不等式第4课时
第4课不等关系与不等式
是( )
A．a<b<
a＋b ab< 2
C．a<
a＋b ab<b< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
a＋b D. ab<a< 2 <b
【答案】B
【解析】方法 1：已知 a<b 和 ab<a＋2 b， ∵a2－( ab)2＝a(a－b)<0，∴a< ab. 同理，由 b2－( ab)2＝b(b－a)>0，得 ab<b. 作差法：b－a＋2 b＝b－2 a>0，∴a＋2 b<b. 综上，a< ab<a＋2 b<b.故选 B.
方法 2：取 a＝2，b＝8，则 ab＝4，a＋2 b＝5.
∴a<
a＋b ab< 2 <b.
考点2 比较大小
【例 2】设 a,b R ，比较 a2 2b2 4 与 2a 4b 的大小．
【解析】∵ a2 2b2 4 (2a 4b) a2 2a 1 2(b2 2b 1) 1 (a 1)2 2(b 1)2 1 0
∴ a2 2b2 4 2a 4b ．
【变式】已知 a∈R，试比较1－1 a与 1＋a 的大小．
【解析】 1－1 a－(1＋a)＝1－a2 a， (1)当 a＝0 时，1－a2a＝0，
∴1－1 a＝1＋a. (2)当 a＜1，且 a≠0 时，1－a2a＞0，
∴1－1 a＞1＋a. (3)当 a＞1 时，1－a2a＜0，
第1步：作差并化简， 其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第2步：判断差值与零的大小关系， 当差值的符号不能确定，要分类讨论；
第3步：得出结论． 4．利用不等式的性质求取值范围时要特别注意：
第4课时 不等式及一元一次不等式(组)
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1 2 4． (2012· 衢州)不等式 2x－ 1> x 的解集是 x> . 2 3
x－2≥0 5 ． (2013· 衢 州 )不等 式组 的 解 集是 3x＋ 1＞x
x≥2.
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解：(1)①根据信息填表： A 地 产品件数 (件 ) 运费(元) B地 200－ 3x 1 600－ 24x 50x 1 600＋ 56x C 地 合计
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200－3x≤2x， ②由题意，得 1 600＋56x≤4 000，
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方法总结 1.在不等式的两边同乘或除以 一个负数时，要改 变不等号的方向，所以在去分母、系数化为 1 的两个 相关步骤中，要时刻注意是否要改变不等号的方向. 2.解一元一次不等式组的一般步骤：1求出不等 式组中各个不等式的解集；2利用数轴确定解集的公 共部分； 3写出不等式组的解集.
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温馨提示 列一元一次不等式组解实际问题时，一定要注意 解的实际意义，很多问题中都要取整数解.一元一次不 等式组在方案设计中有重要的应用.
第7章 第4课时 基本不等式
9 当且仅当 y－9＝ ，即 y＝12 时取等号． y－9 1 9 又x ＋y ＝1，则 x＝4. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
• 方法二：在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代 换，也会给解决问题提供简捷的解法．
1 9 ∵x ＋y ＝1， 1 9 y 9x ∴x＋y＝(x＋y)· (x ＋y )＝10＋x＋ y . y 9x ∵x>0，y>0，∴x＋ y ≥2 y 9x x· y ＝6.
)
b a A．若 a，b∈R，则a＋b≥2
ba a· b＝2
B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx· lgy 4 C．若 x<0，则 x＋x ≥－2 4 x· x ＝－4
D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x· 2－x＝2
• 答案 D
解析 ∵x<0，∴2x∈(0,1)，2 x>1.
• 【答案】 (1)[9，＋∞) (2)[6，＋∞)
• 探究3
利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．
a＋3 另外，第二问也可用如下方法求解：由已知 b＝ >0， a－1 a＋3 a－1＋4 4 ∴a－1>0， ∴a＋b＝a＋ ＝a＋ ＝a＋1＋ ＝(a a－1 a－1 a－1 4 －1)＋ ＋2≥6. a－1
2 1＝x＋2y≥2 2xy，∴ xy≤ 4 . 1 1 2 8 ∴x＋y≥ ≥ ＝4 2. xy 2 其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立．
思考题2
1 2 (1)已知x ＋y ＝1(x＞0，y＞0)，求 x＋y 的最小值． 1 2 (2)已知正数 x，y 满足 x＋y＝4，求x ＋y 的最小值．
若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求： (2)a＋b的取值范围．
[精品]2019高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明第4课时基本不等式练习理
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第4课时基本不等式1．已知a ，b ∈(0，1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析只需比较a 2＋b 2与a ＋b.由于a ，b ∈(0，1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b.2．下列函数中，最小值为4的是()A ．y ＝x ＋4x B ．y ＝sinx ＋4sinx(0<x<π)C ．y ＝4e x＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x<1)答案 C解析注意基本不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的定义域，A 中x 的定义域为{x|x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若sinx ＝4sinx取到最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立．D 中没有最小值．故选 C.3．设0<a<b ，则下列不等式中正确的是 ()A. a<b<ab<a ＋b 2B ．a<ab<a ＋b2<bC ．a<ab<b<a ＋b 2D.ab<a<a ＋b 2<b答案 B解析方法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b 2＝1.5<b ＝2.方法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.4．若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 D解析∵２x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y时等号成立)，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2，故选 D. 5．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2的最小值是()A ．3B.72C ．4 D.92答案C解析原式＝x2＋xy＋14y2＋y2＋yx＋14x2≥4.当且仅当x＝y＝12时取“＝”号．6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则1ab的最小值为( )A.14B．4C.12D．2答案 C解析∵4＝2a＋b≥２2ab，∴ab≤2，1ab≥12，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．7．若x<0，则函数y＝x2＋1x2－x－1x的最小值是( )A．－94B．0C．2 D．4 答案 D解析y＝x2＋1x2－x－1x≥2x2·1x2＋2（－x）（－1x）＝4，当且仅当x＝－1时取等号．8．(2015·湖南，文)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为( )A. 2 B．2 C．2 2 D．4 答案 C解析方法一：由已知得1a＋2b＝b＋2aab＝ab，且a>0，b>0，∴ab ab＝b＋2a≥２2ab，∴ab≥2 2.方法二：由题设易知a>0，b>0，∴ab＝1a＋2b≥22ab，即ab≥２2，当且仅当b＝2a时取“＝”号，选 C.9．(2017·金山模拟)函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是( )A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2答案 A解析∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2（x－1）＋3x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2（x－1）（3x－1）＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．10．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥９对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )A．2 B．4 C．6 D．8 答案 B解析(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a·xy＋yx＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)2，当且仅当a·xy＝yx，即ax2＝y2时“＝”成立．∴(x＋y)(1x＋ay)的最小值为(a＋1)2≥9.∴a≥4.11．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( ) A. 3 B．2C. 5D.10 2答案 A解析方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈R.∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)．故选 A.方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤ 3.12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为( )A．3 B．6 C．9 D．12 答案 A13．(2017·四川成都外国语学校)若正数a，b满足：1a＋1b＝1，则1a－1＋9b－1的最小值为( )A．16 B．9 C．6 D．1 答案 C解析方法一：因为1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以1a－1＋9b－1≥21a－1×9b－1＝2×３＝6.方法二：因为1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab，1a－1＋9b－1＝b－1＋9a－9ab－a－b＋1＝b＋9a－10＝(b＋9a)(1a＋1b)－10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6.14．(1)当x>1时，x ＋4x －1的最小值为________；(2)当x ≥４时，x ＋4x －1的最小值为________．答案(1)5(2)163解析(1)∵x>1，∴x －1>0. ∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5. (当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立) ∴x ＋4x －1的最小值为 5.(2)∵x ≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163.15．若a>0，b>0，a ＋b ＝1，则ab ＋1ab 的最小值为________．答案174解析ab ≤（a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．y ＝x ＋1x 在x ∈(0，14]上为减函数．∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝174.16．已知a>b>0，求a 2＋16b （a －b ）的最小值．答案16思路由b(a －b)求出最大值，从而去掉b ，再由a 2＋64a2，求出最小值．解析∵a>b>0，∴a －b>0.∴b(a －b)≤［b ＋（a －b ）2]2＝a24.∴a 2＋16b （a －b ）≥a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16.当a2＝64a2且b＝a－b，即a＝22，b＝2时等号成立．∴a2＋16b（a－b）的最小值为16.17．(2017·江西重点中学盟校联考)设x，y均为正实数，且12＋x＋12＋y＝13，求xy的最小值．答案16解析由12＋x＋12＋y＝13，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥２xy＋8，∴(xy)2－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy 的最小值为16.18．(2018·辽宁抚顺一中月考)某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(0<x<20)厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x2成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与400－x2成反比，比例系数为k，且当x＝102时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.065.(1)将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y表示为x的函数；(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．答案(1)y＝4x2＋9400－x2(0<x<20) (2)116解析(1)由题意得y＝4x2＋k400－x2(0<x<20)，当x＝102时，y＝0.065，代入上式，得k＝9.所以y＝4x2＋9400－x2(0<x<20)．(2)y＝4x2＋9400－x2＝1400(4x2＋9400－x2)[(400－x2)＋x2]＝1400[4＋9＋4（400－x2）x2＋9x2400－x2]≥1400[13＋24（400－x2）x2·9x2400－x2]＝116，当且仅当4（400－x2）x2＝9x2400－x2，即x＝410时取“＝”．所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为1 16.1．下列命题中正确的是( )A．函数y＝x＋1x的最小值为 2B．函数y＝x2＋3x2＋2的最小值为 2C．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最小值为2－4 3D．函数y＝2－3x－4x(x>0)的最大值为2－4 3答案 D解析y＝x＋1x的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，有最小值2，当x<0时，有最大值－2，故A项不正确；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，∵x2＋2≥2，∴取不到“＝”，故B项不正确；∵x>0时，3x＋4x≥2·3x·4x＝43，当且仅当3x＝4x，即x＝233时取“＝”，∴y＝2－(3x＋4x)有最大值2－43，故C项不正确，D项正确．2．(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是( ) A．6＋2 3 B．7＋2 3C．6＋4 3 D．7＋4 3答案 D解析因为log4(3a＋4b)＝log2ab，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且3a＋4b>0，ab>0，即a>0，b>0，所以4a＋3b＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)(4a＋3b)＝7＋4ba＋3ab≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当4ba＝3ab时取等号，选择D项．3．(2016·人大附中月考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ababc，当abc＝1时，bc＋ca＋ababc≤12[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]＝a＋b＋c.故abc＝1?1a＋1b＋1c≤a＋b＋c.反过来，若a＝b＝1，c＝4，有1a＋1b＋1c≤a＋b＋c，但abc≠1，∴“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．4．(2017·山东师大附中月考)已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，那么下列不等式中正确的是()A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c)2≥3 C.1a ＋1b ＋1c ≥2 3 D ．abc(a ＋b ＋c)≤13答案 B解析∵ａ2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，三式相加可知2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(bc ＋ab ＋ac)，∴a 2＋b 2＋c 2≥1.∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥1＋2.∴(a ＋b ＋c)2≥3. 5．已知a>0，b>0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是()A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析由题意知ab ＝1，则m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b)≥４ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．6．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，则W ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案2 5解析方法一：由a ＋b2≤a 2＋b22可得3x ＋2y ≤2（3x ）2＋（2y ）2＝23x ＋2y ＝25，当且仅当3x＝2y ，即x ＝53，y ＝52时等号成立．方法二：易知W>0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x)2＋(2y)2＝10＋(3x ＋2y)＝20，∴W≤25，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝53，y ＝52时等号成立．7．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋c b ＋ba ＋c的最小值为________．答案52解析由条件可知a ，b ，c>0且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b ≥2ac b ＝2，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，令a ＋cb ＝t ，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52，即a ＋c b ＋b a ＋c 的最小值为52.8．(2018·河南郑州外国语学校月考)某城镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，若这两年的平均增长率为p%，则p 与m ＋n2的大小关系为()A ．p>m ＋n 2B ．p ＝m ＋n 2C．p≤m＋n2D．p≥m＋n2答案 C解析依题意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，所以1＋p%＝（1＋m%）（1＋n%）≤1＋m%＋1＋n%2＝1＋m%＋n%2，当且仅当m＝n时等号成立，所以p≤m＋n2，故选 C.9．已知不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}．(1)求实数a，b的值；(2)若0<x<1，f(x)＝ax＋b1－x，求f(x)的最小值．答案(1)a＝1，b＝4 (2)9解析(1)因为不等式x2－5ax＋b>0的解集为{x|x>4或x<1}，所以x2－5ax＋b＝0的两根分别为1和4，由根与系数的关系得5a＝1＋4，b＝1×4，所以a＝1，b＝4.(2)由(1)知f(x)＝1x＋41－x，所以f(x)＝1x＋41－x＝(1x＋41－x)[x＋(1－x)]＝5＋1－xx＋4x1－x，因为0<x<1，所以0<1－x<1，所以1－xx>0，4x1－x>0，所以f(x)≥5＋21－xx×4x1－x＝9，当且仅当1－xx＝4x1－x，即x＝13时等号成立．所以f(x)的最小值为9.10.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽 2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为 a m，高度为 b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)．答案a＝6 m，b＝3 m解析设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小，只需求ab的最大值．由题设，得4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)．∵a＋2b≥２2ab，∴22·ab＋ab≤30.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值．∴当a＝2b时有22·ab＋ab＝30，即b2＋2b－15＝0. 解之得b1＝3，b2＝－5(舍去)，∴a＝2b＝6.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．11．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为 1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．答案(1)10天(2)应该接受此优惠条件解析(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，则其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)．设每天所支付的总费用为y1元，则y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝900x＋9x＋10 809≥２900x·9x＋10 809＝10 989，当且仅当9x＝900x，即x＝10时取等号．所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝900x＋9x＋9 729(x≥35)．令f(x)＝x＋100x(x≥35)，x2>x1≥35，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋100x1)－(x2＋100x2)＝（x1－x2）（x1x2－100）x1x2.因为x2>x1≥35，所以x1－x2<0，x1·x2>100，即x1x2－100>0. 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝x＋100x在[35，＋∞)上为增函数．所以当x＝35时，y2有最小值，约为10 069.7. 此时y2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件．。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第4课时 基本不等式
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
1．基本不等式 a＋b 若a，b∈R ，则 ≥ ab ，当且仅当 a＝b 时取 2
＋
“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 不小于 它 们的几何平均数．
第七章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2．常用不等式 (1)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取 “＝”． a2＋b2 a＋b2 (2) 2 ≥ 2 ≥ab. (3)a2＋b2≥2|ab|.
1 (3)当x≥2时，y＝4x－2＋ 为增函数， 4x－5 1 19 ∴ymin＝4×2－2＋ ＝ . 4×2－5 3
第七章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
探究1 用均值不等式求最值要注意三个条件一正、 二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨 论，如例1第一问，“二定”不满足时，需变形如例1第 二问，“三相等”不满足时，可利用函数单调性如例1第 三问．
第七章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
思考题2 (1)(2011· 湖南理)设x，y∈R，且xy≠0，则 1 1 (x ＋ 2)( 2＋4y2)的最小值为________． y x
2
第七章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
1 1 1 2 2 2 【解析】 (x ＋ 2 )( 2 ＋4y )＝1＋4＋4x y ＋ 2 2 ≥1 y x xy
2 3 【答案】 3
第七章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
题型三
用基本不等式证明不等式
例3 已知a，b，c∈R，求证： (1) a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)； (2)a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
基本不等式课件——2025届高三数学一轮复习
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(
A．y＝x(4－x)
1
C．y＝ +
B．y＝
1
(0＜x＜1)
1−
)
2 +9
2 +5
D．y＝ +
4
(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小
是(
)
2 +2
B．ab≤
2
2 + 2
+ 2
C．
≥
2
2
A．
+ ≥2
BC
[当 <0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．]
D．
2
≤
+
4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18
15
15
m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
2
1
2
1
于是得
+
＝1＋ ＋2＋ ＝3＋
−1
−1
−1
−1
−1
＝3＋2
1
2
2，当且仅当 ＝ ，
−1 −1
2
2
即x＝1＋ ，y＝1＋ 2时取“＝”，
2
+
的最小值为3＋2
−1
−1
2014届高考数学一轮复习课件：第六章第4课时基本不等式(新人教A版)
2 3 的条件，如：5xy＝x＋3y≥2 3xy，即 xy≥ ，3x＋ 5 24 4y≥4 3· xy≥ . 5
【解析】
∵x＞0，y＞0， 11 3 由 x＋3y＝5xy，得 y ＋x＝1. 5 1 1＋3 ∴3x＋4y＝ (3x＋4y)y x 5 12y 13 13x 12y 13x ＋4＋9＋ ＋ ＝ ＝ ＋ 5 y x 5 5 y x 13 1 ≥ ＋ ×2 5 5
同时成立．
跟踪训练
x－2y＋3≥0 3．设 x，y 满足约束条件2x－3y＋4≤0， y≥0
若目标函数 z
1 2 ＝ax＋by(其中 a＞0，b＞0)的最大值为 3，则 ＋ 的最小值 a b 为( A．3 C．2 ) B．1 D．4
解析： A.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区 选 域及直线 ax＋by＝0，平移该直线，当平移到经过不等式组 表示的平面区域内的点(1,2)时，相应直线在 x 轴上的截距取 到最大，即此时目标函数 z＝ax＋by 取得最大值，即有 a＋ 1 2 1 1 2 1 2b 2a 1 2b＝ 3， ＋ ＝ (a＋ 2b)( ＋ )＝ [5＋ ( ＋ )]≥ (5＋ 3 3 a b 3 a b a b 2 2b 2a 2b 2a × )＝3，当且仅当 ＝ ，即 a＝b＝1 时取等号， a b a b
∵x2>x1≥35， ∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0. ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)． 100 即 f(x)＝x＋ ，当 x≥35 时为增函数． x ∴当 x＝35 时，f(x)有最小值，此时 y2<10 989， ∴该厂应接受此优惠条件．
方法感悟
1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大 小或证明不等式， 解决问题的关键是分析不等式两边的结构 特点，选择好利用基本不等式的切入点． 2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握 a＋b 它 的 几 种 变 形 形 式 及 公 式 的 逆 用 等 ， 例 如 ： ab≤ 2 a2＋b2 a＋b 2 ≤ ， ab≤ ≤ 2 2 a2＋b2 (a>0，b>0)等，同时还 2
一元一次不等式第四课时一元一次不等式的应用课件人教版七年级下册
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
4．(2017·台州)商家花费760元购进某种水果80 kg，销售中有5% 的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为_1__0_元/kg.
5．某学校计划买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电 脑每台报价均为6 000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优 惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%，乙商场的优 惠条件是：每台优惠20%，设该学校购买x台电脑，则：
人教版 · 数学· 七年级（下）
7．一个两位数，十位数字与个位数字的和为6，若这个两位数不大于42，则这样的两位数共有____个．
解得x＝8，则10－x＝2.
你能从表格中看出在哪家商场花费少吗？
(1)到甲商场购买需费用_________________元；
第9章 不等式与不等式组 若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？
(1－20%)×200×16＋200a－8 000≥3 200×90%，
A．甲比乙优惠 B．乙比甲优惠
95(x-50)=100+0.
购物不超过 50 元和刚好是 150 元时，在两家商场购物没有区别；
学习目标
1.会通过列一元一次不等式去解决生活中的实际问 题，经历“实际问题抽象为不等式模型”的过程。
同样价格的商品，下列结论正确的是( B )
A．甲比乙优惠 B．乙比甲优惠 C．两店优惠条件相同 D．不能进行比较
2．九(1)班几个同学毕业前合影留念，每人平摊0.7元，已知一张 彩色底片0.8元，冲印一张相片0.5元，每人一张，在平摊的钱尽量
用完的前提下，这张相片上的同学最少有(C )
第4课时不等式
教案编号
059
备课人
柏贵业
使用时间
11.15
三
维
目
标
1.能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。
2.能用基本不等式解决综合形较强的问题。
教学重点
不等式的性质
教学难点
不等式的性质的应用
教学方法
师生合作，学生讨论
教学过程
【基础练习】
1.“a>b>0”是“ab< ”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)
解此不等式得 ．下面解法见解法一，下略．
点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.
例3设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果 ，那么 为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
基础练习例1例2例3.
解析解析解析
反馈演练
课后
反思
条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决
例2.（1）已知a，b为正常数，x、y为正实数，且 ，求x+y的最小值。
（2）已知 ，且 ，求 的最大值．
分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于 的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.
第4课时《一元一次不等式的解法及应用题》导学案
一元一次方程的解法解方程：45615 2-=+-xx学习方法指导（学生提问题）通过对比可发现：去分母时：都是乘以，不含分母的项也要乘以分子是多项式时都要去括号时：都是根据括号前面的确定是否改变括号内的符号。
移项时：被移动的单项式都要合并同类项时：都是对左边或右边单独合并。
系数化成1时：不等号的方向在时，不等号方向改变。
一元一次不等式的解法解不等式：312222--≥+xx第4课时《一元一次不等式的解法及应用题》导学案知识目标：1、熟悉一元一次不等式的解法2、会找不等关系解应用题能力目标：1、对比的学习方法；2、应用题的解法：找相等关系或不等关系解一元一次不等式的方法，与解一元一次方程一样，需要注意的是：家长(签名)：组长(签名)：教师评价：第 1 页家长(签名)： 组长(签名)： 教师评价： 第 2 页列一元一次解应用题1、根据下列语句写出程（1）、a 与5的和是1。
（2）、2与x的差是3。
（3）、y 的4倍与2的差是5。
（4）、x 的21与2-的差是8。
2、x 取什么值时，代数式1-x 的值与32+x 的值相等． 解：依题意得： 答：3、代数式231x -与代数式x －2的差是－1，求x解：依题意得： 答： 解应用题重点就是找相等关系或不等关系，通过对比体会如何找相等关系或不等关系。
列一元一次不等式解应用题1、根据下列语句写出程（1）、a 与5的和是负数。
（2）、2与x 的差不大于3。
（3）、y 的4倍与2的差不等于5。
（4）、x 的21与2-的差不小于8。
（5）、x 与1-的和是非负数。
2、 x 取什么值时，代数式1-x 的值不小于32+x 的值．解：依题意得：答：3、代数式231x-与代数式x －2的差是负数，求x的取值范围。
解：依题意得：答：家长(签名)： 组长(签名)： 教师评价： 第 3 页列方程解“行程问题”类型应用题 1、甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，甲让乙先跑5米然后奋力去追，多少秒钟后，甲便追上了乙？ 分析：根据题意，可得到相等关系： 解：设x 秒钟后，甲便追上了乙，依题意得： 答： 2、抗洪抢险时需要向危险段运送物资，从仓库到目的地共有120公里路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时需以多快的速度才能准时送到？ 分析：根据题意，可得到相等关系： 解：设后半小时的速度为x 千米/小时，依题意得： 答： 行程问题相（或不）等关系，一般都通过画线段图，来找出他们之间的关系。
高三数学复习(理)：第2讲 第4课时 利用导数研究不等式的恒成立或存在性问题
第4课时 利用导数研究不等式的恒成立或存在性问题[学生用书P58]不等式恒成立求参数(多维探究)方法一 分离参数法(2020·湖北武汉质检)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0，得ln x ＋1<0，解得0<x <1e ，所以f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .令f ′(x )>0，得ln x ＋1>0，解得x >1e ，所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.综上，f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. (2)因为g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意得2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1恒成立．因为x >0，所以a ≥ln x －32x －12x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．设h (x )＝ln x －32x －12x (x >0)，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－（x －1）（3x ＋1）2x 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x(0，1) 1 (1，＋∞) h ′(x )＋ 0 －h (x ) 极大值所以当x ＝1时，h (x )取得极大值，也是最大值，且h (x )max ＝h (1)＝－2，所以若a ≥h (x )在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a ≥h (x )max ＝－2，即a ≥－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)．(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． (2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”转化关 通过分离参数法，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对∀x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min )求最值关求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题已知函数f (x )＝ax e x －(a ＋1)(2x －1)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x >0时，函数f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)若a ＝1，则f (x )＝x e x －2(2x －1)．即f ′(x )＝x e x ＋e x －4，则f ′(0)＝－3，f (0)＝2，所以所求切线方程为3x ＋y －2＝0.(2)由f (1)≥0，得a ≥1e －1>0， 则f (x )≥0对任意的x >0恒成立可转化为a a ＋1≥2x －1x e x 对任意的x >0恒成立． 设函数F (x )＝2x －1x e x (x >0)，则F ′(x )＝－（2x ＋1）（x －1）x 2e x. 当0<x <1时，F ′(x )>0；当x >1时，F ′(x )<0，所以函数F (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以F (x )max ＝F (1)＝1e .于是aa ＋1≥1e ，解得a ≥1e －1. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e －1，＋∞. 方法二 等价转化法(2020·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－x .(1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋2x －1.故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)f (x )≥12x 3＋1等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3－ax 2＋x ＋1e －x ≤1. 设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3－ax 2＋x ＋1e －x (x ≥0)，则 g ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3－ax 2＋x ＋1－32x 2＋2ax －1e －x ＝－12x [x 2－(2a ＋3)x ＋4a ＋2]e －x＝－12x (x －2a －1)(x －2)e －x .(i)若2a ＋1≤0，即a ≤－12，则当x ∈(0，2)时，g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，2)单调递增，而g (0)＝1，故当x ∈(0，2)时，g (x )＞1，不符合题意．(ii)若0＜2a ＋1＜2，即－12＜a ＜12，则当x ∈(0，2a ＋1)∪(2，＋∞)时，g ′(x )＜0；当x ∈(2a ＋1，2)时，g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，2a ＋1)，(2，＋∞)单调递减，在(2a ＋1，2)单调递增．由于g (0)＝1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)＝(7－4a )e －2≤1，即a ≥7－e 24.所以当7－e 24≤a ＜12时，g (x )≤1.(iii)若2a ＋1≥2，即a ≥12，则g (x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x ＋1e －x . 由于0∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，12，故由(ii)可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x ＋1e －x ≤1. 故当a ≥12时，g (x )≤1.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－e 24，＋∞.根据不等式恒成立求参数范围的关键是把不等式转化为函数，利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围．函数f (x )＝x 2－2ax ＋ln x (a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＋1＝0垂直，求a 的值；(2)若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3在区间(0，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2a ＋1x ，f ′(1)＝3－2a ，由题意f ′(1)·12＝(3－2a )·12＝－1，解得a ＝52.(2)不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3在区间(0，e]上恒成立等价于2ln x ≥－x ＋a－3x ，令g (x )＝2ln x ＋x －a ＋3x ，则g ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2，则在区间(0，1)上，g ′(x )＜0，函数g (x )为减函数；在区间(1，e]上，g ′(x )＞0，函数g (x )为增函数．由题意知g (x )min ＝g (1)＝1－a ＋3≥0，得a ≤4，所以实数a 的取值范围是(－∞，4]．不等式能成立或有解求参数的取值(范围)(师生共研)已知函数f (x )＝ax －e x (a ∈R )，g (x )＝ln x x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围．【解】 (1)因为f ′(x )＝a －e x ，x ∈R .当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在R 上单调递减；当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a .由f ′(x )＞0，得f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )；由f ′(x )＜0，得f (x )的单调递减区间为(ln a ，＋∞)．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间；当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，ln a )，单调递减区间为(ln a ，＋∞)．(2)因为∃x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x ，则ax ≤ln x x ，即a ≤ln x x 2.则问题转化为a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2max. 设h (x )＝ln x x 2，由h ′(x )＝1－2ln x x 3，令h ′(x )＝0，得x ＝ e.当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x )，h (x )随x 变化的变化情况如下表：x(0，e) e (e ，＋∞) h ′(x )＋ 0 － h (x ) 极大值12e由上表可知，当x ＝e 时，函数h (x )有极大值，即最大值为12e ，所以a ≤12e .故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12e .(1)含参数的能成立(存在型)问题的解题方法①a ≥f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≥f (x )min ；②a ≤f (x )在x ∈D 上能成立，则a ≤f (x )max .(2)含全称、存在量词不等式能成立问题①存在x 1∈A ，任意x 2∈B 使f (x 1)≥g (x 2)成立，则f (x )max ≥g (x )max ；②任意x 1∈A ，存在x 2∈B ，使f (x 1)≥g (x 2)成立，则f (x )min ≥g (x )min .已知函数f (x )＝x ln x (x ＞0)．(1)求函数f (x )的极值；(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≤－x 2＋mx －32成立，求实数m 的最小值． 解：(1)由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )＞0，得x ＞1e ；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1e .所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增． 所以f (x )在x ＝1e 处取得极小值，且为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，无极大值． (2)由f (x )≤－x 2＋mx －32，得m ≥2x ln x ＋x 2＋3x. 问题转化为m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ln x ＋x 2＋3x min . 令g (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x ＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)．则g ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2. 由g ′(x )＞0，得x ＞1，由g ′(x )＜0，得0＜x ＜1.所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以g (x )min ＝g (1)＝4，则m ≥4.故m 的最小值为4.[学生用书P59]核心素养系列4 逻辑推理——两个经典不等式的活用逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证．利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程．(1)对数形式：x ≥1＋ln x (x >0)，当且仅当x ＝1时，等号成立．(2)指数形式：e x ≥x ＋1(x ∈R )，当且仅当x ＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：e x >x ＋1>x >1＋ln x (x >0，且x ≠1)．(1)已知函数f (x )＝1ln （x ＋1）－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )(2)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点．【解】 (1)选B.因为f (x )的定义域为{x ＋1>0，ln （x ＋1）－x ≠0， 即{x |x >－1，且x ≠0}，所以排除选项D.当x >0时，由经典不等式x >1＋ln x (x >0)，以x ＋1代替x ，得x >ln(x ＋1)(x >－1，且x ≠0)，所以ln(x ＋1)－x <0(x >－1，且x ≠0)，即x >0或－1<x <0时均有f (x )<0，排除A ，C ，易知B 正确．(2)证明：令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1＝e x －12x 2－x －1，x ∈R ， 则g ′(x )＝e x －x －1，由经典不等式e x ≥x ＋1恒成立可知，g ′(x )≥0恒成立，所以g (x )在R 上为单调递增函数，且g (0)＝0.所以函数g (x )有唯一零点，即两曲线有唯一公共点．已知函数f (x )＝x －1－a ln x .(1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)证明：对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e. 【解】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意； ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x 知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1.(2)证明：由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n . 从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e. 设函数f (x )＝ln x －x ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x <x .【解】 (1)由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1)上单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．(2)证明：由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0.所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，x －1ln x >1.①因此ln 1x <1x －1，即ln x >x －1x ，x －1ln x <x .②故当x ∈(1，＋∞)时恒有1<x －1ln x <x .[学生用书P291(单独成册)]1．(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f (x )＝a sin x －x ＋b (a ，b 均为正常数)，h (x )＝sin x ＋cos x ．设函数f (x )在x ＝π3处有极值，对于一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，不等式f (x )＞h (x )恒成立，求b 的取值范围．解：f ′(x )＝a cos x －1.由已知得：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以a ＝2， 所以f (x )＝2sin x －x ＋b ，不等式f (x )＞h (x )恒成立可化为sin x －cos x －x ＞－b ，记函数g (x )＝sin x －cos x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则g ′(x )＝cos x ＋sin x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以g ′(x )＞0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，最小值为g (0)＝－1， 所以b ＞1，所以b 的取值范围是(1，＋∞)．2．(2020·江西五校联考)已知函数f (x )＝e x ＋bx .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝1，当x 2＞x 1＞0时，f (x 1)－f (x 2)＜(x 1－x 2)·mx 1＋mx 2＋1)恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝e x ＋bx 得f ′(x )＝e x ＋b ，若b ≥0，则f ′(x )＞0，即f (x )＝e x ＋bx 在(－∞，＋∞)上是增函数； 若b ＜0，令f ′(x )＞0得x ＞ln(－b )，令f ′(x )＜0得x ＜ln(－b )，即f (x )＝e x ＋bx 在(－∞，ln(－b ))上单调递减，在(ln(－b )，＋∞)上单调递增．(2)由题意知f (x )＝e x ＋x ，f (x 1)－f (x 2)＜(x 1－x 2)(mx 1＋mx 2＋1)，即f (x 1)－mx 21－x 1＜f (x 2)－mx 22－x 2，由x 2＞x 1＞0知，上式等价于函数φ(x )＝f (x )－mx 2－x ＝e x －mx 2在(0，＋∞)上为增函数，所以φ′(x )＝e x－2mx ≥0(x ＞0)，即2m ≤e x x (x ＞0)． 令h (x )＝e x x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x （x －1）x 2， 当h ′(x )＜0时，0＜x ＜1；当h ′(x )＞0时，x ＞1；当h ′(x )＝0时，x ＝1. 所以h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝e ，则2m ≤e ，即m ≤e 2，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e 2. 3．(2021·福州市适应性考试)已知f (x )＝2x ln x ＋x 2＋ax ＋3.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e ，使得f (x 0)≥0成立，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝2(ln x ＋1)＋2x ＋a .(1)当a ＝1时，f (x )＝2x ln x ＋x 2＋x ＋3，f ′(x )＝2(ln x ＋1)＋2x ＋1，所以f (1)＝5，f ′(1)＝5，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －5＝5(x －1)，即y ＝5x .(2)存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e ，使得f (x 0)≥0成立，等价于不等式a ≥－2x ln x ＋x 2＋3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上有解． 设h (x )＝－2x ln x ＋x 2＋3x，则h ′(x )＝－x 2＋2x －3x 2＝－（x ＋3）（x －1）x 2， 当1e ＜x ＜1时，h ′(x )＞0，h (x )为增函数；当1＜x ＜e 时，h ′(x )＜0，h (x )为减函数．又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－3e 2－2e ＋1e ，h (e)＝－e 2＋2e ＋3e ， 故h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －h (e)＜0， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，h (x )＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－3e 2－2e ＋1e ， 所以a ＞－3e 2－2e ＋1e， 即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3e 2－2e ＋1e ，＋∞. 4．(2021·合肥第一次教学检测)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x ，g (x )＝a (x －1)，a ∈R .(1)求直线y ＝g (x )与曲线y ＝f (x )相切时，切点T 的坐标；(2)当x ∈(0，1)时，g (x )＞f (x )恒成立，求a 的取值范围．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)，由f (x )＝(x ＋1)·ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1，则⎩⎨⎧ln x 0＋1x 0＋1＝a ，（x 0＋1）ln x 0＝a （x 0－1）， 所以2ln x 0－x 0＋1x 0＝0. 令h (x )＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－x 2－2x ＋1x 2≤0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以h (x )＝0最多有一个实数根．又h (1)＝0，所以x 0＝1，此时y 0＝0，即切点T 的坐标为(1，0)．(2)当x∈(0，1)时，g(x)＞f(x)恒成立，等价于ln x－a（x－1）x＋1＜0对x∈(0，1)恒成立．令H(x)＝ln x－a（x－1）x＋1，则H′(x)＝1x－2a（x＋1）2＝x2＋2（1－a）x＋1x（x＋1）2，H(1)＝0.①当a≤2，x∈(0，1)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，所以H′(x)＞0，H(x)在x∈(0，1)上单调递增，因此当x∈(0，1)时H(x)＜0.②当a＞2时，令H′(x)＝0得x1＝a－1－（a－1）2－1，x2＝a－1＋（a－1）2－1.由x2＞1与x1x2＝1得，0＜x1＜1.所以当x∈(x1，1)时，H′(x)＜0，H(x)单调递减，所以当x∈(x1，1)时，H(x)＞H(1)＝0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是(－∞，2]．。
第4课时一元一次不等式的解法2
《5．2 一元一次不等式的解法2》学案【学习目的】进一步学习解一元一次不等式,并能熟练用数轴表示出不等式的解集.【学习重点】：用数轴表示出不等式的解集.【学习难点】：用数轴表示不等式的解集时定边界点、定方向的技巧。
【学习方法】：自主探究、合作交流、归纳总结、练习【学习过程】：一、 知识回顾：解下列不等式：⑴12－6x ≥2（1－2x ）； ⑵－13x+2≥0二、看一看，学一学不等式的解集表示方法有两种：①用不等式表示；②用数轴表示。
下面是不等式的解集的③x ＜－1; ③x ≤－1; ※用数轴表示不等式时，边界点．．．有空心点和实心点之分： 是空心点； 是实心点。
方向线： 向左； 向右。
三、合作探究、讨论交流并归纳：1、从《看一看，学一学》中，你认为用数轴表示不等式的解集一般可分为哪几步？※用数轴表示不等式的解集步骤：①画数轴；②定边界点（包含．．这个边界点时画 点，不包含这个边界点时 点。
）；③定方向：相对于边界点而言， 向左， 向右。
四、练靶场：1、解不等式12－6x ≥2(1－2x),并把它的解集在数轴上表示出来。
2、当x 取什么值时，代数式－13x+2的值大于或等于0？先把它的解集在数轴上表示出来，然后求它的正整数解。
0 －3 －2 －1 1 0 －3 2 3 －2 －1※ 做完上面两个小题，你认为用数轴表示不等式的解集需注意些什么？心得，发现： 。
五、巩固练习：P 141练习1、2题。
六、知识梳理：※ 1、用数轴表示不等式的解集步骤：①画数轴；②定边界点（包含．．这个边界点时画实心点，不包含这个边界点时空心点。
）；③定方向：相对于边界点而言，小于向左，大于向右。
七、课堂检测：1、根据下面两图中数轴所表示的不等式的解集，写出相应的含有x 的不等式。
① ； ② 。
2、解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：①5x+1≤7x+5； ②1－2x ＞6x+5；③x －32 ＜4x －12； ④4（1+x ）3 －1≤4+x 23、当x 取什么值时，代数式3－x 2的值小于3？并求满足条件的负整数解。
第4课 不等式的解法(2)
(2)由①得 x<2－3 a， 由②得 x<13. ∴2－3 a≤13，∴a≥1.
谢谢！
3. 求不等式x－3 3－6x－6 1＞－3 的正整数解．
解：6×x－3 3－6x－6 1＞－18， 2x－6－6x＋1＞－18， －4x＞－13， x＜143. ∴正整数解为 1，2，3.
4. 不等式3x＋4 13＞3x＋2 的解集是_x_＞__－__3__．
5. 求不等式2x－6 5≤3x＋4 1－23的非正整数解．
3．则已关知于关于x 的x 不的等不式等式bx(－3aa－＞20b)的x＜解a集－为4b_x的_>_1解_96_或集__是_x_<_1x9_＞6_．－23，
4．已知关于 x 的两个不等式：①3x＋2 a＜1；②1－3x＞0. (1)若两个不等式的解集相同，求 a 的值； (2)若不等式①的解都是不等式②的解，求 a 的取值范围．
∴x＋y＝3－5 m.
∵x＋y＞3，∴3－5 m＞3，∴m＜－12.
1．已知 a 为正整数，若关于 x，y 的二元一次方程组 3x＋y＝1＋a， x＋3y＝2－3a 的解满足 x＋y＞－1，求 a 的值．
3x＋y＝1＋a，① 解： x＋3y＝2－3a，② ①＋②得 4x＋4y＝3－2a，∴x＋y＝3－42a. ∵x＋y>－1，∴3－42a>－1，3－2a>－4，－2a>－7，∴a<72， ∵a 是正整数，∴a＝1 或 2 或 3.
解：3(x－3)＜x＋1， 6x－9＜x＋1， 6x－x＜1＋9， 5x＜10， x＜2.
第4课时 绝对值三角不等式(上课)
∴－4≤y≤4，
－4，x＞3.
∴ymax＝4，ymin＝－4.
解答
(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求参数a的取 值范围. 解 只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值， 则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集， 而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1， 当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立. ∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1. ∴a的取值范围为(－∞，1].
A.|x－y|＜2h
√C.|x－y|＜h＋k
B.|x－y|＜2k D.|x－y|＜|h－k|
解析 |x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜h＋k.
12345
解析 答案
3.已知|a|≠|b|，m＝|a|a|－－|bb||，n＝|a|a|＋＋|bb||，则 m，n 之间的大小关系是
类型一 含绝对值不等式的证明 例1 设函数f(x)＝x2－2x，实数|x－a|＜1.求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.
证明
反思与感悟
两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化 为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、 拆项证明. 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般 情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布 等方法来证明.
解答
反思与感悟
(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行 转化，构造绝对值不等式的形式. (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.
基本不等式4课时
4.已知正数x,y满足 1 1 1, 求 2x y x y 的最小值。
一类函数最值的求法：
y x 2 (0 x 1) 的最值。 引例：求函数 x f ( ) sin 4 ( (0, )) 变式1：求函数 sin 的最值。
变式2：已知 x 0, y 0, x y 1, 求
(1) 1 a 1 b 的最大值；
(2) 1 a 1 b的最大值；
作 业：
1.若a,b为实数，且a+b=3,求 2
a
2b的最小值。
2.若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围。 3.设 x 0 ,求函数 的最小值。
( x 2)( x 8) f ( x) x
练习1. 已知a,b,c为正数，且 a+b+c=1
1 1 1 证明： 9 a b c
练习2: 已知:
x>0, y>0, 且2x+y =1,求
1 1 的最小值。 x y
的最小值。 思考：（1）若x＜0呢？ 1 （2）如何求函数 f ( x ) x ( x 0)的值域？ x 4 ( x (1, )) 例2.已知函数 f ( x ) x x 1 求此函数的最小值。
x 2 x 3 ( x 3) 变式3：求函数 f ( x ) x 1
xy 1 的最小值Байду номын сангаас 求 xy
的最值。
变式4：求函数 f ( x)
的值域。
x 2 ( x 0) 2 x2 7 x 9
作
的值域.
业：
x f ( x) ( x 0) 1.求函数 ( x 4)( x 9)
9.2+不等式的解法——去分母+讲练课件+++2023—2024学年人教版七年级数学下册
第九章 不等式与不等式组
第4课 不等式的解法——去分母
1. 解不等式： 1－ x＋1＞ 4－x .
2
3
解：6－3(x＋1)＞2(4－x)，
6－3x－3＞8－2x，
－x＞ 5，
x<－5.
解方程或不等式的步骤： ①去分母(每一项都乘分母的最小公倍数)； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化为1(当乘或除以负数时要改变不等号方向).
原不等式的解集在数轴上表示如图所示.
12.
已知不等式
1 3
(x－m)>3－m的解集为x>1，求m的值.
解： 1 (x－m)>3－m，
3
x－m>9－3m，
x>9－2m，
∵不等式的解集为x>1， ∴9－2m＝1，∴m＝4.
13. 已知式子 x＋4 的值小于式子3－ 3x－1 的值，求满
3
6
足条件的最大正整数x的值.
系数化为1，得x>－11.
原不等式的解集在数轴上表示如图所示：
4. (2023·高州一模)解不等式： 1＋2x ＞x－1，并写出
3
它的所有正整数解. 解：去分母，得1＋2x>3x－3.
移项、合并同类项，得－x>－4.
系数化为1，得x<4.
∴不等式的所有正整数解分别为1，2，3.
5. (2023·佛山南海区期中)求一元一次不等式1－ 8＋x x
系数化为1，得x<5.
∵x为正整数，∴x＝1，2，3，4.
8. 解不等式 x － x－1 ＞1时，去分母正确的是
26
A. 3x－x－1＞1
B. 3x－x＋1＞1
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第3课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．学会处理含字母系数的一元二次不等式恒成立问题
2．学会处理含字母系数的一元二次不等式实根分布问题
【课堂互动】
自学评价
1．不等式x2+2x+m2>0恒成立，则m取值范围为
2．方程x2+(m-3)x+m=0的解集为φ，则m取
值范围为
【精典范例】
例1:已知关于x不等式kx2-2x+6k<0的解集为R 求k的取值范围。
【解】
变式：已知关于x不等式kx2-2kx+6<0的解集为φ，求k的取值范围。
思维点拔：
1。
若ax2+bx+c>0恒成立(即解集为R)，
则
a b
c
ì==
ïï
íï
>
ïî
或
2
40
a
b ac
ì>
ïï
íï
-<
ïî
2。
若ax2+bx+c>0解集为φ，则
a b
c
ì==
ïï
íï
£
ïî
或
2
40
a
b ac
ì<
ïï
íï
-
ïî
追踪训练一
１．当a为何值时, 不等式(a2－3a+2)
x2+(a－1)x+2>0恒成立．
2．已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点
(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤
2
1
2
x
+
对切实数x都成立？若存在，求出a,b,c
的值，若不存在，说明理由．
学习札记
例２. 分别求m的取值范围, 使方程x2
－mx－m+3=0 的两根满足下列条件:
(1)两根都大于－5 ;
(2)一根大于0小于1 , 一根大于1小于2 .
例3：已知A={x|x2+(P+2)x+4=0}, M={x|x>0}, 若A∩M=φ, 求实数P的取值范围.
【解】
思维点拔：
１．实根分布问题解题步骤
(1)化方程一边为零;
(2)设非零一边为函数f(x);
(3)画函数f(x)的符合题意的草图；
(4)根据草图列不等式组；
(5)解不等式组．
２．分类讨论不要重复和遗漏．
追踪训练二
方程x2－mx-m+3=0的两根均在(-4,0)内，求m的取值范围．【选修延伸】
不等式区间[a,b]上恒成立问题
若不等式x2－２ax+a+６>0在x∈[-2,2]
上时总成立，求实数a的取值范围．
思维点拔：
对于不等式f(x)≥M在x∈[a,b]上恒成立，
只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最小值f(x)min
≥M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区
间[a,b]上的最小值．
类似地，对于不等式f(x)≤M在x∈[a,b]
上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最
大值f(x)max≤M即可．因此解决此题的关键是
求f(x)在区间[a,b]上的最大值
追踪训练三
１．已知不等式1≤－x2＋x+a≤
17
4
在x∈[-
１,１]上时总成立，求实数a的取值范围．
２．设不等式mx2－2x－m+1<0对满足|m|≤2
的一切m都成立，求实数x的取值范围
学习札记【师生互动】。