(完整版)高一函数大题训练含答案解析

(完整版)高一函数大题训练含答案解析

一、解答题

1．

已知有穷数列{}n a 、{}n b （1,2,,n k =⋅⋅⋅），函数1122()||||||k k f x a x b a x b a x b =-+-+⋅⋅⋅+-.

（1）如果{}n a 是常数列，1n a =，n b n =，3k =，在直角坐标系中在画出函数()f x 的图象，据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明；

（2）当n n a n b ==，7k m =（m ∈*N ）时，判断函数()f x 在区间[5,51]m m +上的单调性，并说明理由； （3）当n a n =，1

n b n

=

，100=k 时，求该函数的最小值. 2．若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有()()()112f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质

P ．

（1）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①()1x

y a a =>；②3y x =． （2）若函数()f x 具有性质P ，且()()()

*

002,N f f n n n >∈==，求证：对任意

{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤；

（3）在（2）的条件下，是否对任意[]0,x n ∈均有()0f i ≤．若成立给出证明，若不成立给出反例．

3．已知函数()y f x =，若存在实数(),0m k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有

()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(),m k 称为

函数()f x 的“平衡”数对.

（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；

（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化时，求证：()2f x x =与()2x

g x a =+的“平衡”数对相同；

（3）若12,m m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝

⎭、2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数()2

cos f x x =的“平衡”数对.当04x π<≤

时，求22

12m m +的取值范围.

4．已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<

<<<

<=，其中分点121n t t t -、、、将区间[],a b 任意

划分成()

*

n n N ∈个小区间[]1,i i t t -，记

{}()()()()()()01121,,n n M a b n t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-=-+-++-，称为()x ϕ关于区间[],a b 的

n 阶划分“落差总和”.

当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a b n . (1)已知()x x ϕ=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；

(2)已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件是()x ϕ在[],a b 上单调递增.

(3)若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且00110i i n t t t t t -++

+++

=.

5．已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，记()(||)f x g x =，x ∈R ；

（1）求实数a 、b 的值；

（2）若不等式2

22()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的范围；

（3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅-将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x 为在

[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小

值；

6．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得

(2)()(2)f t f t f +=+．

（1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg

2

a

f x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．

7．已知函数()242 1.x x

f x a =⋅--

（1）当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域； （2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围.

8．已知函数()2

2f x x x a =+--.

（1）当0a =时，求函数()f x 的零点；

（2）若不等式()0f x <至少有一个负解，求实数a 的取值范围. 9．已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a

=

++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；

（2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况.

10．已知函数()f x ，对任意a ，b R ∈恒有()()()f a b f a f b 1+=+-，且当x 0>时，有

()f x 1>．

(Ⅰ)求()f 0；

(Ⅱ)求证：()f x 在R 上为增函数；

(Ⅲ)若关于x 的不等式(

()222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦对于任意11x ,82⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

恒成立，求实数t 的取值范围．

11．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x 使得

()()()0011f x f x f +=+成立．

（1）函数()2

1f x x

=

+是否属于集合M ？请说明理由； （2）函数()2

ln

1

a

f x x =∈+M ，求a 的取值范围； （3）设函数()2

3x f x x =+，证明：函数()f x ∈M ．

12．已知函数()20182018,0

log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩

，

(1)分别求()()()()1,2018f f f f -的值: (2)讨论()()()f f x m m R =∈的解的个数:

(3)若对任意给定的[)1,t ∈+∞,都存在唯一的x R ∈,满足()()22

2f f x a t at =-，求实数a

的取值范围.

13．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.

（1）已知函数()sin()3

f x x π

=+，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；

（2）设()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”，求是实数m 的最小值；

（3）若22log (2)()3

x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2

,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围.

14．一般地，我们把函数1110()()N --=∈n n n n h x a x a x a x a n ++++称为多项式函数，其中系数