一元函数微分学

第二章 一元函数微分学

一元函数微分学在高等数学中占有重要地位，是考试的主要内容之一，应深入加以理解。在运算方面，应掌握导数的四则运算法则，以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等，并会求函数的微分。本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态，并能解决一些简单的应用问题。第三，微分中值定理是导数应用的基础，应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。

§2-1 导数和微分

本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。导数与微分虽然是两个不同的概念，但它们之间也有关系：d ()()d f x f x x '=。因此只要求出()f x 的导数，由此关系式即可得到它的微分。所以，下面主要是总结求函数的导数的方法。

一、重要概念和重要公式

1. 导数概念 000000000000()()

()lim

.

()()

()lim ()()

()lim .

x x x f x x f x f x x

f x x f x f x x

f x x f x f x x -+∆→-∆→+∆→+∆-'=∆+∆-'=∆+∆-'=∆导　数：左导数：，

右导数：

000()()().f x x f x f x -+''⇔=在处可导

2. 导数的几何意义与物理意义 000000000()()(())()()().1

()().()

f x y f x x f x y f x f x x x y f x x x f x '='-=--=-

-'为曲线在点，处切线的斜率，切线方程和法线方

程分别为

物理意义：导数可表示为质点的即时速度，棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等.

3. 微分

概念

000000()()()0d ()()d ()~d (0)d .

()()().

y f x x f x y y y f x x o x y f x x y y x y y x f x x f x x '=≠∆''∆=∆+∆=∆∆∆→∆∆若函数在处可微即可导，且，则与的关系：由于，，故有，且，均为的一阶无穷小在处连续是在处可微即可导的必要但非充分条件

4. 幂指函数求导公式

()

()()[()]()[()ln ()].

v x v x u x u x v x u x ''=

5. 由参数方程确定的函数的二阶导数

22()d d d d d d .d d d d x t y t t t t t t t y t x x x t t t ϕψψψϕϕψϕϕ=()⎧⎨=⎩

''⎛⎫⎛⎫

()() ⎪ ⎪

'''()()⎛⎫()⎝⎭⎝⎭

=== ⎪''()()

⎝⎭若，则

6. 几个重要的n 阶导数公式

()()()

1()

1

(sin )sin (cos )cos()1(1)!(1)(1)![ln()]

.

()()n n n n n n n n

n n x x x x n n x a x a x a x a ππ-+⎛

⎫=+=+ ⎪22

⎝⎭---⎛⎫

=+= ⎪+++⎝⎭

；

；；

7. Leibnitz 公式

()()1(1)

()()

()().n n n k n k k n

n n n n uv u v C u v C u v C uv --'=++

++

+

8. 回答下列问题

000000000()()

(1)lim ()()2()()

.||0lim 0.

2()().h x h f x h f x h A A f x A h

f h f h y x x y h

f x f x A →=→+-+'==--'===''=若为常数，能否导出？

否例如，，不存在，但若增加条件：存在，则可导出答

00000()

(2)()0lim (0).()

(0)lim ()lim 0()(0)()

(0)lim lim .

x x x x x f x f x x A f A x

f x f f x x x

f x f f x f A x x →→→→→'=====⋅=-'===若在处连续，且，能否导出？

能因为

，

故有

答

00000002

(3)()()(a)()()()(b)()()()(c)()()()()(a)()()()().1

(b).()()0(0)1(0)x f x g x F x f x g x x G x f x g x x x f x F x f x g x x F x x g x F x f x x f x x g x x f g x =+=⋅=+=-''====若在处，可导，不可导.

在处是否可导？在处是否可导？

若在处也不可导，问在处是否可导？在处必不可导，否则在处可导不一定如，，在处，，答31

(0)()()0(0)0(0)(0)0.(c).()||()||0(0)(0)(0)0.()||()||0(0)(0)(0).

G f x x g x x f g G x

f x x

g x x x f g F f x x g x x x f g F =∞''''=∞==

===∞=''==-=''''====，；而，，在处，，，不一定如，，在处，和不存在，但而，，在处，，不存在，也不存在00000(4)()[].u x x u x y f u u y f x x ϕϕϕ=()=()==()若在处不可导，，而在处也不可导，

问函数在处是否一定不可导？

否如

答