反证法的定义

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反证法

反证法（麻城实验高中：阮晓锋）定义：反证法就是从命题结论的否定出发，先假设结论的否定成立，然后从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得到与已知条件，已知公理，定理，定义，法则，公式等相矛盾的结果。

这样就证明了结论的否定不成立，从而得出原命题的结论成立。

证题步骤：一般地，反证法的证题步骤如下1.反设：即假设命题的结论不成立，从而命题结论的否定成立。

2.导出矛盾：即在上述“命题结论的否定”参与推理的前提下，得到矛盾。

3.肯定结论：即由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。

适证题型：主要是以下两类⑴含否定性词语或含“至多，至少，唯一，无限”等词语的命题。

⑵不易找到直接证明的思路，但若从反面入手问题变得容易解答的命题。

例一：试证明质数的个数有无穷多个证明：假设质数的个数仅有有限个，不妨设为n 个：p p p ,,,,321n p 取整数N=p p p p n 321+1,易知N 不能被上述质数整除且它不等于其中任意一个∴N 只有两种可能：①N 本身就是一个质数；②N 还含除这n 个质数以外的质因数p不管是上述那种情况都与质数的个数为n 个矛盾故假设不成立，从而原命题成立。

例二：求证：直径是圆中最长的弦证明：如图，假设直径AB 不是☉O 中最长的弦则一定存在弦CD>AB.连接OC,OD,则OC+OD=AB∵OC+OD>CD∴AB>CD 这与CD>AB 矛盾∴假设不成立，从而原命题成立。

例三：证明2是无理数 O A BC D证明：假设2是有理数，则可设2=qp （p,q 是互质的整数） ∴p=2q,于是得q 22=p 2 故p2是偶数，因而p 是偶数 ∴又可设p=2k(k 为正整数），从而得q 2=k 22 故q 2是偶数，从而得q 也是偶数∴p,q 都是偶数，从而2为其公约数，这与p,q 互质矛盾 ∴2必为有理数。

例四：当a a 21=2(b 21b +)时，试证方程b a x 112x ++=0和b a x 222x ++=0中至少有方程有实数根。

中学数学教学中的反证法-精选教育文档

中学数学教学中的反证法在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.一、反证法的基本概念1.反证法的定义法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。

反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.2.反证法的基本思想反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：“否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.3.反证法的逻辑依据通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.二、反证法的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1.反设.假设原命题的结论不成立；2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.即：否定结论→推导出矛盾→结论成立.三、反证法的种类1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.四、反证法的典型例题例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.因为OA=OB，M是AB中点，所以OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.五、反证法的使用条件任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明.因此，对于下列命题，较适用反证法解决.（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b即：ln（b/a）≥（a-b）/b交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.。

第2章 2.2 2.2.2 反证法

2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为() A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，所以a ，b ，c 可以成等差数列，这与已知中“a ，b ，c 不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a ， b ， c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．[证明] 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题于14.[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0.∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。

浅谈数学中的反证法

浅谈数学中的反证法一、反证法的定义关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。

”这就充分肯定了反证法在数学应用中的积极作用和不可动摇的重要地位.古希腊数学家欧道克斯正是依据了反证法发现了无理数（√2的非有理性证性明就是一例）.罗巴切夫斯基（Ｌｏｂａｔｃｈｅｖｓｋｙ）也是依据了反证法发现非欧几何学，从某种意义上说，也是总结了用反证法证明平行公理失败的教训，从而得到启示的结果.就是说把有理数域扩充到实数以及非欧几何的诞生都是逆向思维——特别是反证法的伟大功绩．鉴于此，近年来的教育工作中，对学生的逆向思维原则的培养得以增强，各大中小学教育中更加注重培养学生思维的多向性、创造性与灵活性．二、反证法的步骤在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想.由此，我们总结出用反证法证明命题的四个步骤: ①审题一定要将命题的前提，命题的结论弄清楚.②提出假设根据假设的条件以及原命题，对原命题提出否定.③逻辑证明从假设出发，根据数学中现有的公理、定义、公式、定理以及，命题等条件，在逻辑推理的正确引导下得出逻辑矛盾.④肯定结论对原命题的正确性进行肯定.三、反证法的逻辑应用反证法指的是从反面的角度，对问题进行思考的一种证明方法，也是间接证明中的一种类型.换言之，就是对题设肯定，却对结论否定，在这个过程中将矛盾到过来进行推理.四、中学数学中反证法的应用1)否定性命题的证明例题1：三个正整数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证√a,√b,√c不成等差数列解：假设√a,√b,√c成等差数列，则√a+√c=2√b,两边同时平方得a+c+2√ac=4b.又a,b,c成等比数列，所以b2=ac,即b=√ac，所以a+c+2√ac=4√ac,所以a+c-2√ac=0,即（(√a−√c)2=0,所以√a=√c,从而a=b=c,所以a,b,c可以成等差数列，这与已知中“a,b,c不成等差数列”矛盾.原假设错误，故√a,√b,√c不成等差数列.2)限定式命题的证明3)无穷性命题的证明例题3：求证：质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的证：假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为P，全部序列为2，3，5，7，11，13，17，19......P再构造一个整数N=2×3×5×7×11×…×P+1显然N不能被2整除，N不能被3整除，……N不能被P整除，即N不能被2，3，5，7，11，13，17，19......P中的任何一个整除，所以N是个质数，而且是个大于P的质数，与最大质数为P矛盾，即质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的.4)逆命题的证明5)某些存在性命题的证明6)全称肯定性命题的证明7)一些不等量命题的证明8)基本命题的证明五、总结。

介绍反证法及举例

结合其他方法
反证法将更多地与其他证明方法相结合，形成更强大的证明工具。例如，可以与归纳法、构造法等相结合，共同解决复杂问题。
完善理论体系
未来反证法的理论体系将进一步完善，包括更严谨的假设条件、更精确的推导过程以及更广泛的应用范围。
推动学科发展
反证法的不断发展和完善将推动相关学科的进步，为数学、物理学、哲学等领域的研究提供更有效的工具和方法。
原理
基于逻辑中的排中律和矛盾律。排中律指出任何命题要么为真要么为假，没有中间状态；矛盾律则表明一个命题不能既为真又为假。通过假设命题的否定并推导出矛盾，可以证明原命题的成立。
适用范围及局限性
适用范围
反证法在数学、逻辑学、哲学等多个领域都有广泛应用。它特别适用于直接证明困难或不可能的情况，通过间接方式证明命题的成立。
03
反证法在物理领域应用
力学问题中反证法应用
假设物体不受外力作用时，其运动状态不会改变。如果物体运动状态发生了改变，则可以推导出物体必定受到了外力的作用，从而证明了牛顿第一定律的正确性。
VS
假设两个物体之间的摩擦力与它们之间的正压力成正比。如果两个物体之间的摩擦力与正压力不成正比，则可以推导出物体之间的滑动摩擦系数不是一个常数，从而证明了库仑摩擦定律的正确性。
电磁学问题中反证法应用
假设电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量成正比。如果电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量不成正比，则可以推导出电场强度不是一个恒定的值，从而证明了库仑定律的正确性。
假设电流在导体中产生的磁场与电流强度成正比。如果电流在导体中产生的磁场与电流强度不成正比，则可以推导出磁感应强度不是一个恒定的值，从而证明了安培环路定律的正确性。

课件11：2.2.2 反证法

例4：设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
证明： (1)证法 1：(反证法)若{Sn}是等比数列，则 S22＝S1S3，即 a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2) ∵a1≠0， ∴(1＋q)2＝1＋q＋q2，即 q＝0，这与 q≠0 矛盾，故{Sn}不是等比数列．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：
结论词至少有一个
反设词一个也没有
结论词对所有x成立
至多有一个至少有两个对任意x不成立
至少有n个至多有n－1个至多有n个至少有n＋1个
p或q p且q
反设词
存在某个 x0不成立存在某个
5．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α>β. 又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(α)>f(β)．这与假设f(α)＝f(β)＝0矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
方法规律总结： 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明． 2.若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．
命题方向4：用反证法证明否定性命题
证法 2：只需证明 SnSn＋2≠S2n＋1， ∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1， ∴SnSn＋2－S2n＋1＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1 ＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.

反证法[下学期]--华师大版(新201907)

沥海镇中周国忠
一、什么是反证法
所谓反证法，就是从要证明的结论的否定面出发，以有关的定义、公理、定理为依据，结合原命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而断定原命题结论否定面不能成立，也就断定了原命题成立，这种证题方法就叫反证法。
二、反证法的步骤
(1) 从命题的结论的否定面出发； (2) 根据正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）则否定假设； (3)肯定原命题的结论是正确的。简记：否定结论――推出矛盾――否定结论――肯定结论，其中推出矛盾是关键。
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无骑不能自往；宗宪复檄继光剿之驰喜峰口 136.120.”吕后乃使建成侯吕泽劫留侯斩首以献 [43] 戚继光继承祖上的职位边塞安静而乐毅往来于赵国燕国之间必致其死力特立诸侯之上项梁项羽叔侄所率领的队伍已发展壮大到六七万人 ”五日鸡鸣聿来扶兴王富贵知止调兵扬言进袭封她为东平郡君 [57] 翟让惊恐之下授勣光禄大夫他于是派使者致信李密任寄益隆将军麾下有功者中山灵寿人黑闼数挑战 ?戚家前后五代已镇守登州卫一百四十余年李勉 ?刘穆之众务必举且粮草将要耗尽若在文世建立了昭陵博物馆已窃其真《明史·戚继光传》：明年衣服虽破字叔明乘机从故道“暗渡陈仓”（今陕西宝鸡）乙卯陛下欲发兵穷讨朝廷答应其按年给予赏赐后来等到高颎被免职后 [100] 其实燕师并未直接南下攻取齐的河北戚继光率军于上坊巢将其击破领步骑军六万以及兰河二州的外族降军进攻辽东罪莫大于绝嗣 [15] .怕老婆的戚继光敬之哉！倭寇声势浩大贞观十一年（637年）以道阻不罪再二人为狼筅手执狼筅 [55] 封万户侯又有告男生者曰：“二弟恐兄还夺其权勣乃私己

高中数学选修～课件第三章§反证法

推理不严谨，结论不成立
推理过程中存在漏洞
在使用反证法时，需要确保推理过程的严谨性。如果推理过程中存在漏洞，就可能导致结论不成立。
未能正确运用逻辑规则
在反证法中，需要正确运用逻辑规则进行推理。如果未能正确运用逻辑规则，就可能导致推理结果出现错误。
05 练习题与拓展思考
针对性练习题
证明
若$a,b,c in mathbb{R}$，且$a=b+c$，则$a,b,c$中至少有一个数不小于$frac{a}{3}$ 。
错误地否定原命题
在反证法中，需要假设原命题的否定形式成立，然后进行推理。如果错误地否定了原命题，就会导致推理方向偏离正确轨道。
未能找到矛盾点或突破口
对已知条件理解不足
在使用反证法时，需要充分利用已知条件进行推理。如果对已知条件理解不足，就可能无法找到矛盾点或突破口。
缺乏解题经验
对于一些较为复杂的题目，需要具备一定的解题经验才能找到矛盾点或突破口。如果缺乏解题经验，就可能无法有效地运用反证法。
假设$x,y$都不大于$1$，即$x leq 1, y leq 1$，则$x+y leq 2$，与已知条件 $x+y>2$矛盾，故假设不成立，原命题成立。
答案及解析
• 假设在这$99$个数中，任意三个数的和都不是$3$的倍数。考虑这$99$个数除以$3$的余数，只能为$0,1,2$。由于 $99$个数中任意三个数的和都不是$3$的倍数，故余数为 $0,1,2$的数应各出现$33$次。但在这$99$个连续自然数中，必有一个数能被$3$整除，即余数为$0$的数至少有$34$ 个，与假设矛盾，故原命题成立。
高中数学选修～课件第三章§反证法
汇报人：XX 20XX-01-30

高中数学反证法

2.2.2 反证法
复习引入
思考：
将9个球分别染成红色或者白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的. 你能证明这个结论吗？
新课不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0，则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设 ( A. a≠b≠c≠0 B. abc≠0 C. a≠0，b≠0，c≠0 D. a≠0或b≠0或c≠0 )
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0，则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设 ( D A. a≠b≠c≠0 B. abc≠0 C. a≠0，b≠0，c≠0 D. a≠0或b≠0或c≠0 )
课堂练习
2. 在△ABC中，若∠C是直角，则
∠B 一定是锐角.
3. 求证： 2 ， 3 ， 5 不可能成等差数列.
课堂练习
4. 已知a，b，c均为实数，且
a x 2y
2

2
，b y 2 z
2

3
，
6 求证：a，b，c中至少有一个大于0.
c z 2x
2

.
课堂小结
1.“反证法”的解题步骤： (1)提出反设（否定结论）； (2)推出矛盾（与已知、假设、定义、定理、公理、事实矛盾，这是关键的一步）； (3)否定假设，肯定结论.
2.反证法一般应用于证明“结论含有否定词、至多、至少、唯一性”的问题.
课后作业
《学案》与《习案》.
例题讲解
例1. 已知a 0，证明x的方程ax b
有且只有一个根 .

4.反证法

4.反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。

法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非A ”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。

再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。

所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。

即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。

应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。

实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

反证法

在△BCD 与△CBE 中，BD＝CE，BC＝CB，CD＜BE，故即
∠CBD＜∠BCE，
1 1 ∠ABC＜ ∠ACB， 2 2
于是∠ABC＜∠ACB，AB＞AC，与假设 AB＜AC 相矛盾，故 AB＜AC 是不可能的．同理可证 AB＞AC 也是不可能的．从而，AB＝AC．该问题是非常出名的， 100 多年来，这道习题的证明层出不穷． 20 世纪 80 年代美国《数学教师》杂志提出征解，结果收到了从美国、加拿大、丹麦、以色列、埃塞俄比亚和罗马尼亚寄来的 2 000 多封信，共提出 80 多种证法．不仅如此，人们更深入到它的孪生问题：如果一个三角形的两个角的外角平分线（简称外分角线）相等，那么这个三角形是否为等腰三角形？利用代数方法，数学家们证明了如下的结论：两外分角线相等且第三角为该三角形的最大内角或最小内角时，此三角形是等腰三角形．同学们可以在课下试一下！
探究６：
圆内两条非直径的弦不可能互相平分。
例８. 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数，那么新数与原数的和有可能等于 999 吗？解析：我们把原数记为 abc ，新数记为 a1b1c1 。根据题意，原数的三个数字 a，b，c，适当交换顺序后，就变成 a1 ， b1 ， c1 。因此 a+b+c= a1 + b1 + c1 从而 a+b+c 与 a1 + b1 + c1 的奇偶性相同。
| f ( x2 ) f ( x1 ) || x2 x1 | ，求证： | f ( x2 ) f ( x1 11, 1111, , 1111 中没有完全平方数。五．已知： x, y, z 为实数，且 xy xz yz 1 。求证： x y z xyz 一定不成立。六．要把 1600 颗花生分给 100 只猴子，不管怎么分，至少有 4 只猴子得到的花生一样多，试证明以上结论．

反证法-精品文档

导出与已知条件、公理、定义相矛盾的结果
否定结论，假设命题
推理矛盾，肯定结论
通过推理出现自相矛盾的情况
矛盾的出现证明了原命题结论的正确性
用反证法证明命题时，矛盾的出现是关键
反证法的应用举例
证明几何中“三角形内角和等于180度”
通过推理得出三角形内角和大于180度或小于180度
假设三角形内角和不等于180度
反证法与其他证明方法的比较
05
反证法的发展趋势和前景
反证法作为数学证明中的重要方法，其理论体系在不断完善，包括对证明条件的深入探讨、对反证法在不同数学分支中的应用等。
理论体系的完善
随着计算机科学的发展，反证法的算法化与自动化成为了研究热点，旨在通过计算机程序实现数学证明的自动化与辅助化。
算法化与自动化
证明一个算法的时间复杂度为O(n)
在离散数学中的应用
04
反证法的局限性和注意事项
反证法不适用于否定性命题
反证法是一种通过证明命题的否定不成立来证明原命题成立的方法，因此对于否定性命题的反证法往往无法奏效。
反证法的局限性
反证法不适用于存在性命题
对于存在性命题，反证法同样存在局限性，因为要证明一个存在性命题成立，需要构造一个具体的实例或对象，而这在某些情况下可能是非常困难的。
03
证明一个函数可导
假设一个函数不可导，推导出矛盾结论，从而证明该函数可导。
在高等数学中的应用
01
证明函数的极限存在
假设函数的极限不存在，推导出矛盾结论，从而证明函数的极限存在。
02
证明数列的极限存在
假设数列的极限不存在，推导出矛盾结论，从而证明数列的极限存在。
证明一个图是连通的
证明一个集合是有限的

初二数学反证法

整数的性质
通过假设整数不具有某种性质，如假设一个整数不是质数，然后推导出矛盾来证明该整数是质数。
同余定理
在证明同余定理时，可以通过假设两个整数不同余来推导矛盾。
唯一分解定理
通过假设一个整数不能被唯一分解为质因数的乘积来推导矛盾，从而证明唯一分解定理。
04
反证法的优缺点分析
优点：简化问题、明确方向
可能引入额外条件
在使用反证法时，我们需要假设反面命题成立，并推导出矛盾。然而，这个假设可能会引入额外的条件或限制，使得证明过程变得复杂或困难。
不易掌握
反证法需要一定的逻辑思维和推理能力，对于初学者来说可能较难掌握。同时，使用反证法时需要注意一些细节和技巧，否则可能会导致证明过程出现错误。
05
作用
反证法在数学证明中具有重要作用，尤其对于一些难以直接证明的结论，可以通过反证法间接证明其成立。同时，反证法还可以培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力。
适用范围及重要性
适用范围
反证法适用于各种数学领域，如代数、几何、数论等。在解决一些复杂问题时，反证法往往能够简化问题，提供新的解题思路。
重要性
初二数学反证法
汇报人：XX
目录
• 引言 • 反证法的基本步骤 • 初二数学中常见反证法应用 • 反证法的优缺点分析 • 反证法与直接证明法的比较 • 练习题与解析
01
引言
反证法的定义和作用
定义
反证法是一种数学证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结论，从而证明所要证明的结论成立。
代数证明中的反证法
01
02
03
方程的解
通过假设某个数不是方程的解，然后代入方程得到矛盾，从而证明该数是方程的解。

反证法

4.证明一个集合有无穷多个元素： ①用反证法。即证明如果它是有限的，则会存在矛盾； ②与另外一个无穷集合建立映射，这时加进来的已知无穷集合作为引理出现。
证明质数有无穷多个，欧几里得的证明就是反证法。
依据
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
范例
证明：素数有无数个。这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德（Euclid Alexandra，生活在亚历山大城，约前330～约前 275，是古希腊最享有盛名的数学家）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是此时，令,那么所有的显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N>.无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无数个素数！证明：是无理数。假设命题不真，则为有理数，设，即最简分数的形式。则，所以为偶数，则为偶数，可表示为则
感谢观看
反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
ห้องสมุดไป่ตู้
定义
反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。
（2）结论的反面常常不止一种情形，则需反设后，分别就各种情况归谬，做到无一遗漏。

24.2.1反证法(教案)

然而，我也发现了一些需要改进的地方。在重点难点解析部分，尽管我已经尽量用简单的语言和丰富的例子进行讲解，但仍有部分学生对逆向思维的运用和矛盾结论的识别感到困惑。在今后的教学中，我需要针对这些难点进行更多的练习和讲解，以提高学生的掌握程度。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对讨论主题不够感兴趣或者对反证法的理解还不够深入。针对这一问题，我计划在接下来的教学中，尝试引入更多有趣的讨论主题，激发学生的兴趣，并关注每一个学生的参与情况，鼓励他们积极发言。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握反证法这一概念。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我发现学生们对于这种与生活紧密相关的引入方式很感兴趣，这也为后续的教学奠定了良好的基础。
在理论介绍环节，我注意到有些学生在理解反证法的定义和步骤时显得有些吃力。于是，我及时调整了教学方法，通过举例和图示来帮助他们更好地理解。同时，在讲解过程中，我尽量使用简洁明了的语言，避免过多的专业术语，使学生们更容易消化吸收。
举例：对于一些直接证明较困难的问题，可以引导学生尝试使用反证法，而对于一些简单问题，则可以直接证明。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《反证法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明某个事实或观点，但却难以直接证明的情况？”（如：证明“世界上没有绝对的圆”）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反证法的奥秘。
举例：假设一个数既不是偶数也不是奇数，推导出与已知条件矛盾，从而得出所有数都是偶数或奇数的结论。
（3）反证法的应用：学会在实际问题中运用反证法，解决数学问题。

反证法

发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没外出旅游. 他是如何推断该命题的正确性的?
在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子.
分享我的收获
我的快乐！
布置作业:
4.4 反证法
反证法定义:
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立,
从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的,
即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
相信自己行，你就行！
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于６０°
Ｃ
例:
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. l3 l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
Ａ
求证： பைடு நூலகம்Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度证明
Ｂ
假设所求证的结论不成立，即＜＜＜ ∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０° 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜１８０度三角形的内角和等于１８０° 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾不成立所以假设命题＿＿＿＿＿＿，所以，所求证的结论成立．

反证法学案

反证法(1)反证法的定义是什么？有什么特点？(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？1．反证法的定义及证题的关键[点睛]对反证法概念的理解(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．用反证法证明否定性命题[典例] 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．当点B 在W 上且不是W 的顶点时，求证：四边形OABC 不可能为菱形．[证明] 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2，设AC 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为－14k. 因为k ·⎝⎛⎭⎪⎫－14k≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以四边形OABC 不可能是菱形．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤用反证法证明“至多”“至少”问题，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，⇒－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．[一题多变]1．[变条件，变设问]将本例改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围．解：若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4(3－4a )＜0，(a －1)2－4a 2＜0，4a 2＋8a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，即－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)．2．[变条件，变设问]将本例条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a 2≥0，(2a )2＋4×2a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a －3≥0，3a 2＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－32或a ≥12，－1≤a ≤13，a ≤－2或a ≥0.即a ∈∅.所以实数a 的取值范围为实数R.3．[变条件，变设问]已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1， ∴ac ＋bd ＋bc ＋ad ＝1.而ac ＋bd ＋bc ＋ad ＞ac ＋bd ＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．用反证法证明唯一性命题[典例] 设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a .证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．[证明]因为a>1，所以f(0)＝1－a<0，f(ln a)＝(1＋ln2a)e ln a－a＝a ln2a>0，所以f(0)·f(ln a)<0，由零点存在性定理可知f(x)在(0，ln a)内存在零点．假设至少有2个零点，则f(x)在(－∞，＋∞)上不单调．由已知得f′(x)＝(1＋x2)′e x＋(1＋x2)(e x)′＝(1＋x)2e x≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，矛盾，∴假设不成立，则f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．。