北京市燕山区2015-2016学年新人教版数学九年级上学期期末考试试题(含解析)
2015—2016学年第一学期初三期末质量检测数学试卷附答案
2015—2016学年第一学期初三期末质量检测数学试卷考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，29道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一.选择题（共有10个小题，每小题3分，共30分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1.我市南水北调配套工程建设进展顺利，工程运行调度有序.截止2015年12月底，已累计接收南水北调来水812000000立方米.使1100余万市民喝上了南水；通过―存水‖增加了约550公顷水面，密云水库蓄水量稳定在10亿立方米左右,有效减缓了地下水位下降速率. 将812000000用科学记数法表示应为 A ．812×106 B ．81.2×107 C ．8.12×108 D ．8.12×1092. 实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大是A ．aB ．bC ．cD ．d3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．若AD ＝2，DB ＝4，则AEAC的值为 A ．12B ．13C ．14D ．164. 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1：2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为A ．1：2B ． 2：1C ．1：4D ．4：1 5. 二次函数y =（x ﹣1）2+2的最小值为（ ）A ．1B ． -1C ．2D ．-2 6. 将抛物线2=-y x 向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为A ．2y=-(x+2) B ．2y=-(x-2) C ．2y=-x -2 D ．2y=-x +2 7. 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA 的值为（ ） A ．34B ． 43C ． 35D ． 458. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB 的长为–3–2–1012345–4c b a d 2题图EDCB A 3题图B A O骨柄长的34长：243cm宽：21cm 青铜展馆A ．43米B ．65米C ．125米D ． 24米9. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ACO =45°，则∠B 的度数为（ ）A.30°B. 35°C. 40°D. 45°10.小刚在实践课上要做一个如图1所示的折扇，折扇扇面的宽度AB 是骨柄长OA 的34，折扇张开的角度为120°.小刚现要在如图2所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为243cm,宽为21cm.小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘贴时的损耗，此时扇面的宽度AB 为（ ）A ． 21cmB ．20 cmC ．19cmD ． 18cm二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.4的平方根是 .12.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-1230211x x 的正整数解是 .13.如图，tan ∠ABC= .14.写出一个抛物线开口向上，与y 轴交于（0，2）点的函数表达式 .15. 已知⊙O 的半径2，则其内接正三角形的面积为 .16. 学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感.首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米.建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼.椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息. 明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了.整个建筑宏大壮13题图CB A30︒10题图1 10题图2观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）.明明想了想，算了算，对旁边的文文说：―我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7米左右.‖ 文文反问：―你猜想的理由是什么‖？明明说：―我的理由是‖. 明明又说：―不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度,我想用学到的知识, 我要带等测量工具‖.三、解答题（本题共72分，第17—25题，每小题5分，第26题8分，第27题6分，第28题6分，第29题7分）17.计算：2012(3)3cos602π---+--︒.18.已知0362=--xx，求代数式()()311)3(2+-+--xxxx的值．19.已知如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，求DC的长.20.如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=xk的图象相交于A，B两点，点B的坐标为（2m，-m）．（1）求出m值并确定反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．21.已知如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=105°，AC=32，求AB的长．22.已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接A C．若∠A=22.5°，CD=8cm，求⊙O的半径．23.如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，求旗杆CD的高度.（结果精确到0.1米.参考数据：sin32°= 0.53，cos32°= 0.85，tan32°= 0.62）19题图20题图21题图22题图24. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE 垂直于PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ． （1）求证：AB =BE ；（2）若PA =2，cosB =，求⊙O 半径的长．25.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边），设AB=xm ．（1）若花园的面积为192m 2，求x 的值；（2）若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求x 取何值时，花园面积S 最大，并求出花园面积S 的最大值．26.在―解直角三角形‖一章我们学习到―锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数，统称为锐角三角函数‖ .小力根据学习函数的经验，对锐角的正弦函数进行了探究. 下面是小力的探究过程，请补充完成：(1)函数的定义是：―一般地，在一个变化的过程中，有两个变量x 和y ，对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一确定的值和它对应，我们就把x 称为自变量，y 称为因变量，y 是x 的函数‖.由函数定义可知，锐角的正弦函数的自变量是 ，因变量是 ，自变量的取值范围是___________.(2)利用描点法画函数的图象. 小力先上网查到了整锐角的正弦值，如下：sin1°=0.01745240643728351 sin2°=0.03489949670250097 sin3°=0.05233595624294383 sin4°=0.0697564737441253 sin5°=0.08715574274765816 sin6°=0.10452846326765346 sin7°=0.12186934340514747 sin8°=0.13917310096006544 sin9°=0.15643446504023087 sin10°=0.17364817766693033 sin11°=0.1908089953765448 sin12°=0.20791169081775931 sin13°=0.22495105434386497 sin14°=0.24192189559966773 sin15°=0.25881904510252074 sin16°=0.27563735581699916 sin17°=0.2923717047227367 sin18°=0.3090169943749474 sin19°=0.3255681544571567 sin20°=0.3420201433256687 sin21°=0.35836794954530027 sin22°=0.374606593415912 sin23°=0.3907311284892737 sin24°=0.40673664307580015 sin25°=0.42261826174069944 sin26°=0.4383711467890774 sin27°=0.45399049973954675 sin28°=0.4694715627858908 sin29°=0.48480962024633706 sin30°=0.5000000000000000 sin31°=0.5150380749100542 sin32°=0.5299192642332049 sin33°=0.544639035015027 sin34°=0.5591929034707468 sin35°=0.573576436351046 sin36°=0.5877852522924731 sin37°=0.6018150231520483 sin38°=0.6156614753256583 sin39°=0.629320391049837523题图24题图xyOyxO–112345–1–2–3–4–512345sin40°=0.6427876096865392 sin41°=0.6560590289905073 sin42°=0.6691306063588582 sin43°=0.6819983600624985 sin44°=0.6946583704589972 sin45°=0.7071067811865475 sin46°=0.7193398003386511 sin47°=0.7313537016191705 sin48°=0.7431448254773941 sin49°=0.7547095802227719 sin50°=0.766044443118978 sin51°=0.7771459614569708 sin52°=0.7880107536067219 sin53°=0.7986355100472928 sin54°=0.8090169943749474 sin55°=0.8191520442889918 sin56°=0.8290375725550417 sin57°=0.8386705679454239 sin58°=0.848048096156426 sin59°=0.8571673007021122 sin60°=0.8660254037844386 sin61°=0.8746197071393957 sin62°=0.8829475928589269 sin63°=0.8910065241883678 sin64°=0.898794046299167 sin65°=0.9063077870366499 sin66°=0.9135454576426009 sin67°=0.9205048534524404 sin68°=0.9271838545667873 sin69°=0.9335804264972017 sin70°=0.9396926207859083 sin71°=0.9455185755993167 sin72°=0.9510565162951535 sin73°=0.9563047559630354 sin74°=0.9612616959383189 sin75°=0.9659258262890683 sin76°=0.9702957262759965 sin77°=0.9743700647852352 sin78°=0.9781476007338057 sin79°=0.981627183447664 sin80°=0.984807753012208 sin81°=0.9876883405951378 sin82°=0.9902680687415704 sin83°=0.992546151641322 sin84°=0.9945218953682733 sin85°=0.9961946980917455 sin86°=0.9975640502598242 sin87°=0.9986295347545738sin88°=0.9993908270190958 sin89°=0.9998476951563913 ①列表（小力选取了10对数值）;x … …y … …②建立平面直角坐标系（两坐标轴可视数值需要分别选取不同长度做为单位长度）; ③描点.在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点； ④连线. 根据描出的点，画出该函数的图象;(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质： .27.已知：抛物线3bx x y 21++=与x 轴分别交于点A（-3，0），B （m ，0）.将y 1向右平移4个单位得到y 2.(1)求b 的值；(2)求抛物线y 2的表达式；（点(3)抛物线y 2与y 轴交于点D ，与x 轴交于点E 、F E 在点F 的左侧），记抛物线在D 、F 之间的部分为图象G （包含D 、F 两点），若直线1-+=k kx y 与图象G 有一个公共点，请结合函数图象，求直线1-+=k kx y 与抛物线y 2的对称轴交点的纵坐标t 的值或取值范围.28. 如图1，点O 在线段AB 上，AO=2，OB=1，OC 为射线，且∠BOC=60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒. （1）当t=21秒时，则OP= ，S △ABP = ；（2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；（3）如图2，当AP=AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP=∠B ，求证：AQ·BP=3.为了证明AQ·BP=3，小华同学尝试过O 点作OE ∥AP 交BP 于点E.试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ·BP=3．29.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （2-，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C . （1）求抛物线的表达式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使2:5S P BQ CBK =△△：S ，求K 点坐标.2015—2016学年度第一学期期末初三质量检测28题图 128题备用图28题图2数学试卷答案及评分标准一、选择题（每小题有且只有一个选项是正确的，请把正确的选项前的序号填在相应的表格内. 本题共有10个小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.2±. 12. 1,2. 13.33.14. a>0,c=2,答案不唯一. 15. 3. 16. 黄金分割,解直角三角形(答案不唯一)，测角仪、皮尺(答案不唯一).三、解答题（本题共72分，第17—25题，每小题5分，第26题8分，第27题6分，第28题6分，第29题7分） 17.解：原式=11113422-+-⨯ ……………………………………………………4分 =2 ………………………………………………………………………5分 18.解：()()311)3(2+-+--x x x x=222613x x x --++ ……………………………………………………2分 =26x 4x -+． …………………………………………………………………3分 ∵0362=--x x ， ∴263x x -=，∴原式=3+4=7. ………………………………………………………………… 5分 19.解：∵∠C=∠E ，∠ADC=∠BDE ，△ADC ∽△BDE ，………………………………………………… 2分 ∴BDAD DE DC =, 又∵AD ：DE=3：5，AE=8， ∴AD=3，DE=5，…………………………………………………………………… 3分∵BD=4，……………………………………………………………………………… 4分 ∴435DC =, 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C A B C C D C B D D∴DC=415.……………………………………………………………………………… 5分 20.解：（1）∵据题意，点B 的坐标为（2m ，-m ）且在一次函数y1=﹣x +2的图象上，代入得-m=-2m+2.∴m=2. ……………………………………………………… 1分 ∴B 点坐标为（4，-2）………………………………………… 2分 把B （4，﹣2）代入y 2=xk得k =4×（﹣2）=﹣8， ∴反比例函数表达式为y 2=﹣x8；…………………………………………………… 3分 （2）当x ＜4，y 2的取值范围为y 2＞0或y 2＜﹣2．……………………………… 5分 21.解：在△ABC 中，∠A=30°，∠C=105°∴∠B=45°，…………………………………………………… 1分 过C 作CD ⊥AB 于D ， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∵∠B=45°， ∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD ，…………………………………………………… 2分 ∵∠A=30°，AC=23，∴CD=3，…………………………………………………… 3分 ∴BD=CD=3，由勾股定理得：AD=22CD AC =3，…………………………………………………… 4分 ∴AB=AD+BD=3+3．…………………………………………………… 5分 22.解：连接OC ，………………………… 1分 ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CE =DE =CD =4cm ，………………………… 2分∵∠A =22.5°，∴∠COE =45°，………………………… 3分∴△COE 为等腰直角三角形，………………………… 4分 ∴OC =2CE =42cm ，………………………… 5分23.解：过点B 作CD BE ⊥，垂足为E （如图），……………………………… 1分 在Rt △DEB 中，∠DEB= 90，22AC BE ==（米），BEDEtan32=……………………………… 2分 13.640.6222BEtan32DE =⨯≈=∴ （米）……………………………… 3分5.1==AB EC ……………………………… 4分15.115.1413.641.5ED CE CD ≈=+=+=∴（米）……………………… 5分答：旗杆CD 的高度为15.1米．24.解：（1）证明：连接OD ，……………………… 1分 ∵PD 切⊙O 于点D ，……………………… 2分 ∴OD ⊥PD ， ∵BE ⊥PC ， ∴OD ∥BE ， ∴∠ADO=∠E ，∵OA=OD ， ∴∠OAD=∠ADO ， ∴∠OAD=∠E ，∴AB=BE ；……………………… 3分 （2）解：有（1）知，OD ∥BE ， ∴∠POD=∠B ，……………………… 4分 ∴cos ∠POD=cosB=， 在Rt △POD 中，cos ∠POD=53=OP OD ， ∵OD=OA ，PO=PA+OA=2+OA ，xy–1–2–3–4123456–1–2–3–412345DFO∴53=+OA 2OA ,∴OA=3，∴⊙O 半径为3．……………………… 5分 25.解：（1）∵AB=xm ，则BC=（28﹣x ）m ， ∴x （28﹣x ）=192，解得：x 1=12，x 2=16，答：x 的值为12m 或16m ；……………………… 2分 （2）由题意可得出：⎩⎨⎧≥≥15x -286x ，………………… 3分解得：13x 6≤≤. 又S=x （28﹣x ）=﹣x 2+28x=﹣（x ﹣14）2+196， ∴当x≤14时，S 随x 的增大而增大.∴x=13时，S 取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195.……………………… 5分 答：x 为13m 时，花园面积S 最大，最大面积为195m 2．26.(1)锐角的角度；正弦值；大于0°且小于90°；…………………………………… 3分 (2)(3)答案不唯一. …………………………………… 8分 27.解：（1）把A （-3，0）代入3bx x y 21++= ∴b=4……………………………………2分 ∴y 1的表达式为：34x x y 21++= （2）将y 1变形得：y 1=(x+2)2-1 据题意y 2=(x+2-4)2-1=(x-2)2-1∴抛物线y 2的表达式为342+-=x x y …………………………………4分 （3）34x x y 22+-=的对称轴x=2 ∴顶点（2，-1）∵直线1-+=k kx y 过定点（-1，-1）当直线1-+=k kx y 与图像G 有一个公共点时1-=t …………………………………… 4分当直线过F （3，0）时，直线4341-=x y把x=2代入4341-=x y∴41-=y当直线过D （0，3）时，直线34+=x y 把x=2代入34+=x y ∴11=y即11=t∴结合图象可知1-=t 或1141≤<-t .…………………………………… 6分 28.解：（1）1，433；…………………………………… 2分 （2）①∵∠A<∠BOC=60°，∴∠A 不可能是直角.②当∠ABP=90°时，∵∠BOC=60°，∴∠OPB=30°.∴OP=2OB ，即2t=2.∴t =1. …………………………………… 3分③当∠APB=90°，如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则OP=2t ，OD=t ，PD=3t ，AD=2t +，DB=1t -. ∵∠APD+∠BPD=90°，∠B+∠BPD=90°，∴∠APD=∠B. ∴△APD ∽△PBD. ∴BD PD PD AD =，即2t 3t 1t 3t +=-，即24t t 20+-=，解得12133133t ,t 88-+--== （舍去）. …………………………………… 4分（3）补全图形，如图∵AP=AB ，∴∠APB=∠B.∵OE ∥AP∴∠OEB=∠APB=∠B.∵AQ ∥BP ，∴∠QAB+∠B=180°.又∵∠3+∠OEB=180°，∴∠3=∠QAB.又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP ，∵∠B=∠QOP ，∴∠1=∠2.∴△QAO ∽△OEP. ∴EPAO EO AQ =，即AQ·EP=EO·AO. ∵OE ∥AP ，∴△OBE ∽△ABP. ∴31BA BO BP BE AP OE ===. ∴OE=31AP=1，BP=23EP. ∴AQ·BP=AQ·23EP=23AO·OE=23×2×1=3. …………………………………… 6分 29.解：（1）将A （-2，0）,B （4，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx-3(a≠0),即⎩⎨⎧=-+=--034b 16a 032b 4a ，………………………… 1分 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==43b 83a ∴抛物线的表达式为：3x 43x 83y 2--=……………………………… 2分 （2）设运动时间为t 秒，由题意可知: 2t 0<< …………………………………… 3分 过点Q 作QD ⊥AB,垂直为D ，易证△OCB ∽△DQB, ∴BQBC DQ OC =…………………………………… 4分 OC=3，OB=4，BC=5，AP=3t,PB=6-3t,BQ=t ，t5DQ 3=∴t 53DQ =∴ ∴t 533t)(621DQ PB 21S ΔPBQ ⋅-=⋅=t59t 1092+-=对称轴1)(2t 10959=-⨯-=∴当运动1秒时，△PBQ 面积最大，10959109S ΔPBQ =+-=，最大为109. …………………………………… 5分（3）如图，设K(m,3m 43m 832--) 连接CK 、BK ，作KL ∥y 轴交BC 与L ， 由（2）知：109S ΔPBQ =, 2:5S :S PBQ ΔCBK = ∴49S ΔCBK = 设直线BC 的表达式为y=kx+n3)C(0,B(4,0),-⎩⎨⎧-==+∴3n 0n 4k ，解得： ∴直线BC 的表达式为y=43x-3 ∴3)m 43L(m,- 2m 83m 23KL -= ΔKLB ΔKLC ΔCBK S S S += ∴m)(4)m 83m 23(21m )m 83m 23(2122-⋅-⋅+⋅-⋅= )m 83m 23(4212-⋅⋅= 即：49)m 83m 232(2=- 解得：31或m m ==∴K 坐标为(1,827-)或(3,815-)…………………………………… 7分⎪⎩⎪⎨⎧-==3n 43k。
2015-2016学年新人教版九年级上期末数学试卷(含答案)
2015-2016学年新人教版九年级上期末数学试卷(含答案)九年级数学试卷考试时间：120分钟满分：120分一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.二次函数y=(x-1)²-2的顶点坐标是（。
）。
A.（-1，-2）B.（-1，2）C.（1，-2）D.（1，2）2.判断一元二次方程x²-2x+1=0的根的情况是（。
）。
A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根3.用配方法解方程x²-4x-3=0，下列配方结果正确的是（。
）。
A.（x-4）²=19B.（x-2）²=7C.（x+2）²=7D.（x+4）²=194.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（。
）。
A.100(1+x)=121B.100(1-x)=121C.100(1-x)²=121D.100(1+x)²=1215.如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（。
）。
A。
B。
C。
D.6.已知：点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）是函数y=-3x图象上的三点，且x₁<x₂<x₃，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（。
）。
A.y₁<y₂<y₃B.y₃<y₂<y₁C.y₂<y₃<y₁D.无法确定7.某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志。
从而估计该地区有黄羊（。
）。
A.200只B.400只C.800只D.1000只8.如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（。
）。
A。
3π/4 B。
2015—2016学年第一学期九年级期末考试数学试卷附答案
2015一如16学年第一学期九年级期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.—2、0、2、-3这四个数中最小数的是1]A.2B.0C.—2D.—32.如果我们都能改掉餐桌上的陋习，珍惜每一粒粮食，合肥市每年就能避免浪费30.1亿元，将30.1亿用科学计数法表示为【】A.30.1父108B,3.01父108C,3.01父109D.0.301^10103.一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是【】A.x—6=*B,x—6=4C,x+6=4D,x+6=M4.设a=2j3—1,a在两个相邻整数之间，则这两个整数是1]A.1和2B.2和3C.3和4D.4和55.直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与/I互余的角有几个A.2个B.3个C.4个D.5个第5题图第7题图第8题图6.某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60,99.45,99.60,99.70,98.80,99.60,99.83,则这位选手得分的众数和中位数分别是1】A.99.60,99.60B,99.60,99.70C.99.60,98.80D,99.70,99.607.如图为抛物线y=ax2+bx+c的图像，A、RC为抛物线与坐标轴的交点，且OAOG1,则下列关系中正确的是1]A.ac<0B.a—b=1C.a+b=—1D.b>2a8.如图，过DABCM对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH那么图中的口AEMGJ面积&与口HCFM勺面积S2的大小关系是【】A.s1s2B.S1:二S2C.S1=S2D.2s l=颔9.如果三角形的两条边分别为4和6,那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的1]A.6B.8C.10D.12为E,设DP=x,AE=y,则能反映y与X之间函数关系的大致图象是第10题图10.如图，在矩形ABCD43,AB=3,BC=4,点P在BC边上运动，连结DP过点A作AHDP垂足A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.（_3）2的平方根是。
2015-2016年九年级数学期末考试题及答案
)10(题第xy OABC2015-2016年九年级数学期末考试题及答案一、选择题1.下列是二次函数的是（ ） A ．2y ax bx c =++ B.21y x x=+ C.()227y x x =-+ D.()()121y x x =+-2.剪纸是我国最古老民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3.将抛物线265y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A ．()246y x =--B ．()242y x =--C ．()222y x =--D ．()213y x =--4.如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D '的坐标是（ ） A ．（2，10） B ．（-2，0） C ．（2，10）或（-2，0） D ．（10，2）或（-2，0）5.某服装店进价为30元的内衣，以50元售出，平均每月能售出300件，经试销发现每件内衣每涨价10元，其月销售量就减少10件，为实现每月利润8700元，设定价为x 元，则可得方程( )A ．300(30)8700x -=B ．()508700x x -=C ．()()30300508700x x ---=⎡⎤⎣⎦D ．()()303008700x x --=6.如图，在Rt △ABC 中∠A CB=90°，AC=6，AB=10，CD 是斜边AB上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A.点P 在⊙O 内 B.点P 在⊙O 上 C.点P 在⊙O 外 D.无法确定7.如果关于x 的方程()222110k x k x -++=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A.14k ≥-且0k ≠ B.14k ≤- C. 14k ≥- D. 14k -＞且0k ≠8.点O 是△ABC 的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC 的度数为（ ）A ．40°B ．100°C ．40°或140°D ．40°或100°9.若函数()21212y mx m x m =++++的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ）A ． 0B ．0或2C ．2或﹣2D ．0，2或﹣210.如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=OC ．则下列结论：①0abc ＞②2404b ac a-＞；③10ac b -+=；④c OA OB a ⋅=-．其中正确结论的个数是（ ）A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题11.方程2870x x ++=的根为12.关于x 的一元二次方程()221340a x x a a -+++-=有一个实数根是0x =，则a 的值为 13.若点()12,24P a a ---关于原点对称的点在第一象限内，则a 的整数解有 个 14.已知点())()1234,,,2,A y By C y -都在二次函数()22y x k =--+的图象上，则123,,y y y 的大小关系是15.16.三、解答题（1）213602x x --+= （2）()()7333x x x -=-18.请在同一坐标系中画出二次函数①221xy =；②2)2(21-=x y 的图象。
北京市北京市2015-2016学年燕山区九年级上学期期末数学试卷及参考答案
23. 如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）． （1）求反比例函数y= （k≠0）的表达式； （2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．
24. 北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者 练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C 在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．（结果保留整数．参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.4 5）
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a． 已知线段a，c如图．
小芸的作法如下：
①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O； ②以点O为圆心，OB长为半径画圆； ③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C； ④连接BC，AC． 则Rt△ABC即为所求． 老师说：“小芸的作法正确．” 请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是________
21. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ AB1C1 ．
（1）在网格中画出△AB1C1； （2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）
22. 已知二次函数y=2x2﹣8x． （1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）； （3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式
2015-2016学年北京市燕山区九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年甘肃省武威四中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．反比例函数（k≠0）的图象过点（﹣1，1），则此函数的图象在直角坐标系中的（）A．第二、四象限B．第一、三象限C．第一、二象限D．第三、四象限3．某电视台举行的歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手已分别抽走了2号、7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（）A．B．C．D．4．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是（）A．点E B．点F C．点G D．点H5．将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣336．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2014﹣a﹣b的值是（）A．2019 B．2009 C．2015 D．20137．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对8．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A．6，B．，3 C．6，3 D．，9．若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y210．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①abc ＞0；②2a+b=0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0；⑤3b＜2c，其中正确的个数（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本题共30分，每小题3分）11．在掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为．如果掷一枚硬币150次，则着地时正面向上约次．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为cm．13．如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式为．14．将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为．15．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD：BD=2：3，则△ACD与△CBD的相似比为．16．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．17．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是．18．若一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21cm，则其余两边长的和为．19．在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，=，则=．20．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2﹣2ab+b2，根据这个规则求方程（x﹣4）*1=0的解为．三、解答题（本题共60分）21．已知2x2+2x﹣4=0，求2（x﹣1）2﹣x（x﹣6）+3的值．22．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx﹣2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数（x＜0）的图象交于点．（1）求A、B两点的坐标；（2）设点P是一次函数y=kx﹣2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标．24．甲、乙两名同学玩抽纸牌比大小的游戏，规则是：“甲将同一副牌中正面分别标有数字1，3，6的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；乙将同一副牌中正面分别标有数字2，3，4的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；若甲同学抽得的数字比乙同学抽得的数字大，甲获胜，反之乙获胜，若数字相同，视为平局．”（1）请用画树状图或列表的方法计算出平局的概率；（2）说明这个规则对甲、乙双方是否公平．25．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DC交BE于F，且AD：AB=1：3，AE=EC，求证：（1）△ADE∽△ABC；（2）DFBF=EFCF．26．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r．27．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．2015-2016学年甘肃省武威四中九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选B．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．反比例函数（k≠0）的图象过点（﹣1，1），则此函数的图象在直角坐标系中的（）A．第二、四象限B．第一、三象限C．第一、二象限D．第三、四象限【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象．【分析】首先将点（﹣1，1）代入反比例函数的解析式，并求得k的值；然后由k的符号确定该函数的图象所在的象限．【解答】解：∵反比例函数（k≠0）的图象过点（﹣1，1），∴1=，解得，k=﹣1＜0，∴反比例函数（k≠0）的图象经过第二、四象限．故选A．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数的图象．反比例函数（k≠0），当k＞0时，该函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，该函数图象经过第二、四象限．3．某电视台举行的歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手已分别抽走了2号、7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】先求出题的总号数及8号的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：前两位选手抽走2号、7号题，第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、10共8位中抽一个号，共有8种可能，每个数字被抽到的机会相等，所以抽中8号的概率为．故选B．【点评】考查概率的求法，关键是真正理解概率的意义，正确认识到本题是八选一的问题，不受前面叙述的影响．4．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【考点】旋转的性质．【分析】根据“对应点到旋转中心的距离相等”，知旋转中心，即为对应点所连线段的垂直平分线的交点．【解答】解：根据旋转的性质，知：旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上．则其旋转中心是NN1和PP1的垂直平分线的交点，即点G．故选C．【点评】本题考查旋转的性质，要结合三角形的性质和网格特征解答．5．将二次函数y=2x2﹣8x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=2（x﹣2）2﹣1 B．y=2（x﹣4）2+32 C．y=2（x﹣2）2﹣9 D．y=2（x﹣4）2﹣33【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y=2x2﹣8x﹣1，=2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，=2（x﹣2）2﹣9，即y=2（x﹣2）2﹣9．故选C．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．6．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2014﹣a﹣b的值是（）A．2019 B．2009 C．2015 D．2013【考点】一元二次方程的解．【分析】已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出b的值．【解答】解：∵一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，∴a+b+5=0，即a+b=﹣5，∴2014﹣a﹣b=2014﹣（a+b）=2014﹣（﹣5）=2019，故选A．【点评】此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．7．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】相似三角形的判定；平行线的判定．【专题】几何图形问题．【分析】根据已知先判定线段DE∥BC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD∴共4对故选D．【点评】考查了平行线的判定；相似三角形的判定：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．8．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A．6，B．，3 C．6，3 D．，【考点】正多边形和圆．【分析】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．【解答】解：∵正方形的边长为6，∴AB=3，又∵∠AOB=45°，∴OB=3∴AO==3，即外接圆半径为3，内切圆半径为3．故选：B．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正方形的性质得出线段长度是解题关键．9．若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x=﹣=3．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣6x+c，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=3．∵点（﹣1，y1）、（2，y2）、（5，y3）都在二次函数y=x2﹣6x+c的图象上，而三点横坐标离对称轴x=3的距离按由远到近为：（﹣1，y1）、（5，y3）、（2，y2），∴y 2＜y3＜y1故选：B．【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴．10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论中：①abc ＞0；②2a+b=0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0；⑤3b＜2c，其中正确的个数（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴正半轴相交，得到c＞0，可得出abc＜0，选项①错误；最后由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac大于0，故③错误；由x=2时对应的函数值＞0，将x=2代入抛物线解析式可得出4a+2b+c大于0，得到选项④正确；最后由对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到a=﹣b，由x=﹣1时对应的函数值小于0，将x=﹣1代入抛物线解析式可得出y=a ﹣b+c＜0，即可得出3b＜2c，即可得到⑤正确．【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误；∵对称轴为直线x=1，∴x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，④正确；∵2a+b=0，∴a=﹣b，∵x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴﹣b﹣b+c＞0，∴3b＜2c，故⑤正确则其中正确的有②④⑤．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1，2及﹣2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．二、填空题（本题共30分，每小题3分）11．在掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为．如果掷一枚硬币150次，则着地时正面向上约75次．【考点】概率的意义．【分析】掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为，则正面向上的概率也为．【解答】解：如果掷一枚硬币150次，则着地时正面向上约150×=75．答：着地时正面向上约75次．【点评】部分数目=总体数目乘以相应概率．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为15cm．【考点】弧长的计算．【分析】运用弧长计算公式，将其变形即可求出扇形的半径．【解答】解：扇形的弧长公式是L==，解得：r=15．故答案为：15．【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式的变形，难度不大，计算应认真．13．如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式为．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】数形结合．【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值，即可求出反比例函数的解析式．【解答】解：由图象上的点所构成的矩形面积为3可知，S=|k|=3，k=±3．又由于反比例函数的图象在第二、四象限，k＜0，则k=﹣3，所以反比例函数的解析式为．故答案为：．【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．14．将二次函数y=（x﹣2）2+3的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为y=（x﹣4）2+1．．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题；几何变换．【分析】先得到y=（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3），然后把点（2，3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到（4，1）；再根据抛物线的顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0）直接写出解析式．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3），∴把点（2，3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到（4，1）；而平移的过程中，抛物线的形状没改变，∴所得的新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+1．故答案为：y=（x﹣4）2+1．【点评】本题考查了抛物线的几何变换：抛物线的平移问题可转化为其顶点的平移问题，抛物线的顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），则抛物线的顶点坐标为（h，k）．15．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD：BD=2：3，则△ACD与△CBD的相似比为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】分别根据直角三角形的性质和相似三角形的性质直接解答即可．【解答】解：∵AD：BD=2：3，∴设AD=2x，BD=3x，则AB=5x．∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D∴△BCD∽△BAC∴=，∴BC2=BDAB=15x2，∴在直角△ABC中，由勾股定理得到：AC2=AB2﹣BC2=10x2．又∵△ACD∽△CBD，∴（）2==，则该相似三角形的相似比是：=．故答案是：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解此题的关键是要知道直角三角形斜边上的高把这个三角形分得的两个小三角形，与原三角形相似．16．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】二次方程有实数根即根的判别式△≥0，找出a，b，c的值代入列出k的不等式，求其取值范围．【解答】解：因为关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，所以△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）=4﹣4k≥0，解之得，k≤1．又因为k≥0，1﹣2k≠0，即k≠，所以k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零和被开方数大于零这两个隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．17．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是10πcm2．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π25=10π（cm2）．故答案为10πcm2．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18．若一个三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21cm，则其余两边长的和为24cm．【考点】相似三角形的性质．【专题】探究型．【分析】先设其余两边的长分别是x，y，再根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．【解答】解：相似三角形的对应边的比相等，设其余两边的长分别是x，y，则x：y：21=3：5：7，解得x=9，y=15，故其余两边长的和为9+15=24cm．故答案为：24cm．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比相等．19．在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE ∥BC ， =，则=．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到==，根据比例的性质得到答案．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．20．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a 2﹣2ab+b 2，根据这个规则求方程（x ﹣4）*1=0的解为 x 1=x 2=5 ．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】新定义．【分析】根据新定义运算法则列出关于x 的一元二次方程，然后利用直接开平方法解答．【解答】解：（x ﹣4）*1=（x ﹣4）2﹣2（x ﹣4）+1=x 2﹣10x+25=0，即（x ﹣5）2=0，解得 x 1=x 2=5，故答案是：x 1=x 2=5．【点评】本题考查学生读题做题的能力．正确理解这种运算的规则是解题的关键．三、解答题（本题共60分）21．已知2x2+2x﹣4=0，求2（x﹣1）2﹣x（x﹣6）+3的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】本题应先将原式去括号、合并同类项，将原式化为含有x2+2x+5的式子，再根据方程求得x的值将x的值代入x2+2x+5的式子即可．【解答】解：2（x﹣1）2﹣x（x﹣6）+3=2x2﹣4x+2﹣x2+6x+3=x2+2x+5∵2x2+2x﹣4=0，∴x2+x﹣2=0，∴x1=﹣2，x2=1，所以2（x﹣1）2﹣x（x﹣6）+3=x+7=5或8．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：单项式乘以多项式法则，完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则及公式是解本题的关键．22．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．【考点】扇形面积的计算；垂径定理．【分析】（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．【解答】解：（1）在△OCE中，∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，∴OE=OC=1，∴CE=OC=，∵OA⊥CD，∴CE=DE，∴CD=；（2）∵S△ABC=ABEC=×4×=2，∴．【点评】本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx﹣2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数（x＜0）的图象交于点．（1）求A、B两点的坐标；（2）设点P是一次函数y=kx﹣2图象上的一点，且满足△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）将点M的坐标代入反比例函数，可得出n的值，再将点M的具体坐标代入一次函数，从而得出k的值，然后求A、B的坐标即可．（2）根据△APO的面积，求出点P的纵坐标，代入直线解析式可得出点P的坐标．【解答】解：（1）∵点在反比例函数（x＜0）的图象上，∴n=1，∴．∵一次函数y=kx﹣2的图象经过点，∴．∴k=﹣2，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2）．（2）S△AOB=OA×OB=1，设点P的坐标为（a，﹣2a﹣2），由题意得，×1×|﹣2a﹣2|=2，解得：a1=1，a2=﹣3，故P1（﹣3，4），P2（1，﹣4）．【点评】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是求出点M的坐标，第二问中要设出点P的纵坐标，根据△AOP的面积求出纵坐标．24．甲、乙两名同学玩抽纸牌比大小的游戏，规则是：“甲将同一副牌中正面分别标有数字1，3，6的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；乙将同一副牌中正面分别标有数字2，3，4的三张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只抽一张，记下数字；若甲同学抽得的数字比乙同学抽得的数字大，甲获胜，反之乙获胜，若数字相同，视为平局．”（1）请用画树状图或列表的方法计算出平局的概率；（2）说明这个规则对甲、乙双方是否公平．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】（1）先列表展示所有9种等可能的结果数，再找出数字相同的结果数，然后根据概率公式计算；（2）分别计算出甲和乙获胜的概率，然后比较概率大小后判断游戏的公平性．【解答】解：（1）列表如下：甲/乙2 3 41 （1，2）乙胜（1，3）乙胜（1，4）乙胜3 （3，2）甲胜（3，3）平局（3，4）乙胜6 （6，2）甲胜（6，3）甲胜（6，4）甲胜由列表可知，可能出现的结果有9个，平局的结果有1个，所以P（平局）=．…（4分）（2）甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，所以两方获胜的概率相等，游戏规则对双方是公平的．【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．25．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DC交BE于F，且AD：AB=1：3，AE=EC，求证：（1）△ADE∽△ABC；（2）DFBF=EFCF．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）利用“两边及夹角”法进行证明；（2）根据（1）可得DE∥BC，由“平行线分线段成比例”进行证明即可．【解答】证明：（1）∵AE=EC，∴AE=AC．又∵AD：AB=1：3，∴==．又∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）由（1）知，=，∴DE∥BC，∴=，∴DFBF=EFCF．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．在证明第（2）题时，也可以利用“平行线法“推知△DEF∽△CBF，由该相似三角形的对应边成比例证得结论．26．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径r．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OA、OD，求出∠D+∠OFD=90°，推出∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，求出∠OAD+∠CAF=90°，根据切线的判定推出即可；（2）OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程r2+（8﹣r）2=（）2，求出即可．【解答】（1）证明：连接OA、OD，∵D为弧BE的中点，∴OD⊥BC，∠DOF=90°，∴∠D+∠OFD=90°，∵AC=FC，OA=OD，∴∠CAF=∠CFA，∠OAD=∠D，∵∠CFA=∠OFD，∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA⊥AC，∵OA为半径，∴AC是⊙O切线；（2）解：∵⊙O半径是r，∴OD=r，OF=8﹣r，在Rt△DOF中，r2+（8﹣r）2=（）2，r=6，r=2（舍），当r=2时，OB=OE=2，OF=BF﹣OB=8﹣2=6＞OE，∴y舍去；即⊙O的半径r为6．，【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算的能力．27．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可；（3）根据当P、C、D共线时PC+PD最短，利用平行线分线段成比例定理得出PO的长即可得出答案．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，解得：m=±1，∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x或y=x2+2x；（2）∵m=2，∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），当x=0时，y=3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，﹣1）；（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴=，∴=，解得：PO=，∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以及最短路线问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．。
2015-2016学年第一学期九年级数学人教期末试题
ABC OPD一、选择题（每小题4分，共40分）1.下面四个事件：①在地球上观看，太阳升于西方，而落于东方；②明天是晴天；③下午刮6级阵风；④地球不停地转动。
其中是随机事件的是（）A.①②B.②③C.③④D.①④2.若点（m +1，m 2）在函数y =x 2+2x 的图像上，则m 的值为（）A.12B.14C.34D.-343.如图所示，在△ABC 中，∠B =90°，∠C =30°，AB =1，将△ABC 绕顶点A 旋转180°，点C 落在C ′处，则CC ′的长为（）A.42√B.4C.43√D.25√4.如图所示，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C，交AB 的延长线于点D，且CO =CD，则∠PCA =（）A.30°B.45°C.60°D.67.5°5.如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（）A.16B.14C.13D.126.某商品经过两次降价，零售价降为原来的12，已知两次降价的百分率均为x ，则列出方程正确的是（）A.（1+x ）2=12 B.（1-x ）2=12C.（1+x ）2=2D.（1-x ）2=27.若⊙O 的半径为5cm，点A 到圆心O 的距离为4cm，那么点A 与⊙O 的位置关系是（）A.点A 在圆外B.点A 在圆上C.点A 在圆内D.不能确定8.已知点P 1（a -1，1）和P 2（2，b -1）关于原点对称，则（a +b ）2016的值为（）A.1B.0C.-1D.（-3）20169.在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同。
从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球，则下列说法中正确的是（）A.摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大B.摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小C.重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定D.重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定10.一条公路弯道处是一段圆弧（图中的弧AB ），点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是AB 的中点，半径OC 与AB 相交于点D，AB =120m，CD =20m，这段弯道的半径是（）A.200mB.2003√mC.100mD.1003√m二、填空题（每小题4分，共24分）11.某制药厂随着生产技术的提高，经过两年的改革，现在生产一吨的某药品的成本下降了19%，则这种药品的成本年平均下降率为_______。
2015-2016学年第一学期期末考试九年级数学附答案
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A＝130°，则扇形OBAD的面积为▲．
16．某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2－2mx+1(m≠0)的图像时发现：无论m如何变化，该图像总经过两个定点（0，1）和（▲，▲）．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）解方程：3x(x-2)=x-2（2）x2－4x－1＝0
18．（6分）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB=1.6m，BC=8.4m，楼高CD是多少？
25．（8分）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：≈2.236）．
26．（10分）如图①，A、B、C、D四点共圆，过点C的切线CE∥BD，与AB的延长线交于点E．
2015－2016学年第一学期期末考试九年级数学
（满分：120分考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．方程x(x＋2) =0的解是（▲）
A．－2
B．0，－2
C．0，2
D．无实数根
2．两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形的面积比是（▲）
2015-2016学年度第一学期期末考试九年级数学试题附答案
2015-2016学年度第一学期期末考试九年级数学试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为36分；第Ⅱ卷共4页，满分为84分．本试题共6页，满分为120分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第I 卷（选择题 共36分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一元二次方程x 2﹣9=0的解是（ ）A ． x=3B ． x=﹣3C ． x 1=3，x 2=﹣3D ． x 1=9，x 2=﹣9 2．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（ ）3．下列函数中，图象经过点（2，﹣3）的反比例函数关系式是 （ ）A．3y x =- B．2y x = C．6y x = D．6y x=-4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，已知∠A BC =35°，则∠AOC 的大小是（ ） A．80° B．70° C． 60° D．50°5．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．336．下列命题正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．一组对边相等，另一组对边平形的四边形是平行四边形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形7．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x 2-13x+36=0的根，则三角形的周长为( ) A .13 B .15 C .18 D .13或188．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABC C ．AP AB AB AC = D ．AB ACBP CB=9. 二次函数y= -x 2+2x+4的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转。
2015-2016学年度人教版九年级上期末考试数学试题及答案
2015－2016学年度第一学期期末质量评价九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共30分）BABBD ，DCBBA二、填空题（每小题3分，共30分） 11.74 12.21- a 13.（2，－3）14.10 15.21y y 16.（0，8） 17.175)1(50)1(50502=++++x x 18.5 19.10 20. －10三、解答题（本题共8个小题，共60分）21.解：原式＝5－3+232⨯+1+2 ..................................................................................4分 ＝8 .......................................................................................................................6分22.解：（1）正确，（2）错误. …………………………………………………………..2分改正：整理，得01022=--x x ，配方，得11)1(2=-x ，111±=-x1111+=x ，1112-=x ………………………………………………….6分23.解：设每件童装降价x 元. ……………………………………………………………1分1200)40)(220(=-+x x ， ……………………………………………………4分整理，得0200302=+-x x解得101=x ，202=x . …………………………………………………………………6分要想最大限度地降低库存，应取20=x .答：每件童装应降价20元. ……………………………………………..………………8分24.解：小亮选择B 方案，使他获胜的可能性较大．...........................................................1分 方案A ：∵四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况，∴P （小亮获胜）==； ...................................................................................................4分 方案B ：画树状图得：................................................6分∵共有12种等可能的结果，两张牌面数字之和为偶数的有4种情况，不是偶数的有8种情况，∴P （小亮获胜）==；......................................................7分 ∴小亮选择B 方案，使他获胜的可能性较大．.....................................................................8分25. 解：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD =BC ，OB =OD ，∴∠DMN =∠BCN ，∠MDN =∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，…………………………2分 ∴BNDN BC MD =，…………………………………………………………………………4分 ∵M 为AD 中点，∴BC AD MD 2121==，即21=BC MD ， ∴21=BN DN ，即BN =2DN ， 设OB =OD =x ，则有BD =2x ，BN =OB +ON =x +1，DN =x ﹣1，∴x +1=2（x ﹣1）， ………………………………………………………………………5分 解得：x =3，∴BD =2x =6；………………………………………………………………………………7分（2）HOG ∆即为所求.……………………………………………………..10分26.解：（1）∵二次函数的图象与x 轴交于A （﹣3，0）和B （1，0）两点，∴对称轴是x =﹣1． ..............................................................................................................2分 又点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，∴D （﹣2，3）；.....................................................................................................................3分（2）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0，a 、b 、c 常数），根据题意得， ...........................................................................................4分 解得，......................................................................................................................6分 所以二次函数的解析式为y =﹣x 2﹣2x +3；...........................................................................8分（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞1．...............10分27.解 ：（1）证明：连结OC ，如图，∵AC ⊥OB ，∴AM =CM ，∴OB 为线段AC 的垂直平分线，∴BA =BC ，在△OAB 和△OCB 中⎪⎩⎪⎨⎧===BC BA OB OB OC OA ，∴△OAB ≌△OCB ， …………………………4分∴∠OAB =∠OCB ，∵OA ⊥AB ，∴∠OAB =90°，∴∠OCB =90°，∴BC 是⊙O 的切线； ……………………………………………………………………6分（2）解：在Rt △OAB 中，OA =1，AB =3，∴OB =22OA AB +=2，……………7分 ∴∠ABO =30°，∠AOB =60°，∵PB ⊥OB ，∴∠PBO =90°，……………………………8分 在Rt △PBO 中，OB =2，∠BPO =30°，∴323==OB PB ，………………………10分 在Rt △PBD 中，BD =OB ﹣OD =2﹣1=1，PB =32，∴PD =1322=+BD PB ，…11分∴sin ∠BPD =1313131==PD BD . ……………………………………………………….12分。
2015-2016学年度九年级上册数学期末考试试卷及答案(人教版)
2015-2016学年度初三上学期数学期末试题(完卷时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(每小题4分，共40分) 1．下列二次根式中，最简二次根式是A ． 2B ．8C ．12D ．182．一元二次方程x (x －1)＝0的解是A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝0或x ＝1D ．x ＝0或x ＝－1 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是4．如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A ＝15°，则∠BOC 的度数是A ．15°B ．300°C ．45°D ．75°5．下列事件中，必然发生的是 A ．某射击运动射击一次，命中靶心 B ．通常情况下，水加热到100℃时沸腾C ．掷一次骰子，向上的一面是6点D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上 6．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，DE ＝6，则BC 的值为A ．6B ．12C ．18D ．24 7．如图所示，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为 A ．8cm 了 B ．6cm C ．5cm D ．4cm8．若两圆的圆心距为5，两圆的半径分别是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则两圆的位置关系是A ．相交B ．外离C ．内含D ．外切9．将一副直角三角板(含45°角的直角三角板ABC 与含30°角的直角三角板DCB )按图示方式叠放，斜边交点为O ，则△AOB 与△COD 的面积之比等于 A ．1∶ 2 B ．1∶2 C ．1∶ 3 D ．1∶310．已知二次函数y ＝x 2－x ＋18，当自变量x 取m 时，对应的函数值小于0，当自变量x取m －1、m ＋1时，对应的函数值为y 1、y 2，则y 1、y 2满足A ．y 1＞0，y 2＞0B ．y 1＜0，y 2＞0C ．y 1＜0，y 2＜0D ．y 1＞0，y＜0 二、填空题(每小题4分，共20分)11．二次根式x 2－1 有意义，则x 的取值范围是__________________．12．将抛物线y ＝2x 2向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是____________． 13．如图所示，某公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落点在黑色石子区域内概率是_____________．A B C D 第4题图 AB CD E第7题图 ABO第9题图 D 第13题图14．某小区2011年绿化面积为2000平方米，计划2013年底绿化面积要达到2880平方米．如果每年的增长率相同，那么这个增长率是__________________．15．如图所示，n ＋1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B 2D 1C 1的面积为S 1，△B 3D 2C 2的面积为S 2，…，△B n ＋1D n C n 的面积为S n ，则S 1＝________，S n ＝__________(用含n 的式子表示)．三、解答题(共7小题，共90分) 16．计算：(每小题8分，共16分) (1) 27×50÷ 6 (2) 2 3 9x ＋6x 4－2x 1x 17．(12分)已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1) 分别写出图中点A 和点C 的坐标；(2) 画出△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；(3) 在(2)的条件下，求点C 旋转到点C' 所经过的路线长(结果保留π)．18．(11分)在一个不透明的纸箱里装有2个红球、1个白球，它们除颜色外完全相同．小明和小亮做摸球游戏，游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你用树状图或列表法说明理由．19．(12分)如图所示，AB 是⊙O 的直径，∠B ＝30°，弦BC ＝6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，连AD ． (1) 求直径AB 的长；(2) 求阴影部分的面积(结果保留π)．20．(12分)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)的关系符合一次函数y ＝－x ＋140． (1) 直接写出销售单价x 的取值范围．(2) 若销售该服装获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价为多少元时，可获得最大利润，最大利润是多少元？(3) 若获得利润不低于1200元，试确定销售单价x 的范围．21．(13分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 为AB 边上的一动点(D 不与A 、B 重合)，过D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．把△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A'处．连结BA'，设AD ＝x ，△ADE 的边DE 上的高为y ． (1) 求出y 与x 的函数关系式；(2) 若以点A'、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求x 的值； (3) 当x 取何值时，△A' DB 是直角三角形．A C 1 第15题图C 2 C 3 C 4 C 52 3 4 5 6 第17题图D第19题图 A BCDx A'第21题图E ABC第21题备用图22．(14分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过A (－2，0)、B (0，1)两点，且对称轴是y 轴．经过点C (0，2)的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点，P 、Q 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)上的两动点． (1) 求抛物线的解析式； (2) 以点P 为圆心，PO 为半径的圆记为⊙P ，判断直线l 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论； (3) 设线段PQ ＝9，G 是PQ 的中点，求点G 到直线l 距离的最小值．数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．A 二、填空题：11．x ≥1 12．y ＝2x 2＋3 13．12 14．20% 15．14；n 2(n ＋1)三、解答题：16．(1)原式＝33×52÷6 ………………………………………………4分 ＝3×53×2÷6 ………………………………………………6分 ＝15 ……………………………………………………………8分(2)原式＝2 3 ×3x ＋6×12x －2x ·1x x ………………3分＝2x ＋3x －2x ……………………………6分 ＝3x …………………………………8分 17．解：(1)A (1，3)、C (5，1)； …………………………………4分(2)图形正确； ……………………………………………8分(3)AC ＝25， ……………………………………………10分弧CC'的长＝90π·25180＝5π． …………………12分18．解： 或第22题图列对表格或树状图正确， …………………………………………………6分 由上述树状图或表格知：P (小明赢)＝59，P (小亮赢)＝49． ……………………………………………10分∴此游戏对双方不公平，小明赢的可能性大． ………………………………11分 19．解：(1) ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ……………………………………1分∵∠B ＝30，∴AB ＝2AC ， ……………………………………3分 ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴AB 2＝14AB 2＋62， …………………………………5分∴AB ＝43． ………………………………………6分 (2) 连接OD ，∵AB ＝43，∴OA ＝OD ＝23， …………………………………………………8分 ∵CD 平分∠ACB ，∠ACB ＝90°， ∴∠ACD ＝45°， ∴∠AOD ＝90°， …………………………………………………………………9分∴S △AOD ＝12OA ·OD ＝12·23·23＝6， ……………………………………10分∴S 扇形△AOD ＝14·π·OD 2＝14·π·(23)2＝3π， ………………………………11分∴阴影部分的面积＝ S 扇形△AOD －S △AOD ＝3π－6． ……………………………12分20．解：(1) 60≤x ≤90； ……………………………………………………………………3分 (2) W ＝(x ―60)(―x ＋140)， ……………………………………………………………4分 ＝－x 2＋200x －8400，＝―(x ―100)2＋1600， ……………………………………………………………5分 抛物线的开口向下，∴当x ＜100时，W 随x 的增大而增大， …………………………6分 而60≤x ≤90，∴当x ＝90时，W ＝―(90―100)2＋1600＝1500． ………………………7分 ∴当销售单价定为90元时，可获得最大利润，最大利润是1500元． ……………………8分 (3) 由W ＝1200，得1200＝－x 2＋200x －8400，整理得，x 2－200x ＋9600＝0，解得，x 1＝80，x 2＝120， ……………………………………11分 由图象可知，要使获得利润不低于1200元，销售单价应在80元到120元之间，而60≤x ≤90，所以，销售单价x 的范围是80≤x ≤90． ………………………………………………………12分21．解：(1) 过A 点作AM ⊥BC ，垂足为M ，交DE 于N 点，则BM ＝12BC ＝3，∵DE ∥BC ，∴AN ⊥DE ，即y ＝AN ．在Rt △ABM 中，AM ＝52－32 ＝4， …………………………………………………………2分 ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ……………………………………………………………………………3分∴ AD AB ＝ AN AM ， ∴x 5 ＝y 4， ∴y ＝4x 5(0＜x ＜5)． ………………………………………………………………………4分(2) ∵△A'DE 由△ADE 折叠得到，∴AD ＝A'D ，AE ＝A'E ，∵由(1)可得△ADE 是等腰三角形， ∴AD ＝A'D ，AE ＝A'E ，∴四边形ADA'E 是菱形， ………………………………5分 ∴AC ∥D A'，∴∠BDA'＝∠BAC ，又∵∠BAC ≠∠ABC ，∠BAC ≠∠C ， ∴∠BDA'≠∠ABC ，∠BDA'≠∠C ，∴有且只有当BD ＝A'D 时，△BDA'∽△BAC ， …………………………………………7分 ∴当BD ＝A'D ，即5－x ＝x 时，∴x ＝52． ………………………………………………………………………………8分(3) 第一种情况：∠BDA'＝90°，∵∠BDA'＝∠BAC ，而∠BAC ≠90°， ∴∠BDA'≠90°． ………………………………………………………………………9分 第二种情况：∠BA'D ＝90°，∵四边形ADA'E 是菱形，∴点A'必在DE 垂直平分线上，即直线AM 上，∵AN ＝A'N ＝ y ＝4x5，AM ＝4，∴A'M ＝|4－85x |，在Rt △BA'M 中， A'B 2＝BM 2＋A'M 2＝32＋(4－85x )2，在Rt △BA'D 中，A'B 2＝BD 2＋A'D 2＝(5－x )2－x 2，∴ (5－x )2－x 2＝32＋(4－85x )2，解得 x ＝3532，x ＝0(舍去)． ……………………………………………………11分第三种情况：∠A'BD ＝90°，解法一：∵∠A'BD ＝90°，∠AMB ＝90°， ∴△BA'M ∽△ABM ， 即BA' AB ＝BM AM ，∴BA'＝154， ……………………………12分 在Rt △D BA'中，DB 2＋A'B 2＝A'D 2，(5－x )2＋22516＝x 2，解得：x ＝12532． ……………………………………………13分 解法二：∵AN ＝A'N ＝ y ＝4x5 ，AM ＝4，∴A'M ＝|85x －4|，在Rt △BA'M 中， A'B 2＝BM 2＋A'M 2＝32＋(85x －4)2，在Rt △BA'D 中，A'B 2＝ A'D 2－BD 2＝x 2－(5－x )2，∴ x 2－(5－x )2＝32＋(85x －4)2，解得x ＝5(舍去)，x ＝12532． ………………………………………………………13分综上可知当x ＝3532、x ＝12532时， △A'DB 是直角三角形．22．解：(1) ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，∴b ＝0． …………………………1分∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－2，0)、B (0，1)两点，∴c ＝1，a ＝－14， ……………………………………3分∴所求抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋1． ……………4分(2) 设点P 坐标为(p ，－14p 2＋1)，如图，过点P 作PH ⊥l ，垂足为H ，∵PH ＝2－(－14p 2＋1)＝14p 2＋1， …………………6分OP ＝p 2＋(－14p 2＋1)2 ＝－14p 2＋1， ………………8分∴OP ＝PH ，∴直线l 与以点P 为圆心，PO 长为半径的圆相切． …………………………………9分 (3) 如图，分别过点P 、Q 、G 作l 的垂线，垂足分别是D 、E 、F . 连接EG 并延长交DP 的延长线于点K ，∵G 是PQ 的中点，∴易证得△EQG ≌△KPG ，∴EQ ＝PK ， ………………………………………11分由(2)知抛物线y ＝－14x 2＋1上任意一点到原点O 的距离等于该点到直线l ：y ＝2的距离，即EQ ＝OQ ，DP ＝OP ， …………………………………12分∴ FG ＝12DK ＝12(DP ＋PK )＝12(DP ＋EQ )＝12(OP ＋OQ )， ……13分∴只有当点P 、Q 、O 三点共线时，线段PQ 的中点G 到直线l 的距离GF 最小， ∵PQ ＝9，∴G F ≥4.5，即点G 到直线l 距离的最小值是4.5． …………………………………14分 (若用梯形中位线定理求解扣1分)。
2015-2016学年新课标人教版九年级数学第一学期期末数学试卷及答案
2015-2016学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分．四个选项中只有一项是正确的．1．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（）A．= B．= C．= D．=2．在函数y=（x+1）2+3中，y随x增大而减小，则x的取值范围为（）A． x＞﹣1 B． x＞3 C． x＜﹣1 D． x＜33．如图，点A是反比例函数图象的一点，自点A向y轴作垂线，垂足为T，已知S△AOT=4，则此函数的表达式为（）A． B． C． D．4．如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D．5．有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm．经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（）A． 100m2 B． 270m2 C． 2700m2 D． 90000m26．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是（）A． B． 2 C． D．7．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B． x＞5 C． x＜﹣1且x＞5 D． x＜﹣1或x＞58．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A． 45° B． 60° C． 75° D． 90°9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（）A． 2 B． C． D． 110．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A． B．C． D．二、填空题：每小题5分，满分20分．11．若点P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m n（填“＞”、“＜”或“=”号）12．如图，已知直线l1∥l2∥3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则tanα= ．13．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为．14．已知抛物线C1：y1=a1x2+b1x+c1，C2：y2=a2x2+b2x+c2，且满足===k（k≠0，1），则称抛物线C1，C2互为“友好抛物线”．关于“友好抛物线”有以下说法：①C1，C2开口方向、开口大小相同；②C1，C2的对称轴相同；③如果y2的最值为m，则y1的最值为km；④如果C2与x轴的两交点间距离为d，则C1与x轴的两交点间距离也为d．其中正确的结论是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．三、解答题：每小题8分，满分90分．15．计算|tan60°﹣tan45°|+．16．观察下列算式：①1×3﹣22=﹣1；②2×4﹣32=﹣1；③3×5﹣42=﹣1；④；（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．17．桐城市某房产公司推出热气球观房活动，热气球的探测器显示，从热气球A处看某小区内一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处于高楼的水平距离为30m，求这栋高楼有多高？（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）18．如图，已知直线y1=﹣2x经过点P（﹣2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y2=（k≠0）的图象上．（1）求点P′的坐标；（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y2＜2时自变量x的取值范围．19．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：△BEA∽△CDA；（2）请猜想可能等于图中哪两条线段的比例？并证明你的猜想．21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．22．桐城市某游乐场投资150万元引进了一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而改游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y万元，且满足y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用所得称为游乐场的纯收益W万元．（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，分别求出y关于x的函数解析式以及W关于x的表达式；（2）问设施开放几个月时，游乐场的纯收益达到最大，最大收益多少万元？（3）几个月后，能收回投资？23．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK=KC，求的值．（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明；（3）再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．2015-2016学年九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分．四个选项中只有一项是正确的．1．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（）A．= B．= C．= D．=考点：比例的性质．专题：计算题．分析：把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断．解答：解：A、变成等积式是：xy=6，故错误；B、变成等积式是：3x=2y，故错误；C、变成等积式是：2x=3y，故正确；D、变成等积式是：3x=2y，故错误．故选C．点评：本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．2．在函数y=（x+1）2+3中，y随x增大而减小，则x的取值范围为（）A． x＞﹣1 B． x＞3 C． x＜﹣1 D． x＜3考点：二次函数的性质．分析：由条件可知二次函数的对称轴为x=﹣1，且开口向上，可得出答案．解答：解：∵y=（x+1）2+3，∴二次函数开口向上，且对称轴为x=﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x增大而减小，故选C．点评：本题主要考查二次函数的增减性及对称轴，掌握在y=a（x﹣h）2+k中二次函数的对称轴为x=h是解题的关键．3．如图，点A是反比例函数图象的一点，自点A向y轴作垂线，垂足为T，已知S△AOT=4，则此函数的表达式为（）A． B． C． D．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：数形结合．分析：由图象上的点所构成的三角形面积为可知，该点的横纵坐标的乘积绝对值为2，又因为点M在第二象限内，所以可知反比例函数的系数．解答：解：由题意得：|k|=2S△AOT=8；又因为点M在第二象限内，则k＜0；所以反比例函数的系数k为﹣8．故选D．点评：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．4．如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D．考点：相似三角形的判定．分析：由图可得∠A=∠A，又由有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确，又由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，即可得C正确，利用排除法即可求得答案．解答：解：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，故A选项正确；∴当∠APC=∠ACB时，△ACP∽△ABC，故B选项正确；∴当时，△ACP∽△ABC，故C选项正确；∵若，还需知道∠ACP=∠B，∴不能判定△ACP∽△ABC．故D选项错误．故选：D．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．5．有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm．经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（）A． 100m2 B． 270m2 C． 2700m2 D． 90000m2考点：比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：实际图形与设计图是相似图形，相似比是5：1500=1：300，相似多边形面积的比等于相似比的平方，就可求出这块草坪的实际面积．解答：解：设草坪的实际面积是x平方米，则有，解得x=2700m2．故选C．点评：实际图形与设计图是相似图形，本题实际就是考查相似多边形的性质．注意单位的转换．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是（）A． B． 2 C． D．考点：锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：根据正弦的定义sinA=解答．解答：解：根据题意，AB==BC，sinA===．故选C．点评：本题主要考查角的正弦的定义，需要熟练掌握．7．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B． x＞5 C． x＜﹣1且x＞5 D． x＜﹣1或x＞5考点：二次函数与不等式（组）．专题：压轴题．分析：利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．解答：解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（）A． 45° B． 60° C． 75° D． 90°考点：圆周角定理；正多边形和圆．分析：连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC=90°，再根据圆周角定理，得∠BPC=45°．解答：解：如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．故选A．点评：本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（）A． 2 B． C． D． 1考点：解直角三角形．分析：想要求AD的长，求CD的长即可，根据tan∠DBA=和tan45°=1，即可求得tan∠CBD的值，即可解题．解答：解：∵∠CBD+∠DBA=∠ABC=45°，∴tan∠ABC==1，∵tan∠DBA=，∴tan∠CBD=，∴CD=BC•tan∠CBD=2，∴AD=3﹣2=1．故选D．点评：本题考查了直角三角形中正切值的运用，考查了两角和的正切公式，熟练运用两角和的正切公式是解题的关键．10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A． B．C． D．考点：动点问题的函数图象．专题：应用题；压轴题．分析：正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分主要分为3个部分，是个分段函数，分别对应三种情况中的对应函数求出来即可得到正确答案．解答：解：DF=x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y①y=DF2=x2（0≤x＜）；②y=1（≤x＜2）；③∵BH=3﹣x∴y=BH2=x2﹣3x+9（2≤x＜3）．综上可知，图象是故选：B．图：①②③点评：解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．二、填空题：每小题5分，满分20分．11．若点P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m ＜n（填“＞”、“＜”或“=”号）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：根据反比例函数图象上点的坐标特得到1•m=﹣2，2•n=﹣2，然后分别解方程求出m和n的值，再比较大小即可．解答：解：∵点P1（1，m），P2（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，∴1•m=﹣2，2•n=﹣2，∴m=﹣2，n=﹣1，∴m＜n．故答案为＜．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．12．如图，已知直线l1∥l2∥3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则tanα= ．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义．分析：根据正方形的性质就可以得出AE=AD，由平行线的性质就可以得出∠α=∠ADE，就可以求出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=AB，∠A=90°．∵l1∥l2∥3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，∴AE=AB，∠α=∠ADE．∴AE=AD．∴．∵tan∠ADE=，∴tanα=，∴tanα=．故答案为：点评：本题考查了平行线等分线段定理的运用，正方形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用平行线等分线段定理求解是关键．13．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为8π．考点：垂径定理；勾股定理；切线的性质．专题：计算题；压轴题．分析：过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，根据垂径定理得到BG=AG=2，利用勾股定理可得MB2﹣MG2=22=4，再根据切线的性质有NF⊥AB，而AB∥CD，得到MG=NF，设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，则z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r）=（R2﹣r2）•2π，即可得到z（x+y）的值．解答：解：过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，而AB=4，∴BG=AG=2，∴MB2﹣MG2=22=4，又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，∴NF⊥AB，∵AB∥CD，∴MG=NF，设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，∴z（x+y）=（CD﹣CE）（π•R+π•r），=（2R﹣2r）（R+r）•π，=（R2﹣r2）•2π，=4•2π，=8π．故答案为：8π．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；也考查了切线的性质和圆的面积公式以及勾股定理．14．已知抛物线C1：y1=a1x2+b1x+c1，C2：y2=a2x2+b2x+c2，且满足===k（k≠0，1），则称抛物线C1，C2互为“友好抛物线”．关于“友好抛物线”有以下说法：①C1，C2开口方向、开口大小相同；②C1，C2的对称轴相同；③如果y2的最值为m，则y1的最值为km；④如果C2与x轴的两交点间距离为d，则C1与x轴的两交点间距离也为d．其中正确的结论是②③④（把所有正确结论的序号都填在横线上）．考点：二次函数的性质．专题：新定义．分析：当k＜0时，可判断①；由=可得到=，可判断②；根据二次函数的最值，可分别求得y2和y1的最值，再结合条件可判断③；根据根与系数的关系求出与X轴的两交点的距离|g﹣e|和|d﹣m|，即可判断④．解答：解：由已知可知：a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2，①根据友好抛物线的条件，a1、a2的符号不一定相同，所以开口方向、开口大小不一定相同，故①不正确；②由=可得到=，所以可知其对称轴相同，故②正确；③因为如果y2的最值是m，则y1的最值是=k•=km，故③正确；④因为设直线y1于x轴的交点坐标是（e，f），（g，h），则e+g=﹣，eg=，直线y2于x轴的交点坐标是（m，n），（d，p），则m+d=﹣，md=，可求得：d=|g﹣e|=====|d﹣m|，故④正确；故答案为：②③④．点评：本题主要考查二次函数的对称轴、开口方向、最值等，由条件得出a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2是解题的关键．三、解答题：每小题8分，满分90分．15．计算|tan60°﹣tan45°|+．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：本题可分别解出tan60°与tan45°的值，比较它们的大小，再对原式去绝对值．而根号内的数可配成平方式，讨论平方内的数的大小，最后代入原式即可．解答：解：原式=|tan60°﹣tan45°|+|cos30°﹣1|=tan60°﹣tan45°+1﹣cos30°==．点评：本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．16．观察下列算式：①1×3﹣22=﹣1；②2×4﹣32=﹣1；③3×5﹣42=﹣1；④4×6﹣52=﹣1 ；（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为第（2）小题中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．考点：规律型：数字的变化类．分析：（1）按照前3个算式的规律写出即可；（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于﹣1，根据此规律写出即可；（3）先利用单项式乘多项式的法则与完全平方公式分别计算第n个式子左边的第一项与第二项，再去括号、合并同类项，所得结果与﹣1比较即可．解答：解：（1）∵①1×3﹣22=﹣1，②2×4﹣32=﹣1，③3×5﹣42=﹣1，∴第4个算式为：④4×6﹣52=﹣1；故答案为：4×6﹣52=﹣1；（2）第n个式子是：n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1；（3）第（2）小题中所写出的式子一定成立．理由如下：∵左边=n×（n+2）﹣（n+1）2=n2+2n﹣（n2+2n+1）=n2+2n﹣n2﹣2n﹣1=﹣1，右边=﹣1，∴左边=右边，∴n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．点评：此题主要考查了规律型：数字的变化类，观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键．17．桐城市某房产公司推出热气球观房活动，热气球的探测器显示，从热气球A处看某小区内一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处于高楼的水平距离为30m，求这栋高楼有多高？（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数即可求得BD和CD，即可求解．解答：解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=60°，AD=30m，∴BD=AD•tan60°=30×=30m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，AD=30m，∴CD=AD•tan30°=30×=10m，BC=30+10=40≈68（m）．答：这栋楼高约为68m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据所给的仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解直角三角形．18．如图，已知直线y1=﹣2x经过点P（﹣2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y2=（k≠0）的图象上．（1）求点P′的坐标；（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y2＜2时自变量x的取值范围．考点：待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：（1）把P的坐标代入直线的解析式，即可求得P的坐标，然后根据关于y轴对称的两个点之间的关系，即可求得P′的坐标；（2）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的增减性即可求得x的范围．解答：解：（1）把P（﹣2，a）代入直线的解析式得：a=﹣2×（﹣2）=4，则P的坐标是（﹣2，4），点P关于y轴的对称点P′的坐标是：（2，4）；（2）把P′的坐标（2，4）代入反比例函数y2=（k≠0）的解析式得：4=，解得：k=8，则函数的解析式是：y2=；在解析式中，当y=2时，x=4，则当y2＜2时自变量x的取值范围是：x＞4或x＜0．点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及反比例函数的性质，容易出现的错误是在求x的范围时忽视x≠0这一条件．19．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．考点：作图-位似变换；点的坐标．专题：作图题．分析：（1）延长BO，CO到B′C′，使OB′，OC′的长度是OB，OC的2倍．顺次连接三点即可；（2）从直角坐标系中，读出B′、C′的坐标；（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．解答：解：（1）（2）B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）；（3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以﹣2的坐标，所以M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标为（﹣2x，﹣2y）．点评：本题综合考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．（1）求证：△BEA∽△CDA；（2）请猜想可能等于图中哪两条线段的比例？并证明你的猜想．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）由三角形外角的性质及条件可得到∠AEB=∠ADC，结合条件可得到∠DAC=∠EAB，可证得结论；（2）利用（1）的结论可证得△ADE∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得出=或解答：（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC，即∠BAE=∠DAC，∵∠DAE=∠BDC，∴∠DAE+∠ADE=∠BDC+∠ADE，即∠AEB=∠ADC，∴△BEA∽△CDA；（2）解：=或，证明如下：由（1）可知△ADE∽△ACB，∴=，且∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴==，∴=或．点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①两个三角形的三边对应成比例、②两个三角形有两组角对应相等、③两个三角形的两组对边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似．21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．解答：（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E，∴CE=ED，．（2分）∴∠BCD=∠BAC．（3分）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠ACO=∠BCD．（5分）（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，CE=CD=×24=12cm，（6分）在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122（8分）解得R=13，∴2R=2×13=26cm．答：⊙O的直径为26cm．（10分）点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．22．桐城市某游乐场投资150万元引进了一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元，而改游乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y万元，且满足y=ax2+bx；若将创收扣除投资和维修保养费用所得称为游乐场的纯收益W万元．（1）若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，分别求出y关于x的函数解析式以及W关于x的表达式；（2）问设施开放几个月时，游乐场的纯收益达到最大，最大收益多少万元？（3）几个月后，能收回投资？考点：二次函数的应用．分析：（1）将x=1，y=2及x=2，y=6代入关系式y=ax2+bx求出a、b的值进而求出y与x 的关系式，再由利润=收入﹣投资﹣维修保养费用就可以得出W与x的关系式；（2）由（1）的W与x的关系式变为顶点式就可以求出结论；（3）由函数的解析式可以得出0＜x≤16时y随x的增大而增大，当W=0时求出x的值即可求出结论．解答：解：（1）由题意，得，解得：，y=x2+x．W=33x﹣150﹣（x2+x），W=﹣x2+32x﹣150．答：y关于x的函数解析式为y=x2+x，W关于x的表达式为W=﹣x2+32x﹣150；（2）∵W=﹣x2+32x﹣150，W=﹣（x﹣16）2+106．∵a=﹣1＜0，∴x=16时，W最大=106万元．答：设施开放16个月时，游乐场的纯收益达到最大，最大收益106万元；（3）由题意，得0=﹣x2+32x﹣150，解得：x1=16+，x2=16﹣，∵16+＞16﹣，∴x=16﹣．∵x为整数，∴x=5时，W＜0，当x=6时，W＞0，∴6个月后，能收回投资．点评：本题考查了二次函数的顶点式的运用，利润=收入﹣投资﹣维修保养费用的数量关系的运用，一元二次方程的运用，解答时求出函数的关系式是关键．23．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK=KC，求的值．（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明；（3）再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．考点：相似形综合题．分析：（1）由已知得BK=KC，由CD∥AB可证△KCD∽△KBA，利用=求值；（2）AB=BC+CD．作△ABD的中位线，由中位线定理得EF∥AB∥CD，可知G为BC的中点，由平行线及角平分线性质，得∠GEB=∠EBA=∠GBE，则EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，利用EF=EG+GF求线段AB、BC、CD三者之间的数量关系；（3）当AE=AD（n＞2）时，EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF可得BC+CD=（n﹣1）AB．解答：解：（1）∵BK=KC，∴=1，又∵CD∥AB，∴△KCD∽△KBA，∴=1；（2）当BE平分∠ABC，AE=AD时，AB=BC+CD；证明：取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，由中位线定理，得EF∥AB∥CD，∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，又∵∠EBA=∠GBE，∴∠GEB=∠GBE，∴EG=BG=BC，而GF=CD，EF=AB，∵EF=EG+GF，即：AB=BC+CD；∴AB=BC+CD；（3）由（2）同理可得：当AE=AD（n＞2）时，EF∥AB，同理可得：==，则BG=•BC，则EG=BG=•BC，==，则GF=•CD，==，∴+•CD=•AB，∴BC+CD=（n﹣1）AB，故当AE=AD（n＞2）时，BC+CD=（n﹣1）AB．点评：本题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线构造平行线利用三角形的中位线定理解决问题是解题的关键．。
2015-2016学年度北京市燕山区九年级上期末数学答题卡
密 封线 内不要 答题 学校 班级 姓名 学号燕山地区2015－2016学年度第一学期期末考试 初 四 数 学 答 题 纸一选择 题1．[A] [B] [C] [D] 2．[A] [B] [C] [D] 3．[A] [B] [C] [D] 4．[A] [B] [C] [D] 5．[A] [B] [C] [D] 6．[A] [B] [C] [D] 7．[A] [B] [C] [D] 8．[A] [B] [C] [D] 9．[A] [B] [C] [D] 10．[A] [B] [C] [D]二填 空 题11． ． 12．a ＝ ， b ＝ ．13． ． 14．a ＝ ． 15． ， 理由是 ． 16．依据是 ． 三 解答题 17．计算：2cos45°－tan30°·sin60°． 解： 18．解方程：0132=--x x ．解：得 分 成 绩 得 分 得 分得 分三解答题19．解：20．（1）证明：（2）解：21．解：（1）在网格中画出△AB1C1；（2）得分得分得分A BCDOBACDBCA密 封 线 内 不 要 答 题学校 班级 姓名 学号三 解 答 题22．解：（1） （2）（3）得到的新图象的函数表达式为 ．23．解：（1） （2）得 分得 分yxO A B三解答题24．解：25．（1）证明：（2）解：得分得分ECBOADADBC45°30°密 封 线 内不 要答 题学校 班级 姓名 学号三 解 答 题26．解： （1）函数x x y +=11－的自变量x 的取值范围是 ； （2）（3）画出该函数的图象．（4）写出该函数的其它性质（一条即可）：．得 分-2-1-3-4-46556-3-1-243124312Oxy三解答题27．解：（1）（2）（3）得分-2-1-3-4-4-3-1-243124312O xy密 封 线 内不 要答 题学校 班级 姓名 学号三 解 答 题28．解： （1）①依题意补全图2；②证明：③用等式表示出线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系： ． （2）点A 到BP 的距离为 ．得 分图2CABD CBA 图3三解答题29．解：（1）'M( ，)，'N( ，)，'T( ，)．（2）（3）线段'GQ的长度为．得分211yxOMTN图1yxOABDCGE图2GCDBAO xy备用图。
[推荐学习]九年级数学上学期期末试题 新人教版
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北京市西城区2015-2016学年度九年级数学上学期期末试题一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数()257y x =-+的最小值是A ．7-B ．7C ．5-D ．52．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35B ．53C ．45 D ．343．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为 A ．12 B．C．．4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于 A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)， AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为 原来的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1 的坐标为A ．(2-，4)B ．(12-，1)C ．(2，4-)D ．(2，4)7．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东37°方向，距离 灯塔40 海里的A 处，它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P 的正东方向上的B 处．这时，B 处与 灯塔P 的距离BP 的长可以表示为 A ．40海里 B ．40tan37°海里C ．40cos37°海里D ．40sin37°海里8．如图，A ，B ，C 三点在已知的圆上，在△ABC 中， ∠ABC =70°，∠ACB =30°，D 是 的中点，连接DB ，DC ，则∠DBC 的度数为A ．30°B ．45°C ．50°D ．70° 9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．BAC每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+C ．300(6020)y x =-D ．(60)(30020)y x x =--10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为A ．8B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a bb+的值为 ． 12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”）13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为 ．14．如图，线段AB 和射线AC 交于点A ，∠A =30°，AB =20． 点D 在射线AC 上，且∠ADB 是钝角，写出一个满足条件 的AD 的长度值：AD = ．15地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？” 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA 是秋千的静止状态，A 是踏板，CD 是地面，点B 是推动两步后踏板的位置，弧AB 是踏板移动的轨迹．已知AC =1尺，CD =EB =10尺，人的身高BD =5尺．设绳索长OA =OB =x 尺，则可列方程为 ．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是 ；由此可证明直线PA ，PB 都是⊙O 的切线，其依据是 ．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：24cos30tan60sin 45︒⋅︒-︒．18．如图，△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD =30°． 求tan C 的值．19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．20．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠BDC ． （1）求证：△ABD ∽△DCB ；（2）若AB =12，AD =8，CD =15，求DB 的长．21．某小区有一块长21米，宽8同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点． （1）求k 的值；（2）怎样平移抛物线1C 就可以得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法； （3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直接写出m 的取值范围．23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=点C ，E 分别在⊙O 上，且OC连接OA ．（1）求OA 的长；（2）若AF 是⊙O 的另一条弦，且点O 到AF 的距离为直接写出∠BAF 的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C 处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD 约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PD ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．（1）求证：∠PCE =∠PEC ； （2）若AB =10，ED =32，sin A =35，求PC 的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与 双曲线2ky x=交于A （1，3）和B （3-，1-）两点． 观察图象可知：①当3x =-或1时，12y y =； ②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式kax b x+>的解集． 有这样一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当0x <时，原不等式可以转化为2441x x x+-<；（2）构造函数，画出图象 设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系 中分别画出这两个函数的图象． 双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线．．．．．2341y x x =+-；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为 ； （4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为 ．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c=-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数212y x bx c =-++的表达式；（2）连接AB ，求AB 的长；（3）连接AC ，M 是线段AC 的中点，将点B 绕点M 旋转180°得到点N ，连接AN ，CN ，判断四边形ABCN 的形状，并证明你的结论．28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN=_______，NM与AB的位置关系是____________；（2）当4<BD<8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；图1 图2 备用图29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．图1 图2 图3（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O 反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°；，0)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第二象限，且②自点A(1第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．图4北京市西城区2015— 2016学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准 2016.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．． 12．>． 13．90． 14．满足即可，如：AD=10．15．．16．直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=24………………………………………………………3分=162-=112．…………………………………………………………………………5分18．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=12AB=6，…………………………………1分74222(4)10x x-+=3100<<ADAD =AB ·cos ∠BAD = 12·cos30°= ……………………………………2分 ∵BC =15，∴CD = BC －BD =15－6=9． ………………………………………………………3分 ∴在Rt △ADC 中，tan C =ADCD……………………………………………………4分………………………………………5分 19．解：（1）令0=y ，则2230x x -++=．解得 11-=x ，32=x ． ………………………………………………………1分 ∵点A 在点B 的左侧， ∴A （1-，0），B （3，0）． …………………………………………………2分 对称轴为直线1=x ． …………………………………………………………3分 （2）∵当1x =时，4=y ，∴顶点C 的坐标为（1，4）． …………………………………………………4分 ∵点C ，D 关于x 轴对称， ∴点D 的坐标为（1，4-）． ∵AB =4，∴=ACB DCB ACBD S S S ∆∆+四边形1442162=⨯⨯⨯=． ………………………………5分20．（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ． ……………………1分 ∵∠A =∠BDC ，∴△ABD ∽△DCB ． ……………………3分 （2）解：∵△ABD ∽△DCB ，∴AB ADDC DB=． ∵AB =12，AD =8，CD =15， ∴12815DB=． ∴DB =10． ………………………………………………………………5分21．解：根据题意，得 (213)(82)60x x --=． …………………………………………2分整理得 211180x x -+=．解得 12x =，29x =． …………………………………………………………3分 ∵9x =不符合题意，舍去，∴2x =． ……………………………………………………………………………4分答：人行通道的宽度是2米． ……………………………………………………5分 22．解：（1）∵抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴有且只有一个公共点， ∴方程2240x x k -+=有两个相等的实数根．∴2(4)420k ∆=--⨯=． ……………………………………………………1分解得 2k =． …………………………………………………………………2分 （2）∵抛物线1C ：21242y x x =-+22(1)x =-，顶点坐标为（1，0）， 抛物线2C ：222(1)8y x =+-的顶点坐标为（-1，-8）， ………………3分∴将抛物线1C 向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线2C ． …………………………………………………………………4分（3）31m -<<． ……………………………………………………………………5分 23．解：（1）∵OC ⊥AB 于点D ，∴AD =DB ， ……………………………………1分∠ADO =90°．∵AB =∴AD =∵∠AOD =2∠E ，∠E =30°，∴∠AOD =60°． ………………………………………………………………2分∵在Rt △AOD 中， ∴OA =︒=∠60sin 32sin AOD AD =4． ………………………………………………3分 （2）∠BAF =75°或15°． ……………………………………………………………5分 24．解：（1）∵在Rt △ADB 中，∠ADB =90°，∠B =45°，∴∠BAD =90°—∠B =45°． ∴∠BAD =∠B ．∴AD =DB ． ……………………………1分 设AD =x ，∵在Rt △ADC 中，tan ∠ACD =ADDC，∠ACD =58°， ∴DC =tan58x． ………………………………………………………………3分∵DB = DC + CB =AD ，CB =90，∴tan58x +90=x ． ……………………………………………………………4分 将tan58°≈1.60代入方程，解得x ≈240． …………………………………………………………………5分 答：最高塔的高度AD 约为240米． 25．（1）证明：连接OC ，如图1．∵ PC 是⊙O 的切线，C 为切点，∴OC ⊥PC ． ……………………………1分 ∴∠PCO =∠1+∠2=90°． ∵PD ⊥AB 于点D ，∴∠EDA =90°． ∴∠A +∠3=90°． ∵OA =OC ， ∴∠A =∠1． ∴∠2=∠3． ∵∠3=∠4， ∴∠2=∠4．即∠PCE =∠PEC ． …………………………………………………………2分 （2）解：作PF ⊥EC 于点F ，如图2． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∵在Rt △ABC 中，AB =10，3sin 5A =， ∴BC =AB ·sin A =6．∴AC =22BC AB -=8．∵在Rt △AED 中，ED =32，∴AE =sin ED A =52． ∴EC=AC －AE =112． ∵∠2=∠4， ∴PE=PC ．∵PF ⊥EC 于点F ，∴……………………………………………………………4分 ∠∴∠∵∠A +∠2=∠1+∠2=90°． ∴∠A =∠5． ∴sin ∠5 =35． ∴在Rt △PFC 中，PC =sin 5FC∠=1255． ……………………………………5分26．解：（2）抛物线如图所示； ……………………1分 （3）x =4-，1-或1； ……………………3分 （4）41x -<<-或1x >． ……………………5分27．解：（1）∵二次函数212y x bx c =-++，当0x =和5x =时所对应的函数值相等， ∴二次函数212y x bx c =-++的图象的对称轴是直线52x =． ∵二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A （1，0）， ∴10,25.2b c b ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………1分 解得 2,5.2c b =-⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴二次函数的表达式为215222y x x =-+-． ………………………………2分 （2）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如图1．∵一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点， ∴2153222x x x -+=-+-． 解得 12x =，25x =． ………………3分∴交点坐标为（2，1），（5，2-）．∵点B 在第一象限，∴点B 的坐标为（2，1）．∴点D 的坐标为（2，0）．在Rt △ABD 中，AD =1，BD =1， ∴AB2． …………………………………………………4分（3）结论：四边形ABCN 的形状是矩形． ………………………………………5分证明：设一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，连接MB ，MN ，如图2．∵点B 绕点M 旋转180°得到点N ，∴M 是线段BN 的中点．∴MB = MN ．∵M 是线段AC 的中点，∴MA = MC ．∴四边形ABCN 是平行四边形． ……6分∵一次函数3y x =-+的图象与x 轴交于点E ，当0y =时，3x =．∴点E 的坐标为（3，0）．∴DE =1= DB ．∴在Rt △BDE 中，∠DBE =∠DEB =45°． 同理∠DAB =∠DBA =45°．∴∠ABE =∠DBA +∠DBE =90°．∴四边形ABCN 是矩形． ……………………………………………7分28．解：（1，垂直； …………………………2分（2②结论：（1AN⊥DE．∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND=90°．∴∠NAM =∠DAC．………………………………………………4分在Rt△AND中，ANAD=cos∠DAN在Rt△ACB中，ACAB=cos∠CAB∵M为AB的中点，∴AB=2AM．∴2AC ACAB AM==．∴AMAC=．∴ANAD=AMAC．∴△ANM∽△ADC．∴∠AMN=∠ACD．∵点D在线段BC的延长线上，∴∠ACD=180°－∠ACB =90°．∴∠AMN=90°．∴NM⊥AB．………………………………………………………5分（3）当BD的长为 6 时，……………………………7分29．解：（1）所得图形，如图1所示．……………………1分（2）①45°；………………………………………3分②(12)或(12-)；……………5分（3）①如图2，直线OQ与⊙M相切于点Q，点Q在第一象限，连接MQ，过点Q作QH⊥x轴于点H．∵直线OQ与⊙M相切于点Q，∴MQ⊥OQ．∴∠MQO=90°．∵MO=2，MQ=1，∴在Rt △MQO 中，sin ∠MOQ=21=MO MQ ． ∴∠MOQ =30°．∴OQ =OM ﹒cos ∠MOQ =3．∵QH ⊥x 轴，∴∠QHO =90°．∵∠QOH =90°-∠MOQ =60°，∴在Rt △QOH 中，QH = OQ ﹒sin ∠QOH =23． …………………………6分 ②如图3，当反射光线PN 与坐标轴平行时，连接MP 并延长交x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥OD 于点E ，过点O 作OF ⊥PD 于点F ． ∵直线l 是⊙M 的切线，∴MD ⊥l ．∴∠1+∠OPD =∠2+∠NPD =90°．∵∠1=∠2，∴∠OPD =∠NPD ．∵PN ∥x 轴，∴∠NPD =∠PDO ．∴∠OPD =∠PDO ．∴OP =OD ．∵OF ⊥PD ，∴∠MFO =90°，PF =FD ．∵cos OMF ∠=MF MO MO MD=， 设PF =FD =x ，而MO =2，MP =1， ∴12212x x+=+．解得x = ∵0x >，∴x =∵PE ⊥OD ，∴∠PED =90°=∠MOD ．∴PE ∥MO ．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos∠EPD = cos∠OMF ． ∴MOMF PD PE =． ∴PD MOMF PE ⋅= =122x x +⋅ (1)x x =+…………………………………………………………7分． 可知，当反射点P 从②中的位置开始，在⊙M 上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q 重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P 的纵坐标的取值范围是32P y <． ………………………………8分。
北京市燕山区2015届九年级上期末考试数学试题及答案
北京市燕山区2015届九年级上期末考试数学试题及答案考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时刻120分钟。
2．答题纸共6页，在规定位置准确填写学校名称、班级、姓名和学号。
3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
4．考试终止，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将符合题意的答案代号写在答题纸的相应位置上．1．观看下列图形，是中心对称图形的是A．B．C．D．2．某校举办中学生汉字听写大会，预备从甲、乙、丙、丁4套题中随机抽取一套题对选手进行训练，则抽中甲套题的概率是A．41B．31C．21D．13．右图是某几何体的三视图，该几何体是A．圆锥B．圆柱C．棱柱D．正方体4．已知△ABC ∽△DEF，相似比为1∶2，△ABC的周长为4，则△D EF的周长为A．2 B．4 C．8 D．165．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB为A．20°B．40°C．60°D．70°OCBA俯视图左视图正视图6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC是A．55 B ．552 C ．21D ．27．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时刻x (小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线)0(≠=k xky 的一部分，则当x ＝16时，大棚内的温度约为A ．18℃B ．15.5℃C ．13.5℃D ．12℃8．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝4，OB ＝3．⊙O 的半径为2，点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点．设AP ＝x ，PQ2＝y ，则y 与x 的函数图象大致是A ．B ．C ．D ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若y x 54=，则yx ＝ ．)A10．已知反比例函数)0(≠=k xky 的图象在其每一分支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数的解析式能够是 ．（注：只需写出一个正确答案即可）11．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 米．(已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米)12．在函数)0(8>=x xy 的图象上有点P1，P2，P3，…，Pn ，Pn+1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n ，n+1．过点P1，P2，P3，…，Pn ，Pn+1分不作x 轴、y 轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为1S ，2S ，3S ，…，n S ，则点P1的坐标为 ；2S ＝ ；n S ＝ ．（用含n 的代数式表示）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．运算：2sin45°－tan60°·cos30°．14．如图，点D 是△ABC 的边AC 上的一点，AB2＝AC ·AD ． 求证：△ADB ∽△ABC ．DCAB15．如图，正比例函数y=2x 与反比例函数)0(≠=k xky 的图象的一个交点为A(2，m)．求m 和k 的值．16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，点A ，B ，C 的坐标分不为(0，1)，(1，－1)，(5，1)．（1）直截了当写出点B 关于原点的对称点D的坐标；（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90º得到△A1B1C ．请在网格中画出△A1B1C ，并直截了当写出点A1和B1的坐标．17．如图，在半径为6cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离OE 为3c m ．（1）求弦AB 的长；（2）求劣弧AB⌒的长．18．在燕房线地铁施工期间，交管部门在施工路段设置了矩形路况警示牌（如图所示）．已知立杆AB 的高度是3米，从路侧点D 处测得路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分不是60°和45°，求路况警示牌宽BC 的值．（精确到0.1米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE ．（1）求证：△ABE ∽△ACD ；ABDEF（2）若BC ＝2，AD ＝6，DE ＝3，求AC 的长．20．按照某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分不有：消费、教育、环保、反腐及其它共五类．按照调查的部分有关数据，绘制的统计图表如下：科*网]按照以上信息解答下列咨询题：（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）若北京市约有2100万人口，请你估量最关注环保咨询题的人数约为多少万人？（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育咨询题，现预备从这四人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 ．反腐20%消费30%环保10%教育25%其他15%网民关注的热点咨询题情形统计图 140280210420人数（万人）420350280210140700关注各类热点咨询题的网民人数统计图21．如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥l 于点D ，交⊙O 于点E ．（1）求证：∠CAD ＝∠BAC ；（2）若sin ∠BAC ＝53，BC ＝6，求DE 的长．22．阅读下面材料：小辉遇到如此一个咨询题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求D E 的长．小辉发觉，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转90º，得到△ACF ，连接EF （如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE ＝45°，可证△FAE ≌△DAE ，得FE ＝DE ．解△FCE ，可求得FE(即DE)的长．请回答：在图2中，∠FCE 的度数是 ，DE 的长为 ．参考小辉摸索咨询题的方法，解决咨询题：如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°．E ，F 分不是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝21∠BAD ．猜想线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并讲明理由．图1ABC DE图2FABC DE图3EFDABC五、解答题（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程012=-+-k kx x .（1）求证：当2>k 时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若二次函数)2(12>-+-=k k kx x y 的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，且tan ∠OAC ＝4，求该二次函数的解析式；（3）已知点P （m ，0）是x 轴上的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线交（2）中的二次函数图象于点M ，交一次函数q px y +=的图象于点N ．若只有当51<<m 时，点M 位于点N 的下方，求一次函数q px y +=的解析式．24．在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分不是边AD ，AB ，BC 的中点，点H 是直线BCF 得到线段FK ，连接EK ．HH图2图1（1）如图1，求证：EF＝FG，且EF⊥FG；（2）如图2，若点H在线段BC的延长线上，猜想线段BH，EF，EK 之间满足的数量关系，并证明你的结论．（3）若点H在线段BC的反向延长线上，请在图3中补全图形并直截了当写出线段BH，EF，EK之间满足的数量关系．25．在平面直角坐标系xOy中，关于任意三点若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形．点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，右图中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ，333CD B A 差不多上点A ，B ，C 的外延矩形，矩形333CD B A 是点A ，B ，C 的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A(－2，0)，B(4，3)，C(0，t )．①若2=t ，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为 ； ②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为 ；（2）如图2，已知点M(6，0)，N(0，8)．P(x ，y )是抛物线542++-x x y ＝上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及现在点P 的横坐标x 的取值范畴；（3）如图3，已知点D(1，1)．E(m ，n )是函数)0(4>=x xy 的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形O FEG 的外接圆，请直截了当写出⊙H 的半径r 的取值范畴．yxO11BA 图1图3OxyH G D E F图211O xyNM数学试卷参考答案与评分标准 2015年1月 一、选择题（本题共32分，每小题4分） B ．A ．B ．C ． D ．B ．C ．A ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．45 10．x y 1-= )0(<=k xk y （答案不唯独） 11．1.4 12．(1，8)；34；)1(8+n n ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式＝233222⨯-⨯……………………………………3分＝123-＝21-． ……………………………………5分 14．证明：∵AB2＝AC ·AD ， ∴AC AB ＝ABAD． ……………………………………2分又∵∠A ＝∠A ， ……………………………………4分∴△ADB ∽△ABC ． ……………………………………5分15．解：将点A(2，m)的坐标代入y=2x 中，得m ＝2×2，即m ＝4． ……………………………………2分∴A(2，4)． ……………………………………3分将点A(2，4)xky =，得k ＝2×4，即k ＝8． ………………5分 16．解：（1）D(－1，1)；………………2分（2）画出△A1B1C ，如图； ………………3分A1(5，6)，B1(3，5)． ………………5分17．解：（1）∵AB 为⊙O 的弦，OE ⊥AB 于E ， ∴AE ＝BE ＝21AB ． ……………………………………1分在Rt △AOE 中，OA ＝6，OE ＝3，O 5342xy 1BA B 1C A1-1-1∴AE ＝22OE OA -＝2236-＝27＝33， ………………2分 ∴AB ＝2AE ＝36． ……………………………………3分（2）由（1）知，在Rt △AOE 中，∠AEO ＝90°，OA ＝6，OE ＝3， ∴cos ∠AOE ＝OA OE＝21， ∴∠AOE ＝60°，∴∠AOB ＝2∠AOE ＝120°，……………………………………4分∴AB ⌒的长l ＝1806120⨯π＝π4． ……………………………………5分18．解：由题意，在Rt △ABD 中，∠DAB ＝90°，∠ADB ＝45°，AB ＝3米， ∴AD ＝AB ＝3米， ……………………………………2分又∵Rt △ACD 中，∠DAC ＝90°，∠ADC ＝60°， ∴AC ＝AD ·tan ∠ADC ＝3·tan60°＝33米， ………………4分∴BC ＝AC －AB ＝33－3≈2.2米． ………………5分即路况警示牌宽BC 的值约为2.2米． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ， 即∠BAE ＝∠CAD ． ……………………………………1分又∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BFA ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BFA ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ． ……………………………………2分∴△ABE ∽△ACD ． ……………………………………3分证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ， 即∠BAE ＝∠CAD ． ……………………………………1分又∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ， ∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC ． ……………………………………2分∴△ABE ∽△ACD ． ……………………………………3分(2)∵△ABE ∽△ACD ，∴AC AB ＝ADAE ． 又∵∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△AED ， ……………………………………4分∴DE BC ＝ADAC， ∴AC ＝AD DE BC ⋅＝632⨯＝4．……………………………………5分20．（1）补全条形统计图如图； ………………2分 （2）2100×10%＝210万人； ………………4分 （3）61． ………………5分21．（1）证明：连接OC ， ∵CD 为⊙O 的切线，350140280210420人数（万人）42035028021014070∴OC ⊥CD ，1分∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ， ∴∠CAD ＝∠ACO ． 又∵OC ＝OA ， ∴∠ACO ＝∠OAC ， ∴∠CAD ＝∠OAC ，即∠CAD ＝∠BAC ．……………………………………2分（2）解法一：过点B 作BF ⊥l 于点F ，连接BE ， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又AD ⊥l 于点D ，∴∠AEB ＝∠ADF ＝∠BFD ＝90°， ∴四边形DEBF 是矩形，∴DE ＝BF ． ……………………………………3分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∴∠ACD ＋∠BCF ＝90°． ∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠BCF ＝∠CAD ． ∵∠CAD ＝∠BAC ，∴∠BCF ＝∠BAC ． ……………………………………4分在Rt △BCF 中，BC ＝6，sin ∠BCF ＝BC BF ＝sin ∠BAC ＝53， ∴BF ＝BC 53＝518，∴DE ＝BF ＝518．……………………………………5分解法二：连接CE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． ∵A ，B ，C ，E 四点共圆， ∴∠AEC ＋∠ABC ＝180°． 又∵∠AEC ＋∠DEC ＝180°， ∴∠DEC ＝∠ABC ，∴Rt △CDE ∽Rt △ACB ， ……………………………………3分∴BC DE ＝ACCD ． 在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝AB BC ＝53，BC ＝6， ∴AB ＝BC 35＝10，∴AC ＝22BC AB -＝8．在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝∠BAC ，∴sin ∠DAC ＝AC CD ＝sin ∠BAC ＝53， ∴CD ＝AC 53＝524．……………………………………4分 ∴DE ＝AC BC CD ⋅＝86524⨯＝518． (5)分22．90°；10． ……………………………………2分猜想：EF=BE ＋FD ； ……………………………………3分理由如下：如图，将△ABE 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADG ，∴BE ＝DG ，AE ＝AG ，∠DAG ＝∠BAE ，∠B ＝∠ADG ， ∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠B ＝∠ADG ，∴∠ADG ＋∠ADC ＝180°，即点F ，D ，G 在同一条直线上． ∵∠EAF ＝21∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，即∠GAF ＝∠EAF ． ……………………………………4分在△AEF 和△AGF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠AF AF GAF EAF AG AE ＝，＝，＝ ∴△AEF ≌△AGF ， ∴EF ＝FG ．∵FG ＝DG ＋FD ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋FD ．……………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题8分，第24、25题每小题7分） 23．（1）证明：∵)1(14)(2-⨯⨯--=∆k k ＝2)2(-k ， ………………1分又∵2>k ，∴02>-k ， ∴0)2(2>-k ，即0>∆，∴当2>k 时，方程总有两个不相等的实数根． ………………2分（2）解：∵(12>-+-=k k kx x y 与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，有210x kx k -+-=，解得 1=x ，或1-=k x ． ………………3分∵2>k ，点A 在点B 的左侧，∴A(1，0)，B(1-k ，0)． ∵抛物线与y 轴交于点C ，∴C(0，1-k )． ……………………………………4分在Rt △AOC 中，tan ∠OAC ＝OA OC ＝11-k ＝4， 解得5=k ．∴抛物线的解析式为452+-=x x y ． ……………………………………5分EFD GABCCB 5A1O xyP MN（3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分不为1和5，由此可得交点坐标为(1，0)和(5，4)． ………………6分将交点坐标分不代入一次函数解析式q px y +=中，得⎩⎨⎧+=+q p q p 54,0＝， 解得⎩⎨⎧-1,1＝＝q p ， ∴一次函数的解析式为1-=x y ．……………………………………7分24．（1）证明：∵正方形ABCD ，E ，F ，G 分不是边AD ，AB ，BC 的中点，∴AE ＝AF ＝FB ＝BG ，∠A ＝∠B ＝90°， ∴△AEF ≌△BGF ， ……………………………………1分∴EF ＝FG ，∠AFE ＝∠BFG ＝45°，∴∠EFG ＝180°－∠AFE －∠BFG ＝90°，即EF ⊥FG ． ………………2分（2）BH ＝22EF ＋EK ； ……………………………………3分证明：将线段FH 绕点F 逆时针旋转90º，得到线段FK ， ∴FH ＝FK ，∠HFK ＝90°， ∴∠KFE ＋∠EFH ＝90°，∵∠EFG ＝90°，∴∠HFG ＋∠EFH ＝90°， ∴∠KFE ＝∠HFG ， 在△EFK 和△GFH 中，FK ＝FH ，∠KFE ＝∠HFG ，EF ＝FG ， ∴△EFK ≌△GFH ， ……………………………………4分∴EK ＝GH ．∵△BFG 是等腰直角三角形，∴BG ＝22FG ， ∴BH ＝BG ＋GH ＝22FG ＋EK ＝22EF ＋EK ，即BH ＝22EF ＋EK ． ……………………………………5分（3）补全图形如图； ……………………………………6分BH ＝EK －22EF ． ……………………………………7分 25．（1）①18； ……………………………………1分②4=t 或1-=t ； ……………………………………3分 （2）如图，过M 点作x 轴的垂线与过N 点垂直于y 轴的直线交于点Q ，则当点P 位于矩形OMQN 内部或边界时，矩形OMQN 是点M ，N ，P 的最佳外延矩形，且面积最小．∵S 矩形OMQN ＝OM ·ON ＝6×8＝48，∴点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值为48．………………4分抛物线542++-x x y ＝与y 轴交于点T(0，5)． 令0y =，有0542＝++-x x ， 解得 1-=x （舍），或5=x ． 令8=y ，有8542＝++-x x ，解得 1=x ，或3=x ．∴10≤≤x ，或53≤≤x ． ……………………………………6分 （3）2172≤≤r ． ……………………………………8分讲明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．y xO 11J R S N MTQK PK G E FC DBAH。
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北京市燕山区2015-2016学年九年级数学上学期期末考试试题一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C． D．3．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（）A．B．C．D．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．40°D．50°7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（）A．B．C．D．8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）A．B．C．D．9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（）A．B．C．D．10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB＞AD＞，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．12．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．种子总数100 400 800 1000 3500 7000 9000 14000发芽种子数91 354 716 901 3164 5613 8094 12614发芽的频率0.91 0.885 0.895 0.901 0.904 0.902 0.899 0.901则该玉米种子发芽的概率估计值为（结果精确到0.1）．14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门步而见木．15．老师在课堂上出了一个问题：若点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．小明是这样思考的：当k＜0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且﹣2＜1＜4，所以y1＜y2＜y3．你认为小明的思考（填“正确”和“不正确”），理由是．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．已知线段a，c如图．小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：cos45°﹣tan30°•sin60°．18．解方程：x2﹣3x﹣1=0．19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长．20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到△AB1C1．（1）在网格中画出△AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）22．已知二次函数y=2x2﹣8x．（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．23．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB 长为200米，点D ，B ，C 在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD ．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）25．如图，已知⊙O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线交OC 的延长线于点D ，交BC 的延长线于点E ． （1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=，求AE 的长．26．有这样一个问题：探究函数y=+x 的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x 的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=+x 的自变量x 的取值范围是 ；x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …y…﹣﹣ ﹣﹣1﹣﹣3m…（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C（0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求一次函数y=x+n的表达式；（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．（1）①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．2015-2016学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y=（x﹣1）2+2，∴当x=1时，函数有最小值2．故选D．2．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，故选：D．3．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．【解答】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；B、主视图是长方形，故B选项错误；C、主视图是三角形，故C选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；故选：C．4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，故选：A．5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据统计图求出总的水彩笔和蓝色水彩笔的支数，再根据概率公式进行计算即可．【解答】解：图中共有水彩笔2+3+4+3+6+2=20支，其中蓝色水彩笔6支，则抽到蓝色水彩笔的概率为=；故选：C．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．40°D．50°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOC=50°，∴∠D=∠AOC=25°．故选A．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理，得BC===4．cosB==，故选：B．8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）A．B．C．D．【分析】首先设I=，再把点（4，8）代入可得k的值，进而可得函数解析式．【解答】解：设I=，∵图象经过点（4，8），∴8=，解得：k=32，∴电流I关于电阻R的函数解析式为I=．故选：C．9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（）A．B．C．D．【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠AEH=45°，则∠EAH=45°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG=∠HEF=90°，∵∠AEF=135°，∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=45°，∠EAH=45°，在△EA H中，∠EHA=90°，∠EAH=45°，AE=1.3米，∴EH=AE•sin∠EAH≈1.3×0.7=0.91（米），∵AB=1.3米，∴AB+EH≈1.3+0.91=1.92≈2.2米．故选B．10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB＞AD＞，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A【分析】观察图2，发现寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，确定出寻宝者的行进路线即可．【解答】解：观察图2得：寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，结合图1得：寻宝者的行进路线可能为O→D→C→B，故选A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．12．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 1 ，b= 2014 ．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到a+b﹣2015=0，于是a取1时，计算对应的b的值．【解答】解：把x=1代入ax2+bx﹣2015=0得a+b﹣2015=0，当a=1时，b=2014．故答案为1，2014．种子总数100 400 800 1000 3500 7000 9000 14000发芽种子数91 354 716 901 3164 5613 8094 12614发芽的频率0.91 0.885 0.895 0.901 0.904 0.902 0.899 0.901则该玉米种子发芽的概率估计值为0.9 （结果精确到）．【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，∴该玉米种子发芽的概率为0.9，故答案为：0.9．14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门315 步而见木．【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【解答】解：由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，△ACB∽△DEC，∴=，即=，解得，DE=1.05里=315步，∴走出南门315步恰好能望见这棵树，故答案为：315．15．老师在课堂上出了一个问题：若点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．小明是这样思考的：当k＜0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且﹣2＜1＜4，所以y1＜y2＜y3．你认为小明的思考不正确（填“正确”和“不正确”），理由是y2＜y3＜y1．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数中k=﹣8＜0，∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，∴A在第二象限，点B、C在第四象限，∴y1＞0，y2＜y3＜0，∴y2＜y3＜y1．故小明的思考不正确，故答案为：不正确，y2＜y3＜y1．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．已知线段a，c如图．小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角．【分析】根据圆周角定理的推论求解．【解答】解：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角．故答案为直径所对的圆周角为直角．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：cos45°﹣tan30°•sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=×﹣•=1﹣=．18．解方程：x2﹣3x﹣1=0．【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x1=，x2=．19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB的长．【分析】求出OD，根据垂径定理得出AB=2AD，根据勾股定理求出AD，即可得出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为5，∴OA=OC=5，∵CD=2，∴OD=5﹣2=3，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB=2AD，∠ODA=90°，在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD===4，∴AB=2AD=8．20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到△AB1C1．（1）在网格中画出△AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1即可得到△AB1C1；（2）点B旋转到B1的过程中所经过的路径为以A为圆心，AB为半径，圆心角为90°的弧，于是根据弧长公式可计算出点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；（2）AB==5，所以B旋转到B1的过程中所经过的路径长==π．22．已知二次函数y=2x2﹣8x．（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．【分析】（1）利用配方法即可直接求解；（2）在解析式中令y=0，求得x即可求得A和B的横坐标；（3）根据二次函数的平移法则即可直接写出平移后的解析式．【解答】解：（1）y=2x2﹣8x=2（x2﹣4x+4﹣4）=2（x﹣2）2﹣8；（2）在y=2x2﹣8x中令y=0，则2x2﹣8x=0，解得：x1=0，x2=4，则A的坐标是（0，0），B的坐标是（4，0）；（3）y=2（x﹣2）2﹣8沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位后的解析式是：y=2x2﹣5．23．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；（2）联立方程，解方程组即可求得B的坐标，设直线与y轴的交点为C（0，2），根据△ABP的面积为6得出PC•|x B|+PC•|x A|=6，求出PC的长，即可求得P点的坐标．【解答】解：（1）∵一次函数图象过A点，∴m=1+2，解得m=3，∴A点坐标为（1，3），又∵反比例函数图象过A点，∴k=1×3=3，∴反比例函数y=（k≠0）的表达式为y=．（2）∵，解得或∴B（﹣3，﹣1），设直线与y轴的交点为C（0，2），∵△ABP的面积为6，∴PC•|x B|+PC•|x A|=6，∴PC（1+3）=6，∴PC=3，∴P（0，5）或（0，﹣1）．24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】根据题意和正切的概念分别求出CB、CD的长，计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=45°，∴AC=BC=100≈141米，tan∠D=，∴CD==100≈245米，∴BD=CD﹣CB=104米，答：改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD为104米．25．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．（1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，s in∠D=，求AE的长．【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．【解答】解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．又∵∠DCE=∠OCB．∴∠DAC=∠DCE．（2）∵AB=2，∴AO=1．∵sin∠D=，∴OD=3，DC=2．在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==2．∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA．∴，即．解得：DE=．∴AE=AD﹣DE=．26．有这样一个问题：探究函数y=+x 的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x 的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数y=+x 的自变量x 的取值范围是 x≠1 ；x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …y…﹣﹣ ﹣﹣1﹣﹣3m…（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）： 该函数没有最大值，也没有最小值 ．【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m ，把x=4代入解析式即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可； （4）观察图象即可得出该函数的其他性质． 【解答】解：（1）x≠1， 故答案为x≠1； （2）令x=4， ∴y=+4=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值，也没有最小值；故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C（0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求一次函数y=x+n的表达式；（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）根据A和B对称，可求得对称轴，则b的值即可求得，然后根据函数经过点（0，﹣1），代入即可求得c的值，则抛物线解析式即可求得；（2）首先求得抛物线的顶点，代入一次函数解析式即可求得n的值，求得一次函数的解析式；（3）首先求得抛物线上当x=﹣1和x=1时对应点的坐标，然后求得直线y=mx+n经过这两个点时对应的m的值，据此即可求解．【解答】解：（1）二次函数的对称轴是x==1，则﹣=1，解得：b=﹣2，∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣1）．∴c=﹣1，则二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣1；（2）二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标是（1，﹣2），代入y=x+n得﹣2=1+n，解得：n=﹣3，则一次函数y=x+n的表达式是y=x﹣3；（3）如图所示：在y=x2﹣2x﹣1中，当x=﹣1时，y=2；当x=1时，y=﹣2．当直线y=mx﹣3经过点（﹣1，2）时，﹣m﹣3=2，解得：m=﹣5；当直线y=mx﹣3经过点（1，﹣2）时，m﹣3=﹣2，解得：m=1．则当﹣5＜m＜1时，当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方．28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．（1）①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．【分析】（1）①根据旋转的特性画出图象；②由∠ACD、∠BCE均与∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，从而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即证出AD⊥BE；③依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE，BE去表示CM；（2）根据题意画出图形，比照（1）③的结论，套入数据即可得出结论．【解答】解：（1）①依照题意补全图2，如下图（一）所示．②证明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△AD C和△BEC中，有，∴△ADC≌△BEC（S AS），∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．∵点A，D，E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，∴AD⊥BE．③依照题意画出图形，如图（二）所示．∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB，即AC•BC+BE•CM=AE（CM+BE），∴AC2﹣AE•BE=CM（AE﹣BE）．∵△CDE为等腰直角三角形，∴DE=2CM，∴AE﹣BE=2CM，∴CM=．（2）依照题意画出图形（三）．其中AB=，DP=1，BD=AB=由勾股定理得：BP==3．结合（1）③的结论可知：AM===1．故点A到BP的距离为1．29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．【分析】（1）利用反演点定义，先求出：ON′，OT′，OM′的长度，然后求出它们的坐标；（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理证明△E′O′G是RT△；②考虑两种情形，点P在直线AB左右都存在．【解答】解：（1）∵ON•ON′=1，ON=2，∴ON′=，∴反演点N′坐标（0，），∵OM•OM′=1，OM=1，∴OM′=1反演点M′坐标（1，0）∵，∴，∵T′在第一象限的角平分线上，∴反演点T′坐标（1，1）（2）①由题意：AB=2，r=，∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G•EG=5，∴，∵OG•O′G=5，OG=2，∴O′G=，∵E′（﹣，2），O′（，），∴O′E′=，∴E′G2=E′O′2+O′G2，∴∠E′O′G=90°②如图：∵∠BAP1=∠OBC，∠CAP1+∠CBP1=∠CAB+∠BAP1+∠CBP1=180°，∠OBC+∠CBP1+∠P1BQ1=180°，∠CAB=45°，∴∠P1BQ1=45°，∵∠AP1B=∠BP1Q1=90°，∴△PBQ1是等腰直角三角形，由△A P1B∽△BOC得到：，∵，∴，BQ1=2，Q1（5，0），∵Q1′G•GQ1=5，∴Q1′G=，∵∠P2AB=∠BAP1，∴P1，P2关于直线AB对称，∵P1（4，1），易知：P2（，﹣），∴直线AP2：Y=﹣7X+11，∴Q2（），由：Q2′G•Q2G=5得到：Q2′G=．。