高中数学 第3章 导数及其应用 3.3 3.3.2 函数的极值与导数(教师用书)教案 新人教A版选修

3.3.2 函数的极值与导数学习目标核心素养1．了解极值的概念，理解极值与导数的关系．(难点)2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)1．通过学习极值的概念，培养学生数学抽象与直观想象的素养．2．借助极值的求法，提升逻辑推理与数学运算的素养.1．极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．思考：区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？[提示]不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．2．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．3．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．1．函数y＝x3＋1的极大值是()A．1B．0C．2 D．不存在D[y′＝3x2≥0，那么函数y＝x3＋1在R上是增函数，不存在极大值．]2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如下图，那么函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．] 3．以下说法不正确的选项是()A．函数y＝x2有极小值B．函数y＝sin x有无数个极值C．函数y＝2x没有极值D．x＝0是函数y＝x3的极值点D[∵y＝x3，∴y′＝3x2≥0，∴y＝x3无极值．(或者直接观察图象可知A，B，C正确，D错误)]求函数的极值[例1]求函数f(x)＝x2e－x的极值．[解]函数的定义域为R，f′(x)＝2x e－x＋x2·e－x·(－x)′＝2x e－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值0↗极大值4e－2↘因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝4 e2.求函数极值和极值点的四步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成假设干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.[跟进训练]1．求以下函数的极值点和极值．(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝3x＋3ln x.[解](1)f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以x＝－1是函数f(x)的极大值点，且f(x)极大值＝143，x＝3是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值＝－6.(2)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－3x2，令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，且f (x )极小值＝3，无极大值点及无极大值．函数极值求参数(1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． [解](1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)， ∵x ＝±1是函数的极值点，∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根． 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1.②又∵f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ， ∴f ′(x )＝32x 2－32 ＝32(x －1)(x ＋1)．令f ′(x )>0，得x <－1或x >1； 令f ′(x )<0，得－1<x <1.∴函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数．因此，x＝－1是函数的极大值点；x＝1是函数的极小值点．函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.[跟进训练]2．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解](1)∵f(x)＝a ln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0.解方程组得a＝－23，b＝－16.即a＝－23，b＝－16.(2)由(1)知f(x)＝－23ln x－16x2＋x(x>0)，x＝1，x＝2分别是函数f(x)的极小值点，极大值点．理由如下：f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1 ＝－23x －13x ＋1＝－x 2－3x ＋23x .又∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0，故在x ＝1处函数f (x )取得极小值，在x ＝2处函数取得极大值，故x ＝1为极小值点，x ＝2为极大值点．函数极值的综合应用1．如何画三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象．2．三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c (a ≠0)的图象和x 轴一定有三个交点吗？ 提示：不一定，三次函数的图象和x 轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．[例3] 函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．假设函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值X 围．[思路点拨]由f ′(－1)＝0求a ――――→求f (x )的极值画f (x )的草图――――→数形结合判断m 的X 围[解]因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如下图．因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值X围是(－3,1)．利用导数研究方程根的个数利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.[跟进训练]3．a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．[解](1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3,令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如下图．(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a －2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．1．判断正误(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)极大值一定比极小值大．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()(4)函数的极值点一定是其导函数的变号零点．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如下图，那么y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值C[结合图象可知，当x>4时，f′(x)<0，∴f(x)在(4，＋∞)上为减函数．] 3．假设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，那么有() A．a＝－2，b＝4B．a＝－3，b＝－24C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4B[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，所以有－2a3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.]4．函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.试求：(1)函数f(x)的单调区间和极值；word(2)假设关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，某某数a的取值X围．[解](1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如下图．所以，当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以实数a的取值X围为(5－42，5＋42)．- 11 - / 11。