一元函数微分学
一元函数微分学总结
一元函数微分学总结
一元函数微分学是微积分中的一个重要分支，研究的是一元函数的变化率以及相关的性质。
在这篇总结中，我们将介绍一元函数微分学的基本概念和公式，并拓展一些应用和实际问题。
一元函数微分学的基本概念包括导数、微分和微分方程。
导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
计算导数的方法有几何法和代数法，其中代数法包括极限、求导法则和链式法则等。
微分是导数的微小变化，表示函数的增量与自变量的增量之间的关系。
微分方程是含有未知函数及其导数的方程，研究的是函数与其导数之间的关系。
在一元函数微分学中，有许多重要的公式和定理。
其中，导数的四则运算规则包括常数法则、幂法则、指数函数法则、对数函数法则等。
另外，还有著名的中值定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等，用于分析函数在某一区间内的变化情况。
一元函数微分学的应用十分广泛。
在物理学中，微分学的应用包括速度、加速度、力等的计算，以及运动学和动力学问题的解决。
在经济学和金融学中，微分学的应用包括边际效应、收益曲线和成本曲线的分析，以及最优化问题的求解。
在工程学中，微分学的应用包括电路分析、控制论和信号处理等。
此外，一元函数微分学还可以用于解决
最优化问题、曲线拟合、数据分析和预测等实际问题。
总之，一元函数微分学是微积分的重要组成部分，研究的是一元函数的变化率和相关性质。
通过导数、微分和微分方程等概念和公式的运用，可以解决各种实际问题，并在许多学科领域中发挥重要作用。
第2章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
一元函数微分学
一元函数微分学微积分是数学中一个非常重要的分支，它研究连续与变化。
微分学是微积分中的一部分，它研究一元函数的变化率和切线问题。
在工科、理工科及金融等领域，微分学都是必修的一门学科。
一、导数一个函数的导函数即为该函数的导数。
导数表示函数在某点处的变化率，也可以理解为以该点处斜率为切线的直线方程。
导数的定义如下：$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，f(x)表示函数在x点处的取值，h表示x的变化量。
导数是对变化量和量的一个测量，它也可以被解释为函数的瞬时变化率。
在求导数时，我们需要注意函数是否连续，导数是否存在，同时还需考虑到函数在自变量为非自然数时的导数。
二、微分微分是在导数的基础上增加了一些附加的概念，它是由函数在一个点处的导数以及该点处的自变量与函数值所组成的。
微分的定义不是很直接，但是我们可以从定义出发进行理解：设函数y=f(x)，在x点的微分dy=dx*f'(x)。
其中，dx表示x的增量，dy表示y的增量，f'(x)表示在x处的导数。
可以看出，微分有一个重要的作用，就是可以得到函数在某个点处的极小增量。
即在当前的点位置，函数的变化量以及对应的变量量。
微分还可以解决一些求和问题和变量替换问题的计算。
三、函数图像的切线函数图像的切线是函数图像在某个点的斜率。
在此前提下，我们可以通过导数求出函数图像在任意一个点上的斜率。
通过直线方程就可以求出函数图像在该点的切线。
求解函数图像的切线需要确定该点的横坐标和纵坐标，然后求出导数，最后代入方程即可。
四、一元函数微分学应用微分学的应用非常广泛。
在物理学中，微分学可以用于描述物体的运动，地球的形变和能源泄露等问题。
在金融学中，微分学可以用于计算股市的波动和证券价格的变化等问题。
在自然科学中，微分学可以用于解决生物学的遗传学和数学物理学中的加速和速度问题等。
总之，一元函数微分学是微积分中最基础的内容。
一元函数微分学的基本原理与应用
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学是微积分的重要内容之一，主要研究函数的变化率、斜率、极值、凹凸性等性质。
以下是一元函数微分学的内容概要总结：
1. 导数与微分，导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率，常用符号表示为f'(x)或者dy/dx。
微分是函数在某一点附近的线性近似，常用符号表示为dy。
2. 函数的求导，通过求导可以得到函数在某一点的导数，可以通过极限的定义或者导数的运算法则进行求导。
3. 导数的应用，导数可以用来求函数的极值，判断函数的增减性和凹凸性，求曲线的渐近线，解决最优化问题等。
4. 微分方程，微分方程是关于未知函数及其导数的方程，是自然科学和工程技术中描述变化规律的重要数学工具。
5. 泰勒公式，泰勒公式是函数在某点附近的多项式逼近公式，可以用来近似计算函数的值。
6. 函数的高阶导数，除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等高阶导数，可以描述函数的曲率、加速度等性质。
7. 微分学与积分学的关系，微分学和积分学是微积分的两大分支，它们之间通过微积分基本定理建立了联系，即导数与原函数的
关系。
以上是一元函数微分学的内容概要总结，涵盖了导数与微分、
函数的求导、导数的应用、微分方程、泰勒公式、高阶导数以及微
分学与积分学的关系等内容。
希望能对你有所帮助。
一元函数的导数公式和微分
一、一元函数微分学一元函数微分学由导数和微分组成。
导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。
二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(='(10) (e )e x x '=(11) a x x a ln 1)(log ='(12) x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)(（2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛四、反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'='或dydxdx dy 1=五、复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=六、高阶导数的莱布尼兹公式七、隐函数的导数一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，22234241433339tt t t t e d dt e e e dx dt dx e dt--⎛⎫=-⋅=-== ⎪-⎝⎭22223t d y d dy d e dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此称为对数求导法.幂指函数的一般形式为()0v y u u =>，其中,u v 是x 的函数.八、由参数方程所确定的函数的导数一般地，如果参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数） 确定y 与x 之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.如果函数()t x ϕ=，()t y ψ=都可导，且()0≠'t ϕ，又()t x ϕ=具有单调连续的反函数()x t 1-=ϕ，则由参数方程所确定的函数可以看成()t y ψ=与()x t 1-=ϕ复合而成的函数()[]x y 1-=ϕψ，根据复合函数与反函数的求导法则，有()()t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，即()()t t dx dy ϕψ''= ， 也可写成 dtdxdtdy dx dy=.求方程32ttx ey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数的二阶导数22d ydx.解 ()()tt t t t e ee e e dx dy 2323232-=-=''=--，注意二阶导的求法。
一元函数微分学
第二章一元函数微分学一．先回顾导数的定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：1．=；2．；要特别关注处的导数有特殊形式：（更特别地，要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知=A，试求下列极限的值（1）（2）。
例2．研究函数在处的可导性.解：因为同理，可求得.由于，所以在处不可导。
（记住这个结论）练习：设在处可导，求的值.解：（一）因为在处可导，从而在处也连续.所以，即（二）由得.例3．已知，试求在处的导数.解：因为，所以，由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.二．导数的几何意义关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。
一种题型是选择题或判断题。
比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（×）.另一种题型是根据几何意义找切线.例4．求曲线与直线垂直的切线.解：设切点.切线斜率由题意，即故切线方程为下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.例5．设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。
（08年研究生考试题）解：由于，且故（前面已讲过理由）而，所以，切线方程为三．导数的四则运算四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。
下面举几个小例子.例6．求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例7．设求此题应先化简再求导：注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.例8．求的导数.解：.四．反函数求导法则若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且.例9．求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据反函数求导法则.有.五．复合求导法则大家可能还有印象，复合函数的导数是.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则，故此题恰好满足等式：（*）这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且或（或.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数，如记，则各变量间的关系是：有上式可通过连续使用两次链式法则得到。
一元函数微分学知识点
一元函数微分学知识点一元函数微分学是微积分中的重要内容，它主要研究函数的变化率和极值问题。
微分学中的主要概念包括导数、微分以及一些常见函数的微分法则。
下面将依次介绍这些知识点。
一、导数导数是描述函数变化率的重要工具。
给定一个函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的变化速率。
导数可以用极限来定义，即导数等于函数在该点处的极限值。
导数的记号常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数有几个重要的性质，包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则。
线性性表示导数运算具有线性性质，即对于任意常数a和b，有(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积法则描述了两个函数相乘的导数计算方法，即(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
商法则是用来计算两个函数相除的导数，即(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2。
链式法则适用于复合函数，即若有一个函数h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x))*g'(x)。
二、微分微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数在某一点的值。
微分的记号常用dx表示，它表示函数在某一点的微小变化。
微分的计算公式是dy = f'(x)*dx，其中dy表示函数在x处的微小变化，dx表示自变量的微小变化。
微分和导数之间有一个重要的关系，即导数是微分的极限形式。
当自变量的微小变化趋于0时，微分就变成了导数。
因此，导数可以用微分来近似计算。
三、常见函数的微分法则在微分学中，有一些常见函数的微分法则被广泛应用。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。
对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的导数为f'(x) = 0。
一元函数微分学公式
一元函数微分学公式微分学是数学中的一个重要分支，研究函数的微小变化。
在微分学中，一元函数的微分公式是非常基础且重要的知识点。
本文将介绍一元函数微分学公式的相关内容，帮助读者更好地理解和应用微分学知识。
一元函数微分学公式主要包括导数的定义、常见函数的导数公式、导数运算法则以及高阶导数等内容。
下面我们逐一介绍这些内容。
1. 导数的定义导数是一元函数微分学的核心概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则导数f'(a)的定义为：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗其中lim表示极限，x→a表示x趋近于a的过程，(f(x)-f(a))/(x-a)表示函数的增量与自变量增量的比值。
导数可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。
2. 常见函数的导数公式对于一些常见的函数，我们可以通过求导公式来快速计算它们的导数。
以下是一些常见函数的导数公式：- 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)，其中a为常数；- 对数函数：(logₐx)' = 1/(x * ln(a))，其中a为底数；- 三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2(x)，其中x为弧度；- 反三角函数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)，其中x在定义域内。
通过这些导数公式，我们可以快速求解常见函数的导数，为后续的微分计算提供便利。
3. 导数运算法则在微分学中，导数具有一些基本的运算法则，可以帮助我们简化复杂函数的导数计算。
- 常数倍法则：(cu)' = cu'，其中c为常数；- 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
高等数学讲义_一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）容要点一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
一元函数微分学
一元函数微分学微分学的发展历史表明，它是一门具有重要实际应用价值的理论学科。
它可以在力学、热学、电磁学、光学和生物学等各种学科中被广泛地应用，因此研究如何将微分法应用于这些问题是十分必要的。
根据解决问题的不同目的和要求，我们可以对微分法进行分类。
为了叙述方便，我们可以按照求解区间上的函数值来分类，即按导数所处的区间来分类。
一元函数导数的主要应用包括： 1.求函数极值及其区间； 2.求导数的最大值及其区间； 3.求导数的最小值及其区间； 4.求导数的零点； 5.求函数曲线的切线； 6.求函数图形的拐点等。
5.1分类讨论一：定义微分法5.4分类讨论一：分类定义微分法（续）一类变量的导数是另一类变量的函数，从而得到新变量在原变量的增量与自变量之间的另一函数关系。
一元函数微分法的基本思想：假设两个变量之间存在某种函数关系，通过对变量取极限或微分，就可以定义出一个新的变量（ x，h），从而揭示出这种函数关系。
求导公式： y>x（ a,b）或y<x （ a,b）。
求导法则：①初等函数的导数②高阶导数。
其中，可微的求导公式： y>x（ a,b）或y<x（ a,b）。
把x看作“常数”，而y当作“变量”，导数仍然是原变量y对自变量x的偏导数。
如： f(x) =1/x+1/x^2+4/x^4+…+f(x)^+=0；又如：f'(x) =f(x)-2x+4；又如： g'(x) =-2x-8。
2.对比（求导）性质一个变量x对另一个变量y求导，对这两个变量来说，都有相同的微分和积分，且等于原变量对新变量的导数，故称为对比（求导）性质。
3.比较法与无穷小量的关系如果用微分的观点去认识，那么微分法则成为整个数学的一个完整体系，而对比法则成为微分法的一个特殊的分支。
4.边界条件把x看作“常数”，而y当作“变量”，导数仍然是原变量y对自变量x的偏导数。
如： f(x) =1/x+1/x^2+4/x^4+…+f(x)^+=0；又如：f'(x) =f(x)-2x+4；又如： g'(x) =2*x-8。
一元函数微分学
f
x0
h
h
f
x0
练 (2008年高数二) 设函数 f(x)在点 x=1处可导, 且
df x 1, 则 lim f 1 2x f 1 _______ .
dx
x0
x
x1
结论:
(1)
y
lim
x0 x
f x0 f(x)在点x0处满足
y
y
lim lim
x x x0
x0
f x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
lim
h0
f
x0
h
h
f
x0
练 (2007年高数二)
若 f 1 2,则
f 1 x f 1
lim
___________
x0
sin x
(A) 2
(B) -2
(C) 1
(D) 0
f x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
lim
h0
h
h
f
x0
例 1 下列各题中均假定 f x0 存在, 按照导数定义
观察下列极限, 指出 A 表示什么:
1 lim f x0 x f x0 A;
x 0
x
2 lim f x A, 其中 f 0 0, 且 f 0存在;
x0 x
3 lim f x0 h f x0 h A.
在对应点 y 处具有导数, 且
f 1 y
Hale Waihona Puke 1f x或 f x 1 f 1 y
(3) 导数的基本公式
c 0 c 为常数 x x1
02高数——一元函数微分学要点速记
n 一元函数微分学1、数列极限若数列 {x }及常数a ，0,ε∀>N ∃正数，当n N >时，有n x a ε-<，则称该数列{}n x 的极限为a ，记作lim n n x a →∞=或()n x a n →→∞。
此时也称数列收敛，否则称数列发散。
数列极限的四则运算：若lim ,lim ,n n n n x A y B →∞→∞==则：1）lim()n n n x y A B →∞±=±；2）lim n n n x y AB →∞=；高 数一元函数微分学知识点速记3）0时，limn n x n =Ay →∞y B当n ≠0且B ≠lim n n n y z =a 夹逼准则：设lim n →∞→∞=，且当n >N 时，有y n n n≤x ≤z ，则lim n n x →∞=a 。
2、函数极限lim x f (x )=A →+∞⇔∀ε>0，∃X >0，当x >X 时，有f (x )-A <εlim x f (x )=A →-∞⇔∀ε>0，∃X >0，当x <-X 时，有f (x )-A <ε●左极限：000(x )lim 00,x )(x )x →x f f (x )=A x ∈(x f εδε--=⇔∀>∃δ>--A <，当时，有●右极限：000(x )lim 0(x ,(x )x →x f f (x )=A x ∈x f εδε++=⇔∀>0,∃δ>-A <当+)时，有x →x 0x →x 0x →x 0lim f (x )A f (x f (x )=Alim +)lim -=⇔=3、几个重要极限1）lim sin x =1x →0x2）0lim 1(+)1x x x e→=3）)=1a >o n 4）1n =5）lim e x =0x →-∞6）lim x e x →+∞=∞7）x →0lim +x 1x =4、无穷小量无穷小量：若(x )0lim x →x f =0，则称函数f (x )是当0x →x 时的无穷小量。
一元函数微分学总结
一元函数微分学总结一元函数微分学是微积分学中的一个重要分支，用于研究一元函数的变化率和极值问题。
它是微分学的基础，对于理解和应用微积分具有重要的意义。
一元函数的微分学主要涉及函数的导数、极值和曲线的图像等内容。
其中，函数的导数是函数在某一点的变化率，它可以表示为函数的斜率或者切线的斜率。
函数的导数可以帮助我们研究函数在不同点的变化规律，了解函数的增减性、凹凸性、极值等特征。
在一元函数微分学中，求导是一个重要的操作。
通过求导，我们可以得到函数的导数表达式，从而可以计算函数在任意一点的导数值。
求导的基本规则包括常数导数规则、幂函数导数规则、指数函数导数规则、对数函数导数规则等，这些规则可以帮助我们快速计算导数。
另外，函数的导数还可以用于研究函数的极值。
通过求导，我们可以找到函数的极值点，即导数为零或者不存在的点。
极大值点对应函数的局部最大值，极小值点对应函数的局部最小值。
通过求导，我们可以判断一个函数在某一点的极值类型，并且可以进一步确定函数的增减区间和凹凸区间。
函数的导数还可以用于研究函数的图像。
通过求导，我们可以得到函数在不同点的斜率，进而可以画出函数的切线和曲线的大致形状。
通过分析切线和曲线的关系，我们可以了解函数的增减性和凹凸性，从而更加深入地理解函数的性质。
总而言之，一元函数微分学是微积分学中的重要分支，它研究一元函数的变化率和极值问题。
通过求导和分析导数，我们可以了解函数的增减性、凹凸性和极值等特征，从而更好地理解和应用微积分。
在实际应用中，一元函数微分学广泛应用于物理、经济、工程等领域，为实际问题的建模和求解提供了有力的工具和方法。
专升本第二章-一元函数的微分学.
二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数
例17.设 y x ,求 y(n) ( 1)( n 1)xn 例18.设 y sin x,求 y(n)
(sin x)(n) sin(x n )
2 同理(cosx)(n) cos(x n )
2
例19.设 y ln x,求 y(n) (1)n1 (n 1)!
dx2
dx2
n 阶导数的定义：
设函数 f (x)的(n 1)阶导数存在，如果
lim f (n1) (x x) f (n1) (x) 存在，那么称此
x0
x
极限值为 f (x) 在点 x 处的n阶导数。
记作：y(n) ,
f
(n) (x),
dny dxn
或
d n f (x) dxn
为了形式上统一
定义 y(0) y,或 f (0) (x) f (x)， 把 f (x) 称为 f (x)的一阶导数。
1 xln a
，
(ln
x)
1 x
(sin x) cos x ， (cos x) sin x
(tan x) sec2 x ， (cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x ，(csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 ，(arccos x) 1
(五) 对数求导法 利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。
例16. 设 y (x 1)2 3 3x 2 ，求 y x2 1 3 (2x 1)2
解：两边先取对数：
ln y 2ln(x 1) 1 ln(3x 2) 1 ln(x2 1) 2 ln(2x 1)
3
2
3
1 y
y
2 x 1
一元函数微分学的概念
常见的中值定理
柯西中值定理 泰勒中值定理
常见的中值定理
费马定理
通常作为小定理与其他的搭配使用
常见的中值定理
罗尔定理
通常等式较多，且给了函数值
常见的中值定理
拉格朗日中值定理
见到研究f和f`关系以及f-f的时候要考虑
常见的中值定理
柯西中值定理
通常会明显出现ln和分式
常见的中值定理
泰勒中值定理
隐函数
两边同时求导
1
多项相乘除
变成对数的加法好 解
3
幂指函数
5
2
反函数
一阶反函数求导简 单，要记好二阶反 函数求导的公式
4
参数求导
用公式即可
高阶求导
数学归纳法
熟练掌握高阶求导三部曲 先写通式
再写对应题目函数的具体展 开式
消除掉对应项 剩下的即是其高阶求导的结
果
12 43
把高阶求导的十个常见展开式背下 来
导数
导数的存在性
左导数=右导数
导数
常研究存在性的点
分段函数的分段点 抽象函数的特指点 抽象函数的泛指点 四则运算中的特殊点
导数
常见的几个不存在点
需要特殊注意分段点和带绝对值符号时候的0聆听
极坐标通常转换为
参数方程来进行处
3
理
隐函数
5
2
参数方程
4
分段函数
一元函数微分学的应用
物理应用
通常为求A对B的变化率问题，然后我们需要从A到B研究出一条可 导路径
03
中值定理
常见的中 值定理
0 1
连续函数的存 在性定理
0 4
费马定理
0 2
第2章一元函数微分学教材
第二章 一元函数微分学 一、一元函数的导数与微分 （一）导数的定义与几何意义 1．导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域有定义，若极限x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x 存在，即在0x 可导0x x -)()(lim)('0x x x f x f x f -=→导数存在，左右导数存在相同； 2.几何意义 导数为切线斜率（二）单侧可导与双侧可到的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 左右导数均存在且相等（三）微分的定义、几何意义以及可微、可导与连续之间的关系 1．微分的定义 )()(y 0x x x A ∆+∆=∆ο)(x ∆ο是0→∆x 是比x ∆高阶的无穷小，可微函数y=)(x f 在点0x 处的微分是该函数在点0x 处函数增量的线性主要部分 2.微分的几何意义y ∆是曲线y=)(x f 在点0x 处相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量微分dyx x =是曲线y=)(x f 在点0x 处切线相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量3.可微、可导及连续之间的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 处可微⇒ )(x f 在点0x 处连续但连续不一定可导、可微y=)(x f 在点0x 处可微时dy=dx x f x x f )(')('00=∆（四）函数的区间上的可导性，导函数及高阶导数 1.函数在区间上的可导性若)(x f 在开区间每一点都可到，则在开区间可导，又在端点可导，则在闭区间可导2.若)(x f 在区间可导，对于任意x 在区间内，都有对应)(x f 的一个确定的导数值)('x f ，构成一个新的函数，称为导函数，记作dxx df dx dy x f )(;;y )(''； 3.二阶导数及高阶导数二阶导数⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d dx y d x f ;;y )(''22''； n 阶导数n nn)(n)(;y )(dxy d x f ； N 阶导数定义xx f x x f x f∆-∆+=→∆)()(lim )(01-n 01-n 0x 0n)(）（）（若)(x f 在0x 处n 阶可导，则)(x f 在0x 的某领域比具有一切比低于n 阶的导数 （五）奇偶函数与周期函数的导数性质)(x f 为奇函数⇒)('x f 为偶函数；)(x f 为偶函数⇒)('x f 为奇函数；不能反推 )(x f 以T 为周期⇒)('x f 也以T 为周期二、按定义求导数及其适用的情形 （一）按定义求导数x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x（二）按定义求导数适用的情形情形1，除了常数及某些初等函数的导数公式外，均可按定义导出 情形2，求导法则不能用的情形，不知道是否可导 情形3，求某类分段函数在分界点处的导数（三）利用导数定义求极限xx f x x f ∆-∆+→∆)()(lim000x n n x x f x x f )()(lim 0n -++∞→ 其中0lim n =+∞→n x三、基本初等函数导数表，导数的四则运算法则与复合函数微分法则 （一）基本初等函数导数表与求导法则 1．基本初等函数导数表a x x aa a xx x xx x x x x x t a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )an (22='='⋅-='⋅='-='=' 222211)ot (11)an (11)(arccos 11)(arcsin x x arcc x x arct x x x x +-='+='--='-=' x xx x x xx e e x x 22'''''sec cos 1)(tan cos )(sin 1)(ln )(0c ======）（)()()())()(sin )(cos ''''x f x f x f x f xx x x x ==-= xx 1)(ln '=2.求导法则复合函数求导法则幂指数函数求导 反函数求导 隐函数求导 变限积分求导 分段函数的求导（二）导数与微分的四则运算法则[])(')(')()('x g x f x g x f ±=±[])(')()()(')()('x g x f x g x f x g x f +=)()(')(-)()(')()(2'x g x g x f x g x f x g x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡（三）复合函数的微分法则dxdudu dy dx y •=d（四）初等函数求导法 利用上述三种方法综合运用四、复合函数求导法的应用—由复合函数求导法则导出的微分法则 （一）幂指数函数)()(x g x f 的求导法 1.将)()(x g x f 表成)(ln )(ex f x g 后求导2.对数求导法，对)()(x g x f y =两边取对数得)(ln )(ln x f x g y =，两边对x 求导用对数求导法求乘积的导数或微分很方便)()()(21x f x f x f y n •⋅⋅⋅••= 先取绝对值，再取对数幂指数函数导数公式也可用二元复合函数求导法推出的复合函数与是)(),()()(x g v x f u u y x f y v x g ====dxdv u v dx du u u dx y v v •∂∂+•∂∂=）（）（d（二）反函数求导法'1d y dy x = 3'''22-d y y dy x =（三）变限积分的求导法设)(x f 在闭区间连续，)(),(x x ψϕ在闭区间可导⎰=)()(;)(x x dt t f y ϕψ[][])()()()()()('')()(x x f x x f dt t f dx d dt t f dx d dx dy x ax a ψψϕϕψϕ-=-=⎰⎰（四）隐函数微分法设有二元方程F （x ，y ）=0，若存在函数y=y （x ）使得F （x ，y （x ））=0，对区间上任何x 成立，则称y=y （x ）为方程F （x ，y ）=0在区间上确定的隐函数运用复合函数求导法则五、分段函数求导法1.按求导法则分别求分界点处的左右导数2.按定义求分界点的导数或左右导数3.分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值（一）按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数A x f A x h x g x h x g ====+)(,)()(),()(0'0'0'-00则且若（二）按定义求分界点的导数或左右导数无定义在、000)()(x x h x gx x x h x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=+→∆+→∆+A)(lim)()(lim)('000000xx x g x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆A)(lim)()(lim)('0-000-00- 上述极限存在且相当，则存在)(0'x f（三）分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值 可导且连续，A x f x x =→)(lim '六、高阶导数及n 阶导数的求法（一）归纳法 逐一求出前几阶导数，观察规律性写出)(n y 的公式（二）利用简单得初等函数的n 阶导数公式（1）b ax n n b ax e a e ++=)(）（ x n x e e =)(）（（2）[])2sin()sin()(πn b ax a b ax n n ++=+ [])2sin(sin )(πn x x n += （3）[])2(cos )(cos )(πn b ax a b ax n n ++=+ ())2cos(cos )(πn x x n +=（4）[]n n n b ax n a b ax -++-⋅⋅⋅-=+βββββ))(1()1()()([]n n x n x -+-⋅⋅⋅-=βββββ)1()1()( （5）1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n b ax n a b ax (6) []n n n n b ax n a b ax )(!1-)1()ln(1-)(+-=+）（ []nn n xn x !1-)1(ln 1-)(）（-= (三)分解法1.有理函数与无理函数的分解)1)(1(1,21+-⋅⋅⋅+-+=+--x x x x x n x n n n n 为奇数时，当 )1-)(1(1-,21x x x x x n x n n n n +⋅⋅⋅+-+=--为偶数时，当2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）（四）由f （x ）在x=0x 处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求)(0)(x f n七、微分中值定理(一)极值的定义 极小值、极大值 与左右两边的比较，还没涉及导数（二）微分中值定理及其几何意义 1.费马定理及其几何意义)(x f 在x=0x 处可导且取得极值，则导数为0，0x 为驻点，驻点切线与x 轴平行2.罗尔定理及其几何意义[]0)('),(),()(),(,)(=∈=ξξf b a b f a f b a b a x f 使得则存在上可导，又上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于x 轴3.拉格朗日中值定理及其几何意义（微分中值定理）[])(')()(),(,),(,)(ξξf ab a f b f b a b a b a x f =--∈使得则存在上可导，上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于割线)10(,)(')()( θθx x x f y x f x x f ∆•∆+=∆=-∆+4.柯西中值定理[])(')(')()()()(),(,0)('),(,)(),(ξξξg f a g b g a f b f b a x g b a b a x g x f =--∈≠使得则存在上可导，且上连续，在在设 （三）几个微分中值定理之间的关系拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，,)(x x g =罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况八、利用导数研究函数的性态（一）函数为常数的条件与函数恒等式的证明 1．函数为常数的条件 导数恒为02.两个函数差为常数的条件 导数相等3.两个函数恒等的条件，导数导数，存在一点使得两值相等（二）函数单调性充要判别法1.函数单调性的定义 单调增加、单调减少、单调不增、单调不减2.函数单调性判别定理及其几何意义单调不减 导数大于等于0；单调增加，导数大于等于0，区间内，不存在导数等于0的情况 3.几何意义单调增加与x 轴锐角；单调减少与x 轴钝角（三）极值点充分判别法1.极值第一充分判别定理及其几何意义 左导数小于0，右导数大于0，极小值主要考察函数的不可导点，因为不可导点有可能是函数的极值点2．极值第二充分判别定理及其几个意义，具体再讨论极小值，极大值，当当二阶可导，且在点设0)('',0)('',0)('',0)(')(00000==x f x f x f x f x x f几何意义结合第一充分判别定理分析 二阶导数小于0，一阶导数由大于0到小于0，极大值（四）凹凸性的定义与充要判别法 1.凹凸的定义[]凹上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+[]凸上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+2.凹凸性充要判别定理及其几何意义[][]()是单调增函数在是凹的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]()是单调减函数在是凸的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凹的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≥[][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凸的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≤（五）观点的定义与充分判别法1.拐点的定义，)(x f 在0x 的左右侧凹凸性相反，在为拐点2.拐点的充分判别定理)(x f 连续，二阶可导，且二阶导数在0x 反号 或二阶导数等于0，三阶导数不等于0（六）利用导数做函数的图形1、定义域，奇偶性、周期性、剪短点2、一阶导数、二阶导数等于3、渐近线 b kx y y x +=∞→∞→;；[]b kx x f k xx f b kx y x x =-≠=⇔+=+∞→+∞→)(lim ,0)(lim且九、微分学的几何应用与经济应用 （一）平面曲线的切线1.用显式方程表示的平面曲线))(('00o x x x f y y -+=2.用隐式方程表示的平面曲线0)(),()(),(),(,0),(000000=-∂∂+-∂∂=y y yy x f x x x y x f y x f y x f 切线方程有连续的一阶偏导数，其中（二）边际与弹性1.边际及其先关概念 边际成本 边际收益 边际利润2.弹性及其相关概念xdx y dydxdyy x Ex y Ex y x y ==E ,E 的弹性记为对 需求函数)(P Q Q =dpdQQ p Ep Q =E收益对价格的弹性dpdRR p Ep R =E 因为pQ R =+=+==1)(1)(1E dp dQp Q Q dp pQ d Q Ep R EpQ E 注意弹性的绝对值问题，区别正负性十、一元函数的最大值与最小值问题（一）闭区间[]的求法和最小值的最大值上连续函数的m M )(,x f b a 1.求出驻点，即一阶导数为0 2.算出驻点的函数值3.有不可导点，算出不可导点的函数值4.求出端点的函数值5.比较(二) )(x f 在区间可导且仅有唯一驻点的最大值和最小值的求法 1．通过一阶导数左右两端符号判断 2.通过二阶导数的正负性判定十一、一元函数的泰勒公式（一）带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式，皮亚诺余项）（即））（（其中阶导数，则处有在点设0)(lim ),()(),()(!)()(!2)())((')()()(00000)(20000000=-→-=+-++-''+-+=→n n x x nn n n n x x x R x x x x x R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n x x f ο （二）带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式[][]10),()()!1()(),()(!)()(!2)())((')()(,,1),()(0010)1(00)(2000000 θθξξξ且之间，也可表示为与在而，拉格朗日余项其中有阶连续导数，对于任何上有阶导数，在区间内有的区间在包含点设x x x x x x x n f R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f b a x n b a n b a x x f n n n n n n -+=-+=+-++-''+-+=∈+++n n x n f x f x f f x f x !)0(!2)0()0()0()(0)(20++''+'+== 时即为麦克劳林公式：十二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 （一）泰勒公式的唯一性!)(,),('),(,)()()()()(0)(01000020201000n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f n n nn n =⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο这个定理称为泰勒公式的唯一性定理（二）泰勒公式的求法 1.直接求法))(1,0(,)!1(1)(),()()(!)(!1!211102+∞<<-∞∈+==+=++⋅⋅⋅+++=+=∑x x e n x R x x R x R k x x R x n x x e n x n n n n nk kn n xθοθ其中)()1,0()!12(cos )1()(),()()()!12()1()()!12()1(!5!3sin 1222221121212153+∞<<-∞∈+-==+--=+--+-+-=+=----∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)()1,0()!22(cos )1()(),()()()!2()1()()!2()1(!4!21cos 221121212120212242+∞<<-∞∈+-==+-=+-+-+-=++++++=+∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)1,0(),1,1()1()!1()()1()(),()()(!)1()1(1)(!)1()1(!2)1(1)1(1112∈-∈++--==++--+=++--++-++=++--=∑θθαααοαααααααααααx x x n n x R x x R x R x k k x R x n n x x x n n n n n n nk kn n ，其中(])1,0(,1,1)1()1(1)1()(),()()()1()(1)1(3121)1ln(111111132∈-∈+++-==+-=+-+-+-=++--++=--∑θθθοαx x x x x n x R x x R x R k x x R x n x x x x n n n n nn n n n nk k k n nn ，）（其中2.间接求法 ①四则运算()()()))(()()(m n a x a x a x n m n ≤-=-+-οοο()()())()()(m n m n a x a x a x +-=-•-οοο()()())()(m n m n a x a x a x +-=-•-οο()()有界在其中δοο a x x f a x a x x f mm--=-•0)(),()()(②复合运算 替代变量法③逐项求导或逐项积分））（（））（（））（（时，有阶导数，则处有在点设10102010010100210020201000)(1)(2)()()()(2)(')()()()()(0++---+-+++-+-=-+-++-+=-+-++-+-+=→⎰n n n xx n n n nn n x x x x n A x x A x x A dt t f x x x x nA x x A A x f x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f οοο十三、一元函数泰勒公式的应用 （一）利用泰勒公式求未定式的极限)();(0);()()(lim )()(lim 0,0,)()()()()(),(m n m n n m BA a x a xB a x a x A x g x f B A a x a x B x g a x a x A x f a x x g x f m m nn a x a x m m nn ∞==-+--+-=≠≠-+-=-+-==→→））（（））（（））（（））（（时，有在点设οοοο（二）用泰勒公式确定无穷小的阶阶数数是导数不为零的最小阶无穷小，无穷小的阶的是因此，））（（，则，若））（（时，有阶导数，则处有在点设n a x x f x x x x n x f x f x f x f x f x f x x x x n x f x x x f x f x f x x n x x f nn n n n n n n )()()(!)()(0)(0)()(')(,)(!)())((')()()(000)(0)(0)1-(00000)(00000--+-=≠====-+-++-+=→οο（三）利用泰勒公式证明不等式方法1，通过估计泰勒公式余项的大小来证明不等式方法2，通过函数与二阶导数的界估计一阶导数的界来证明不等式（四）由泰勒公式的系数求)(0)(x f nn n n n n n n A n x f A x f A x f n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f !)()(')(!)(,),('),(,)()()()()(0)(10000)(01000020201000====⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→，，因此则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο（五）用泰勒公式证明函数或高阶导数存在满足某种要求的特征点当要求证明存在某点使得函数或高阶导数在该点取值满足某等式或不等式或具有某种其他要求的特征时，常常需要用泰勒公式，所求的点还常常是公式余项中出现的中间值十四、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二、用导数定义求函数的极限题型三、求各类一元函数的导数与微分题型四、求变限积分的导数1. 求仅积分限含参变量x 的变限积分的导数2. 求被积函数也含有参变量x 的变限积分的导数题型五、求一元函数的n 阶导数题型六、用微分学的方法证明不等式方法1，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式方法2，利用函数的单调性证明不等式方法3，利用函数的最大值或最小值证明不等式方法4，利用函数图形的凹凸性证明不等式题型七、利用导数研究函数的性态1. 函数等于常数的证明2. 单调性与凹凸性的证明3. 讨论函数的极值与拐点4. 求函数的单调区间与极值点及其图形的凹凸区间与拐点5. 用微分学知识作函数的图形6. 利用函数的性态研究函数零点的个数题型八、导数与微分在经济学中的简单应用题型九、微分中值定理命题及相关问题1. 费马定理型的中值命题2. 罗尔定理型的中值问题3. 与区间端点函数值有关的微分中值命题题型十、一元函数的最值问题1. 函数型的最值问题2. 应用型的最值问题题型十一、求泰勒公式1. 求带皮亚诺余项的泰勒公式2. 求带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式题型十二、用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶1. 用泰勒公式求极限2. 用泰勒公式确定无穷小的阶题型十三、用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点。
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第二章 一元函数微分学一元函数微分学在高等数学中占有重要地位，是考试的主要内容之一，应深入加以理解。
在运算方面，应掌握导数的四则运算法则，以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等，并会求函数的微分。
本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态，并能解决一些简单的应用问题。
第三，微分中值定理是导数应用的基础，应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。
§2-1 导数和微分本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。
导数与微分虽然是两个不同的概念，但它们之间也有关系：d ()()d f x f x x '=。
因此只要求出()f x 的导数，由此关系式即可得到它的微分。
所以，下面主要是总结求函数的导数的方法。
一、重要概念和重要公式1. 导数概念 000000000000()()()lim.()()()lim ()()()lim .x x x f x x f x f x xf x x f x f x xf x x f x f x x -+∆→-∆→+∆→+∆-'=∆+∆-'=∆+∆-'=∆导 数：左导数：，右导数：000()()().f x x f x f x -+''⇔=在处可导2. 导数的几何意义与物理意义 000000000()()(())()()().1()().()f x y f x x f x y f x f x x x y f x x x f x '='-=--=--'为曲线在点，处切线的斜率，切线方程和法线方程分别为物理意义：导数可表示为质点的即时速度，棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等.3. 微分概念000000()()()0d ()()d ()~d (0)d .()()().y f x x f x y y y f x x o x y f x x y y x y y x f x x f x x '=≠∆''∆=∆+∆=∆∆∆→∆∆若函数在处可微即可导，且，则与的关系：由于，，故有，且，均为的一阶无穷小在处连续是在处可微即可导的必要但非充分条件4. 幂指函数求导公式()()()[()]()[()ln ()].v x v x u x u x v x u x ''=5. 由参数方程确定的函数的二阶导数22()d d d d d d .d d d d x t y t t t t t t t y t x x x t t t ϕψψψϕϕψϕϕ=()⎧⎨=⎩''⎛⎫⎛⎫()() ⎪ ⎪'''()()⎛⎫()⎝⎭⎝⎭=== ⎪''()()⎝⎭若，则6. 几个重要的n 阶导数公式()()()1()1(sin )sin (cos )cos()1(1)!(1)(1)![ln()].()()n n n n n n n nn n x x x x n n x a x a x a x a ππ-+⎛⎫=+=+ ⎪22⎝⎭---⎛⎫=+= ⎪+++⎝⎭；；；7. Leibnitz 公式()()1(1)()()()().n n n k n k k nn n n n uv u v C u v C u v C uv --'=+++++8. 回答下列问题000000000()()(1)lim ()()2()().||0lim 0.2()().h x h f x h f x h A A f x A hf h f h y x x y hf x f x A →=→+-+'==--'===''=若为常数，能否导出？否例如，，不存在，但若增加条件：存在，则可导出答00000()(2)()0lim (0).()(0)lim ()lim 0()(0)()(0)lim lim .x x x x x f x f x x A f A xf x f f x x xf x f f x f A x x →→→→→'=====⋅=-'===若在处连续，且，能否导出？能因为，故有答00000002(3)()()(a)()()()(b)()()()(c)()()()()(a)()()()().1(b).()()0(0)1(0)x f x g x F x f x g x x G x f x g x x x f x F x f x g x x F x x g x F x f x x f x x g x x f g x =+=⋅=+=-''====若在处，可导，不可导.在处是否可导？在处是否可导？若在处也不可导，问在处是否可导？在处必不可导，否则在处可导不一定如，，在处，，答31(0)()()0(0)0(0)(0)0.(c).()||()||0(0)(0)(0)0.()||()||0(0)(0)(0).G f x x g x x f g G xf x xg x x x f g F f x x g x x x f g F =∞''''=∞=====∞=''==-=''''====，；而，，在处，，，不一定如，，在处，和不存在，但而，，在处，，不存在，也不存在00000(4)()[].u x x u x y f u u y f x x ϕϕϕ=()=()==()若在处不可导，，而在处也不可导，问函数在处是否一定不可导？否如答000000()00[]00.x x u x x x u y f u u u u y f x x ϕϕ≥⎧=()=⎨<⎩=≥⎧==⎨<⎩==()≡=，，在处不可导，且，，在处也不可导，但在处可导二、用导数定义求导数这种方法用于求函数在某一点的导数（称为点导数），常见于求分段函数在分界点的导数及未假定函数的导数存在的条件时，但要求其导数等问题. 2002002000(0)0()0[]11(A)lim (1cos ).(B)lim (1).11(C)lim (sin ).(D)lim [(2)()]1(1cos )1cos 1(A)lim (1cos )lim (0).1cos 21(B)lim h h h h h 2h h h f f x x f h f e h hf h h f h f h h hf h h f h f h h h f h →→→→+→→→==------'-=⋅=-1设，则在处可导的充要条件为存在存在存在存在.例解00022200(1)1(1)lim (0).1(C)()||(0)(sin )|sin |sin lim lim 0.sin 10(D)()0(0)00(2)()(2)1(1)lim lim h hh h h 22h h h h f e ee f e h f x x f f h h h h h h h h h h x x f x x f x f h f h h h h h→→→→→--'-=⋅=--'=---=⋅=-⎧+≠'==⎨=⎩-+-+==取，则不存在，但，取，它在处不连续，从而不存在，但，0.(B).故选1(0)1(0)lim ()_________________.xx f f f x →'==2设，存在，则例1()11()1001(0)0lim ()lim[1(()1)]()1()(0)limlim (0)lim ().f x f x xxx x x x f xx f x f x f x f x f f x xf x e -⋅⋅-→→→→'→=+---'==∴=解0()()()(1|sin |)()0[](A)(0)0.(B)(0)0.(C)(0)(0)0.(D)(0)(0)0.()()|sin |()()().()()0()0.()(0)(0)lim lim x x f x F x f x x F x x f f f f f f g x f x x F x f x g x f x F x x g x x g x g g x --→=+='==''+=-===+==-'==3设可导函数，，若欲使在处可导，则有设，则因和在点处可导，故在处可导而例解00000()(sin )lim ()(0).()(0)()sin (0)lim lim lim ()(0).(0)(0).(0)0.(B).x x x x f x x f x f xg x g f x xg f x f x xf f f --+++→→+→→→⋅-=-=--⋅'=====-=故即故选231100()(32)||____________.()(1)(2)|(1)(1)|101()(1)limlim(2)|(1)(1)|0.1()1(1)0.()(0)||limlim (1)(x x x x f x x x x x f x x x x x x x f x f x x x x x f x x f f x f x x xx →-→-→→=++-=++-+=---=+-+=+'=-=-=+4的不可导的点的个数为，故只须考虑，，三个点.因故在点处可导且又因例解0||2)|(1)(1)|2lim()0()1.()0 1.x x x x x x f x x f x x f x x x →+-+=====不存在，故在处不可导.同理可证，在处不可导故的不可导的点为及0()(21)(32)(10099)(0)___________.()(0)(0)limlim(21)(32)(10099)99!.x x f x x x x x f f x f f x x x x→→'=---=-'==---=-5若，则例解()50(1sin )3(1sin )8()()()(0)()1()(6(6)).(6)(1)(6)(1).0(1)3(1)0(1)0.(1sin limx f x x f x f x x x x o x x f x x y f x f f f f f x f f f f αα→=+--=+=→==''==→-==+6若是周期为的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式：，其中，且在处可导.求曲线在点，处的切线由周期性得，在已知关系式中令，得，故由已知关系式得例解000)3(1sin )8()lim 8.(1sin )3(1sin )lim(1sin )(1)sin (1sin )(1)sin lim 3sin (sin )(1)3(1)4(1).(1) 2.(6)0,(6) 2.2(6).x x x x f x x o x x xf x f x xf x f x f x f x x x x x f f f f f f y x →→→--+==+--⎡⎤+---=⋅+⋅⋅⎢⎥-⎣⎦'''=+='='===-另一方面故于是所以所求切线方程为2101()()(02)12__________________________.()1()1x x f x f x ax b x a b f x x f x x ⎧-≤≤=⎨+<≤⎩====7，设，若在，内可导，则常数，，这是一个可导性讨论的反问题，由在处可导得在处连续，故例解112111lim ()lim ()(1)0.()1(1)(1)(1)0()0lim lim 112lim 12 2.x x x x x f x f x f a b f x x f f x ax b x x ax aa x ab -+-++→→-+→→→==+=''==--+-=---==-==-，即又在处可导，有，即，也即，从而，220200000()()()0()0[](A).(B).(C).(D).lim ()lim ()0lim ()0lim ()lim ()0(x x x x x x x x f x g x f x x x g x x f x x g x x f x f x f x f x --+-+→→→→→→→⎧>⎪==⎨⎪≤⎩=======8设，其中是有界函数，则在，处极限不存在极限存在，但不连续连续，但不可导可导因，，故，即例解200200)0.(0)lim lim 0()0(0)lim lim ()0.()0.(D).x x x x x x f x g x f xg x xf x x +--+→→-→→='===-'====在处连续又因，故在处可导所以选()|()|[](A)()0()0.(B)()0()0.(C)()0()0.(D)()0()0.()|()|()()|()||()|limlim()()()()lim |x a x a x a f x x a f x x a f a f a f a f a f a f a f a f a g x f x g x g a f x f a x a x af x f a f x f a x a →→→==''===≠''>><<=--=---+=⋅-9设函数在处可导，则在处不可导的充分必要条件为且且且且令，因例解()0()0()()lim ()||()||()|()0()0()()0()()()()lim ()lim ()()()|()|.(B).f a f a x a x ax af x f a f x f a f x f a f a f x a f ag x g a g x g a f a f a x ax ag a g a f x x a '=≠+-→→→+-'⋅+''≠>=--''==---''≠=当，，时，不妨设，则在的某邻域内单调增加，而，因，故，即在处不可导故选32()33220022()3||(0)_______.40().20()00()120()6.lim ()0lim ()(0)0120().60()0.0n x x f x x x x f n x x f x x x f x x x f x x x f x x f x f x f x x f x x x f x x x -+→→=+=⎧≥⎪=⎨<⎪⎩=>'=<'=''=='=⎧≥⎪'=⎨<⎪⎩'=>10设，则使存在的最高阶数，，在处连续.当时，当时故，所以，即，，在处连续当时例解0000()240()12.lim ()0lim ()(0)0240().120()0.0()240()12.lim ()lim ()(0) 2.x x x x f x x x f x x f x f x f x x f x x x f x x x f x x f x f x f x f n -+-+→→→→''=<''=''''==''=≥⎧''=⎨<⎩''=>'''=<'''=''''''≠'''=，当时故，所以，即，，在处连续当时，当时因故不存在.从而三、复合函数求导复合函数求导时，关键要看清楚中间变量u 的选取。