等差等比数列的证明例举

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等差等比数列的证明例举

等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。

一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比）（2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+．求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。

等差等比数列的判断

等差、等比数列的判断1．利用定义证明一个数列成等差或等比数列例1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,n S 是41与2)1(+n a 的等比中项（1）证明：数列{}nS 是等差数列；（2）若nn n a b 2=，数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n ；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧λ++2n n a T 为等比数列？若存在，试求出λ，若不存在说明理由（答案：（1）12-=n a n ；（2）n n n T 2323+-=；（3）3-=λ）例2．两个数列{}n a 、{}n b 满足nna a a a b n n ++++++++=ΛΛ32132321，证明当数列{}n a 是等差数列时{}n b 成等差数列；当{}n b 是等差数列时{}n a 也成等差数列。

例3．设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式函数，数列{}n a 中，,81=a 前n 项和为n S ，对于任意的正整数n ，)(n f S a k n n =+都成立。

⑴ 若0=k ，求证：数列{}n a 是等比数列；⑵ 试确定所有的自然数k ，使得数列{}n a 能成等差数列。

（答案：（1）略；（2）2,1=k ）练习提高：已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c nn n ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

2．探索成等差、等比数列的条件例4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*)(221N n S a n n ∈+=+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在1+n n a a 与之间插入n 个数，使这n +2个数组成一个公差为n d 的等差数列① 求证：161511121<+++n d d d Λ； ②在数列{}n d 中是否存在三项p k m d d d p k m ,,(,,成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由。

等差数列和等比数列的证明问题 -高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题05等差数列和等比数列的证明问题【典例1】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+.（1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由.【思路引导】（1）由递推关系求得1a ，通过计算1121n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列.【典例2】已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且22213,2n n n S n a S n -=+≥．（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列.（2）求{}n a 的前n 项和n S .【思路引导】（1）先化简已知得21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，再求出1=6n 3n n a a +++，再证明数列{}1n n a a ++为等差数列；（2）对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解.【典例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.【思路引导】(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果．【典例4】已知数列{}n a 满足11a =，且1131n n n n a a a a ++-=+.（1）证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路引导】(1)由1131n n n n a a a a ++-=+，利用定义能证明11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，从而求出21na n =-；(2)由1221nn n n b n a -==⋅+，利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和.【典例5】在正项数列{}n a 中，已知11121n n n n a a a a a ++=-=+,且22nn a b =-.（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）设{}n b 的前n 项和为n S ，证明：123111134n S S S S +++⋯+<.【思路引导】(1)由题设条件证明数列{}2n a 是等差数列，并得出数列{}2n a 的通项公式，进而得出21n b n =+，再由等差数列的定义证明即可；(2)由等差数列的前n 项和公式得出n S ，再由裂项求和法证明不等式.【典例6】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n =．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【思路引导】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用nn a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =；（2）利用条件可以得到121n na a n n+=+，从而可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得12n na n-=，从而求得12n n a n -=⋅.【典例7】一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P-和1n P -表示n P ；(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．【思路引导】(1)在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出2P .棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点,②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.(2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--可证.(3)该游戏获胜的概率,即求99P ，由（2）用累加法可求解.1.在数列{}n a 中，有()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N .（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）记11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.已知数列{}n a 中，11a =且()*12621n n a a n n N +=+-∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．3.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n n S a n =-，*n ∈N .（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）若()2log 1n nb a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .4.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，112b =，1122n n n a a b +=+，1122n n nb a b +=+.（1）证明：数列{}n n a b +，{}n n a b -为等比数列；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：103n S <.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+.（1）证明：数列{}23n a n --是等比数列；（2）设2n n b n a =-，证明：1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<.6.设*n N ∈，向量(31,3)AB n =+ ，(0,32)BC n =-，na AB AC =⋅ .（1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .7.已知数列{}n a 满足13a =，()1211n n a a n n n n +=+++.（1）证明：数列{}n na 为等差数列；（2）设()()122n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S .8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S S +=+，n *∈N .（1）证明：数列{}1n S +为等比数列；（2）已知曲线()22:191n n C x a y +-=若n C 为椭圆，求n 的值；（3）若33log 22n n n a a b ⎛⎫⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9.已知数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，1232a a a +=，且对任意的n ∈N*，n≥2都有1112(25)n n n nS n S S ra +--++=．（1）若1a ≠0，213a a =，求r 的值；（2）数列｛n a ｝能否是等比数列？说明理由；（3）当r ＝1时，求证：数列｛n a ｝是等差数列．10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比22340,22,2q S a S a >=-=-.数列{}n b 满足()2*2114,(1)n n a b nb n b n n n N +=-+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（3）设数列{}n c 的通项公式为：24n nn n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，其前n 项和为n T ，求2n T .11.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．参考答案【典例1】解：（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =，由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21nn a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2nn n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列.【典例2】解：（1）当2n ≥时，22221113()()3,0n n n n n n n n n S n a S S S S S n a a ---=+-+=≠，所以21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，两式对应相减得13(21)n n a a n ++=+，所以11)63(63)6n n n n a a a a n n +-=+-++-=）-(（又n=2时，2222(3+)129,6a a a =+∴=所以39a =，所以2231)69(6+3)6a a a a ++=+-=（）-(，所以数列{}1n n a a ++为等差数列.（2）当n 为偶数时，12341()()()3(37(21))n n n S a a a a a a n -=++++++=+++- 2(321)323()22nn n n +-=⋅=+当n 为奇数时，1231()()n n n S a a a a a -=+++++21(521)3233(59(21))33(2)322n n n n n -+-=++++-=+=+-+ ()23n n 2=+综上：()23S n n 2n =+【典例3】解：(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b +=，111a b -=，所以1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=+=--+++-，即()1112n n nn a b ab ++++=，所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，(112n n n a b -+=，因为()11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ++---=+-=-+-，所以112n n n n a b a b ++=-+-，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n a b n -=-．(2)由(1)可知，(112n n n a b -+=，21n n a b n -=-，所以()111222nn nn n n a ab a b n =++-=+-，()111222nn n n n n b a b a b n 轾=+--=-+臌．【典例4】解：（1）因为1131n n n n a a a a ++-=+，所以113n n n a a a +-=+，两边都加上1，得()12113n n n a a a +++=+，所以111211112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n na a +-=++，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，且首项是11112a =+，所以112n n a =+，即21n a n=-.（2）因为1221nn n n b n a -==⋅+，所以数列{}n b 的前n 项和1211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，①则12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，②由①－②，得()121111212122121n n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=--，所以()121nn S n =-⋅+.【典例5】解：（1）∵112n n n na a a a ++-=+∴2212n n a a +-=，∴数列{}2n a 是公差为2的等差数列.∵11a =∴()2211121n a a n ==+-，，∴221n a n =-，∴22n n a b =-，∴22n n b a =+，∴21n b n =+，∴()123211n n b b n n +-=+-+=，∴数列{}n b 是等差数列.（2）由（1）可得∴()()32122n n n S n n ++==+，∴111122n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴1231111n S S S S ++++…，11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (1111311131221242124)n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.【典例6】解：（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅．【典例7】解：(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =．棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=．棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -．故211122n n n P P P --=+．(2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--．又因为1012P P -=-，所以1{}(1,2,,100)n n P P n --= 是首项为12-，公比为12-的等比数列．(3)由(2)知，11111222n nn n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+ 99981111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭．1.【思路引导】（1）由前n 项和与通项关系，求出{}n a 的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法，即可求解.解：（1）因为()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N，所以当2n ≥时，212312((11))n a a a a n n -+++⋯+=--+，上述两式相减并整理，得21(2)n a n n =+≥.又因为1n =时，211213a =+⨯=，适合上式，所以()*21n a n n =+∈N .从而得到121n an -=-，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，且其通项公式为()*12n N a n n +∈=.（2）由（1）可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭.所以12311111111123557792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11123233(23)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.2.【思路引导】（1）根据递推公式可得111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a +++++-++===+++,即可证明；（2）由（1）1322n n na =⨯-,进而利用分组法求得数列的和即可解：（1）证明：∵()12621N*n n a a n n +=+-∈,∴1132n n a a n +=+-,∴111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n a a a +++++-++===+++,11131222a +=+= ,∴2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,首项为32,公比为3（2）解：由（1）得,13133222n n n n a -+=⨯=⨯,∴1322n n na =⨯-,123n n S a a a a =++++……()()12311333312322n n =++++-++++…………()()()23133311112132244n n n n n n --++=-=--12334n n n +---=3.【思路引导】（1）利用1n n n a S S -=-可得121n n a a -=+，再证明111n n a a -++是定值即可；（2）将1n a +代入()2log 1n n b a =+，然后利用裂项相消法求和.解：（1）由题可知2n n S a n =-，①当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；当2n ≥时，()1121n n S a n --=--，②①－②并整理，得121n n a a -=+，所以()1121n n a a -+=+，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知()22log 1log 2nn n b a n =+==，则()1111111n n b b n n n n +==-++，所以12233411111n n n T b b b b b b b b +=+++⋅⋅⋅+111111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+1n n =+.4.【思路引导】（1）将题中条件分别相加和相减，结合等比数列的定义，即可得证．（2）根据（1）结论可求出1344n nn a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则前n 项和n S 为两个等比数列的前n 项和之和，代入公式，即可求解．解：（1）依题：11122122n n n n n n a a b b a b++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相加得：()1134n n n n a b a b +++=+，∴{}n n a b +为等比数列，两式相减得：()1114n n n n a b a b ++-=-，∴{}n n a b -为等比数列.（2）由上可得：13324n n n a b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，11124n n n a b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭②，两式相加得：1344nnn a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133114444131144n n n S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--1310441331144<+=--.5.【思路引导】（1）由已知当2n ≥时，可得11221n n n n S n S a a --=--+=，整理为[]12322(1)3n n a n a n ---=---，根据等比数列的定义，即可证明结论；（2）由（1）求出n a ，进而求出323nn b =⨯-，根据()111232321nn n b =≤⨯-(1n =取等号），要证1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立，转化为证等比数列12{}32n ⨯前n 项和小于或等于23，即可证明结论.解：（1）当2n ≥时，由221122(1)n n n n S a n S a n --⎧=+⎨=+-⎩1221n n a a n -⇒=-+[]12322(1)3n n a n a n -⇒--=---，令1n =1121S a ⇒=+11a ⇒=-，则12360,230n a a n --=-≠∴--≠，12322(1)3n n a n a n ---=---故{}23n a n --为等比数列；（2）由（1）得1236232n n n a n ---=-⋅=-⨯，2332n n a n =+-⨯，323n n b =⨯-，()111232321n n n b =≤⨯-111(132n n -=⨯=时，取等号），所以原式01111322n -⎡⎤≤⨯+⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦111211312n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⨯-2121323n ⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立.6.【思路引导】(1)先求解出AC的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出{}n a 的通项公式，再根据定义判断{}1n n a a +-是否为等差数列；(2)根据(1)中结果求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后根据裂项相消法求解出n S 的表达式.解：（1）(31,31)AC AB BC n n =+=++，2(31)3(31)(31)(34)n a n n n n ∴=+++=++.1(34)(37)(31)(34)6(34)n n a a n n n n n +-=++-++=+ ，()()21118n n n n a a a a +++∴---=为常数，{}1n n a a +∴-是等差数列.（2）111133134n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111111347710313434341216n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ .7.【思路引导】（1）在等式()1211n n a a n n n n +=+++两边同时乘以()1n n +，结合等差数列的定义可证明出数列{}n na 为等差数列；（2）结合（1）中的结论求出数列{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式，然后利用裂项求和法求出数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）由()1211n n a a n n n n +=+++得()112n n n a na ++-=，又13a =，所以数列{}n na 首项为3，公差为2的等差数列；（2）由（1）得，()32121n na n n =+-=+，所以2112n n a n n+==+.所以11222n a n n ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以1121n a n +-=-+，所以()()()11112211n n n b a a n n n n +=--==-++，所以1111111111112233445111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.8.【思路引导】（1）利用{}n S 的递推公式证明出111n n S S +++为非零常数，即可得出结论；（2）利用（1）中的结论求出n S ，由n a 与n S 之间的关系求出n a ，结合题意得出190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，可求出n 的值；（3）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出n T .解：（1）对任意的n *∈N ，132n n S S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31n n S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩，n N *∈ ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，②①-②得()()012111312312333333132n n n nnnn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=- ，因此，()21314n nn T -⋅+=.9.【思路引导】（1）令2n =，得到321149S S S ra -+=，再将和用项来表示，再结合条件，求得结果；（2）假设其为等比数列，利用21112a a q a q +=，结合10a ≠，得到关于q 的方程，求解得出2q =或1q =-，将其回代检验得出答案；（3）将r ＝1代入上式，类比着写出()()1114213n n n S n a a ra n --=---≥，两式相减得到()()112233n n n na a n a n +-+=+≥，进一步凑成()1124n n n n a a a a n ----=-≥，结合322112a a a a a -=-=，从而证得数列{}n a 是以1a 为首项，21a 为公差的等差数列.解：（1）令n ＝2，得：321149S S S ra -+=，即：()()321211149a a a a a a ra ++-++=，化简，得：3211454a a a ra --=，因为，1232a a a +=，213a a =，所以，111145534a a a ra ⨯-⨯-=，解得：r ＝1.（2）假设{}n a 是等比数列，公比为q ，则21112a a q a q +=，且10a ≠，解得2q =或1q =-，由()111225n n n nS n S S ra +--++=，可得()11422n n n S na a ra n +=--≥，所以()()1114213n n n S n a a ra n --=---≥，两式相减，整理得()11223n n n na a n a +-+=+，两边同除以1n a -，可得()2231n q q q -=-，因为1q ≠，所以20q q -≠，所以上式不可能对任意3n ≥恒成立，故{}n a 不可能是等比数列.（3）1r =时，令2n =，整理得1231454a a a ra --+=，又由1232a a a +=可知21313,5a a a a ==，令3n =，可得4321611S S S a -+=，解得417a a =，由（2）可知()11422n n n S na a a n -=--≥，所以()()1114213n n n S n a a a n --=---≥，两式相减，整理得()()112233n n n na a n a n +-+=+≥，所以()()()2121214n n n n a a n a n ---+=+≥，两式相减，可得()()()()()()1111224n n n n n n n n n a a a a a a a a n +-------=---≥，因为()()43320a a a a ---=，所以()()()11204n n n n a a a a n ------=≥，即()1124n n n n a a a a n ----=-≥，又因为322112a a a a a -=-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，21a 为公差的等差数列.10.【思路引导】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可确定数列的通项公式；(2)由题意结合递推关系证明1n 1n b b n n +-+为定值即可证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(3)首项求得212n n n p c c -=+的表达式，然后结合通项公式的特点错位相减即可确定数列{}n c 的前n 项和n T .解：（1）∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比22340,22,2q S a S a >=-=-.∴3422a a a =-，可得()2222a q a q =-，∴220q q --=，解得2q =.∴12222a a a +=-，即121222a a a =-=-，解得12a =.∴2n n a =.（2）证明：∵214a b =，∴11b =∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴*1n 1,1n b b n N n n +-=∈+，综上，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111b =，公差是1的等差数列.∵n b n n =，∴2n b n =.（3）令22122221212(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n n p c c n n -----⋅⋅=+=-+=-⋅=-⋅012123474114(41)4n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⋅123243474114(41)4nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⋅01231233444444444(41)4n n n T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⋅--⋅,()12161433(41)414n nn T n -⨯--=+--⋅-2164334(41)433n nn T n -=-+⨯--⋅277123433n n n T --=-+⋅27127499n n n T -=+⋅.11.【思路引导】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .解：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i ii i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.。

等差数列与等比数列的通项公式

2等差数列与等比数列的通项公式例1、已知3()3x f x x =+，数列{}n a 满足11()(1,0)n n a f a n a -=>≠。

（1）求证：1{}n a 是等差数列；（2）若114a =，求40a 的值。

例2、数列{}n a 的前n 项和212()2n S n n n N *=-∈，数列{}n b 满足1()n n na b n N a *+=∈。

（1）判断数列 {}n a 是否为等差数列，并证明你的结论；（2）求{}n b 中最大项和最小项。

例3、公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知1122631,,a b a b a b ====；（1）求{}n a 的公差d 和{}n b 的公比q ；（2）是否存在实数,m k ，使对一切正整数n ，log n m n a b k =+能成立？说明理由。

例4、设数列{}n a 满足111(2,)2n n a a n n N *-=+≥∈且11a =；（1）求常数λ使11()2n n a a λλ--=-；（2）求数列{}n a 的通项公式。

例5、已知数列{}n a 中135a =，1112(2,)n n n a a a n n N *--+=≥∈，数列{}n b 满足1()1n n b n N a *=∈-。

（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大项与最小项，并说明理由。

例6、（1）设数列{}n a 中，11a =且11()(1)n n a a n N n n *+=+∈+，求通项公式n a ；（2）设正数数列{}n a 中，11a =且2211(1)0()n n n n n a na a a n N *+++-+=∈，求通项公式n a ；练习：1、首项为24-的等差数列{}n a 从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围为；2、若数列{}n a 满足111,2()()n n n a a a a n N *+==+∈，则它的通项公式n a = ；3、在共有2005项的等差数列{}n a 中，有等式13520052420041003()()a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=成立，类比上述性质，相应地，在共有2005项的等比数列{}n b 中，有等式成立；4、若等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410():()a a a a a a ++++= ； 5、等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a += ；6、411,,242x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成等比数列是lg ,lg(2),lg(21)x x x ++成等差数列的条件。

等差等比数列的证明ppt课件

等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n，证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）

证明或判断等差(等比)数列常用方法

证明或判断等差(等比)数列常用方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义在数列{}n a 中，若1n n a a d--=（d 为常数）或1nn a q a -=（q 为常数），则数列{}na 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11214nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数，记2111234n n b a n -=-=，，，，…．（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）21321111144228a a a a a a =+=+==+，；（Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以541132416a a a ==+，所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，猜想：{}n b 是公比为12的等比数列．证明如下：因为121221111111()424242n n n n n b a a a b n *++-⎛⎫=-=-=-=∈ ⎪⎝⎭N ，所以{}n b 是首项为14a -，公比为12的等比数列．评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

例2．（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125()n n S S n n *+=++∈N （Ⅰ）证明数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）略．解：由已知*125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+，当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+，又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．故总有112(1)n n a a n *++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而1121n n a a ++=+．所以数列{1}n a +是等比数列．评析：这是常见题型，由依照含n S 的式子再类似写出含1n S -的式子，得到1n n a pa q +=+的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项n a 的表达式，则较繁．注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a q a -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．二．运用等差或等比中项性质212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ⇔是等比数列，这是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种主要方法．例3．（2005江苏卷）设数列{}n a 的前项为n S ，已知1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A B ，为常数．（1）求A 与B 的值；（2）证明数列{}n a 为等差数列；（3）略．解：（1）由1231611a a a ===，，，得1231718S S S ===，，．把12n =，分别代入 1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，解得，20A =-，8B =-．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即11582208n n n na S S n ++--=--，①又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-．②②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-，即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．④④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=，∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=，又215a a -=，因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．评析：此题对考生要求较高，通过挖掘n S 的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．例4．（高考题改编）正数数列{}n a 和{}n b 满足：对任意自然数1n n n n a b a +，，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列．证明：数列为等差数列．证明：依题意，1002n n n n n a b b a a +>>=+，，，且1n a +=，2)n a n ∴=≥．2n b ∴=由此可得=2)n =≥．∴数列为等差数列．评析：本题依据条件得到n a 与n b 的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决．三．运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k =时命题成立”到“1n k =+时命题成立”要会过渡．例5．(2004全国高考题)数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知11a =，12(1,2,)n n n a S n n ++==．证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列．证明：由11a =，12(1,2,)n n n a S n n++==，知211213,1a S a +==214222S a ==，111S =，猜测n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列．下面用数学归纳法证明：令n n Sb n=.(1)当2n =时，212b b =，成立．(2)当3n =时，312332132(13)12,42S a a a b b =++=+++===，成立．假设n k =时命题成立，即12k k b b -=．那么当1n k =+时，111222111k kk k k k k k k S S S S a k b S b k k k k++++++=====+++，命题成立．综上知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列．例6．（2005浙江卷）设点1(0)(2)n n n n n A x P x -，，，和抛物线2:()n n n C y x a x b n *=++∈N ，其中11242n n a n -=---，n x 由以下方法得到：11x =，点22(2)P x ，在抛物线2111:C y x a x b =++上，点11(0)A x ，到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距离，，点11(2)n n n P x ++，在抛物线2:n n n C y x a x b =++上，点(0)n n A x ，到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．（1）求2x 及1C 的方程．（2）证明{}n x 是等差数列．解：（I ）由题意得：2111(1,0),:7A C y x x b =-+．设点(,)P x y 是1C上任意一点，则1||A P ==令2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+- 由题意：'2()0,f x =即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-=又22(,2)P x 在1C 上，222127,x x b ∴=-+解得：213,14.x b ==，故1C 方程为2714.y x x =-+(II)设点(,)P x y 是n C 上任意一点，则||n A P = 令222()()()n n n g x x x x a x b =-+++，则'2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++．由题意得g 1'()0n x +=，即211112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++= 又2112,n n n n n x a x b ++=++11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= （*）下面用数学归纳法证明21n x n =- ①当1n =时，11,x = 等式成立．②假设当n k =时，等式成立，即21,k x k =- 则当1n k =+时，由（*）知 110(12)2k k k k k x x a ++=+-+ 又11242,k k a k -=--- 1122 1.12k k kk k x a x k ++-∴==++ 即当1n k =+时，等式成立．由①②知，等式对n N ∈成立．{}n x ∴是等差数列．评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前n 项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反而不好作．四．反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：例7．（2000年全国高考（理））设{}{}n n a b ，是公比不相等的两等比数列，n n n c a b =+．证明数列{}n c 不是等比数列．证明：设{}{}n n a b ，的公比分别为p q ，，p q ≠，n n n c a b =+，为证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠．事实上，2222222111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++ 2222222213113311111111()()()()()c c a b a b a b a p b q a p b q a b p q =++=++=+++222p q p q pq ≠+>，，又11a b ，不为零，2213c c c ∴≠，故{}n c 不是等比数列．评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证{}n c 不是等比数列，只要由特殊项（如2213c c c ≠）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性?．五．看通项与前n 项和法若数列通项n a 能表示成n a an b =+（a b ，为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列；若通项n a 能表示成n n a cq =(c q ，均为不为0的常数，n +∈N )的形式，则数列{}n a 是等比数列．若数列{}n a 的前n 项和S n 能表示成2n S an bn =+ (a ，b 为常数)的形式，则数列{}n a 等差数列；若S n 能表示成n n S Aq A =-(A q ，均为不等于0的常数且q ≠1)的形式，则数列{}n a 是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．例8．(2001年全国题)若S n 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n =,则{}n a 是( ). Ａ．等比数列，但不是等差数列Ｂ.等差数列，但不是等比数列Ｃ．等差数列，而且也是等比数列Ｄ.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B ，大大节约了时间，同时大大提高了命中率．六．熟记一些常规结论，有助于解题若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则（1）数列{}n a {}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列；（2）若{}n b 是公比为q '的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq '的等比数列；（3）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列；（4）{}n a 是公比为q 的等比数列；（5）在数列{}n a 中，每隔()k k *∈N 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为1k q +；（6）11212{}{}{}{}n n n n n n a a a a a a ++-+-，，，，123456789{}a a a a a a a a a ++++++，，，，等都是等比数列；（7）若()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等比数列；（8）232n n n n n S S S S S --，，均不为零时，则232n n n n n S S S S S --，，成等比数列；（9）若{log }b n a 是一个等差数列，则正项数列{}n a 是一个等比数列．若数列{}n a 是公差为d 等差数列，则（1）{}n ka b +成等差数列，公差为kd （其中0k k b ≠，，是实常数）；（2）(1){}n k kn S S +-，（k k ∈N ，为常数），仍成等差数列，其公差为2k d ；（3）若{}{}n n a b ，都是等差数列，公差分别为12d d ，，则{}n n a b ±是等差数列，公差为12d d ±；（4）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时，数列{lg }n a 是公差为lg q 的等差数列；（5）()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等差数列．例9．（96年全国高考题）等差数列{}n a 的前n 项和为30，前2n 项和为100则它的前3n 项和为（）Ａ．130 Ｂ．170Ｃ．210Ｄ．260解：由上面的性质得：232n n n n n S S S S S --，，成等比数列，故2322()()n n n n n S S S S S -=+-，32(10030)30(100)n S ∴-=-， 3210n S ∴=．故选Ｃ．评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试．记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率．从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到底用何种方法，一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法，但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方法．。

等差数列与等比数列的证明

3.2.3 证明数列是等差、等比数列证明一个数列是等差数列或者等比数列是高考的常考题型，是近几年出现的高频考点。

证明一个数列是等差数列的方法有（1）定义法：1()n n a a d n N ++-=∈，其中d 为常数；则数列}{n a 是等差数列（2）等差中项法：112(2)n n n a a a n -+=+≥，则数列}{n a 是等差数列；（3）通项公式法：若一个数列的通项公式为n a qn p =+，其中,p q 则数列}{n a 是等差数列。

证明一个数列是等比数列的方法：（1）定义法：1(0)n na q q a +=≠其中q 为常数，则数列}{n a 为等比数列（2）定比中项法：211n n n a a a +-=(2)n ≥，则数列}{n a 为等比数列。

例1、数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+.（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.解：2122n n n a a a ++=-+Q ，2112n n n n a a a a +++∴-=-+，即112,2n n n n b b b b ++=+∴-=1211b a a =-=，1(1)221n b n n ∴=+-⨯=-（2）1213221,1,3n n n a a b n a a a a +-==-∴-=-=Q 1...23n n a a n --=- 21(1)n a a n ∴-=-，222n a n n ∴=-+例2、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，111,0,1,n n n n a a a a S λ+=≠=-其中λ为常数（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得}{n a 为等差并说明理由解：1121(1)1,(2)1n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-Q ，(2)(1)∴-得：121()n n n n a a a a λ+++-=0n a ≠Q 2n n a a λ+∴-=（2）112121,1,1a a a S a λλ==-∴=-Q 31a λ=+Q ，令2132a a a =+，4λ∴= 由（1）可知：2n n a a λ+∴-=，}{21n a -∴是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-}{2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-，121,2n n n a n a a +∴=--=∴存在4λ=，使得数列}{n a 为等差数列例3设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知121,2,a a ==且2133n n n a S S ++=-+，n N +∈（1）证明：23n n a a +=；解：2133,(1)n n n a S S ++=-+Q 当2n ≥时，2133,(2)n n n a S S +-=-+(1)(2)-得：2113n n n n a a a a +++-=-，2(2)n n a a n +∴=≥ 123121121,2,333()3a a a S S a a a ===-+=-++Q ，23n n a a +∴=（n N +∈）设等差数列}{n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上，（1）证明：数列}{n b 为等比数列解：(,)n n a b Q 在函数()2x f x =的图象上，2n a n b ∴=，112n a n b ++=，1122n n a a d n nb b +-+== ∴数列}{n b 为等比数列。

等差、等比数列证明的几种情况

例：已知数列前n 项和n s n n 22+=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。

解：1=n 时，32111=+==s a ；2≥n 时，()()[]1212221-+--+=-=-n n n n s s a n n n12+=n因为1=n 时，31121=+⨯=a所以12+=n a n因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。

2、数列的通项经过适当的变形后的证明例：设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。

（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设nn n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列；证明：（1）2≥n 时11144-++-=-=n n n n n a a S S a ，()11222-+-=-∴n n n n a a a a ，12-=∴n n b b又3232112121=+=-=-=a a S a a b{}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。

（2）,232,23111-+-⨯=-∴⨯=n n n n n a a b(),432321221221111111=⨯⨯=-=-=-∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又21211==a c ，{}n c ∴是首项为21，公差为43的等差数列。

3、证明一个数列的部分是等差（等比）数列例3：设数列{}n a 的前n 项的和()+∈++=N n n n S n ,422，⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ；⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。

解：⑴由n s 与n a 的关系 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 得到 74121211=+⨯+==S a5742222122=-+⨯+=-=S S a()75743232233=+-+⨯+=-=S S a⑵当2≥n 时，()()()[]12412142221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立，从而数列 432,,a a a 是等差数列。

数列—等差、等比的证明

数列—等差、等比的证明第一篇：数列—等差、等比的证明等差、等比数列的证明1．数列{a327*n}的前n项和为Sn=2n+2n（n∈N）．（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足：an=log2bn，证明：数列{bn}是等比数列．2．已知数列{a*n}的前n项和为Sn=4an-3(n∈N)，证明：数列{an}是等比数列．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列⎧⎨an⎫⎩2n⎬⎭为等差数列；（Ⅱ）证明：数列{an+1-2an}为等比数列．4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：Sn=2a2n+n-4n（n∈N*），证明：数列{an-2n+1}为等比数列．5．（2008北京文20）数列{an}满足：a1=1，a-λ)a*n+1=(n2+nn，（n∈N）λ是常数．（Ⅰ）当a2=-1时，求λ及a3的值；（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列? 若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；6．设函数f(x)=x2+m，m∈R，定义数列{an}如下：a1=0，an+1=f(an)（n∈N*）．（Ⅰ）当m=1时，求a2,a3,a4的值；（Ⅱ）是否存在实数m，使a2,a3,a4构成公差不为0的等差数列? 若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．6．（2008湖北21）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，a2n+1=an+n-4，bnn=(-1)(an-3n+21)，其中λ为实数，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，证明你的结论．7．（2010安徽20）设数列{an}中的每一项都不为0．证明：数列{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N*，都有111na+a+⋅⋅⋅+=a． 1a22a3anan+11an+18．（2011北京文、理20）若数列An:a1,a2,⋅⋅⋅,an(n≥2)满足ak+1-ak=1(k=1,2,⋅⋅⋅,n-1)，则称An为E数列．（Ⅰ）写出一个E数列A5满足a1=a3=0；（Ⅱ）若a1=12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011．第二篇：数列等差证明2010江西理数数列等差证明2010江西理数2010江西理数）22.（本小题满分14分）证明以下命题：（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an，bn，cn成等差数列。

数列专题4：证明等差等比数列

(文（1）理（2）)若数列an 唯一，求a的值；（文）（2）是否存在两个等比数列an , bn , 的等差数列？若存在，求 an , bn 的通项公式；若不存在，说明理由。使得b1 a1，b2 a2 , b3 a3 , b4 a4成公差不为0
（2011四川理）设d 为非零实数， 1 1 2 n n an C n d 2C n d 2 ( n 1)C n 1d n1 nC n d n n ( n N * ). (1)写出a1 , a2 , a3并判断 an 是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设b n ndan ( n N * ), 求数列bn 的前n项和S n .
n
(1)求a3 , a4 , a5的值；（2）设c n a2 n1 a2 n 1 , n N * , 证明：cn 是等比数列 a2 k , k N * , Sk 7 证明： ( n N * ). a 6 k 1 k
3 1 例：数列an 中，a1 , an 2 ( n 2, n N ), 5 an 1 1 数列bn 满足bn = （n N ). an -1
(1)求证：数列bn 是等差数列；（2）求 an 中的最大项与最小项，并说明理由。
例：已知各项全不为零的数列an 的前n项和Sn， n(1 an ) Sn = , n N . 2 (1)求证：数列an 为等差数列。
变式训练 1 设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和，且满足 b1＝1， 1 2bn 2＝1 (n≥2)．证明：数列是等差数列，并求 bnSn－Sn Sn 数列{bn}的通项公式． 2bn 证明由已知 2＝1 (n≥2)， bnSn－Sn

高考数列基本题型六证明等差与等比数列

高考数列基本题型六.证明等差与等比数列1.（2022年全国甲卷）记S n为数列{a n}的前n项和．已知2S n n+n=2a n+1．(1)证明：{a n}是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．【解答】解：(1)因为2S n n+n=2a n+1，即2S n+n2=2na n+n①，当n≥2时，2S n−1+(n−1)2=2(n−1)a n−1+(n−1)②，①−②得，2S n+n2−2S n−1−(n−1)2=2na n+n−2(n−1)a n−1−(n−1)，即2a n+2n−1=2na n−2(n−1)a n−1+1，即2(n−1)a n−2(n−1)a n−1=2(n−1)，所以a n−a n−1=1，n≥2且n∈N∗，所以{a n}是以1为公差的等差数列．(2)由（1）可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，即(a1+6)2=(a1+3)⋅(a1+8)，解得a1=−12，所以a n=n−13，所以S n=−12n+n(n−1)2=12n2−252n=12�n−252�2−6258，所以，当n=12或n=13时(S n)min=−78．2．（2019•新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n ﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：∵4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4；∴4（a n+1+b n+1）＝2（a n+b n），4（a n+1﹣b n+1）＝4（a n﹣b n）+8；即a n+1+b n+1=12（a n+b n），a n+1﹣b n+1＝a n﹣b n+2；又a1+b1＝1，a1﹣b1＝1，∴{a n+b n}是首项为1，公比为12的等比数列，{a n﹣b n}是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：a n+b n＝（12）n﹣1，a n﹣b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；∴a n＝（12）n+n−12，b n＝（12）n﹣n+12．3．（2018•新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n=aa nn nn．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：aa nn+1nn+1aa nn nn=2（常数），由于bb nn=aa nn nn，故：bb nn+1bb nn=2，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：bb nn=bb1⋅2nn−1=2nn−1，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于bb nn+1bb nn=2（常数）；所以：数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．（3）由（1）得：bb nn=2nn−1，根据bb nn=aa nn nn，所以：aa nn=nn⋅2nn−1．4．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2SS nn+1bb nn=2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：当n＝1时，b1＝S1，由2bb1+1bb1=2，解得b1=32，当n≥2时，bb nn bb nn−1=S n，代入2SS nn+1bb nn=2，消去S n，可得2bb nn−1bb nn+1bb nn=2，所以b n﹣b n﹣1=12，所以{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由题意，得a1＝S1＝b1=32，由（1），可得b n=32+（n﹣1）×12=nn+22，由2SS nn+1bb nn=2，可得S n=nn+2nn+1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=nn+2nn+1−nn+1nn=−1nn(nn+1)，显然a1不满足该式，所以a n=�32，nn=1−1nn(nn+1)，nn≥2．5．（2021•甲卷）已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{�SS nn}是等差数列；③a2＝3a1．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解答】解：选择①③为条件，②结论．证明过程如下：由题意可得：a2＝a1+d＝3a1，∴d＝2a1，数列的前n项和：SS nn=nnaa1+nn(nn−1)2dd=nnaa1+nn(nn−1)2×2aa1=nn2aa1，故�SS nn−�SS nn−1=nn√aa1−(nn−1)√aa1=√aa1（n≥2），据此可得数列{�SS nn}是等差数列．选择①②为条件，③结论：设数列{a n}的公差为d，则：�SS1=√aa1，�SS2=�aa1+(aa1+dd)=�2aa1+dd，�SS3=�aa1+(aa1+dd)+(aa1+2dd)=�3(aa1+dd)，数列{�SS nn}为等差数列，则：�SS1+�SS3=2�SS2，即：(√aa1+�3(aa1+dd))2=(2�2aa1+dd)2，整理可得：d＝2a1，∴a2＝a1+d＝3a1．选择③②为条件，①结论：由题意可得：S2＝a1+a2＝4a1，∴�SS2=2√aa1，则数列{�SS nn}的公差为dd=�SS2−�SS1=√aa1，通项公式为：�SS nn=�SS1+(nn−1)dd=nn√aa1，据此可得，当n≥2时，aa nn=SS nn−SS nn−1=nn2aa1−(nn−1)2aa1=(2nn−1)aa1，当n＝1时上式也成立，故数列的通项公式为：a n＝（2n﹣1）a1，由a n+1﹣a n＝[2（n+1）﹣1]a1﹣（2n﹣1）a1＝2a1，可知数列{a n}是等差数列．6．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1=aa3qq2=−8qq2，a2=aa3qq=−8qq，由a1+a2＝2，−8qq2+−8qq=2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n=aa1(1−qq nn)1−qq=−2[1−(−2)nn]1−(−2)=−13[2+（﹣2）n+1]，则S n+1=−13[2+（﹣2）n+2]，S n+2=−13[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2=−13[2+（﹣2）n+2]−13[2+（﹣2）n+3]=−13[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，=−13[4+2（﹣2）n+1]＝2×[−13（2+（﹣2）n+1）]＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．7．（2022年北京）已知Q:a1,a2,⋯,a k为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1,2,⋯,m}，在Q中存在a i,a i+1,a i+2,⋯,a i+j(j≥0)，使得a i+a i+1+a i+2+⋯+a i+j=n，则称Q为m−连续可表数列．(1)判断Q:2,1,4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；(2)若Q:a1,a2,⋯,a k为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若Q:a1,a2,⋯,a k为20−连续可表数列，且a1+a2+⋯+a k<20，求证：k≥7．【解答】解：(1)a2=1，a1=2，a1+a2=3，a3=4，a2+a3=5，所以Q是5−连续可表数列；易知，不存在i,j使得a i+a i+1+⋯+a i+j=6，所以Q不是6−连续可表数列．(2)若k≤3,设为Q:a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c，6个数字，没有8个，矛盾；当k=4时,数列Q:1,4,1,2，满足a1=1，a4=2，a3+a4=3，a2=4，a1+a2=5，a1+a2+ a3=6，a2+a3+a4=7，a1+a2+a3+a4=8，∴k min=4．(3)Q:a1,a2,⋯,a k，若i=j最多有k种，若i≠j，最多有C k2种，所以最多有k+C k2=k(k+1)2种，若k≤5，则a1,a2,…,a k至多可表5(5+1)2=15个数，矛盾,从而若k<7,则k=6，a,b,c,d,e,f至多可表6(6+1)2=21个数，而a+b+c+d+e+f<20，所以其中有负的，从而a,b,c,d,e,f可表1~20及那个负数（恰21个），这表明a~f中仅一个负的，没有0，且这个负的在a~f中绝对值最小，同时a~f中没有两数相同,设那个负数为−m(m≥1)，则所有数之和≥m+1+m+2+⋯+m+5−m=4m+15，4m+15≤19⇒m=1，∴{a,b,c,d,e,f}={−1,2,3,4,5,6}，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，∵1=−1+2（仅一种方式），∴−1与2相邻，若−1不在两端,则"x , -1 , 2 , __,__,__"形式，若x=6，则5=6+(−1)（有2种结果相同，方式矛盾），∴x≠6，同理x≠5,4,3，故−1在一端，不妨为"−1 ,2, A, B, C, D"形式，若A=3,则5=2+3（有2种结果相同，矛盾），A=4同理不行，A=5，则6=−1+2+5（有2种结果相同，矛盾），从而A=6，由于7=−1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能−1,2,6,3,5,4，①或−1,2,6,4,5,3，②这2种情形，对①：9=6+3=5+4，矛盾，对②：8=2+6=5+3，也矛盾，综上k≠6∴k≥7．。

等差等比数列的证明

（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m , 成等差
Sn与项an的关系：
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
等差、等比数列的证明一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n，证明数列an 成等差数列，并求其首项、
公差、通项公式
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
设Sn是数列an的前n项和，且a1= -1
an+1

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a q a -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。

证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。

证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d =0时，显然命题成立当d ≠0时， ∵111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭再证充分性：∵122334111a a a a a a ++⋅⋅⋅1111n n n na a a a ++++=⋅⋅ ………① ∴122334111a a a a a a ++⋅⋅⋅11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++=⋅⋅⋅ ………② ②﹣①得：12121111n n n n n na a a a a a +++++=-⋅⋅⋅两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是)(,2)(*1N n a a n S n n ∈+=。

等差数列等比数列的判断与证明

2022年高考数学总复习：等差数列等比数列的判断与证明例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n .其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ. [解析] (1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0且λ≠1得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ(λλ－1)n －1. (2)由(1)得S n ＝1－(λ1－λ)n .由S 5＝3132得1－(λλ－1)5＝3132，即(λλ－1)5＝132.解得λ＝－1. 『规律总结』判断和证明数列是等差(比)数列的方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n (或a n ＋1a n)为与正整数n 无关的一常数． (2)构造法：通过对含有a n ，a n －1的式子的整体变形，如取倒数，两边加减常数等方法，构造出要证数列的第n 项与第n －1项的关系，从而证明等差(比)数列 .(3)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列；②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等比数列．G 跟踪训练en zong xun lian(2017·全国卷Ⅰ，17)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．[解析] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23 ＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．。

通项公式、前n项与、等差等比判断证明的求法精品小结强烈推荐

数列通项公式、求和、判断或证明的常见方法A 数列通项公式的求法一、等差数列公式、等比数列公式例1、（2011辽宁理）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩ 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-例2.（2011重庆理）设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式解：I ）设q为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q =所以{}n a 的通项为1*222().n n na n N -=⋅=∈ （2）定义法：先形成等差或等比，再代入公式例3首项为公差为的等差数列(1)n =+-，23n a n =例4 解：10,3,n a a --===1132(3),1,n n n a a a a ++=+=-=132,3n n a a ++=+是以首项为2公差为2的等差数列，二、形如()ns f n =若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。

一般先求出a1=S1，若计算出的na 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。

例5、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。

解：011==s a ，当2≥n 时12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n由于1a 不适合于此等式。

∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n三累加法形如)(1n f a a n n +=+：例6、已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。

等比与等差例题

【例1】已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．[ ]A ．是等比数列B ．当p ≠0时是等比数列C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列分析由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10(p 1)p 2n n 1⇔--=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪--()()p p p p p n 212 但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．说明数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a nn -1【例2】已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)=q2n(1+2n)2==+q n n n ()212【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公12式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)a =a q q =5252-∴－12∴＝＝－＝∵·＝··＝a a q 4()()(2)a a a a a a a =8n 2n 2n 2n 4354234543----1212 ∴a 4＝2又＝＝∴a a a a a a a a a a =a =322635423456452【例4】已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求证…＜．x x x a b n n122+证明设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1∴∴……＜q b ax x x aqaq aq aqab a b n n n nnn ++====+1122122【例5】设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列∴a b b c c d== ∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2)＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边证毕．证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2 ＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2 ＝(a －d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子．证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．(a a )x 2a (a a )x a a =0(a a )a 2a (a a )a a a =0a 122222132232122242213422324∴上述方程的判别式Δ≥0，即[2a (a a )]4(a a )(a a )=4(a a a )0(a a a )02132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤又∵a 1、a 2、a 3为实数∴－≥必有－即(a a a )0a a a =0a =a a 2213222132213因而a 1、a 2、a 3成等比数列又∵a =2a 42()()()a a a a a a a a a a a a 1312222131213212++=++= ∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比．【例8】若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等比数列，求b 的值．解设a 、b 、c 分别为b －d 、b 、b ＋d ，由已知b －d ＋1、b 、b ＋d 与b －d 、b 、b ＋d ＋2都成等比数列，有b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)22－＋＋①－＋＋②⎧⎨⎪⎩⎪整理，得b =b d b db =b d 2b 2d222222－＋＋－＋－⎧⎨⎪⎩⎪ ∴b ＋d=2b －2d 即b=3d 代入①，得9d 2=(3d －d ＋1)(3d ＋d) 9d 2=(2d ＋1)·4d 解之，得d=4或d=0(舍) ∴b=12【例9】已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d ，又知d ≠1，且a 4=b 4，a 10=b 10：(1)求a 1与d 的值； (2)b 16是不是{a n }中的项？思路：运用通项公式列方程解 (1)a =b a =b 3d =a da 9d =a da (1d )=3d a (1d )=9d 4410101131191319由＋＋－－－－⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪a ⇒⇒==-=-==-d d 2=063＋－舍或∴d d a d d 1231331222()(2)∵b 16=b 1·d 15=－32b 1且＋·－－∴a =a 3d =22=b b =b d =2b =22b =a =2413441313113- ∴b 16=－32b 1=－32a 1，如果b 16是{a n }中的第k 项，则－32a 1=a 1＋(k －1)d∴(k －1)d=－33a 1=33d∴k=34即b 16是{a n }中的第34项．【例10】 {a }b =(12)b b b =218b b b =18n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．解设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d∴·b =(12)b b =(12)(12)=(12)b n a 13a a +2d 2(a +d)221111+-()n d1由，解得，解得，代入已知条件整理得＋b b b =18b =18b =12b b b =18b b =14b b =1781232321231313b b b 123218++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解这个方程组，得b =2b =18b =18b =21313，或， ∴a 1=－1，d=2或a 1=3，d=－2∴当a 1=－1，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=2n －3 当a 1=3，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=5－2n【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)⇒aq 2=4a ＋②①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509解法二按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)⇒8b d =162－①b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509解法三任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列得：①a =a a 2213a 1，a 2＋4，a 3成等差数列得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪ 说明将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq简化计算过程的作用．【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数由已知条件可推得：()a d a+2方法二设后三个数为b ，bq ，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2b －bq ．方法三设第一个数与第二个数分别为x ，y ，则第三、第四个数依次为12－y ，16－x ．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一 a d a a d 设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()a d a+2依题意，有－＋＋＋a d =16a (a d)=12()a d a+⎧⎨⎪⎩⎪2解方程组得：或－a =4d =4a =9d =61122⎧⎨⎩⎧⎨⎩ 所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二设后三个数为：b ，bq ，bq 2，则第一个数为：2b －bq依题意有：－＋＋2b bq bq =16b bq =122⎧⎨⎩解方程组得：或b =4q =2 b =9q =131122⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x ．依题意有＋－·－－x (12y)=2yy (16x)=(12y)2⎧⎨⎩ 解方程组得：或x =0y =4x =15y =91122⎧⎨⎩⎧⎨⎩ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．解设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由已知，b －d ＋b ＋b ＋d=126 ∴b=42这三个数可写成42－d ，42，42＋d ．再设另三个数为a ，aq ，aq 2．由题设，得a 42d =85ap 42=76aq 42d =842＋－＋＋＋⎧⎨⎪⎩⎪ 整理，得－①②＋③a d =43aq =34aq d =422⎧⎨⎪⎩⎪ 解这个方程组，得 a 1=17或a 2=68当a=17时，q=2，d=－26当时，，a =68q =12d =25从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．【例14】已知在数列{a n }中，a 1、a 2、a 3成等差数列，a 2、a 3、a 4成等比数列，a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列，证明：a 1、a 3、a 5成等比数列．证明由已知，有 2a 2=a 1＋a 3①a =a a 3224·②③211435a a a =+由③，得·由①，得代入②，得··a =2a a a +a a =a +a 2a =a +a 243535213321323535a a a a +整理，得a =a (a +a )a +a 351235即 a 3(a 3＋a 5)=a 5(a 1＋a 3)a a a =a a a a a =a a 323515353215＋＋∴·所以a 1、a 3、a 5成等比数列．【例15】已知(b －c)log m x ＋(c －a)log m y ＋(a －b)log m z=0．(1)设a ，b ，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x ，y ，z 成等比数列．(2)设正数x ，y ，z 依次成等比数列，且公比不为1，求证：a ，b ，c 成等差数列．证明 (1)∵a ，b ，c 成等差数列，且公差d ≠0 ∴b －c=a －b=－d ，c －a=2d代入已知条件，得：－d(log m x －2log m y ＋log m z)=0 ∴log m x ＋log m z=2log m y∴y 2=xz∵x ，y ，z 均为正数∴x ，y ，z 成等比数列(2)∵x ，y ，z 成等比数列且公比q ≠1∴y=xq ，z=xq 2代入已知条件得：(b －c)log m x ＋(c －a)log m xq ＋(a －b)log m xq 2=0变形、整理得：(c ＋a －2b)log m q=0∵q ≠1 ∴log m q ≠0∴c ＋a －2b=0 即2b=a ＋c即a ，b ，c 成等差数列【例1】在100以内有多少个能被7个整除的自然数？解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98．代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有98＝7＋(n －1)·7解得n ＝14答 100以内有14个能被7整除的自然数．【例2】在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列．解设这五个数组成的等差数列为{a n }由已知：a 1＝－1，a 5＝7∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2所求数列为：－1，1，3，5，7．【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间12插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．解 d =312 (5) d =d =34原数列的公差－＝，所以新数列的公差′，期通项为--3212a n n n n =-+-=--534134234234()即 a =34n 【例4】在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？解设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N令，则＝－＝为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ⇒-433m 得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)．则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3 ∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．【例5】三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．解设三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ．则－＋＋＋－＋＋＋(x d)x (x d)=15(x d)x (x d)=83222⎧⎨⎩解得x ＝5，d ＝±2∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3说明注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．【例6】已知a 、b 、c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列．证 ∵a 、b 、c 成等差数列∴2b=a ＋c∴(b ＋c)＋(a ＋b)＝a ＋2b ＋c＝a ＋(a ＋c)＋c＝2(a ＋c)∴b ＋c 、c ＋a 、a ＋b 成等差数列．说明如果a 、b 、c 成等差数列，常化成2b ＝a ＋c 的形式去运用；反之，如果求证a 、b 、c 成等差数列，常改证2b=a ＋c ．本例的意图即在让读者体会这一点．【例7】 a b a b 若、、成等差数列，且≠，求证：、、、不111a b cc 可能是等差数列．分析直接证明a 、b 、c 不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．证假设a 、b 、c 是等差数列，则2b=a ＋c又∵、、成等差数列，∴，即＝＋．111211a b c b a c=+2ac b(a c) ∴2ac ＝b(a ＋c)=2b 2，b 2＝ac ．又∵ a 、b 、c 不为0，∴ a 、b 、c 为等比数列，又∴ a 、b 、c 为等差数列，∴ a 、b 、c 为常数列，与a ≠b 矛盾，∴ 假设是错误的．∴ a 、b 、c 不可能成等差数列．【例8】解答下列各题：(1)已知等差数列{a n }，a n ≠0，公差d ≠0，求证：①对任意k ∈N ，关于x 的方程a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0有一公共根；②若方程的另一根为，求证数列是等差数列；在△中，已知三边、、成等差数列，求证：、、也成等差数列．x (2)ABC a b c k {}cot cot cot 11222+x A B C k分析与解答(1)a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0∵{a n }为等差数列，∴2a k+1＝a k ＋a k+2∴a k x 2＋(a k ＋a k+2)x ＋a k+2＝0∴(a k x ＋a k+2)(x ＋1)=0，a k ≠0∴＝－或＝－x 1x k a a x a a a a a a d k k k k kk k k k ++++=-=-=-22211112 ∵{a n }为等差数列，d 为不等于零的常数∴方程有一公共根－，数列是等差数列1{}11+x k(2)由条件得 2b=a ＋c∴4RsinB ＝2RsinA ＋2RsinC ，2sinB ＝sinA ＋sinC∴∵＋＋＝π∴∴4sinB 2cos B 2=2sin A +C 2cos A C 2A B C sin A +C 2=cos B 22sin B 2=cos A 2--C 分析至此，变形目标需明确，即要证2cot B 2=cot A 2cot C 2＋由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有cot cot cos sin cos sin sin sin sin sin (cos cos )()cos sin sin cot A C A A C C A C A C A C A C A C B B B B 222222222212222222222+=+=+=+-+--=--=将条件代入 ∴、、成等差数列．cot A 2cot B 2cot C 2【例9】若正数a 1，a 2，a 3，…a n+1成等差数列，求证：1111223111a a a a a a n a a n n n ++++++=+-+… 分析11111a a a a a a a a d n n n n n n n n +=--=--++++ 证明设该数列的公差为d ，则a 1－a 2=a 2－a 3＝…＝a n －a n+1=－d ∴a 1－a n+1=－nd∴－左式…d =a =a 11---+--++--+++a n a a a a a a a a a a a n n n n n 1212232311 =--=-=+=++++a a d a a nn a a n n n n 11111111右式 ∴ 原等式成立．【例10】设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ， b b y b 234，，，均为等差数列，求．b b a a 4321-- 分析解 d =y x 51(1)=y x 52(2)可采用＝由a a m na ab b m n----------21433264 (2)(1)÷，得b b a a 432183--=。

课时10 等差、等比数列的判定与证明

课时10 等差、等比数列的判定与证明〖真题感悟〗1 (2019·全国卷Ⅱ理科·T19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n +1=3a n -b n +4,4b n +1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列. (2)求{a n }和{b n }的通项公式.【解析】(1)由题设得4(a n +1+b n +1)=2(a n +b n ),即a n +1+b n +1=12(a n +b n ).又因为a 1+b 1=1,所以{a n +b n }是首项为1,公比为12的等比数列. 由题设得4(a n +1-b n +1)=4(a n -b n )+8,即a n +1-b n +1=a n -b n +2. 又因为a 1-b 1=1,所以{a n -b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,a n +b n =12n -1,a n -b n =2n -1. 所以a n =12[(a n +b n )+(a n -b n )]=12n +n -12,b n =12[(a n +b n )-(a n -b n )]=12n -n +12.2．（2020山东二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()nn nS b n a *=∈N ．若{}n b 是公差不为 0的等差数列，且2711b b b =．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n a 是等差数列．【解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-．由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=，因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+.（2）由（1）知，1(1)2n n S n a =+，n *∈N ，即有2(1)n n S n a =+， ① 所以112(2)n n S n a ++=+， ②②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+．两边除以(1)n n +得，101n n a a n n+-=+（n *∈N ），所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列．所以111n a a a n ==，即1n a na =，所以11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列．〖典题导引〗例1 已知数列{a n }中，a 2＝94，前n 项和为S n ，且2S n ＋1－3S n ＝2a 1.(1) 求a 1的值；(2) 求证：数列{a n }为等比数列，并写出其通项公式．解析：(1) 因为2S n ＋1－3S n ＝2a 1，令n ＝1，得2S 2＝5a 1.又a 2＝94，得a 1＝32.(2) 由2S n ＋1－3S n ＝2a 1得2S n ＋2－3S n ＋1＝2a 1. 两式相减得2a n ＋2＝3a n ＋1，即a n ＋2a n ＋1＝32. 又a 2a 1＝32，a 1＝32，所以数列{a n }是以32为首项，32为公比的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫32n .例2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 11－q31－q＝13，q >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1，n ∈N *， S n ＝1×1－3n 1－3＝3n －12，n ∈N *.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，又因为(S 2＋λ)2＝(S 1＋λ)·(S 3＋λ)，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)·(λ＋13)，所以λ＝12，此时，S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3，故存在λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以S 1＋12＝32为首项，3为公比的等比数列.例3 已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .(1)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列；(2)若a m ＋2是a m ＋1和a m 的等差中项，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列吗？解析：(1)证明：由S 3，S 9，S 6成等差数列，得S 3＋S 6＝2S 9.若q ＝1，则3a 1＋6a 1＝18a 1，解得a 1＝0，这与{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1，于是有a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ＝2a 1（1－q 9）1－q ，整理得q 3＋q 6＝2q 9.因为q ≠0且q ≠1，所以q 3＝－12，a 8＝a 2q 6＝14a 2，a 5＝a 2q 3＝－12a 2，所以2a 8＝a 2＋a 5，即a 8－a 2＝a 5－a 8，故a 2，a 8，a 5成等差数列．(2)依题意，得2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ，则2a 1q m ＋1＝a 1q m ＋a 1q m －1.在等比数列{a n }中，a 1≠0，q ≠0，所以2q 2＝q ＋1，解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1. 因为a 1≠0，所以2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，此时S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．当q ＝－12时，S m ＋2＝a 1[1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2]1－⎝⎛⎭⎫－12＝2a 13[1－(－12)m ＋2]＝2a 13 [1－14×(－12)m ]， S m ＋S m ＋1＝a 1[1－⎝⎛⎭⎫－12m]1－（－12）＋a 1[1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋1]1－（－12）＝2a 13[1－(－12)m ＋1－(－12)m ＋1] ＝2a 13[2－12×(－12)m ]，所以2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.故当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列；当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．变式跟踪：1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋32.(1) 求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2) 设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2) 证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴(p ＋r 2)2＝pr ，即(p －r )2＝0，∴p ＝r .这与p ≠r 矛盾．故数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．例4（2020届浙江省金丽衢联考）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：()*21N n n n a S n n n-+∈=+. （1）求证：数列1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为等比数列；（2）求S n ，并求S n 的最大值. 【解析】（Ⅰ）因为21n n n a S n n -+=+，①，1122n n n a S n n---+=-，(2)n ≥， ② 由①-②可得，当2n ≥时，122122n n n n a a n n n n----=-+-，所以122122(1)n n n n a a n n n n --++--=-+-，所以1222122(1)n n n n a a +n n n n n n --+--=-++-，所以1222212(11)(1)(1)n n n a a +=+n n n n n n n n n -----=-+-+-整理得，1112(1)(1)n n a a n n n n-⎛⎫+=+ ⎪+-⎝⎭，所以11(1)112(1)n n a n n a n n-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+-，又11122a +=，所以1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为首项公比均为12的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得11(1)2n n a n n +=+，所以111112(1)21n n n a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭，所以1111111122231n n S n n ⎛⎫=---+-++- ⎪+⎝⎭，故有1112n n S n =-+，因为111(1)12(1)(1)2n n n n n a n n n n +⎛⎫=-=-⎪++⎝⎭，令(1)()12n n n f n +=-，则1(1)(2)(1)()2n n n f n f n ++-+-=，所以(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f <=>>，又()10f =，()40f >，()50f <，所以当5n ≥时，0n a <即1n n S S ->，当4n ≤时，0n a ≥即1n n S S -≤，因此n S 的最大值为4111151680S =-=.〖新题在线〗1.（2020南通部分学校联考）已知数列{a n }和{b n }首项均为1，且a n －1≥a n (n ≥2)，a n ＋1≥a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足2S n S n ＋1＋a n b n ＋1＝0，则S 2 020等于( ) A.2020 B. 12020 C.4039 D.14039 答案 D解析由a n －1≥a n (n ≥2)，a n ＋1≥a n 可得a n ＋1＝a n ，即数列{a n }是常数列，又数列{a n }的首项为1，所以a n ＝1，所以当S n S n ＋1≠0时，2S n S n ＋1＋a n b n ＋1＝0可化为2S n S n ＋1＋b n ＋1＝0，因为S n 为数列{b n }的前n 项和，所以2S n S n ＋1＋b n ＋1＝2S n S n ＋1＋(S n ＋1－S n )＝0，所以1S n ＋1－1S n＝2，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为公差的等差数列，又1S 1＝1b 1＝1，所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，故S n ＝12n －1，即S n S n ＋1≠0.所以S 2 020＝140392.（2020启东中学）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2（a n ﹣a ）（其中a 为常数），则下列说法正确的是（） A ．数列{a n }一定是等比数列 B ．数列{a n }可能是等差数列 C ．数列{S n }可能是等比数列D ．数列{S n }可能是等差数列【解析】S n ＝2（a n ﹣a ），当n ＞1时可得，S n ﹣1＝2（a n ﹣1﹣a ），两式相减可得，a n ＝2a n ﹣1，n ＞1，又n ＝1时，S 1＝2（a 1﹣a ）可得，a 1＝2a ，若a ＝0时，数列{a n }不是等比数列，而是等差数列，其各项都为0，和也为等差数列，当a ≠0时，数列{a n }是等比数列，不是等差数列，而非常数性等比数列的前n 项和不是等比，故选：BD ．3.（2020海门中学）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，n ∈N *.(1) 求证：数列{a n }为等比数列；(2) 判断数列{3n －a n }中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 证明：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －2)－(2a n －1－2)＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 因为a 1≠0，所以a na n －1＝2，从而数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝2n . (2)假设{3n －a n }中存在第m ，n ，k (m <n <k )项成等差数列，则2(3n －a n )＝3m －a m ＋3k －a k ，即2(3n －a n )＝3m －2m ＋3k －2k . 因为m <n <k ，且m ，n ，k ∈N *，所以n ＋1≤k .因为2(3n －a n )＝3m －2m ＋3k －2k ≥3m －2m ＋3n ＋1－2n ＋1，所以－3n ≥3m －2m ，故矛盾，所以数列{3n －a n }中不存在三项成等差数列．〖作业反馈〗1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则{a n }的通项公式是( )A . a n ＝2n －1B . a n ＝2n C . a n ＝2n －1 D . a n ＝2n －1＋1【答案】A【解析】因为a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2，所以{a n }是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝2n －1.2.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －3(n ∈N *)，则S 6＝( )A ．192B ．189C ．96D ．93 答案：B解析：因为a 1＝S 1＝2a 1－3，所以a 1＝3.又n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －3)－(2a n －1－3)，即有n ≥2时，a n ＝2a n －1，故数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，则a 6＝3×25＝96，所以S 6＝2a 6－3＝189，故选B.3.（2020前黄中学检测）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2n ＋1＝2S n＋n ＋1(n ∈N *)，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，则T n 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，12B.(0，1)C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎣⎡⎭⎫12，1 答案 D解析因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，所以a 2n ＝2S n －1＋n (n ≥2)，因此a 2n ＋1－a 2n ＝2(S n －S n －1)＋1＝2a n ＋1，即a 2n ＋1＝(a n ＋1)2，n ≥2，又数列{a n }为正项数列，所以a n ＋1＝a n ＋1，n ≥2，又a 2＝2＝a 1＋1，符合上式，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n (n ∈N *)，因此1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1，因为当n ∈N *时，T n 单调递增，故当n ＝1时，T n 取得最小值，又T 1＝12，所以12≤T n <1.4.在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m ，k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和n S 等于（） A ．()31n n - B ．(3)2n n + C ．()1n n +D ．(31)2n n + 【答案】C【解析】依题意得11n n a a a +=+，即有112n n a a a +-==，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，1(22)2n a n n =+-=，(22)1()2n S n n n n +==+，故选C ． 5.（多选）已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，公比q ＝﹣2，则（） A ．数列{2a n +a n +1}是等比数列 B ．数列{a n +1﹣a n }是等比数列C ．数列{a n a n +1}是等比数列D．数列{log2|a n|}是递减数列解析：∵等比数列{a n}中，满足a1＝1，公比q＝﹣2，∴a n＝1×（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n﹣1．由此可得2a n+a n+1＝2•（﹣2）n﹣1+（﹣2）n＝0，故A错误；a n+1﹣a n＝（﹣2）n﹣（﹣2）n ﹣1＝﹣3•（﹣2）n﹣1，故数列{a n+1﹣a n}是等比数列，故B正确；a n a n+1＝（﹣2）n﹣1（﹣2）n ＝（﹣2）2n﹣1，故数列{a n a n+1}是等比数列，故C正确；log2|a n|＝log22n﹣1＝n﹣1，故数列{log2|a n|}是递增数，故D错误，故选：BC．6.（多选）若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n+1，（n∈N*），则下列说法正确的是（）A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63C．数列{a n}是等比数列D．数列{S n+1}是等比数列【解答】∵S n＝2a n+1，（n∈N*），∴①当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n+1﹣2a n﹣1﹣1，∴2a n﹣1＝a n，∴a na n−1=2，∴数列{a n}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故选项C正确，∴a n=−2n−1，S n=−(1−2n)1−2=1−2n,∴a5=−24=−16，S5=−(1−25)1−2=−31，故选项A正确，选项B错误，又∵S n+1=2−2n，∴数列{S n+1}不是等比数列，故选项D错误，故选：AC．7.已知在正项数列{a n}中，a1＝1，a2＝2,2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n≥2)，则a6=。