[31]应用上下解方法研究了下述问题,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−Δu+K(x)u−q=λu p,x∈Ω, u(x)>0,∀x∈Ω,u|ðΩ=0,其中K∈C2,β(Ω),p,q∈(0,1),且λ是一个正参数.K(x)在不同情况下,史俊平得到了获得了问题古典解的存在唯一性.受上述文献启发,对于不同的λ,当p,q和K(t)在不同情况下,我们将得出问题(2.1)正解的存在性和唯一性.2.2预备知识和引理在本节,我们首先研究以下带导数的三点边值问题，{︃−x′′(t)=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=ax(1),(2.2)其中,η∈(0,1),0<a<1,且f∈[0,1]×R×R.下面,我们给出问题(2.2)的上下解的定义.定义2.2.1.如果函数α(t)∈C[0,1]∩C2(0,1)满足{︃−α′′(t)≤f(t,α(t),α′(t)),t∈(0,1),α(0)≤0,α(1)≤aα(η),(2.3)那么α(t)称为问题(2.2)的一个下解.通过改变上述问题中的所有不等号方向，我们可以得到上解的定义.山东师范大学硕士学位论文如果问题(2.2)存在一个上解α(t)和一个下解β(t)满足α(t)≤β(t),那么,我们称(α(t),β(t))为问题(2.2)的一对上下解.设Dβα={(t,x)∈(0,1)×R+|α(t)≤x≤β(t),t∈(0,1)}.引理2.2.1.假设ℎ∈L1(0,1).那么在C[0,1]内，对于每一个λ>0,问题{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=αx(1)(2.4)都有唯一解.证明:假设v1(t)和v2(t)分别满足{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(0)=0,x′(0)=1和{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(1)=0,x′(1)=−1.定义G(t,s)=1ω{︃v2(t)v1(s),0≤s≤t≤1,v1(t)v1(s),0≤t≤s≤1,且x(t)=∫︁10G(t,s)ℎ(s)ds+e1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds,s∈[0,1].那么−x′′(t)+λx(t)=−1ω[∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]′′−e′′1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=−1ω[v′2(t)v1(t)−v′1(t)v2(t)]ℎ(t)−1ω[λ∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+λ∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]−λe1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=ℎ(t)−λ1ω[∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]−λe1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=ℎ(t),t∈(0,1),山东师范大学硕士学位论文并且x(1)−αx(η)=∫︁10G(1,s)ℎ(s)ds+e1(1)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds−α[∫︁10G(η,s)ℎ(s)ds+e1(η)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds]=e1(1)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds−α[∫︁10G(η,s)ℎ(s)ds+e1(η)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds]=0.因此,x(t)是问题(2.4)的一个C[0,1]解.因为λ>0,问题(2.4)有唯一的C[0,1]解.证毕.定理2.2.1.设α,β∈C([0,1])∩C1(0,1)是(2.2)的一组上下解,满足α≤β.设ψ∈L1[0,1],并且φ:R+→R+0是一个连续函数，满足∫︁∞01φ(s)ds=+∞.(2.5)假设f:Dβα×R→R是一个L1-Carath´e odory函数，使得|f(t,x,v)|≤ψ(t)φ(|v|),∀(t,x)∈Dβα,v∈R.(2.6)那么问题(2.2)至少有一个解x∈C1[0,1]使得对于∀t∈[0,1],α(t)≤x(t)≤β(t).证明:我们的证明分为以下五步.一.我们考虑一个新的问题.由(2.5),存在一个足够大的R>0使得∫︁R 01φ(s)ds>‖ψ‖1.(2.7)并且(2.6)保证了存在一个N∈L1[0,1]使得|f(t,x,v)|≤N(t),∀(t,x)∈Dβα,|v|≤R.(2.8)定义χ(t,x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩α(t),x<α(t),x,α(t)≤x≤β(t),β(t),x>β(t),(2.9)g(t,x,v)=max{min{f(t,χ(t,x),v),N(t)},−N(t)}.(2.10)选择一个λ>0,考虑新边值问题{︃−x′′(t)+λx=g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.11)山东师范大学硕士学位论文其中0<a<1,0<η<1.二.我们考虑问题(2.11)的C1[0,1]解得存在性.引理2.2.1保证了对于∀ℎ∈L1[0,1],线性问题{︃−x′′(t)+λx=ℎ,t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η)有唯一的C[0,1]解v(t)=∫︁10G(t,s)ℎ(s)ds+e1(t)e1(1)−ae1(η)a∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds,s∈[0,1].对于x∈C1[0,1],我们定义(F x)(t)=g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t)),t∈[0,1],(T x)(t)=∫︁10G(t,s)(F x)(s)ds+e1(t)e1(1)−ae1(η)a∫︁1G(η,s)(F x)(s)ds,s∈[0,1].由(2.9)和(2.10),我们可以得到|g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t))|≤N(t)+λmax{supt∈[0,1]|α(t)|,supt∈[0,1]|β(t)|},这表明函数属于集合{(T x)(t):x∈C1[0,1]}且{(T x)′(t):x∈C1[0,1]},且函数有界并等度连续.Arzela-Ascoli定理保证了T C1[0,1]是相对紧集.T的连续性证明成立.应用Schauder不动点定理,我们可以证明T至少有一个不动点x∈C1[0,1].三.(2.11)的解满足α(t)≤x(t)≤β(t).我们只需证明对于∀t∈[0,1]都有x(t)≤β(t).事实上,假设存在一个t0∈[0,1)使得x(t0)>β(t0).因为x(0)=0≤β(0),t0>0.设w(t)=x(t)−β(t), t∈[0,1].则w(0)≤0,w(t0)>0.设t*=sup{t|w(s)>0,s∈[t0,t]},t*=inf{t| w(s)>0,s∈[t,t0]}.显然对于∀t∈(t*,t*)都有w(t)>0,w(t*)=0且w(t*)≥0.如果w(t*)=0,那么存在一个t′∈(t*,t*)使得w(t′)=maxt∈[t*,t*]w(t).如果w(t*)>0,显然t*=1且w(1)=x(1)−β(1)>0.因为w(η)=x(η)−β(η)=1a(x(1)−β(1))=1a w(1)>w(1),所以也存在一个t′∈(t*,t*)使得w(t′)=maxt∈[t*,t*]w(t).因此,w′(t′)=0(i.e.,β′(t′)=x′(t′))并且−w′′(t′)≥0.另一方面,因为−w′′(t′)=β′′(t′)−x′′(t′)≤−f(t′,β(t′),β(t′))+g(t′,x(t′),x′(t))+λχ(t′,x(t′))−λx(t′)=−f(t′,β(t′),β′(t′))+max{min{f(t′,β(t′),β′(t)),N(t)},−N(t)} +λβ(t′)−λx(t′)=−f(t′,β(t′),β′(t′))+f(t′,β(t′),β′(t′))+λβ(t′)−λx(t′)=λ(β(t′)−x(t′))<0,山东师范大学硕士学位论文矛盾.同理可证对于∀t∈[0,1]都有x(t)≤β(t).因此,由(2.10),x满足{︃−x′′(t)=g(t,x(t),x′(t))=max{min{f(t,x(t),x′(t)),N(t)},t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η).(2.12)四.(2.11)的解满足|x′|∞≤R.相反地,假设存在一个t′∈(0,1)使得|x′(t′)|>R.不失一般性,我们假设x′(t′)>R.因为当0<a<1时,x(0)=0,x(1)=ax(η),所以存在一个t0∈(0,1)使得x′(t0)=0.不失一般性,对于∀t∈(t′,t0),我们假设x′(t)>0.观察到对于∀(t,x)∈Dβα,v∈R,max{min{f(t,x,v),N(t)},−N(t)}≤ψ(t)φ(|v|).那么,由(2.12),我们有∫︀R 01φ(s)ds=|∫︀x′(t′)x′(t0)1φ(s)ds|=|∫︀t0t′1φ(x′(t))dx′(t)|=|∫︀t0t′x′′(t)φ(x′(t))dt|=|∫︀t0t′g(t,x(t),x′(t))φ(x′(t))dt| =∫︀t0t′ψ(t)φ(x′(t))φ(x′(t))dt=∫︀t0t′ψ(t)dt=‖ψ‖1.这与(2.7)矛盾.因此|f(t,x(t),x′(t))|≤N(t),又因为u∈[α,β],我们得到g(t,x(t),x′(t))=f(t,x(t),x′(t)),∀t∈(0,1).五.我们证明x(t)满足问题(2.2).因为|x′|∞≤R,α(t)≤x(t)≤β(t),由(2.8),(2.10),(2.12),我们可以得到{︃−x′′(t)=max{min{f(t,x(t),x′(t)),N(t)}=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),也就是说,x(t)是问题(2.2)的一个C1[0,1]解.证毕.现在我们考虑下述问题,{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=ax(1),(2.13)山东师范大学硕士学位论文其中η∈(0,1),0<a<1且f∈[0,1]×R×R.下面我们给出(2.13)的上下解的定义.定义2.2.2.[36]如果函数α(t)∈C[0,1]∩C2(0,1)且满足{︃−α′′(t)≤f(t,α(t)),t∈(0,1),(2.14)α(0)≤0,α(1)≤aα(η),那么函数α(t)称为(2.13)的一个下解.通过改变问题(2.14)中的所有不等号方向，我们可以得到上解的定义.通过定理2.2.1,我们可以得到下述结论.推论2.2.1.假设存在问题(2.2)的一个下解α(t)和一个上解β(t),使得对,都于∀t∈[0,1],有α(t)≤β(t),并且存在F∈L1[0,1]使得对于∀(t,x)∈Dβα有|f(t,x)|≤F(t),那么问题(2.13)至少有一个C[0,1]解x(t),满足α(t)≤x(t)≤β(t),t∈[0,1].注2.2.1.这个结论在文献[33]中出现过,我们的定理改进了先前文献中的结论.引理2.2.2.假设f:(0,1)×[0,+∞)→R是一个连续函数,使得当s>0时,对于∀t∈(0,1)都有s−1f(t,s)严格递增.设w,v∈C[0,1]∩C2(0,1)满足(a)w′′+f(t,w)≤0≤v′′+f(t,v),t∈(0,1);(b)w,v>0,t∈(0,1)且w(0)≥v(0),w(1)≥aw(η),v(1)≤av(η);(c)v′′∈L1[0,1].那么w(t)≥v(t),t∈[0,1].证明:由v′′∈L1(0,1),我们可以知道v′(0+)和v′(1−)存在并且v∈C1[0,1].假设在[0,1]上v(t)≤w(t).不失一般性,我们假设存在t0∈(0,1)使得v(t0)−(v(t)−w(t))>0.设w(t0)=max0≤t≤1t*=inf{t1|0≤t1<t0,v(t)>w(t),t∈(t1,t0)},t*=sup{t2|t0≤t2<1,v(t)>w(t),t∈(t0,t2)}.显然0≤t*<t*≤1,且v(t*)=w(t*),v′(t*+)≥D+w(t*+),其中D+表示Dini导数.对于t*≤1,有三种情况.(1)t*<1.那么v(t*)=w(t*),v′(t*)≤w′(t*),对于∀t∈(t*,t*),v(t)>w(t).(2)t*=1且v(t*)=w(t*),v′(t*−)≤D−w(t*−),对于∀t∈(t*,t*),v(t)>w(t),其中D−表示Dini导数.(3)t*=1且v(t*)>w(t*),对于∀t∈(t*,t*],v(t)>w(t).因为v(1)−w(1)≤山东师范大学硕士学位论文a(v(η)−w(η))<v(η)−w(η),所以存在t′∈[η,1]使得v(t′)−w(t′)>0,(v(t′)−w(t′))′<0.综上,存在一个t′>t*使得v(t*)=w(t*),v′(t*+)≥D+w(t*+),v(t′)≥w(t′),v′(t′−)≤D−w(t′−),且v(t)>w(t),∀t∈(t*,t′).设y(t)=v′(t)w(t)−w′(t)v(t),t∈(t*,t′),那么我们可以得到lim t→t*+inf y(t)≥0≥limt→t′−sup y(t).(2.15)另一方面,对于t∈(t*,t′),我们有y′(t)=w(t)v′′(t)−w′′(t)v(t)=−w(t)f(t,v(t)+v(t)f(t,w(t))=w(t)v(t)(f(t,w(t))w(t)−f(t,v(t))v(t))≥0,并且在(α,β)内y′(t)≡0.这表明y(t′)>y(t*),这与(2.15)矛盾,所以v(t)≤w(t).证毕.利用文献[9]中类似的方法,我们可以建立下述极大值原理,这可以应用在我们正解的唯一性证明中.引理2.2.3.(极大值原理)假设0<η<1,且F={x∈C[0,1]∩C2(0,1),x(1)−ax(η)≥0,x(0)≥0},如果对于∀t∈(0,1),x(t)∈F时都有−x′′(t)≥0,那么x(t)≥0,t∈[0,1].2.3主要结果及证明定义K*=maxt∈[0,1]K(t),K*=mint∈[0,1]K(t).定理2.3.1当K*>0时,(i)若0<p,q<1,存在λ>0使得对于λ>λ,问题(2.1)至少有一个C[0,1]正解xλ(t).(ii)对于λ>λ,(2.1)有一个极大解xλ(t)并且xλ(t)关于λ递增.证明：(i)我们研究问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.16)山东师范大学硕士学位论文其中0<q,p <1,K ∈C [0,1],K *>0,0<a <1,0<η<1,且λ是一个正参数.在[9]中,当f (t,x )关于x 递增时,问题{︃−x ′′(t )=f (t,x ),t ∈(0,1),x (0)=ax (η),x (1)=0有唯一C 1[0,1]正解.因此,我们可以假设x *(t )是问题{︃−x ′′(t )=x p (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η)(2.17)的唯一C 1[0,1]正解,其中0<a <1,0<η<1.令β(t )=λ11−p x *(t ),则−β′′(t )+K (t )β−q (t )=λ11−p x *(t )+K (t )λ−q1−p x −q*(t )>λ11−p x *(t )+K *λ−q1−p x −q*(t )>λ11−p x p *(t ),λβp (t )=λ11−p x p *(t ).因此,−β′′(t )+K (t )β−q (t )>λβp (t ).结合(2.17)我们可以得到{︃−β′′(t )+K (t )β−q (t )>λβp (t ),t ∈(0,1),β(0)=0,β(1)=aβ(η).因此,β(t )是问题(2.16)的一个上解.设α(t )=Mϕ21+q1,其中M 是一个正实数,且ϕ1是第一特征函数.那么−α′′(t )+K (t )α−q(t )=−2M 1+q ϕ1−q1+q1(t )ϕ′′1(t )+K (t )M q ϕ2q 1+q 1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q1+q 1=2λ1M 1+q ϕ21+q1+K (t )M qϕ2q 1+q1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q 1<2λ1Mϕ21+q 1+K *M q ϕ2q1+q1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q1.由引理2.2.1我们有ϕ1(t )=sin(√λ1t ),ϕ′1(t )=√λ1cos(√λ1t ).因此我们可以得到，存在δ0>0和b ∈(0,1)使得|ϕ′1(t )|=|√︀λ1cos(√︀λ1t )|>δ0,t ∈[0,b ),|ϕ1(t )|=|sin(√︀λ1t )|>δ0,t ∈[b,1].(a )在[0,b )上,选择M ≥M 1=[(1+q )2K *2(1−q )δ20]11+q,那么我们有K *M q ϕ2q 1+q1≤2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q1.山东师范大学硕士学位论文(b )在[b,1]上,选择M ≥M 2=[(1+q )2K *2(1−q )δ20]11+q ,那么我们有K *M q ϕ2q1+q1≤λ1M 1+qϕ21+q 1.固定M =max {M 1,M 2},则−α′′(t )+K (t )α−q(t )≤3λ1M 1+q ϕ21+q 1,λαp (t )=λM pϕ2q 1+q1.令λ0=3M 1−q1+q|ϕ1|2−2p1+q ∞,我们有3Mλ11+q ϕ21+q 1<λM p ϕ2p 1+q1,∀λ>λ0.因此,∀λ>λ0,−α′′(t )+K (t )α−q (t )<λαp (t ).由引理2.2.1,α(0)=Mϕ21+q1(0)=0,α(1)=Mϕ21+q1(1)=M [aϕ1(η)]21+q=Ma21+qϕ21+q 1(η)<aMϕ21+q1(η)=aα(η).令λ2=(M |ϕ1x *|∞|ϕ1|1−q 1+q∞)1−p.那么对于∀λ>λ2,α(t )=Mϕ21+q1(t )≤λ11−p x *(t )=β(t ).因此我们选择λ=max {λ0,λ2},且λ>λ,则(α(t ),β(t ))是问题(2.16)的一对上下解.我们令F (t )=λβp +K *β−q ,则对于∀(t,x )∈D βα,|f (t,x )|≤F (t ),则F (t )∈L 1[0,1].由推论2.2.1,对于λ>λ,问题(2.16)至少有一个C [0,1]正解x (t )满足α(t )≤x (t )≤β(t ).(ii)(极大解的存在性)我们观察以下问题,{︃−x ′′(t )=λx p (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η).(2.18)由[9],对于∀λ>0,我们记问题(2.18)的唯一解是w λ(t ).在(i)中,我们得到了问题(2.16)的解x λ(t ),则w ′′λ(t )+λw pλ(t )=0<x ′′λ(t )+λx p λ(t ),并且x −1f (t,x )=λx p −1λ(t )关于x 递减.由(i),x λ(t )∈L 1[0,1].由引理2.2.3,我们可以得到x λ(t )≤w λ(t ).设Ωj =[1i 0+j,1),j =1,2,···,且对于j =1,2,···,w j (t )是问题⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−x ′′(t )+K (t )w −q j −1(t )=λw p j −1(t ),t ∈Ωj ,x (t )=w j −1(t ),t ∈[0,1i 0+j),x (1)=ax (η)(2.19)的解,w 0(t )=w λ(t )在(2.18)中已经被定义.设x λ(t )是(2.16)的解.山东师范大学硕士学位论文在(2.19)中,设j=1我们可以得到⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−w′′1(t)+K(t)w−qλ(t)=λw pλ(t),t∈Ω1,w1(t)=wλ(t),t∈[0,1i0+j),w1(1)=aw1(η).(2.20)结合(2.18)我们可以得到t∈Ω1时,w′′1(t)−w′′λ(t)≥0.由极大值原理,我们可以得到w1(t)≤w0(t)=wλ(t).同样地,我们可以得到w j+1(t)≤w j(t)≤wλ(t).下面,我们观察问题(2.16),结合(2.20)我们得到−w′′1(t)+x′′λ(t)+K(t)(w−qλ(t)−x−qλ(t))=λ(w pλ(t)−x pλ(t))≥0,因此当t∈Ω1时,x′′λ(t)−w′′1(t)≥0.由极大值原理易证当t∈[0,1]时,xλ(t)≤w1(t).同样的方法,我们可以得到xλ(t)≤w j+1(t)≤w j(t)≤wλ(t),t∈[0,1].此外,我们有{w j(t)}j∈N下方有界,且被xλ(t)界定.因为w j(t)是问题(2.18)的解,所以−w′′j (t)=λw pj−1(t)−K(t)w−qj−1(t)≤λw pj−1(t)−K*w−qj−1(t)≤[λw p+qj−1(t)−K*]w−qj−1(t)≤[λw p+qj−1(t)−K*]w−qj(t).假设t0∈(0,1),w j(t0)=max0≤t≤1w j(t),则w′j(t0)=0,且w j(t)在(t,t0)上递增.对于−w′′j (t),从t到t0进行积分,可以得到∫︁t0t−w′′j(s)ds≤∫︁t0t[λw p+qj−1(s)−K*]w−qj(s)ds.所以w′j (t)w qj(t)≤λw p+qj−1(t0)−K*.同样地,通过对−w′′j(t)从t0到t上进行积分,我们也可以得到|w′j (t)w j(t)|≤λw p+qj−1(t0)−K*.对于给定的t1,t2∈[0,1],我们可以得到∫︁t2 t1w′j(s)w qj(s)ds≤∫︁t2t1|w′j(s)w qj(s)|ds≤∫︁t2t1[λw p+qj−1(t0)−K*]ds.我们可以找到一个足够大的K使得|λw p+qj−1(t0)−K*|<K.那么∫︀t2t1w′j(s)w qj(s)ds≤K|t2−t1|,|w q+1j (t2)−w q+1j(t1)|≤K|t2−t1|.(2.21)我们定义算子I(w)=w q+1,则I−1(w)=w1q+1.由(2.21)可知{I(w j(t))}j∈N 在[0,1]上一致有界且等度连续.显然,I−1在有界闭域Ω上一致连续,即对于∀ε> 0,存在一个δ>0使得当w1,w2∈Ω时,|w1−w2|<δ,我们得到|I−1(w1)−I−1(w2)|<ε.因为0<w j(t)<w0(t),所以存在一个M>0使得w j(t)∈(0,M].山东师范大学硕士学位论文由(2.21),对于上述δ>0,存在δ′>0使得当|t 1−t 2|<δ′时,|w q +1j (t 2)−w q +1j (t 1)|<δ.所以,∀ε>0,存在δ′>0,当|t 1−t 2|<δ′时,|w j (t 2)−w j (t 1)|=|I −1(w q +1j (t 2))−I −1(w q +1j (t 1))|<ε.因此{w j (t )}j ∈N 等度连续.由Arzela-Ascoli 引理得出,存在子列{w j k (t )}j k ∈{j }使得lim j k →+∞w j k (t )=x λ(t ).不失一般性,我们设lim j →+∞w j (t )=x λ(t ),t ∈[0,1].(2.22)接下来,我们将证明x λ(t )是问题(2.16)的C [0,1]正解.固定t ∈(0,1)(t =12),那么w j (t )可以表示为w j (t )=w j (12)+w ′j (12)(t −12)+∫︁t12(s −t )[K (s )w −q j −1(s )−λw pj −1(s )]ds.(2.23)固定j ∈N ,由Lagrange 中值定理,存在t n ∈(12,1)使得x λ(1)−w j (12)≤w j (1)−w j (12)=w ′j (t n )(1−12)<w 0(1).所以,存在M 1>0使得|w ′j (t n )|<2M 1.因为{w j (t )}j ∈N 在[0,1]上有界,我们可以假设m <w j (t )<M 2,t ∈[12,t n].|∫︀t n 12−w ′′j (s )ds |=|∫︀t n 12[λw p j −1(s )−K (s )w −q j −1(s )]ds |≤|∫︀t n 12[λw p j −1(s )−K *w −q j −1(s )]ds |≤λM p −K *m −q ,因此|w ′j (12)|−|w ′j (t n )|≤|w ′j (12)−w ′j (t n )|≤λM p 2−K *m −q ,i.e.,|w ′j (12)|≤2M 1+λM p2−K *m −q .所以{w ′j (12)}j ∈N 和{w j (12)}j ∈N均有界.那么它们都有一个收敛子列.不失一般性,我们假设lim j →∞w ′j (12)=r 0.在(2.23)中,t ∈(0,1)时,令j →∞,我们可以得到x λ(t )=x λ(12)+r 0(t −12)+∫︁t12(s −t )[K (s )x −q λ(s )−λx pλ(s )]ds,即,−x ′′λ(t )+K (t )x −q λ(t )=λx pλ(t ).所以x λ(t )是问题(2.16)的一个C [0,1]正解.所以x λ(t )是问题(2.16)的一个极大解.下面我们将给出此极大解对于参数λ的依赖性.令H ={μ>0:当λ=μ时,(2.16)有一个C [0,1]正解}.由(i),显然H =∅.令λ1∈H ,且λ=λ1时,x λ(t )是相应的(2.16)的一个极大解.则对于∀λ2>λ1>λ,x ′′λ1(t )+λ1x p λ1(t )≥0,t ∈(0,1).由引理2.2.3可知,在[0,1]山东师范大学硕士学位论文内,xλ1(t)≤wλ2(t).在以上证明中,用xλ1(t)来替换xλ(t),我们发现{︃−x′′λ1(t)+K(t)x−qλ1(t)=λ1x pλ1(t)≤λ2x pλ1,t∈(0,1),−w′′λ2(t)+K(t)w−qλ2(t)≥λ2w pλ2(t).将此与边值条件相结合,可以得到当λ=λ2>λ1时,(xλ1(t),wλ2(t))是问题(2.16)的一对上下解.这可以证明λ=λ2时,xλ2(t)是问题(2.16)的一个解,满足xλ1(t)≤xλ2(t)≤wλ2(t).因此,λ2∈H.另外,由(ii),对于∀λ2>λ1≥λ,都有xλ2(t)≥xλ1(t).证毕.定理2.3.2当K*<0时,(i)若0<p<1,0<q,对于∀λ>0,问题(2.1)至少有一个C[0,1]正解xλ(t).(ii)若0<p,q<1,对于∀λ>0,问题(2.1)存在唯一C1[0,1]正解xλ(t).(iii)(ii)中的xλ(t)关于λ递增.证明：(i)我们研究问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.24)其中q>0,0<p<1,K(t)∈C[0,1],K*<0,0<a<1,0<η<1且λ是一个正参数.我们首先考虑如下这个近似问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=1n ,x(1)=ax(η)+1n,(2.25)其中0<a<1,0<η<1,n≥1.令ε足够小,我们将证明αn(t)=εϕ1(t)+1n是(2.25)的一个下解.事实上,当n足够大时,我们可以得到εϕ1(t)+1n 无限接近于0.因为√λ1∈(π2,3π2)[30],我们可以推出−α′′n (t)+K(t)α−qn(t)−λαpn(t)=λ1εϕ1(t)+K(t)(εϕ1(t)+1n)−q−λ(εϕ1(t)+1n)p<λ1εϕ1(t)−λ(εϕ1(t)+1n)p<εϕ1(t)[λ1−λ(εϕ1(t)+1n)p−1]<0,αn(0)−1n =εϕ1(0)=0,且αn(1)−[aαn(η)+1n]=εaϕ1(η)+1n−aεϕ1(η)−an−1n<0,这表明αn(t)是问题(2.25)的一个下解.接下来,我们将构造(2.25)的一个上解.令β(t)=−Mt2+(M+aM)t+M,山东师范大学硕士学位论文其中M足够大,满足M>{(2λ)11−p,1n(1−a)}.我们可以得到−β′′(t)+K(t)β−q(t)=2M+K(t)[−Mt2+(M+aM)t+M]−q>2M+K*M−q>M,λβp(t)=λ[−Mt2+(M+aM)t+M]p<λ[M(1+a)24+M]p<λ(2M)p,−β′′(t)+K(t)β−q(t)≥λβp(t),β(1)−(aβ(η)+1n )=(a+1)M−a[−Mη2+(M+aM)η+M]−1n >(a+1)M−2aM−1n=M−aM−1n>0,且β(0)−1n =M−1n>0.易知β(t)是问题(2.25)的一个上解.选择F n(t)=λβp−K*α−qn ,那么对于∀(t,x)∈Dβαn,都有|f(t,x)|≤F n(t).易证F n(t)∈L1[0,1].由于ε足够小,且n足够大,所以αn(t)≤β(t).由推论2.2.1, (αn(t),β(t))是问题(2.25)的一对上下解.并且对于∀n∈N,(2.25)至少有一个C[0,1]正解x n(t)满足αn(t)≤x n(t)≤β(t).下面,我们将得出结论,存在子列{x nk (t)}和x(t)使得limn k→∞x nk(t)=x(t).因为β(t)∈C[0,1]∩C2(0,1),所以β(t)有界.因此,{x n(t)}n∈N在[0,1]上一致有界.因为x n(t)是问题(2.25)的一个C[0,1]正解,所以x n(t)满足−x′′n (t)=λx pn(t)−K(t)x−qn(t)≤λx pn(t)−K*x−qn(t)≤[λx p+qn(t)−K*]x−qn(t).假设t0∈(0,1),x n(t0)=max0≤t≤1x n(t),那么x′n(t0)=0,且x n(t)在(t,t0)上递增.对于−x′′n (t),从t到t0进行积分,我们可以得到∫︁t0t−x′′n(s)ds≤∫︁t0t[λx p+qn(s)−K*]x−qn(s)ds.所以x′n (t)≤1x q n(t)[λx p+qn(t0)−K*].我们可以找到一个K>0使得x′n(t)x qn(t)≤K.并且对−x′′n (t)从t0到t进行积分,可以得到∫︁t0t−x′′n(s)ds≤∫︁t0t[λx p+qn(s)−K*]x−qn(s)ds.所以−x′n (t)≤1x q n(t)[λx p+qn(t0)−K*].对于上述K,可以得到|−x′n(t)x qn(t)|≤K,即|x′n (t)x qn(t)|≤K.山东师范大学硕士学位论文给定t1,t2∈[0,1],我们得到∫︁t2 t1x′n(s)x qn(s)ds≤∫︁t2t1|x′n(s)x qn(s)|ds≤∫︁t2t1Kds.那么∫︀t2t1x′n(s)x qn(s)ds≤K|t2−t1|,此等式可以写为|∫︁x n(t2)x n(t1)x qn(s)dx n(s)|≤K|t2−t1|,|x q+1n(t2)−x q+1n(t1)|≤K|t2−t1|.(2.26)我们定义算子I(x)=x q+1,则I−1(x)=x1q+1.由(2.26)我们可以得出,在[0,1]内,{I(x n(t))}n∈N一致有界,等度连续.显然在有界闭域Ω内,I−1一致连续,即,∀ε>0,存在一个δ>0使得当x1,x2∈Ω,|x1−x2|<δ时,|I−1(x1)−I−1(x2)|<ε.因为0<x n(t)<β(t),存在一个M>0使得x n(t)∈(0,M].由(2.26),对于上述δ>0,存在δ′>0使得当|t1−t2|<δ′时,有|x q+1n (t2)−x q+1n(t1)|<δ.所以,对于∀ε>0,存在δ′>0使得当|t1−t2|<δ′时,|x n(t2)−x n(t1)|=|I−1(x q+1n (t2))−I−1(x q+1n(t1))|<ε.因此,{x n(t)}n∈N等度连续,由Arzela-Ascoli引理,存在子列{x nk (t)}使得limn k→+∞x nk(t)=x(t).不失一般性,我们假设limn→+∞x n(t)=x(t),t∈[0,1].(2.27)接下来,我们将证明x(t)是问题(2.24)的C[0,1]正解.固定t∈(0,1)(t=12),x n(t)可以表示为x n(t)=x n(12)+x′n(12)(t−12)+∫︁t12(s−t)[K(s)x−qn(s)−λx pn(s)]ds.(2.28)固定n∈N,由Lagrange中值定理,存在t n∈(12,1)使得αn(1)−x n(12)≤x n(1)−x n(12)=x′n(t n)(1−12)≤β(1).所以,存在M1>0使得|x′n(t n)|≤2M1.因为{x n(t)}n∈N在[0,1]内有界,可以假设m≤x n(t)≤M2,t∈[12,t n].|∫︁t n12−x′′n(s)ds|=|∫︁t n12[λx pn(s)−K(s)x−qn(s)]ds|.我们可以得到|−x′n (t n)+x′n(12)|≤λM p2−K*M−q2,且|x′n(12)|≤2M1+λM p2−K*M−q2.因此{x n(12)}n∈N和{x′n(12)}n∈N均有界,它们都有收敛子列.不失一般性,我们记子列为{x n(12)}n∈N和{x′n(12)}n∈N.固定n∈N,假设limn→∞x′n(12)=r0.由(2.28),令n→∞,我们得到x(t)=x(12)+r0(t−12)+∫︁t12(s−t)[K(s)x−q(s)−λx p(s)]ds.通过对x(t)进行二次求导,我们得到−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t).山东师范大学硕士学位论文结合(2.27),可以得到x(t)是问题(2.24)的一个C[0,1]正解.(ii)我们研究(2.24)的C1[0,1]正解的唯一性.令F(t)=λβp−K*(εϕ1)−q.显然,当0<q<1时,F(t)在(0,1)上可积,因为|x′′(t)|≤F(t),x(t)在(0,1)上绝对可积.那么x′(0+)和x′(1−)都存在,即x(t)∈C1[0,1].我们采用反证法来证明,假设x1(t),x2(t)是问题(2.24)的两个C1[0,1]正解,且在[0,1]上x1(t)≡x2(t).不失一般性,我们假设存在t*∈(0,1)使得x2(t*)−x1(t*)=max0≤t≤1(x2(t)−x1(t))>0.设α=inf{t1|0≤t1<t*,x2(t)>x1(t),t∈(t1,t*)},β=sup{t2|t*≤t2<1,x2(t)>x1(t),t∈(t*,t2)}.显然0≤α<β≤1,且x1(α)=x2(α),x′1(α)≤x′2(α),x1(β)≤x2(β),x′1(β+)≥x′2(β+),x1(t)<x2(t),t∈(α,β).设y(t)=x1(t)x′2(t)−x2(t)x′1(t),t∈(α,β).那么我们有limt→α+inf y(t)≥0≥limt→β+sup y(t).(2.29)另一方面,当t∈(α,β)时,y′(t)=x1x′′2−x2x′′1=x1(Kx−q2−λx p2)+x2(λx p1−Kx−q1)=Kx1x−q2−λx1x p2+λx p1x2−Kx−q1x2=Kx1x2(x−q−12−x−q−11)+λx1x2(x p−11−x p−12)≥0,且在(α,β)上,y′(t)≡0.这表明y(β−)>y(α+),这与(2.29)矛盾,所以x1(t)≡x2(t).因此,(2.24)的C1[0,1]正解唯一.(iii)我们假设0<λ1<λ2,且xλ1(t),xλ2(t)是相应的问题(2.24)的C1[0,1]正解.显然,x′′λ1(t)∈L1[0,1].在(2.24)中,f(t,x)=λx p(t)−K(t)x−q(t)连续.因为p,q∈(0,1),K*<0,易知当t∈[0,1]时,x−1f(t,x)=λx p−1(t)−K(t)x−q−1(t)关于x>0递减.当t∈(0,1)时,x′′λ2(t)−K(t)x−qλ2(t)+λ2x pλ2(t)=0<x′′λ1(t)−K(t)x−qλ1(t)+λ2x pλ1(t),xλ2(0)≥xλ1(0),xλ2(1)≥axλ2(η),且xλ1(1)≥axλ1(η).因此由引理2.2.3,xλ1(t)≤xλ2(t),t∈[0,1].所以x(t)关于λ递增.证毕.。

带2个参数四阶边值问题的正解及多个正解的存在性

０Ｉ … ）２ｓｄｉｄ，１＝＝＋ｕ）ｎｔｓ警＝矛ｌ（ ” ）＝ｎｔ１盾（ｉ
２预备知识及主要工具
设Ａ，２多项式Ｐ（。Ａ是Ａ）＝Ａ＋一Ｏ的两根，即Ａ，２＝（卢 ± ｔｌＡ一＋４）２ａ／．
正解的存在性．文［］６利用锥上的不动点指数理论讨论了非线性项含二阶导数项的边值问题
ｆ ” ￡Ｍ（）＋卢￡ “ （）一Ｏ（）：ｔ，（），Ｌ，） ” ）ｔ∈ （，１，Ｕ（０）【比较少．ｕ０（）＝Ｍ１＝／（）＝ｕ（）＝０（）ｆ０ｉｔ ”１
设Ｅ＝｛ ∈ ０１且ｕＯ＝１：ｎＯ＝１＝｝定义范数为『『＝｝ ”ｌ， ∈ ．ｕＣ［，］（）Ｕ（）Ｕ（）Ｕ（）Ｏ，ｌｌＪｌＶＥ “ ａｘｌｔＩ其中：＊＝ｍ＇］），Ｅ是一个ＢｎｃＩＩ［ｌｕＭＩ（则ａａｈ空间・０
第２５卷第１期
２１０２年１月
烟台大学学报（自然科学与工程版）
ＪｕｎｌｆａｔｉｎｖｒｔＮｔｒｃｎｅａｄＥｇｅｒｇＥｉｏ）ｏｒａｏＹｎａ ’ ｉｅｓｙ（ａｕａＳｉｃｎｎｉｅｉｄｔｎＵｉｌｅｎｎｉ
的正解及多个正解的存在性，平出了与该问题相应的线性问题的第一个特征值有关的：给
最优结果．文首先给出了一个锥，对．施加一定的条件，本并厂然后应用锥上的不动点指数理论得到了该问题正解的存在性．

第三章格林函数法

r
r0
0
1
ln
R
1
2 r0 r2 r12 2rr1 cos 0
1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
1
ln
R
2 r2r02 R4 2R2rr0 cos 0
G
= G
1
ln
R
n r0 R r0 r0 R 2 r0 r 2r02 R4 2R2rr0 cos 0
2
r0
注意：这只是二维空间中圆形区域的格林函数表达式
例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 2u 0 r R
u
rR
解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：
G= 1
2
ln
1 r r0
1
2
ln
R r0
1 r r1
= -1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
G
r;r0
f
r0
dS0
G0
4
1 r r0
G0
1
2
ln
1 r r0
c0
G1 0 G1 G0
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
P
3u 0 r R
u rR f ,
R
O r0
r
M0
M1
M
解：设 M0 r0 , M r 的球坐标为 r0,0,0 ,r,, r1 OM1
积分得到
任意源在相同初始和边界条件下产生的场
格林函数：代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题）求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，

单位球上的格林函数

单位球上的格林函数1.引言1.1 概述在数学和物理领域中，单位球是一个重要且常用的概念。

单位球是指中心位于原点，半径为1的球体。

它在多个学科领域中都有广泛的应用，如几何学、微积分、凸优化、方程和物理学等。

本文将探讨单位球上的一个重要概念——格林函数。

格林函数是一种绿色函数，它在偏微分方程和势能理论中扮演着重要的角色。

它可以用于解决各种物理和数学问题，如电势问题、热传导问题、波动问题等。

在本文中，我们将首先介绍单位球的定义和一些基本性质。

随后，我们将详细讨论格林函数的概念和作用，并阐述它在解决偏微分方程和积分方程中的应用。

通过深入研究单位球上的格林函数，我们将更好地理解它的重要性和意义。

本文的目的是为读者提供一个全面的介绍，使他们能够了解并掌握单位球上格林函数的基本概念和应用。

通过学习这些内容，读者将能够在实际问题中应用格林函数，提供解决方案，并进一步拓展和应用相关的研究。

在结论部分，本文将强调单位球上的格林函数的重要性，并指出未来可能的研究方向。

我们希望通过这篇长文，能够为读者提供有关单位球上格林函数的详尽信息，并激发读者进一步深入研究和研究该领域的兴趣。

1.2 文章结构文章结构本文主要讨论单位球上的格林函数，并包含以下部分：1. 引言：首先概述本文的研究对象和研究目的。

介绍单位球的基本定义和性质，并阐述格林函数的概念及其在该领域的作用。

2. 正文：- 单位球的定义和性质：介绍单位球的几何定义和基本性质，在数学和物理学中的重要地位，并探讨单位球在格林函数研究中的意义。

- 格林函数的概念和作用：对格林函数进行详细解释，包括其数学定义、性质和重要性。

阐述在单位球上使用格林函数进行问题求解的方法和应用领域。

3. 结论：- 单位球上的格林函数的重要性：总结单位球上格林函数的重要性和应用价值，指出其在解决特定问题、优化物理模型和推动科学发展方面的潜力。

- 未来可能的研究方向：展望未来可能的研究方向，包括但不限于进一步探索单位球上格林函数的特性、推广应用到其他领域以及开展相关数学和物理理论方面的深入研究。

一类分数阶微分方程组多点边值问题正解的存在性

通讯作者：陆心怡，Ｅｍａｉｌ：ｌｉｎｄａｌ！）８９８９＠ｌ２６．ＣＯｎ１．
第２期
陆心怡：一类分数阶微分方程组多点边值问题正解的存在性
３７
ＤＧ（￡）一
其中一］＋１，［口］定义为ａ的整数部分．
引理２［４］对于一个ａ（ａ＞０）阶分数阶微分，给出 ∈ｃ（ｏ，１）ｎＬ（Ｏ，１），那么
Ｉ；＋Ｄ＋“ （）＝（￡）一ｃ１ｔ一十ｃ２ｔ。＋…＋ｃｎｔ一，ｃ ∈Ｒ，＝１，２， … ，，
７／＂Ｅｌ＜ａ，ｎ，ｉ为固定常数，ｉ ∈Ｎ， ≤ 一２，ａ，２．ｆ，ｇ：［ｏ，１］ ×［ｏ，ｏ。）一Ｒ是连续函数，Ｄ＋口（），＋（ｆ）都是黎曼一刘维尔形式的，其中
收稿日期：２Ｏｌ２一儿一３０基金项目：国家自然科学基金资助（１０９７ ¨７９）；山东省优秀中青年科学家奖励基金（ＢＳ２０１０ＳＦ００４）；山东省高等学校科技发展计划资助项目（Ｊ１０ＩＡ５３）
一
类分数阶微分方程组多点边值问题正解的存在性
陆心怡
（聊城大学数学科学学院，山东聊城２５２０５９）
摘要利用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ锥压缩拉伸不动点定理，通过讨论格林函数的性质，得到一类分数

一类4阶常微分方程系统边值问题正解的存在性

考虑４阶常微分方程系统边值问题
“
¨ （）＝ｔｕｔ，（）Ｕ（）（），∈（，）ｔ（，（）ｔ，”ｔ，”ｔ）ｔ０１，
（）１
‘ （）／（，（），，（），∈（１￡＝ｆ“ ｆ，（）ｕ（））￡０，） ’ ｕ０ “ １（）＝（）＝“（）＝（）＝，０１０
词：边值问题；系统；正解；ｃａｄｒＳｈｕｅ不动点定理
对非线性项只要求其满足局部条件．
中图分类号：１５Ｏ７
献标识码：Ａ
文章编号：６４—８２（００００１０１７４５２１）２－１４— ４
ＥｘｓｅｃｆＰｏｉｉｅＳｌｔｏｏＣｌｓｆｉｔｎｅｏｓｔｏｕｉｎｆｒＡａｓｏｖ
ｔｒｏｌｅｄｏｓｔｓｙａｌｃｌｃｎｉｏ．ｅｍｎｙｎｅｓｔａｉｆｏａｏｄｔｎｉＫｅｒｓ：ｂｕｎａｙｖｌｒｂｅ；ｓｓｅｙｗｏｄｏｄｒａｕｅｐｏｌｍｙｔｍｓ；ｐｓｔｅｓｌｔｏｏｉｉｏｕｉｎ；Ｓｈｕｅｘｄｐｉｔｔｅｒｍｖｃａｄｒｆｅｏｎｈｏｅｉ
Ｆｏｔ－ｏｄｅｙｔｍｓＢｏｎｒｌｅＰｒｂｅｓｕｒｈ — ｒｒＳｓｅｕｄａｙＶａｕｏｌｍ
ＷＡＮＧＪｎ —Ｘｉｎｉ－ａｇ
（ｏｅｅｏｔｅａｃｎｎｒａｉｃｅｃ，ｏｔｅｔｏｍｌｎｖｒｔ，ａｚｏ３００ＣｉＣｌｇｆｈｍｔｓｄＩｆｍｔｎＳｉｅＮｒｗｓＮｒａＵｉｅｉＬｎｈｕ７０７，ｈｎｌＭａｉａｏｏｎｈｓｙａ）

电磁场理论中的边界条件与边值问题解析研究

电磁场理论中的边界条件与边值问题解析研究引言：电磁场理论是物理学中的重要分支，广泛应用于电磁波传播、电路分析等领域。

其中，边界条件和边值问题是电磁场理论中的核心概念，对于解析研究电磁场的性质和行为具有重要意义。

本文将就电磁场理论中的边界条件与边值问题进行探讨。

一、边界条件的概念与分类边界条件是指电磁场在两个不同介质的交界面上需要满足的条件。

根据边界条件的不同形式，可以将其分为电场边界条件和磁场边界条件。

1. 电场边界条件电场边界条件是指电场在介质交界面上满足的条件。

其中，最基本的电场边界条件是法向分量的连续性条件，即电场的法向分量在两个介质交界面上的值相等。

此外，还有切向分量的连续性条件和切向分量的不连续性条件等。

2. 磁场边界条件磁场边界条件是指磁场在介质交界面上满足的条件。

与电场边界条件类似，磁场的法向分量在两个介质交界面上的值相等，即磁场的法向分量是连续的。

此外，磁场的切向分量也需要满足一定的条件，如切向分量的连续性条件和切向分量的不连续性条件等。

二、边值问题的解析研究边值问题是指在给定边界条件的情况下，求解电磁场的数学模型。

在电磁场理论中，边值问题的解析研究是十分重要的，可以帮助我们深入理解电磁场的行为和性质。

1. 边值问题的数学模型边值问题的数学模型是由麦克斯韦方程组和边界条件共同构成的。

通过求解这个数学模型，我们可以得到电磁场的解析解，从而揭示电磁场的基本特性。

2. 边值问题的解析方法边值问题的解析方法主要有分离变量法、格林函数法和辐射条件法等。

其中，分离变量法是应用最广泛的一种方法，它将电磁场分解为多个独立的分量，并通过求解每个分量的方程来得到整个电磁场的解析解。

格林函数法则是通过引入格林函数，将边值问题转化为积分方程的形式，从而求解电磁场的解析解。

辐射条件法则是在边界条件已知的情况下，通过辐射条件来求解电磁场的解析解。

三、边界条件与边值问题的应用边界条件与边值问题在电磁场理论的应用中起着重要的作用，可以帮助我们研究电磁波的传播、电路的分析等问题。

第六章格林函数

25
一、半空间上的格林函数上半空间区域上的格林函数满足
⎧ΔG = −δ (r − r0 ), ⎨ ⎩G z =0 = 0 z>0
在半空间 z > 0 上取一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 令 r0 = x + y + z 表示自原点到该点的距离，并在该点放置一个单位正电荷，它所形成的静电场在任何一点 M ( x, y, z ) 处的电位函数为 1 1 1 = ⋅ 4π rM0M 4π (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2
u (ξ ,η , ζ ) = − ∫∫
S
∂G f dσ＋∫∫∫ Gϕ dω. ∂n Ω
对于拉普拉斯第一边值问题，如果ϕ = 0,
22
上式可写为
∂G dσ u (ξ ,η , ζ ) = − ∫∫ f ∂n S 其中G也可称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数.
三、格林函数的物理意义
把区域 Ω 的边界考虑为一个金属壳体，并把它用导线接地，并在 Ω 内一点 P (ξ ,η , ζ ) 放置一个单位正电荷，令 V ( P, Q ) = V ( x − ξ , y − η , z − ζ ) 表示这个静电场的电位函数，由于现在电荷是集中在一点的，可用 δ 函数来表示电荷分布密度，
3
k k Δu + f ( x, y , z ) = 0 cρ cρ
或
Δu = − f .
其中 f 为已知函数，这是泊松方程。如果没有热源，即 f ≡ 0 则
Δu = 0,
我们得到拉普拉斯方程。例二：设在一真空空间区域 Ω 中存在一个
4
静电场 E ( x, y , z ), 电荷的密度分布函数为 ρ ( x, y, z ), 根据静电学中的基本定律，有 ρ divE = ∇ • E = (高斯定理) ε0 且 rotE = ∇ × E = 0. (斯托克斯定理) 这个静电场是无旋的，那么必定是有势的，即存在一个电位函数： u = u ( x, y, z ) 使得

一类三阶三点边值问题正解的存在性

一类三阶三点边值问题正解的存在性程德胜;武晨【摘要】We study the existence of positive solution to the following third-order three-point boundary value problems u(t)+a(t)f(u(t))=0 ,t∈(0 ,1 ),u(0 )= u′(0 )= 0 ,u′(1 )-αu′(η)=λ,where 0<η<1 ,0<α<1/η,λ>0.By using fixed point theorem in cones,we obtain the existence of the positive solution if f is either superlinear or sublinear.Our results extend and improve some results made by Wu Hongping.%考虑一类三阶三点边值问题u（t）＋a（t）f（u（t））＝0，t∈（0，1），u（0）＝u′（0）＝0，u′（1）－αu′（η）＝λ，其中，0＜η＜1，0＜α＜1／η，λ＞0，f满足超线性或者次线性条件，利用锥上的不动点定理，得到上述边值问题解的存在性结果。

结果表明：文中方法进一步改进和推广了吴红萍的结果。

【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)001【总页数】4页(P127-130)【关键词】三阶三点边值问题;锥;格林函数;不动点定理【作者】程德胜;武晨【作者单位】江苏联合职业技术学院南京分院基础课程教学部，南京江苏210019;江苏联合职业技术学院南京分院基础课程教学部，南京江苏 210019【正文语种】中文【中图分类】O175.8三阶微分方程边值问题是研究奇数阶边值问题的基础,由于其广泛的物理背景和现实意义，三阶边值问题引起了许多学者的关注，并且取得了较多成果[1-10]. 吴红萍[2]考虑了三阶三点边值问题u‴(t)+a(t)f(u(t))=0,t∈(0,1),u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ.其中：0<η<1；0<α<1/η；λ>0.通过应用Leggett-Wilmlias不动点定理得到上述边值问题有3个正解的存在性.但作者仅考虑在上述条件下解的存在性，并没有考虑到当f满足超线性或次线性条件下,上述边值问题的解是否存在.本文研究一类三阶三点边值问题,即其中:0<η<1;0<α<1/η;λ>0.在f满足超线性或次线性条件下，上述边值问题解的存在性.假设以下条件成立：1)∞.引理1[7] 假设E是一个Banach空间，P是E中的锥，假设Ω1,Ω2是E中满足0∈Ω1⊂⊂Ω2的两个开子集，并且是一个全连续算子，满足ⅰ) ‖Tu‖≤‖u‖，u∈P∩∂Ω1,并且‖Tu‖≥‖u‖，u∈P∩∂Ω2，或者ⅱ) ‖Tu‖≥‖u‖，u∈P∩∂Ω1,且‖Tu‖≤‖u‖，u∈P∩∂Ω2，则T在中至少有一个不动点.引理2[3] 边值问题 u‴(t)+a(t)f(u(t))=0，t∈(0,1)，u(0)=u′(0)=0,u′(1)-αu′(η)=λ,有唯一解，即式(2)中:G(t,s)引理3[3] 对任意(t,s)∈[τ,1]×[0,1],有，且.引理4[3] 对任意(t,s)∈[0,1]×[0,1]，有0≤G1(t,s)≤s(1-s).引理5[3] 若u∈C+[0,1]，边值问题(1)的唯一解式(2)非负，且满足‖u‖.考虑Banach空间E=C[0,1]，赋予范数‖u‖|u(t)|，定义锥K={u∈：u(t)≥0,t∈[0,1]，且‖u‖}，对任意u∈K，定义算子,有由引理3可得则有当t∈[τ,1]时，由引理3和式(4),有因此，‖Tu(t)‖，这表明TK⊂K.更进一步容易验证T：K→K是全连续的，且T的不动点即边值问题(1)的解.记.定理1 假设f0=0，且f∞=∞(超线性)，则边值问题(1)至少存在一个正解.证明因为f0=0，所以存在R1>0，使0≤u≤R1时，有f(u)≤εu,t2≤ε‖u‖成立.其中，ε为大于0的常数，且满足当u∈K,‖u‖=R1时，由引理3和式(5)，有令Ω1={u∈E：‖u‖<R1}，则由式(6)可知：‖Tu‖≤‖u‖,u∈K∩∂Ω1.另一方面，由f∞=∞可知，存在R2>R1，使u≥τ2R2时，有f(u)≥ρu成立.其中，ρ>0，且满足令Ω2={u∈E：‖u‖<R2}，当u∈K,‖u‖=R2时，有u(t)≥τ2‖u‖=τ2R2,t∈[τ,1].因此，由式(7)可得因此，‖Tu‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω2.由引理1可知：有一个不动点，即边值问题(1)的解. 定理2 假设f0=∞，且f∞=0(次线性)，则边值问题(1)至少存在一个正解.证明因为f0=∞，则存在R3>0，使0≤u≤R3时，有f(u)≥δu成立.其中，δ>0，且满足当u∈K,‖u‖=R3时，由式(8)可得令Ω3={u∈E：‖u‖<R3}，当‖Tu‖≥‖u‖,u∈K∩∂Ω3.因为f∞=0，则存在R<0，使当u≥R时，f(u)≤γu.其中,γ>0，且满足下面分两种情况进行讨论.1) 如果f是有界的，即存在M>0，当u∈[0,+∞]时，有f(u)≤M成立，此时，令从而‖Tu‖≤‖u‖.2) 如果f是无界的，令},使f(u)≤f(R4)成立.其中,0≤u≤R4.当u∈K,‖u‖=R4时，由式(9)和f(u)≤f(R4)可得因此,‖Tu‖≤‖u‖.无论哪一种情况，都可以令Ω4={u∈E：‖u‖<R4}，从而对任意的u∈K∩∂Ω4.都有‖Tu‖≤‖u‖成立.由引理1可知:边值问题(1)至少有一个正解. 建立适当的格林函数，选择合适的锥，运用锥拉伸与压缩不动点定理，对一个含参数的三阶边值问题在满足超线性或者次线性条件下正解的存在性进行了探究，得到了一些新的推广的结果，也丰富了对锥拉伸压缩不动点定理的理论分析.【相关文献】[1] 杨春风.一类三阶三点边值问题正解的存在性和不存在性[J],山东大学学报(理学版),2012,47(10):109-115.[2] 吴红萍.一类三阶三点非齐次边值问题的两个正解[J].西北师范大学学报(自然科学版),2012,48(6):9-12.[3] SUN Yongping.Positive solutions for third-order three-point nonhomogeneous boundary value problems[J].Appl Math Letters,2009,22(1):45-51.[4] 王全义,邹黄辉.一类n阶非线性三点边值问题单调正解的存在性[J].华侨大学学报(自然科学版),2014,35(3):344-348.[5] 王全义,邹黄辉.非线性奇异三阶两点边值问题单调正解的存在性[J].华侨大学学报(自然科学版),2012,33(6):699-704.[6] 高婷,韩晓玲.三阶无穷多点边值问题正解的存在性[J].四川大学学报(自然科学版),2016,53(1):35-41.[7] 武晨.带有积分型边值条件的奇异的n阶边值问题无穷多正解的存在性[J].淮北师范大学学报(自然科学版),2015(3):14-17.[8] 孙建平,张小丽.非线性三阶三点边值问题正解的存在性[J].西北师范大学学报(自然科学版),2012,48(3):1-4.[9] 孙建平,彭俊国,郭丽君.非线性三阶三点边值问题的正解[J].兰州理工大学学报,2009,35(1):139-142.[10] 吕学哲,裴明鹤.一类三阶三点边值问题正解的存在性[J].北华大学学报(自然科学版),2014(5):577-580.。

4阶微分方程3点边值问题3个正解的存在性

≤，１ｗ ≤ Ｏｆ１ ≤ ≤ ０ｆ１ ≤ ≤
此处０＜＜ｍｉ｛１ｎ，～）．
引理１
若 “∈ Ｐ，ｌｌ ≤ ÷ ｌｌ．则ｌ０ “ｌＩｌ “ 。
引理２设一（一ａ）－（一ｄ＞０若ｋ１叩￣ｆ１ｌ），（）∈ ｃ［，］则边值问题ｏ１，
界点理论研究了边值问题
ｆ￡＝ｆ（，￡） “ （）￡（）
ｔ∈ ［，］０１，
ＩＯ一１＝０ “ （）（）（）（），０一１一０的多个正解的存在性．献［］用Ｋｒｓｏｅｓｉ不动点定理研究了边值问题文４运ａｎｓｌｉｋ
第５期
曹银芳，：等４阶微分方程３边值问题３正解的存在性点个
２７
成立，则称映射ａ是锥Ｐ上的非负凹（凸）连续泛函．
设是锥Ｐ上的非负连续泛函，锥Ｐ上的非负连续凹泛函，是０和）是锥Ｐ上的非负连续凸泛函．，对
ａ
是Ｐ上的非负连续凹泛函，是Ｐ上的非负连续泛函，且存在正数Ｍ，ｄ使得ａ“ （）≤ （，ＩＩ≤ Ｍ） “ ）ｌ “Ｉ，）（．（ｕＩａ）≤ （）［１ “ ＶｕＥＰ（ｄ）ｙ，，ＶＡＥ［，］ＶＥＰ（ｄ．Ｏ１，ｙ，）
＊
收稿日期：０１６—０２１一Ｏ２
基金项目：苏省高校自然科学基金资助项目（０Ｂ１０６江１ＫＪ１００）作者简介：银芳（９６一，，曹１８）女江苏海门人，士研究生，要从事不动点理论及其应用研究；硕主肖建中（９８一，，１５）男江苏泰兴人，授，要从事泛函分析及其应用研究．教主

四阶非线性常微分方程非线性三点边值问题解的存在性与唯一性

1 引言
众所周知, 四阶非线性常微分方程的边值问题在弹性力学和工程物理中有着非常广泛
的应用. 因此, 近十多年来很多数学物理工作者对它进行了一系列研究, 取得了较好的结果,
如文[ 1 ]～ [ 8 ], 但从研究内容上看, 上述工作大多局限于简单边界条件, 对于非线性边界条
件下的结果甚少, 特别是三点边值问题更是如此. 而从研究方法上看, 主要是采用上下解方
= k (- z (- b) , z ′(- b) , - z ″(- b) , z (- b) ,
- z (- a) , z ′(- a) , - z ″(- a) , z (- a) ) ,
F ( t, z , z ′, z ″, z ) = - f (- t, - z , z ′, - z ″, z ).
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数学物理学报
V o l. 20
H{ 7在 R 8 上, h 4+ h 5+ h 6+ h 7+ h 8≥∆> 0, h 3+ h 5+ h 6+ h 7≥∆> 0, k 4- k 5+ k 6- k 7+ k 8≥∆
满足非线性三点边界条件 k (y (b) , y ′(b) , y ″(b) , y (b) , y (a) , y ′(a) , y ″(a) , y (a) ) = 0,
y (b) = Λ g (y ′(b) , y (b) ) = 0, h (y (b) , y ′(b) , y ″(b) , y (b) , y (c) , y ′(c) , y ″(c) , y (c) ) = 0 的三点边值问题存在解与存在唯一解的具体的充分条件. 关键词四阶非线性常微分方程, 三点边值问题, 存在性, 唯一性. M R (1991) 主题分类 34B 15

一类四阶三点边值问题正解的存在性

一类四阶三点边值问题正解的存在性
在数学的边值问题中，提出一类四阶三点边值问题，它们是一种把问题简化，把给定条件
改写成特定方程组形式，然后进行解决的数学方法。

在一般的四阶三点边值问题中，给定
五个初始值，在一特定区间内计算出其他四个未知点的值。

首先，来看一类四阶三点边值问题的正解存在性。

在这类问题中，假设满足方程的系数相
关性不变，只有微分方程的左右两步有正解的存在性，也就是说，当系数的相关性是正确
的时候，就有可能有正解。

但是，在很多情况下，系数的相关性是正确的，但是四阶三点边值问题正解依然存在问题。

此时，必须靠数值解法来解决这个问题，例如牛顿迭代法。

当数值方法解出方程的精确解时，就可以确定四阶三点边值问题的正解存在性了。

最后，通过对符合一定相关性的系数和数值方法获得的正确方程解来判断，是否能够获得边值问题的正解。

如果能够获得正确的方程解，那么就可以得到这类四阶三点边值问题的正解存在性，而且可以获得解析解。

概括起来，可以看出，在一类四阶三点边值问题中，只要系数相关性正确，而且利用数值
方法获得精确的解，就可以求解出相应的正解。

所以，一类四阶三点边值问题的正解存在
性可以得到确认。

几类四阶两点边值问题正解的存在性和多重性

几类四阶两点边值问题的正解的存在性和多重性IIABSTRACTThe formation and development of ordinary differential equations is affected by complexvariable function, combinatorial topology, lie group. Its wide application is not only reflected in some natural science disciplines, such as mechanics, physics, biology, astronomy, but also closely related to the development of engineering technology. At present, the development of computer technology has promoted the application and theoretical research of ordinary differential equations. In recent years, nonlinear functional analysis has become an important tool in the study of nonlinear problems in astronomy, physics, fluid mechanics, elastic mechanics, aerospace technology and biotechnology. Therefore, the study of nonlinear differential equations is concerned by the majority of scholars. In this paper, we study the existence of positive solutions of boundary value problems for three classes of nonlinear fourth- order ordinary differential equations.The paper consists of following four chapters.In chapter 1, the first part reviews the research background, status and significance of boundary value problems of nonlinear fourth-order ordinary differential equations. In the second part, the relevant symbols, definitions and theorems of this article are introduced. At the last part the main structure of the paper is briefly introduced.In chapter 2, we mainly investigate the existence and multiplicity of positive solutions of boundary value problems for two classes of fourth- order ordinary differential equations. Based on the fixed-point index theory, some sufficient conditions for the existence of positive solution and multiplicity of one simple-supported and the other sliding-supported fourth-order two-point boundary value problem with parameter is investigated.In chapter 3, we discuss the existence of positive solutions for another class of fourth-order boundary value problem in Banach space. By establishing comparison theorem and using pontryagin maximum principle and fixed point theorems for increasing operators, we obtain some sufficient conditions for the existence of solutions of the problem.In the last chapter, the full paper is summarized, and the prospects for future research are put forward.Keywords: fourth-order ordinary differential equation, fixed-point theorem, two-point boundary value problem, positive solution, existence目录第一章绪论 (1)1.1本文所研究问题的背景及意义 (1)1.2 发展历史和研究现状 (1)1.3 本文所引用的符号、定义和定理 (4)1.4 本文结构安排 (8)第二章两类四阶微分方程边值问题正解的存在性和多重性 (9)2.1 引言 (9)2.2 第一类四阶边值问题正解存在性及多重性 (9)2.3 第二类四阶边值问题正解的存在性 (15)第三章Banach空间中一类四阶微分方程两点边值问题的正解 (22)3.1 引言 (22)3.2预备知识与引理 (23)3.3主要结果 (24)第四章总结与展望 (29)4.1研究总结 (29)4.2 展望 (29)参考文献 (30)致谢 (33)在学期间的研究成果及发表的学术论文 (34)III第一章绪论1.1 本文所研究问题的背景及意义随着近代应用数学还有物理学的飞速发展，对分析和控制客观现象的数学能力向着更有全局性、更高、更精的水平发展的要求也越来越高，从而非线性分析的研究成果越来越丰富，逐渐形成现代分析数学中一个重要的分支学科也就是非线性泛函分析.由于越来越多的学者对其深入研究与探索，非线性分析理论体系日益完备.直至如今，非线性泛函分析这门学科已经成为研究不但是在数学方面，在更多其他领域包括物理学、医学、经济学、生物学以及航天技术中非线性问题的一个十分重要的工具.不同的物理现象可以建立相同的数学模型，而常微分边值问题的提出和发展与力学和电学紧密联系，在实际问题的研究过程中，我们建立的模型往往是非线性的，因此研究非线性常微分方程就显得尤为重要，为现代许多数学工作者和工程人员在建立模型解决实际的物理问题或者工程问题时提供了重要的理论依据.其实在自然科学、技术科学，甚至在社会科学中都存在着大量微分方程的相关问题.因此常微分方程的理论丰富广泛来源于社会的生产实践.数学家们对常微分方程解的探索始于十七世纪.随着生产生活、社会科技中有关常微分方程的问题大量涌现，数学家们不断寻求和研究新的方法、理论求解常微分方程.19世纪30年代，著名的数学家Sturm和Liouville最早开始研究边值问题，得到了关于特征值的一系列结论，建立了Sturm-Liouville理论.而后到了20世纪，数学家们将微分、积分这些运算统一抽象为算子，泛函分析就是在算子概念的基础上发展起来的新兴学科.建立和发展非线性泛函分析的这门学科，为后人研究微分方程边值问题奠定了重要的理论基础.在随后几十年里，经过许多数学家们不懈的努力，涌现了许多著名的不动点定理，比如Leray-Schauder不动点定理，Krasnoselskii 锥拉伸与压缩不动点定理，以及Amann建立了锥上不动点指数理论，从而使得非线性微分方程的研究取得了长足的发展.近三十年，高阶微分方程的边值问题在桥梁工程方面得到了极大地关注，更多的国内外的专家和学者研究这方面的问题，其研究的过程和结果使得非线性微分方程的研究取得了快速发展，而非线性微分方程边值问题关于正解存在性的工具和内容也更加丰富趋于完备，产生了很多相关学术专著，参考文献[1-18].众所周知，建立非线性微分方程边值问题的数学模型可以用来刻画弹性梁的平衡状态，由于其重要的意义，所以研究这类问题，丰富相关的数学理论的同时还可以指导人们解决实际问题.1.2 发展历史和研究现状四阶常微分方程边值问题正解的存在性备受众多学者关注，利用非线性算子方程理论来解1几类四阶两点边值问题的正解的存在性和多重性2决四阶方程边值问题解的存在性被广泛应用，研究方法也很多，通常有代数法、变分法、单调迭代法、上下解方法等.随着锥理论的成熟，人们常常将所研究的边值问题的解的存在性转化为研究积分算子在锥上的不动点的存在性，而研究积分算子不动点的存在性常用的理论是非线性泛函分析中的拓扑度理论和不动点指数理论，其中，Leray-Schauder 度理论和Krasnoselskii 不动点定理应用最为广泛.方法和理论的成熟为边值问题正解的存在性与多解性研究提供了充分的条件.1997年，马如云在文[19]中研究了如下的四阶边值问题：(4)()(,(),''())[0,1],(0)(1)''(0)''(1)0.u t f t u t u t t u u u u ⎧=∈⎪⎨====⎪⎩， (1.2.1)在f 关于u 单调不减，关于v 单调不增的情况下，利用上下解方法取得了该问题正解存在的充分条件.2002年，吴红萍、马如云在文[20]中，考察了一类四阶两点边值问题(4)()(,())(0)(1)'(0)''(1)0.u t f t u t u u u u ⎧=⎪⎨====⎪⎩，(1.2.2) 利用锥拉伸与锥压缩不动点定理及拓扑度理论，给出了该问题正解的存在性以及多个正解存在的充分条件.其中[][)[)∞→∞⨯,0,01,0:f 连续.2003年，李永祥在文[21]中，运用锥压缩与锥拉伸不动点定理研究了一类四阶边值问题正解的存在性与多解性[]4()(),0,1,(0)(1)''(0)''(1)0.d u t f u t dtu u u u ϕ⎧=∈⎪⎨⎪====⎩ (1.2.3) 对于0000(,)(,)limsup,liminf ,u v u v f u v f u v f f u vu v +→+→==++ (1.2.4) 00(,)(,)limsup ,liminf ,u v u v f u v f u v f f u v u v ∞∞+→+→==++ (1.2.5) 当-0f 适当小，-∞f 适当大，或者-0f 适当大，-∞f 适当小时，该边值问题(1.2.3)至少有1个正解，同时，还获得上述问题的两个正解的存在性，其中([0,1],[0,)),C φ∈∞在[0,1]的任何子区间上 ()0t φ≠且(,)([0,)(,0],[0,)).f u v C ∈∞⨯-∞∞2003年，安玉莲、罗华在文[22]中考虑f 无任何增长性限制的条件下,研究了一类一端固定一端滑动的静态梁南京航空航天大学硕士学位论文3[](4)(,,','','''),0,1,(0)'(0)'(1)'''(1)0y f x y y y y x y y y y ⎧=∈⎪⎨⎪====⎩ (1.2.6) 四阶两点边值问题解的存在性和唯一性，其中[]R R f →⨯41,0:连续.本文利用Leray-Schauder 度理论，讨论该问题解的存在性，同时在满足Lipschitz 条件时，获得该边值问题解的唯一性.2004年, Philip Kormana 在文[23]中利用分歧理论研究了如下的四阶边值问题(4)()()(),(0,1),(0)(1)(0)(1)0u t h t f u t u u u u λ⎧=∈⎪⎨''====⎪⎩ (1.2.7) 正解的存在性与唯一性.2004年，姚庆六、任立顺在文[24]中考察下列四阶非线性边值问题：(4)()(,(),()),01,(0),(1),(0),(1).u t f t u t u t t u A u B u C u D '⎧=≤≤⎪⎨''''''====⎪⎩ (1.2.8) 本文利用Schauder 不动点理论及相关积分方程组的技巧，在f 连续且定义]1,0[C 中的范数为 )(max 10t u u t ≤≤=的条件下，得到了问题(1.2.7)的正解，即满足0*>u ，10≤<t 的解. 2006年，姚庆六，李永祥在文[25]中，使用Leray-Schauder 不动点定理研究了一类含有剪力因子'''()u t 的非线性弹性方程解的存在性.(4)()(,(),'''()),01,(0),'(0),'(1),'''(1).u t f t u t u t t u A u B u C u D ⎧=≤≤⎪⎨====⎪⎩ (1.2.9) 给出方程(1.2.9)解的存在性的4个定理，只要非线性项在某有界集上的“高度”适当，则该问题至少有一个解.2006年，马如云在文[26]研究了问题:(4)()()(),(0,1)(0)(1)(0)(1)0y t y a t f y t y y y y β''⎧+=∈⎪⎨''''====⎪⎩， (1.2.10) 其中[0,1]C β∈2,(),t βπ<[0,1],a C ∈,[0,1]t ∈时0,a ≥且在]1,0[的任一子区间上都有()0.a t ≠()f C R ∈对于所有0,y ≠都有()0,f y y >作者运用Rabinowitz 全局分歧定理研究并获得了该问题的结点解的存在性以及解的全局结构.2008年，赵虹在文[27]中，讨论了四阶边值问题的非负解的问题几类四阶两点边值问题的正解的存在性和多重性4(4)()''()(,()),01,(0)(1)''(0)''(1)0u t u t f t u t t u u u u β⎧+=<<⎪⎨====⎪⎩ (1.2.11) 在假设满足[][)[)∞→∞⨯,0,01,0:f 连续，且R β∈，2πβ<的条件下，基于一个锥上的不动点指数理论得到方程非负解的充分条件.2010年，陈天兰在文[28]中利用不动点指数理论研究了具有超线性或次线性的非线性四阶两点边值问题(4)()()(,()),01,(0)(1)''(0)''(1)0u t u t f t u t t u u u u λ⎧-=<<⎪⎨====⎪⎩(1.2.12) 作者给出了正解存在时参数λ的取值范围以及不存在正解时λ的取值范围，其中始终假定 :[0,1][0,)[0,)f ⨯∞→∞连续.2010年，闫东明在文[29]中应用锥上的不动点指数理论，研究了一类四阶两点边值问题(4)()(,()),(0,1),(0)(1)'(0)'(1)0u t f t u t t u u u u ⎧=∈⎪⎨====⎪⎩ (1.2.13) 正解的存在性和多重性，给出了几个充分条件. 2014年，陆宇在文[30]中，利用上下解方法和不动点理论讨论了四阶常微分方程的两点边值问题(4)()=()(,(),''()),01,(0)(1)0,''(0)''(1)0u t a t f t u t u t t u u u u λ⎧<<⎪⎨====⎪⎩ (1.2.14) 存在性的一些充分条件.1.3 本文所引用的符号、定义和定理文中使用的数学符号如下：),(+∞-∞=R ，),0[+∞=+R ，]0,(-∞=-R ；n R ：n 维欧氏空间；2C ：在定义域内二阶连续可导的函数全体；||||⋅：表示范数；11:)(|)({),(R J t u t u R J C →=连续}，1],[R b a J ⊂=.本文使用如下的基本定义和定理.南京航空航天大学硕士学位论文5定义1.3.1[1] 设1E 和2E 均是Banach 空间，1E D ⊂. 若2:E D A →这个算子是连续且紧的，那么就说A 是映D 入2E 的全连续算子.定义1.3.2[1] 设F 是()C M 中的一个子集.若,,,01F M x M ∈∀∈∀>∃ϕ使得()x ϕ≤1M ,则称它是一致有界的.定义1.3.3[1] 设F 是()C M 中的一个子集.若12120,,,(,),x x M x x F ερδφ∀>∀∈<∀∈,总有()0,δε>使得εϕϕ<-)()(21x x ,称它是等度连续的.定义1.3.4[2] 设E 是Banach 空间，K 是E 中的一个非空闭集.若K 满足：(i) 任给,,x y K ∈0,0,αβ≥≥有;x y K αβ+∈(ii) 若,,x K x θ∈≠则,x K -∉则称K 是E 中的一个锥.定义1.3.5[2] 设E 是Banach 空间，K 是E 中的锥，对,,x E y E ∈∈如果,y x K -∈则记.x y ≤这种方法定义的≤“”具有下列性质： (i) ;x x ≤(ii) 若,,x y y z ≤≤则;x z ≤(iii)若,,x y y x ≤≤则.x y =这样定义的半序空间就叫做半序Banach 空间.定义1.3.6[2] 设E 是半序Banach 空间，,:D E A D E ⊂→是一个算子.若0x D ∈，并且满足00x Ax ≤,就称0x 是算子方程x Ax =的一个下解，简称0x 是A 的下解；若0y D ∈满足00y Ay ≥,就称0y 是算子方程x Ax =的一个上解，简称0y 是A 的上解.定义1.3.7[3] 设,D E ⊂算子:A D E →.(i)如果121212,,,x x D x x Ax Ax ∈≤⇒≤则称A 是D 上的增算子;(ii)如果121212,,,x x D x x Ax Ax ∈<⇒<则称A 是D 上的严格增算子.定义1.3.8[3]设K 是E 中一个锥.如果E 中每个按序有上界的增序列必有极限，即若{}n x E ⊂满足12n x x x y ≤≤≤≤≤（y 是E 中某元素），必有x E ∈使0(),n x x n -→→∞则称K 是正则的.定义1.3.9[3] 设K 是实Banach 空间E 中的一个收缩核.假设对于K 的有界开集,U K ⊂算几类四阶两点边值问题的正解的存在性和多重性6 子A U K →：全连续，并且,,Ax x x U ≠∈∂则存在唯一的整数(,,)i A U K （称为A 在U 上关于K 的不动点指数），满足(i)正规性：若A U U →：是恒同算子，则(,,) 1.i A U K = (ii)可加性：若12,U U 是E 中两个互不相交的开子集，12,\(),Ax x x U U U ≠∈ 则1212(,,)(,,)(,,).U U i A U K i A U K i A U K =+(iii)同伦不变性：设:[0,1]H U K ⨯→全连续，并且(,),(,)[0,1],H t x x t x U ≠∈⨯∂则((,),,)i H t U K 与t 无关.(iv)可解性：若(,,)0,i A U K ≠则A 在U 中至少有一个不动点.定理1.3.1[3](Arzela-Ascoli 定理) 集合),(1R J C M ⊂相对列紧的充分必要条件为： (i)集合M 中的函数一致有界，即0K ∃>，使得对()u u t M ∀=∈，都有K t u ≤)(，J t ∈∀;(ii)集合M 中的函数等度连续，即对0ε∀>，()0δδε∃=>，使得当J t ∈1，J t ∈2，δ<-21t t 时，对()u u t M ∀=∈，都有ε<-)()(21t u t u .定理1.3.2[3] 设000000,,,:[,]u v E u v A u v E ∈<→是一个增算子,满足0000,.u Au Av v ≤≤又设下面两个条件之一满足：(i)K 是正规的并且A 是凝聚的; (ii)K 是正则的并且A 是次连续的（即00,[,],n n n x x u v x x Ax Ax ∈→⇒−−→弱）.那么，A 在00[,]u v 中必有最小不动点*x 和最大不动点*x ,并且**lim ,lim ,n n n n x u x v →∞→∞== 这里11,(1,2,3,),n n n n u Au v Av n --=== 满足0110.n n u u u v v v ≤≤≤≤≤≤≤≤定理 1.3.3[3] 设E 是Banach 空间，K E ⊂是E 中的一个锥.设Ω是E 的有界开子集,南京航空航天大学硕士学位论文7.θ∈Ω若全连续算子:A K K Ω→满足 (i) 1,Au u u K ≤∈∂Ω 且2,,Au u u K ≥∈∂Ω或(ii) 1,Au u u K ≥∈∂Ω 且2,.Au u u K ≤∈∂Ω则算子A 在21(\)K ΩΩ 上有一个不动点.定理1.3.4[3] 设123,,ΩΩΩ是E 中的三个有界开集，12123θΩ,ΩΩ,∈⊂Ω⊂Ω，设 3:A K K Ω→ 是一个k -集压缩映像，0 1.k ≤<假定111inf sup ,,,01,x K x K Ax k x Ax x x K μμ∈∂Ω∈∂Ω>≠∀∈∂Ω<≤ 2,,1,Ax x x K μμ≠∀∈∂Ω≥ 333inf sup ,,,01,x K x K Ax k x Ax x x K μμ∈∂Ω∈∂Ω>≠∀∈∂Ω<≤ 则A 在3K Ω 中具有两个非θ不动点x *与x **,并且1223(\),(\).x K x K ***∈ΩΩ∈ΩΩ1.4 本文结构安排近些年来，非线性微分方程边值问题在很多方面都有着广泛的应用，比如物理学、天文学、经济学等.众所周知，非线性四阶常微分方程的边值问题是人们熟知的用来刻画弹性梁状态的重要的数学模型，所以，研究这类问题，对弹性力学、工程物理等领域的研究提供源源不断的动力.本文主要研究三类四阶两点边值问题解的存在性.第二章，利用不动点指数理论讨论了两类一端简单支撑另一端滑动支撑的弹性梁平衡态的四阶微分方程边值问题(4)()()(,()),01,(0)'(1)''(0)'''(1)0u t u t f t u t t u u u u λ⎧-=<<⎪⎨====⎪⎩ 当参数λ在[0,)∞变化时正解的存在性以及下列四阶边值问题(4)()''()(,()),01,(0)'(1)''(0)'''(1)0u t u t f t u t t u u u u α⎧+=<<⎪⎨====⎪⎩几类四阶两点边值问题的正解的存在性和多重性8 正解的存在性，其中:[0,1][0,)[0,)f ⨯∞→∞连续，并且有R α∈，2.4πα<第三章，利用极大值原理、比较定理和增算子不动点定理，讨论了Banach 空间中如下四阶常微分方程两点边值问题(4)()(,()),[0,1](0)'(0)''(1)'''(1)u t f t u t t u u u u θ⎧=∈⎪⎨====⎪⎩，正解的存在性.第四章，总结全文，简述展望.9第二章两类四阶微分方程边值问题正解及多个正解的存在性2.1引言研究微分方程的边值问题是当今国内外热点领域之一，尤其微分方程边值问题正解的存在性.梁是工程建筑的重要构件，根据其两端不同的支撑条件，就可以得到不同的边值问题.由于其在弹性力学领域的重要性，近些年，有较多文献专于研究其正解的存在性，见文献[31]-[36].然而，对于描述一端简单支撑，另一端滑动支撑的弹性梁平衡状态的四阶微分方程这方面的研究不是很多.本章讨论了两类四阶微分方程边值问题正解的存在性及多重性. 2.2 第一类四阶边值问题正解存在性及多重性文献[28]研究了如下四阶边值问题(4)()()(,()),(0,1),(0)(1)''(0)''(1)0u t u t f t u t t u u u u λ⎧-=∈⎪⎨====⎪⎩ (2.2.1)正解的存在性，其中(,)([0,1][0,),[0,))f t u C ∈⨯∞∞,作者运用不动点指数理论，考虑上述问题在[0,)λ∈∞时正解的存在性.受到以上文献的启发，本节研究一类四阶微分方程(4)()()(,()),(0,1),(0)'(1)''(0)'''(1)0u t u t f t u t t u u u u λ⎧-=∈⎪⎨====⎪⎩ (2.2.2)正解及多个正解的存在性.本节总假定：1()([0,1][0,),[0,))H f C ∈⨯∞∞.为了叙述方便，引入下列记号00[0,1][0,1]00(,)(,)liminf min ,limsup max ,t t u u f t u f t u f f u u ++∈∈→→==[0,1][0,1](,)(,)liminf min ,limsup max .u t t u f t u f t u f f u u ∞∞→+∞∈∈→+∞== 注1 L 是(4)()()0,(0,1)(0)'(1)''(0)'''(1)0u t u t t u u u u λ⎧-=∈⎨====⎩的第一个特征值，其特征函数为sin 2tπ，其中10416L πλ=-.记[0,1]E C =为定义在闭区间[0,1]上全体连续函数构成的集合,在其上定义范数01max ()t u u t ≤≤=，则E 为一个Banach 空间.记[0,1]{[0,1]:()0,01}C u C u t t +=∈≥≤≤引理2.2.1 边值问题''()0,(0,1),(0)'(1)0u t t u u -=∈==的格林函数为,01(,),01t t s G t s s s t ≤≤≤⎧=⎨≤≤≤⎩且(,)G t s 有以下性质：1)(,)0,(,)(,);G t s G t s G s s ≥≤ 2)(,)(,)(,).G t s G t t G s s ≥记1013[0,1][,]44max (,),min (,),(,)(,),.t t mC M G t t m G t t C G t t G t t dt Mσ∈∈====⎰定义算子[0,1][0,1],A C C ++→：1100()(,)(,)(,())Au t G t G s f s u s dsd τττ=⎰⎰ (2.2.3)记13{[0,1]:(),}44K u C u t u t σ+=∈≥≤≤,显然K 是[0,1]C 中的一个锥.引理2.2.2 ()A K K ⊂且A 全连续.证对于,u K ∈由(2.2.3)及引理2.2.1知，()0,[0,1],Au t t ≥∈且11100()(,)(,)(,())(,)(,()),[0,1].Au t G G s s f s u s dsd M G s s f s u s ds t τττ≤≤∈⎰⎰⎰ (2.2.4)因此1(,)(,())Au M G s s f s u s ds ≤⎰另一方面由引理2.2.1，得1()(,)(,)(,)(,)(,())Au t G t t G G G s s f s u s dsd τττττ≥⎰ 100(,)(,)(,()),[0,1].C G t t G s s f s u s ds t ≥∈⎰ (2.2.5)由(2.2.4)和(2.2.5)式，可得 0(,)(),[0,1].C G t t Au t Au Au t Mσ≥≥∈(2.2.6)因此()A K K ⊂.另外由f 的连续性及Arzela-Ascoli 定理可证A 是全连续的.11对0r >,记{:},{:}.r r K u K u r K u K u r =∈<∂=∈=引理 2.2.3[1] 设:A K K →是全连续的，并且对任意r u K ∈∂和01μ<≤,有Au u μ≠,则(,,)1r i A K K =.引理2.2.4[1] 设:A K K →是全连续的，并假设以下两个条件满足： (i)inf 0ru K Au ∈∂>(ii)对任意的r u K ∈∂和1μ>,有Au u μ≠, 则(,,)0r i A K K =.本节的主要结果是：定理2.2.1 假设条件1()H 成立,且0,,f L f L ∞<> 则当4016πλ≤<时，问题(2.2.2) 至少存在一个正解.证由0f L <知，存在(0,)L ε∈及00r >,使 0(,)(),[0,1],0f t u L u t u r ε≤-∈<≤ (2.2.7)设0(0,]r r ∈,下证Au u μ≠,r u K ∈∂,01μ<≤.事实上，若存在00,01,r u K μ∈∂<≤有000Au u μ=,显然0u 满足(4)0000()()=(,()),(0,1)u t u t f t u t t λμ-∈ (2.2.8) 及边值条件,对上式两端同时乘以sin ,2tπ再从0到1积分，利用分部积分法，由边值条件(2.2.2)及(2.2.7)有100()L u t ⎰s i n2tdt π=1000(,())sin2tf t u t dt πμ⎰≤100()()L u t ε-⎰s i n.2tdt π(2.2.9)由(2.2.6)式知，0(,)()C G t t u t u M≥ (2.2.10)因此100()sin02tu t dt π>⎰，故()L L ε≤-矛盾.从由引理2.2.3知(,,)1r i A K K =. (2.2.11)又由f L ∞>可知，存在(0,)L ε∈及0,H r > (,)(),[0,1],.f t u L u t u H ε≥+∈> (2.2.12)设12C =[0,1],[0,]max t u H ∈∈(,)()f t u L u ε-+1+,则(,)(),[0,1],0.f t u L u C t u ε≥+-∈≥ (2.2.13)取,HR σ>则对任意的13,[,]44R u K t ∈∂∈和(2.2.12)式，得 110011()(,)(,)(,())22Au Au G G s f s u s dsd τττ≥=⎰⎰11003410411(,)(,)(,)(,)()()22()1()(,)(),24G G G G s s L u s dsd m C L C L G s s u s ds u ττττετσεε≥++≥+≥⎰⎰⎰ 因此inf0Ru K Au ∈∂>.下证，Au u μ≠,R u K ∈∂,1μ>.若存在00,1R u K μ∈∂>,使得000Au u μ=,显然0u 满足(2.2.8)式和边值条件(2.2.2),结合(2.2.13)类似(2.2.9)的证明，有110002()sin()()sin,22ttCL u t dt L u t dt ππεπ≥+-⎰⎰因此1002()sin.2tCu t dt ππε≤⎰再结合(2.2.10)式得31410042((,)sin ):2MC t u G t t dt R C ππε-≤=⎰.取0=max{,},HR R σ则当0R R >时，Au u μ≠,R u K ∈∂,1μ>,由引理2.2.4得(,,)0R i A K K =. (2.2.14)因此，由(2.2.11)及(2.2.14)可知，(,\,)1R r i A K K K =-.故问题(2.2.2)在\R r K K 上有正解. 定理2.2.2 假设条件1()H 成立,且0,,f L f L ∞>< 则当4016πλ≤<时，问题(2.2.2) 至少存在一个正解.证由0,f L >存在(0,)L ε∈及00r >,使 0(,)(),[0,1],0f t u L u t u r ε≥+∈<≤(2.2.15)设0(0,]r r ∈,对任意的,r u K ∈∂和(2.2.15)式，得110011()(,)(,)(,())22Au Au G G s f s u s dsd τττ≥=⎰⎰1311003410411(,)(,)(,)(,)()()22()1()(,)(),24G G G G s s L u s dsd m C L C L G s s u s ds u ττττετσεε≥++≥+≥⎰⎰⎰ 因此inf 0ru K Au ∈∂>.下证，Au u μ≠,R u K ∈∂,1μ>.若存在00,1R u K μ∈∂>,使得000Au u μ=,显然0u 满足(2.2.8)式和边值条件(2.2.2),结合(2.2.15),类似(2.2.9)的证明，有11000()sin()()sin,22ttL u t dt L u t dt ππε≥+⎰⎰仍可得出矛盾.由引理2.2.4知，(,,)0.r i A K K =(2.2.16)又由f L ∞<可知，存在(0,)L ε∈及0,H r > (,)(),[0,1],.f t u L u t u H ε≤-∈>设 [0,1],[0,]max (,)()1t u H C f t u L u ε∈∈=--+则(,)(),[0,1],0.f t u L u C t u ε≤-+∈≥ (2.2.17)如果存在00,01,r u K μ∈∂<≤有000Au u μ=,那么结合(2.2.17)式得，111000002()sin=(,())sin()()sin,222tttCL u t dt f t u t dt L u t dt πππμεπ≤-+⎰⎰⎰因此1002()sin.2tCu t dt ππε≤⎰结合(2.2.6)式，得314100042((,)sin ):2M C t u G t t dt R C ππε-≤=⎰则当0R R >时，R u K ∈∂，01μ<≤，都有Au u μ≠由成立.因此由引理2.2.3得(,,)1R i A K K =. (2.2.18)因此，由(2.2.16)及(2.2.18)可知，(,\,)1R r i A K K K =.故问题(2.2.2)在\R r K K 上有正解. 定理2.2.3 假设条件1()H ，0,f L fL ∞<<成立，并满足2()H 存在常数0,0,0,p a δ>>>使得(,),f t u au ≥[0,1],t ∀∈,u p δ≤≤且,a L >则当4016πλ≤<时边值问题(2.2.2)至少有两个正解；当416πλ≥时边值问题(2.2.2)无正解.14证首先证明inf 0pu K Au ∈∂>.对于,p u K ∈∂有,u p ≤由条件2()H 可得110010034100411()(,)(,)(,())2211()(,)()221(,)()2Au Au G G s f s u s dsd C G G s s au s ds C m G s s au s ds C ma uτττσ≥=≥≥≥⎰⎰⎰⎰，由上式可以看出inf 0pu K Au ∈∂>.下面证明对任何00,1,p u K μ∈∂>使000,Au u μ=则对于[0,1],t ∈有0,u p ≤≤故由条件2()H 类似于(2.2.9)式证明可得1111000000()sin(,())sin()sin()sin2222ttttL u t dt f t u t dt au t dt a u t dt ππππμ=≥=⎰⎰⎰⎰这显然与a L >矛盾，由此由引理2.2.4可得(,,)0.p i A K K =(2.2.19)由0f L <和定理2.2.1证得存在00,r >使 0(,,)1,0.r i A K K r r =∀<≤ (2.2.20)又由fL ∞<和定理2.2.2证得存在00,R >使0(,,)1,.R i A K K R R =∀≥ (2.2.21) 取,R p r >>由(2.2.19)-(2.2.21)式得(,\,)(,,)(,,)1R p R p i A K K K i A K K i A K K =-=，(,\,)(,,)(,,) 1.p r p r i A K K K i A K K i A K K =-=-因此，A 在\R p K K 和\p r K K 中各有一个不动点，即当4016πλ≤<时，问题(2.2.2)至少有2有个正解.下面证明，当416πλ≥时边值问题(2.2.2)无正解.反证假设边值问题(2.2.2)存在正解,u 则u 满(2.2.2).于是对方程两端同时乘以sin,2tπ再从0到1积分，结合边值，有411()()sin(,())sin.1622ttu t dt f t u t dt πππλ-=⎰⎰当416πλ=时151(,())sin0.2tf t u t dt π=⎰又因f 满足1()H 和2()H ，则存在0[0,1],t ∈使得00(,())0,f t u t >故有1(,())sin 0,2tf t u t dt π>⎰矛盾.当416πλ>时，1(,())sin0,2tf t u t dt π<⎰与1()H 矛盾.因此，当416πλ≥时，边值问题(2.2.2)无正解.2.3 第二类四阶边值问题正解的存在性文[27]中，赵虹利用锥上的不动点指数理论研究了四阶边值问题(4)()''()(,()),01,(0)(1)''(0)''(1)0.u t u t f t u t t u u u u β⎧+=<<⎪⎨====⎪⎩ 本节讨论了在0点简单支撑，1点滑动支撑的四阶边值问题(4)()''()(,()),01(0)'(1)''(0)'''(1)0u t u t f t u t t u u u u α⎧+=<<⎪⎨====⎪⎩，正解的存在性.假设下面的条件总是满足的：1():[0,1][0,)[0,)H f ⨯∞→∞是连续的； 2()H R α∈且2.4πα<为了方便，引入下面的记号00[0,1][0,1]00(,)(,)liminf min ,limsup max ,t t u u f t u f t u f f u u ++∈∈→→==[0,1][0,1](,)(,)liminf min ,limsup max .u t t u f t u f t u f f u u ∞∞→+∞∈∈→+∞== 记1λ为(4)'',(0)'(1)''(0)'''(1)uu u u u u u αλ+====的第一特征值，则1λ满足142164+=1λαππ相应的特征函数为sin.2tπ(2.3.1) (2.3.2)16假设u 是边值问题(2.3.1)(2.3.2)的一个解，则111200()(,)(,)(,()),01u t G t G s f s u s dsd t τττ=≤≤⎰⎰这里12(,),(,)G t s G t s 分别是''0,(0)'(1)0u u u -===和''0,(0)'(1)0u u u u α--===的格林函数.即1,01(,),0 1.t t s G t s s s t ≤≤≤⎧=⎨≤≤≤⎩,令ω若0,α<则2sinh cosh (1),01,cosh (,)sinh cosh (1),0 1.cosh s t s t G t s t s t s ωωωωωωωω-⎧≤≤≤⎪⎪=⎨-⎪≤≤≤⎪⎩若0,α=则21(,)=(,).G t s G t s若20,4πα<<则2sin cos (1),01,cos (,)sin cos (1),0 1.cos s t s t G t s t s t s ωωωωωωωω-⎧≤≤≤⎪⎪=⎨-⎪≤≤≤⎪⎩从表达式中可以看出2(,)0,,(0,1).G t s t s >∀∈引理2.3.1 存在常数i 0,(,)(1,2)i G t s i δ>=有如下性质：1)(,)0,,(0,1)i G t s t s >∀∈; 2)(,)(,),,[0,1]i i i G t s C G s s t s ≤∀∈; 3)(,)(,)(,),,[0,1]i i i i G t s G t t G s s t s δ≥∀∈,其中，当0α<时，1,i C =;s i n h i ωδω=当0α=时，1,1;i i C δ==当204πα<<时，1,cos i C ω=cos .i δωω= 设{}2[0,1],(0)'(1)''(0)'''(1)0E u C u u u u =∈====且，那么E 是一个Banach 空间，范数定义为'',,u u u E ∞=∀∈其中[0,1]max ().t uu t ∞∈=17众所周知，边值问题(2.3.1)(2.3.2)的解等价于算子111200()(,)(,)(,())Au t G t G s f s u s dsd τττ=⎰⎰ (2.3.3)在E 中的不动点，显然A 是全连续的.本节使用下述记号：1012130[0,1][,]44max (,),min (,),(,)(,).i i i i s s M G s s m G s s C G G d τττττ∈∈===⎰显然0,,0.i i M m C >在E 中定义锥1213[,]44=:0,min (),t K u E u u t u u u σσ∞∞∈⎧⎫⎪⎪∈≥≥≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，其中12102121211210=0,.m C C C C M m C δδσσαδδ>=+引理2.3.2 ().A K K ⊂证对于,u K ∈由(2.3.3)式和引理2.3.1知，()0,[0,1],Au t t ≥∈且112120()(,)(,()),[0,1].Au t C C M G s s f s u s ds t ≤∀∈⎰因此112120(,)(,()).AuC C M G s s f s u s ds ∞≤⎰ (2.3.4)另一方面由引理2.3.1得1120120()(,)(,)(,()),[0,1].Au t C G t t G s s f s u s ds t δδ≥∀∈⎰ (2.3.5)由(2.3.4)和(2.3.5)式，可得1201121()(,),[0,1].C Au t G t t Au t C C M δδ∞≥∀∈ (2.3.6)故113[,]44min (),t Au t Auσ∞∈≥又由(2.3.6)式得 1120120(,)(,)(,()).AuC G t t G s s f s u s ds δδ∞≥⎰(2.3.7)由(2.3.3)式得120()''()()(,)(,()),[0,1].Au t Au t G s f s u s ds t ατ--=∀∈⎰ (2.3.8)由(2.3.7)和(2.3.8)式得181222201201()''(,)(,())(),C Au AuC G s s f s u s ds AuAu C m αασδδ∞∞∞∞≤+≤+=⎰即2,Au Auσ∞≤从而有().A K K ⊂对0r >,记{:},{:}.r r K u K u r K u K u r =∈<∂=∈=引理2.3.3[1] 设:A K K →是全连续的，并且对任意r u K ∈∂和01μ<≤,有Au u μ≠, 则(,,)1r i A K K =.引理2.3.4[1] 设:A K K →是全连续的，并假设以下两个条件满足： (i)inf 0ru K Au ∈∂>(ii)对任意的r u K ∈∂和1μ>,有Au u μ≠, 则(,,)0r i A K K =.本节的主要结果：定理2.3.1 假设条件12(),()H H 满足,并且011,f f λλ∞><则边值问题(2.3.1)(2.3.2)至少存在一个正解.证由01f λ>，则存在0ε>和00r >使得10(,)(),[0,1],0f t u u t u r λε≥+∀∈<≤设0(0,],r r ∈则对任何,r u K ∈∂对于[0,1],t ∈有()[0,]u t r ∈且111200314112043411201243411201214120121211()(,)(,)(,())221(,)(,)(,())211(,)(,)(,())22(,)()()()2Au AuAu G G s f s u s dsd G G s f s u s dsd C G G s s f s u s ds C m G s s u s dsC m m u ττττττδδδδλεδδλεσ∞≥≥=≥≥≥++≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此inf 0.ru K Au ∈∂>下面证明对任意r u K ∈∂和1μ>,有.Au u μ≠若不成立，则存在00,1,r u K μ∈∂>使000.Au u μ=注意到0()u t 满足(4)0000()''()(,()),[0,1].u t u t f t u t t αμ+=∈ (2.3.10) (2.3.9)19和边界条件(2.3.2).用sin2tπ乘等式(2.3.10)两端，并从0到1积分，左端用分部积分得42110000()()sin (,())sin ,16422u t tdt f t u t tdt ππππαμ-=⎰⎰即11100001001100()sin (,())sin22(,())sin2()()sin2u t tdt f t u t tdtf t u t tdtu t tdtππλμππλε=≥≥+⎰⎰⎰⎰由式(2.3.6)可得0()u t ≥12010121(,)C G t t u C C M δδ∞120101212(,),C G t t u C C M δδσ≥[0,1].t ∀∈(2.3.12)因此100()sin0.2u t tdt π>⎰由(2.3.11)可得11λλε≥+,显然矛盾.因此，由引理2.3.4知，(,,)0r i A K K = (2.3.13)另一方面，由1f λ∞<,则存在1(0,)ελ∈和0,H >使得 1(,)(),[0,1],.f t u u t u H λε≤-∀∈≥(2.3.14)设1[0,1],[0,]max(,)()1t u H C f t u u λε∈∈=--+，则显然有1(,)(),[0,1],0.f t u u C t u λε≤-+∀∈≥(2.3.15)若存在00,01,r u K μ∈∂<≤使得000Au u μ=，则0()u t 满足(2.3.10)式和边界条件(2.3.2). 在等式 (2.3.10)两端乘sin2tπ，并积分，注意到(2.3.15)得1111000100002()sin (,())sin ()()sin +222Cu t tdt f t u t tdt u t tdt πππλμλεπ=≤-⎰⎰⎰，从而有1002()sin.2Cu t tdt ππε≤⎰(2.3.16)由(2.3.12)式，得(2.3.11)20100()sin2u t tdt π⎰34104()sin2u t tdt π≥⎰12010121223(cos cos ).88C m u C C M δδπππσ≥-(2.3.17)由(2.3.16)和(2.3.17)式得121212120120112012.332(coscos )(cos cos )8888C C M CC C M Cu C m C m πσσπππππεδδεδδ≤⋅=--若令121201201,3(cos cos )88CC C M R C m σππεδδ=-则当0R R ≥时，对任何,01,R u K μ∈∂<≤都应有Au u μ≠成立.因此由引理2.3.3知0.(,,)1R i A K K R R =∀≥，(2.3.18)由(2.3.13)和(2.3.18)式得(,\,)1R r i A K K K =所以，A 在\R r K K 上有一个不动点，从而问题(2.3.1)-(2.3.2)至少有一个正解.推论2.3.1 假设条件12(),()H H 满足,并且0=,=0f f ∞∞(次线性).则边值问题(2.3.1)-(2.3.2)至少存在一个正解.定理2.3.2 假设条件12(),()H H 满足,并且011f f λλ∞<>，则边值问题(2.3.1)(2.3.2)至少存在一个正解.证由01f λ<，则存在1(0,)ελ∈和00r >使得10(,)(),[0,1],0f t u u t u r λε≤-∀∈<≤ (2.3.19)设0(0,],r r ∈下证对任意的r u K ∈∂和01,μ<≤有Au u μ≠成立.若不成立，则存在0,r u K ∈∂001,μ<≤使得000.Au u μ=则0()u t 满足(2.3.10)式和边界条件(2.3.2). 在等式(2.3.10)两端乘sin 2tπ，并积分，注意到(2.3.19)得111100010000()sin (,())sin ()()sin 222u t tdt f t u t tdt u t tdt πππλμλε=≤-⎰⎰⎰ 由式(2.3.12)得100()sin 0,2u t tdt π>⎰仍可得出11,λλε≤-矛盾.因此由引理2.3.3知，(,,)1r i A K K =(2.3.20)另外，由1f λ∞>，则存在1(0,)ελ∈和0,H >使得1(,)(),[0,1],.f t u u t u H λε≥+∀∈>(2.3.21)21取21,H R σσ>则对11213,[,],().44R u K t u t uu H σσσ∞∈∂∈≥≥>有再由式(2.3.21)得 11213(,)(),,[,]44R f t u u u K t σλεσ≥+∀∈∂∈ 类似于(2.3.9)式可证inf 0.Ru K Au ∈∂>设1[0,1],[0,]max(,)(+)1t u H C f t u u λε∈∈=-+则有1(,)(),[0,1],0.f t u u C t u λε≥+-∀∈≥ (2.3.22)若存在0,R u K ∈∂01,μ>使得000.Au u μ=由式(2.3.22)得1111000100002()sin(,())sin(+)()sin222tttCu t dt f t u t dt u t dt dt πππλμλεπ=≥-⎰⎰⎰因此1002()sin,2tCu t dt ππε≤⎰再由式(2.3.17)得121201201:.3(cos cos )88CC C M u R C m σππεδδ≤=-取201=max{,R},HR σσ则当0R R >时，对任意的R u K ∈∂和1μ>,有Au u μ≠,因此由引理2.3.4知(,,R i A K )0.K = (2.3.23) 由(2.3.20)和(2.3.23)式，有(,\,) 1.R r i A K K K =-所以，A 在\R r K K 上有一个不动点，即边值问题(2.3.1)-(2.3.2)至少有一个正解.推论 2.3.2 假设条件12(),()H H 满足,并且0=0,f =f ∞∞（超线性）.则边值问题(2.3.1)-(2.3.2)至少存在一个正解.22第三章 Banach 空间中一类四阶微分方程两点边值问题的正解3.1 引言常微分方程边值问题一直都是许多学者关注的热点，尤其是四阶微分边值问题更具有代表性，比如，上一章所研究的弹性梁在不同受力条件下的形变.但是由于抽象空间在紧性和连续性上都具有一定的困难，以往的研究都是放在普通的空间，也就是实数空间进行的.这样的研究具有一定的局限性，不利于实际应用.所以，在抽象空间中研究四阶微分方程边值问题显然具有重要的意义.众所周知，近三四十年，Banach 空间中的常微分方程理论迅速发展，利用已经较为成熟的泛函分析方法，结合常微分方程理论，去研究Banach 空间中的常微分方程.目前，此类问题的研究方法主要涉及以下几种：上下解方法、不动点定理、变分法（临界点理论）、单调迭代法等.20世纪30年代中期，法国数学家J.Leray 和J.Schauder 建立了Leray-Schauder 度理论，他们的这一发现在研究微分、积分、泛函方程等方面获得重大突破，特别是对于边值问题的应用，标志着非线性泛函分析诞生.自此，运用拓扑度理论去研究常微分方程的边值问题很快就成为一个重要方向.但是，由于拓扑度理论是用代数的语言刻画的，很难直接应用在分析上，所以当时的研究成果并不多.上世纪50年代，非线性泛函分析的体系初步形成，各种研究方法和工具相继产生，并开始用于研究常微分方程可解性.变分法也开始初步形成，其理论依据的基本结论是“自反空间中，有界凸闭集上的弱下半连续泛函必达到极值”.后来，经过许多数学家的研究，提出了对锥的讨论，同时发现了很多重要的不动点定理，其中，最为著名的就是Krasnoselskii 不动点定理，这一发现使得边值问题正解的存在性变得切实可行. Amann 通过建立锥上的不动点指数理论，丰富了研究正解存在性的方法和工具.如今，有更多的方法来研究边值问题，如文献[37-39].在文献[31]中，作者运用上下解方法研究了Banach 空间中四阶两点边值问题(4)()(,(),''()),(0,1)(0)'(1)''(0)'''(1)u x f x u x u x t u u u u θ⎧=∈⎨====⎩(3.1.1)正解的存在性，其中([0,1],)f C R R R ∈⨯⨯.其他文献见[40-48]受到以上文献的启发，本文主要是利用极大值原理以及比较定理和增算子不动点定理，在Banach 空间中研究如下方程正解的存在性.考察Banach 空间中四阶微分方程两点边值问题(4)()(,()),(0)'(0)''(1)'''(1)u t f t u t t Iu u u u θ⎧=∈⎨====⎩(3.1.2) 其中=[0,1]I ，(,)f C I E E ∈⨯,对t I ∀∈,如果有(,)f t θθ≡,则称()x t θ≡是边值问题(3.1.2)23的平凡解.显然，{[,],(),}Q x x C I E x t t I θ=∈≥∀∈是Banach 空间[,]C I E 中的正规锥， 4[,]x C I E ∈是边值问题(3.1.2)的正解，若它满足(3.1.2)且,()x Q x t θ∈≠.设():[0,1]x t E →连续，0[0,1].t ∈若0Z E ∃∈，使极限0000()()lim0t x t t x t z t∆→+∆--=∆存在，则称()x t 在0t t =可微. 类似的可定义()x t 在0t t =在其它各种高阶导数.本文中，考察边值问题(3.1.2)正解的存在性.3.2预备知识与引理设(,)E ⋅是实Banach 空间，令=[0,1]I ，对x ∈[,],C I E 令max ()ct Ixx t ∈=，则[,]C I E 为Banach 空间.P 是E 中的一个正规锥（不妨设正规锥常数为1），引入E 中的一个半序关系≤“”，x y ≤当且仅当y x P -∈.显然，{[,](),}Q x x C I E x t t I θ=∈≥∀∈，是Banach 空间[,]C I E 中的正规锥，设θ是E 中的零元.再由Q 引入[,]C I E 中一个半序关系，,[,]x y C I E ∈，x y ≤“”，当且仅当,()().t I x t y t ∀∈≤ 引理3.2.1[13] 假设K 是n R 中有界开集,设2()()u C K C K ∈⋂，且在K 中0(0),u ∆≥≤则sup sup (inf inf )KK KK u u u u ∂∂==引理3.2.2 （比较定理）若4[0,1]q C ∈且(4)(),,(0),'(0),''(1),'''(1),q t t I q q q q θθθθθ⎧≥∀∈⎪≥≥⎨⎪≥≤⎩(3.2.1)(),.q t t I θ≥∀∈则证 {}**()0,g P O E O x x P ∀∈=∈≥∀∈其中*E 是E 的共轭空间，*P 是P 的对偶锥.令()(())m t g q t =则4[,]m C I R ∈且(4)(4)()(()),'''()('''()),''()(''()),'()('()).m t g q t m t g q t m t g q t m t g q t ====由(3.2.1)式知(4)()0,,(0)0,'(0)0,''(1)0,'''(1)0,m t t I m m m m ⎧≥∀∈⎪≥≥⎨⎪≥≤⎩(3.2.2)下证()0m t ≥.令''()()m t y t =.则由(3.2.2)式得''()0,(1)0,'(1)0y t t I y y ≥∀∈⎧⎨≥≤⎩，，由引理3.2.1得()0,.y t t I ≥∀∈故。

一类四阶两点边值问题多个正解的存在性

一类四阶两点边值问题多个正解的存在性闫东明【摘要】两端简单支撑弹性梁的形变可以用四阶常微分方程两点边值问题来描述.由于其在物理中的莺要性,已有许多人研究了该类问题解的存在性,但在实际应用中该类问题正解以及多个正解的存在性更为重要.本文应用锥上的不动点定理,研究了该类四阶常微分方程两点边值问题多个正解的存在性,给出了该类问题多个正解存在的充分条件,本文结果推广和改进了一些已知结果.最后给出一例作为所获结果的应用.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2010(027)001【总页数】6页(P133-138)【关键词】四阶边值问题;锥;多个正解;存在性【作者】闫东明【作者单位】西北师范大学数学与信息科学学院,兰州,730070【正文语种】中文【中图分类】O175.81 引言四阶两点边值问题正解的存在性已引起人们的广泛关注，并且已经取得了许多深刻的结果，见文献[1-5]。

1995年，文献[1]应用锥上的不动点定理研究了四阶边值问题正解的存在性，其结果依赖于非线性项f(t,u)满足超线性或次线性条件。

随后，在1997年，文献[2]应用锥上的不动点定理研究了四阶边值问题多个正解的存在性。

在2003年，文献[3]应用不动点指数定理研究了四阶边值问题正解的存在性，得出了四阶边值问题(3)有一个正解存在的结果。

受以上工作的启发，本文试图考察四阶边值问题(3)多个正解的存在性。

当α=β=0时，问题(3)退化为问题(1)，当α=β=0,f(t,u)=h(t)f(u)时，问题(3)退化为问题(2)。

因此本文的结果更具有一般性。

本文总假定。

(H1)连续；(H2)2 预备知识及引理设C[0,1]为定义在[0,1]上的连续实值函数构成的Banach空间，其上范数为记引理1[1]设Gi(t,s),i=1,2为线性边值问题的Green函数。

则(i)(iii)其中Ci＞0,δi＞ 0为常数，是λ2+βλ-α=0的两个根。

引理2[1] 设(H2)成立，且h∈C[0,1]。

带有p-Laplacian算子的分数阶四点边值问题正解的存在性

带有p-Laplacian算子的分数阶四点边值问题正解的存在性刘洋;李东
【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(016)001
【摘要】利用不动点定理,研究了带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程四点边值问题正解的存在性,得到该边值问题至少存在一个正解的充分条件.%In this paper, by using the the fixed point theorem, we obtain the existence of the positive solutions for a fractional four-point boundary value problem with p-Laplacian operator.
【总页数】5页(P1-5)
【作者】刘洋;李东
【作者单位】合肥师范学院数学与统计学院,安徽合肥 230601;佳木斯大学理学院数学系,黑龙江佳木斯 154007
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.带有p-Laplacian算子的分数阶多点边值问题单调正解的存在性 [J], 张瑜;侯成敏;
2.带有p-Laplacian算子的分数阶多点边值问题单调正解的存在性 [J], 张瑜;侯成敏
3.带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程多点边值问题正解的存在性 [J], 张艳;
马德香
4.一类带有p-Laplacian算子的分数阶q-差分边值问题的多重正解的存在性 [J], 林秋彤;葛琦
5.带有p-Laplacian算子的
分数阶四点边值问题正解的存在性 [J], 刘洋;解大鹏;李春红
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数学物理方法12格林函数

对于拉普拉斯方程
第一边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) (r0 )

G(r , r0 ) ]dS0 n 0
第三边值问题的解为 u(r )

1

(r0 )G(r , r0 )dS0
12.2无界空间的格林函数
基本解
无界区域这种情形公式中的面积分应为零，故有
u (r ) f (r ) u [ u ] (rp ) n
相应的格林函数 G(r, r0 ) 是下列问题的解：

G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) [ G ] 0 n
泊松方程的边值条件，两边同乘以格林函
上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：若在
M 0 ( x0 , y0 ) 处放置一正单位点电荷
则虚设的负单位点电荷应该在 M 1 ( x0 , y0 ) 于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分布．也就是本问题的格林函数，即为
G (r , r0 ) 1 1 1 1 ln ln 2π | r r0 | 2π | r r1 | 1 1 1 1 ln ln 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
G(r,0)dV (r )dV
T T
(r )dV 1
T
利用高斯定理（14.1.1）得到

T
G(r ,0)dV G(r ,0)dV G(r,0) dS
T S
G 2 r sin d d S r
T

一类四阶两点边值问题多个正解的存在性

一类四阶两点边值问题多个正解的存在性
汤小松;罗节英
【期刊名称】《井冈山大学学报》
【年(卷),期】2011(032)004
【摘要】研究了一类含参数λ的四阶常微分方程两点边值的多解问题。

利用锥上的不动点指数理论,获得了该问题当0≤λ〈π4时存在多个正解的几个充分条件,当λ≥π4时该问题无正解。

从而所得结果推广了现有文献的结论。

【总页数】5页(P13-17)
【作者】汤小松;罗节英
【作者单位】井冈山大学数理学院,江西,吉安343009
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性
2.一类四阶两点边值问题多个正解的存在性
3.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性
4.一类四阶两点边值问题多个正解的存在性
5.一类非对称边界约束条件的四阶两点边值问题多个正解的存在性
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