高中数学 第3章 导数及其应用 3.3 3.3.2 函数的极值与导数(教师用书)教案 新人教A版选修

3.3.2 函数的极值与导数

学习目标核心素养

1．了解极值的概念，理解极值与导数的关系．(难点)

2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)

3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)1．通过学习极值的概念，培养学生数学抽象与直观想象的素养．

2．借助极值的求法，提升逻辑推理与数学运算的素养.

1．极值点与极值的概念

(1)极小值点与极小值

如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值点与极大值

如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

思考：区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？

[提示]不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．

2．极值的定义

(1)极小值点、极大值点统称为极值点．

(2)极大值与极小值统称为极值．

3．求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

1．函数y＝x3＋1的极大值是()

A．1B．0

C．2 D．不存在

D[y′＝3x2≥0，那么函数y＝x3＋1在R上是增函数，不存在极大值．]

2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如下图，那么函数f(x)()

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

C[当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．] 3．以下说法不正确的选项是()

A．函数y＝x2有极小值

B．函数y＝sin x有无数个极值

C．函数y＝2x没有极值

D．x＝0是函数y＝x3的极值点

D[∵y＝x3，∴y′＝3x2≥0，∴y＝x3无极值．(或者直接观察图象可知A，B，C

正确，D错误)]

求函数的极值[例1]求函数f(x)＝x2e－x的极值．

[解]函数的定义域为R，

f′(x)＝2x e－x＋x2·e－x·(－x)′

＝2x e－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.

令f′(x)＝0，得x(2－x)e－x＝0，解得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)

f′(x)－0＋0－

f(x)↘

极小

值0↗

极大

值4e－2

↘

因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；

当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝4 e2.

求函数极值和极值点的四步骤

(1)确定函数的定义域；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成假设干个小开区间，并列成表

格；

(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.

[跟进训练]

1．求以下函数的极值点和极值．

(1)f(x)＝1

3x

3－x2－3x＋3；

(2)f(x)＝3

x＋3ln x.

[解](1)f′(x)＝x2－2x－3.

令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：

x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)↗

极大

值↘

极小

值

↗

所以x＝－1是函数f(x)的极大值点，且f(x)

极大值＝

14

3，x＝3是函数f(x)的极小

值点，且f(x)

极小值

＝－6.

(2)函数f(x)＝3

x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－3

x2＋

3

x＝

3x－3

x2，

令f′(x)＝0，得x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：

x (0,1) 1 (1，＋∞)

f ′(x ) － 0 ＋ f (x )

↘

极小值

↗

所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，且f (x )极小值＝3，无极大值点及无极大值．

函数极值求参数

(1)试求常数a ，b ，c 的值；

(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． [解](1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)， ∵x ＝±1是函数的极值点，

∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根． 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧

－2b

3a ＝0，①

c

3a ＝－1.②

又∵f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－3

2. (2)由(1)得f (x )＝12x 3－3

2x ， ∴f ′(x )＝32x 2－3

2 ＝3

2(x －1)(x ＋1)．

令f ′(x )>0，得x <－1或x >1； 令f ′(x )<0，得－1

∴函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函