2023年高考文科数学全国甲卷试卷及解析完整版
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)含答案解析
绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={2,5}，则N∪∁U M=( )A. {2,3,5}B. {1,3,4}C. {1,2,4,5}D. {2,3,4,5}2.5(1+i 3)(2+i)(2−i)=( )A. −1B. 1C. 1−iD. 1+i3.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗⃗=(2,2)，则cos〈a⃗⃗+b⃗⃗，a⃗⃗−b⃗⃗〉=( )A. 117B. √ 1717C. √ 55D. 2√ 554.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )A. 16B. 13C. 12D. 235.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=( )A. 25B. 22C. 20D. 156.执行下边的程序框图，则输出的B =( )A. 21B. 34C. 55D. 897.设F 1，F 2为椭圆C ：x 25+y 2=1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则|PF 1|⋅|PF 2|=( ) A. 1 B. 2C. 4D. 58.曲线y =e xx+1在点(1,e 2)处的切线方程为( ) A. y =e4xB. y =e2xC. y =e 4x +e4D. y =e 2x +3e49.已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√ 5，C 的一条渐近线与圆(x −2)2+(y −3)2=1交于A ，B 两点，则|AB|=( ) A. √ 55B. 2√ 55C. 3√ 55D. 4√ 5510.在三棱锥P −ABC 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，PA =PB =2，PC =√ 6，则该棱锥的体积为( ) A. 1B. √ 3C. 2D. 311.已知函数f(x)=e −(x−1)2.记a =f(√ 22)，b =f(√ 32)，c =f(√ 62)，则( )A. b >c >aB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b12.函数y =f(x)的图象由y =cos(2x +π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，则y =f(x)的图象与直线y =12x −12的交点个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
精品解析：2023年全国高考甲卷数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1．答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己地姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上地准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定地位置贴好条形码.2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他解析标号.回答非选择题时,将解析写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 设集合5{2,1,0,1,2},02A B xx ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = （ ）A. {}0,1,2 B. {2,1,0}-- C. {0,1}D. {1,2}【解析】A 【解析】【分析】根据集合地交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--,502B xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣,所以{}0,1,2A B = ．故选:A.2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民地垃圾分类知识．为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题地正确率如下图:则（ ）A. 讲座前问卷答题地正确率地中位数小于70%B. 讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%C. 讲座前问卷答题地正确率地标准差小于讲座后正确率地标准差D. 讲座后问卷答题地正确率地极差大于讲座前正确率地极差【解析】B 【解析】【分析】由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差地概念,逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错；讲座后问卷答题地正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题地正确率更加分散,所以讲座前问卷答题地正确率地标准差大于讲座后正确率地标准差,所以C 错；讲座后问卷答题地正确率地极差为100%80%20%-=,讲座前问卷答题正确率地极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错.故选:B3. 若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A.B.C.D. 【解析】D的.【解析】【分析】根据复数代数形式地运算法则,共轭复数地概念以及复数模地计算公式即可求出．【详解】因为1i z =+,所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-,所以i 3z z +==故选:D.4. 如图,网格纸上绘制地是一个多面体地三视图,网格小正方形地边长为1,则该多面体地体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【解析】B 【解析】【分析】由三视图还原几何体,再由棱柱地体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱地体积2422122V +=⨯⨯=.故选:B.5. 将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭地图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ,若C 关于y 轴对称,则ω地最小值是（ ）A.16B.14C.13D.12【解析】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线C 地解析式,再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ,即可求出ω地最小值.【详解】由题意知:曲线C 为sin sin(2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,又C 关于y 轴对称,则,232k k ωππππ+=+∈Z ,解得12,3k k ω=+∈Z ,又0>ω,故当0k =时,ω地最小值为13.故选:C.6. 从分别写有1,2,3,4,5,6地6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到地2张卡片上地数字之积是4地倍数地概率为（ ）A.15B.13C.25D.23【解析】C 【解析】【分析】先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4地倍数地情况,由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张,共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况,其中数字之积为4地倍数地有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况,故概率为62155=.故选:C.7. 函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦地图象大致为（ ）A. B.C. D.【解析】A 【解析】【分析】由函数地奇偶性结合指数函数、三角函数地性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22xxf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦,则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-,所以()f x 为奇函数,排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,330,cos 0x xx -->>,所以()0f x >,排除C.故选:A.8. 当1x =时,函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-,则(2)f '=（ ）A. 1- B. 12-C.12D. 1【解析】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-,()10f '=即可解得,a b ,再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+,所以依题可知,()12f =-,()10f '=,而()2a b f x x x '=-,所以2,0b a b =--=,即2,2a b =-=-,所以()222f x x x '=-+,因此函数()f x 在()0,1上递增,在()1,+∞上递减,1x =时取最大值,满足题意,即有()112122f '=-+=-．故选:B.9. 在长方体1111ABCD A B C D -中,已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成地角均为30°,则（ ）A. 2AB AD= B. AB 与平面11AB C D 所成地角为30°C. 1AC CB =D. 1B D 与平面11BB C C 所成地角为45︒【解析】D 【解析】【分析】根据线面角地定义以及长方体地结构特征即可求出．【详解】如下图所示:不妨设1,,AB a AD b AA c ===,依题以及长方体地结构特征可知,1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠,1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠,所以11sin 30c b B D B D==,即b c =,12B D c ==,解得a =．对于A ,AB a =,AD b =,AB =,A 错误；对于B ,过B 作1BE AB ⊥于E ,易知BE ⊥平面11AB C D ,所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠,因为tan c BAE a ∠==所以30BAE ∠≠ ,B 错误；对于C,AC ==,1CB ==,1AC CB ≠,C 错误；对于D ,1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠,11sin 2CD a DB C B D c ∠===,而1090DB C <∠<,所以145DB C ∠=．D 正确．故选:D ．10. 甲、乙两个圆锥地母线长相等,侧面展开图地圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙,则=VV 甲乙（）A.B.C.D.【解析】C 【解析】【分析】设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,根据圆锥地侧面积公式可得122r r =,再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示,再利用勾股定理分别求出两圆锥地高,再根据圆锥地体积公式即可得解.【详解】解:设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,则11222S rl r S r l r ππ===甲乙,所以122r r =,又12222r r l l πππ+=,则121r rl+=,所以1221,33r l r l ==,所以甲圆锥地高1h ==,乙圆锥地高2h ==,所以2112221313r h V V r h ππ===甲乙.故选:C.11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>地离心率为13,12,A A 分别为C 地左、右顶点,B 为C 地上顶点．若121BA BA ⋅=-,则C 地方程为（ ）A. 2211816x y += B. 22198x y += C. 22132x y += D. 2212x y +=【解析】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ,解得关于22,a b 地等量关系式,即可得解.【详解】解:因为离心率13c e a ===,解得2289b a =,2289=b a ,12,A A 分别为C 左右顶点,则()()12,0,,0A a A a -,B 为上顶点,所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=- BA a b BA a b ,因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ,将2289=b a 代入,解得229,8a b ==,故椭圆地方程为22198x y +=.故选:B.12. 已知910,1011,89m m m a b ==-=-,则（ ）A. 0a b >> B. 0a b >> C. 0b a >> D. 0b a>>【解析】A 【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数地单调性即可知9log 101m =>,再利用基本不等式,换底公式可得lg11m >,8log 9m >,然后由指数函数地单调性即可解出．【详解】由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>,而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg10lg11lg 9lg10>,即lg11m >,所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg 9lg10lg8lg 9>,即8log 9m >,所以8log 989890m b =-<-=．综上,0a b >>．故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ,则m =______________．【解析】34-##0.75-的【分析】直接由向量垂直地坐标表示求解即可.【详解】由题意知:3(1)0a b m m ⋅=++=,解得34m =-.故解析为:34-.14. 设点M 在直线210x y +-=上,点(3,0)和(0,1)均在M 上,则M 地方程为______________．【解析】22(1)(1)5x y -++=【解析】【分析】设出点M 地坐标,利用(3,0)和(0,1)均在M 上,求得圆心及半径,即可得圆地方程.【详解】解:∵点M 在直线210x y +-=上,∴设点M 为(,12)-a a ,又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上,∴点M 到两点地距离相等且为半径R ,==R ,222694415-++-+=a a a a a ,解得1a =,∴(1,1)M -,R =M 地方程为22(1)(1)5x y -++=.故解析为:22(1)(1)5x y -++=15. 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>地离心率为e ,写出满足条件"直线2y x =与C 无公共点"地e 地一个值______________．【解析】2（满足1e <≤皆可）【解析】【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线by x a =±中02b a<≤即可求得满足要求地e 值.【详解】解:2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,所以C 地渐近线方程为b y x a=±,结合渐近线地特点,只需02b a <≤,即224b a≤,可满足条件"直线2y x =与C 无公共点"所以==≤=c e a 又因为1e >,所以1e <≤,故解析为:2（满足1e <≤皆可）16. 已知ABC 中,点D 在边BC 上,120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时,BD =________．1-##-【解析】【分析】设220CD BD m ==>,利用余弦定理表示出22AC AB 后,结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>,则在ABD △中,22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++,在ACD △中,22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-,所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++44≥=-,当且仅当311mm +=+即1m =-时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,1m =.故解析为1-.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17. 甲、乙两城之间地长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车地运行情况,随机调查了甲、乙两城之间地500个班次,得到下面列联表:准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间地长途客车准点地概率；（2）能否有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关？附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++, ()2P K k…0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635【解析】（1）A,B两家公司长途客车准点地概率分别为12 13,78（2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型地概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算2K,再利用临界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A家公司长途客车准点事件为M,则24012 ()26013==P M；B共有班次240次,准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,则210 ()27840==P N.A 家公司长途客车准点地概率为1213；B 家公司长途客车准点地概率为78.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A 24020260B 21030240合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯,根据临界值表可知,有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关.18. 记n S 为数列{}n a 地前n 项和．已知221nn S n a n+=+．（1）证明:{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列,求n S 地最小值．【解析】（1）证明见解析； （2）78-．【解析】【分析】（1）依题意可得222n nS n na n +=+,根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,作差即可得到11n n a a --=,从而得证；（2）由（1）及等比中项地性质求出1a ,即可得到{}n a 地通项公式与前n 项和,再根据二次函数地性质计算可得．【小问1详解】解:因为221nn S n a n+=+,即222n n S n na n +=+①,当2n ≥时,()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②,①-②得,()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----,即()12212211n n n a n na n a -+-=--+,即()()()1212121n n n a n a n ----=-,所以11n n a a --=,2n ≥且N*n ∈,所以{}n a 是以1为公差地等差数列．【小问2详解】解:由（1）可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-,所以13n a n =-,所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭,所以,当12n =或13n =时()min 78n S =-．19. 小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭地包装盒,包装盒如下图所示:底面ABCD 是边长为8（单位:cm ）地正方形,,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形,且它们所在地平面都与平面ABCD 垂直．（1）证明://EF 平面ABCD ；（2）求该包装盒地容积（不计包装盒材料地厚度）．【解析】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,由平面知识可知,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,依题从而可证EM ⊥平面ABCD ,FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,即可知四边形EMNF 为平行四边形,于是//EF MN ,最后根据线面平行地判定定理即可证出；（2）再分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE -体积地4倍,即可解出．【小问1详解】如下图所示:,分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,因为,EAB FBC 为全等地正三角形,所以,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,又平面EAB ⊥平面ABCD ,平面EAB ⋂平面ABCD AB =,EM ⊂平面EAB ,所以EM ⊥平面ABCD ,同理可得FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,而EM FN =,所以四边形EMNF 为平行四边形,所以//EF MN ,又EF ⊄平面ABCD ,MN ⊂平面ABCD ,所以//EF 平面ABCD ．【小问2详解】如下图所示:,分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,//EF MN 且EF MN =,同理有,//,HE KM HE KM =,//,HG KL HG KL =,//,GF LN GF LN =,由平面知识可知,BD MN ⊥,MN MK ⊥,KM MN NL LK ===,所以该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE-体积地4倍．因为MN NL LK KM ====,8sin 60EM == 点B 到平面MNFE 地距离即为点B 到直线MN 地距离d ,d =,所以该几何体地体积(2143V =⨯+⨯⨯=+=20. 已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+,曲线()y f x =在点()()11,x f x 处地切线也是曲线()y g x =地切线．（1）若11x =-,求a ；（2）求a 地取值范围．【解析】（1）3 （2）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）先由()f x 上地切点求出切线方程,设出()g x 上地切点坐标,由斜率求出切点坐标,再由函数值求出a 即可；（2）设出()g x 上地切点坐标,分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程,由切线重合表示出a ,构造函数,求导求出函数值域,即可求得a 地取值范围.【小问1详解】由题意知,(1)1(1)0f -=---=,2()31x f x '=-,(1)312f '-=-=,则()y f x =在点()1,0-处地切线方程为2(1)y x =+,即22y x =+,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()22g x x '==,解得21x =,则(1)122g a =+=+,解得3a =；【小问2详解】2()31x f x '=-,则()y f x =在点()11(),x f x 处地切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--,整理得()2311312y x x x =--,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()2g x x '=,则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-,整理得2222y x x x a =-+,则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩,整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭,令432931()2424h x x x x =--+,则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-,令()0h x '>,解得103x -<<或1x >,令()0h x '<,解得13x <-或01x <<,则x 变化时,(),()h x h x '地变化情况如下表:x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,11()1,+∞()h x '-0+0-+()h x527141-则()h x 地值域为[)1,-+∞,故a 地取值范围为[)1,-+∞.21. 设抛物线2:2(0)C y px p =>地焦点为F ,点(),0D p ,过F 地直线交C 于M ,N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时,3MF =．（1）求C 地方程；（2）设直线,MD ND 与C 地另一个交点分别为A ,B ,记直线,MN AB 地倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时,求直线AB 地方程．【解析】（1）24y x =； （2）:4AB x =+.【解析】【分析】（1）由抛物线地定义可得=2pMF p +,即可得解；（2）设点地坐标及直线:1MN x my =+,由韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k =,再由差角地正切公式及基本不等式可得AB k =,设直线:AB x n =+,结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线地准线为2px =-,当MD 与x 轴垂直时,点M 地横坐标为p ,此时=32pMF p +=,所以2p =,所以抛物线C 地方程为24y x =；【小问2详解】设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,直线:1MN x my =+,由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my --=,120,4y y ∆>=-,由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-,34223434444AB y y k y y y y -==+-,直线112:2x MD x y y -=⋅+,代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=,130,8y y ∆>=-,所以322y y =,同理可得412y y =,所以()34124422MNAB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 地倾斜角分别为,αβ,所以tan tan 22MN AB k k αβ===,若要使αβ-最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--===≤=+++,当且仅当12k k =即k =,等号成立,所以当αβ-最大时,AB k =,设直线:AB x n =+,代入抛物线方程可得240y n --=,34120,4416y y n y y ∆>=-==-,所以4n =,所以直线:4AB x =+.【点睛】关键点点睛:解决本题地关键是利用抛物线方程对斜率进行化简,利用韦达定理得出坐标间地关系.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做地第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中,曲线1C地参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）,曲线2C地参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 地普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 地极坐标方程为2cos sin 0θθ-=,求3C 与1C 交点地直角坐标,及3C 与2C 交点地直角坐标．【解析】（1）()2620y x y =-≥；（2）31,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭,()1,2,32,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭,()1,2--．【解析】【分析】(1)消去t ,即可得到1C 地普通方程；(2)将曲线23,C C 地方程化成普通方程,联立求解即解出．【小问1详解】因为26t x +=,y =,所以226y x +=,即1C 普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=,所以262x y =--,即2C 地普通方程为()2620y x y =--≤,由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=,即3C 地普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩,即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩,即交点坐标1,12⎛⎫--⎪⎝⎭,()1,2--．[选修4-5:不等式选讲]23. 已知a ,b ,c 均为正数,且22243a b c ++=,证明:（1）23a b c ++≤；（2）若2b c =,则113a c+≥．【解析】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据()22222242a b c a b c ++=++,利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得043a c <+≤,即可得到1143a c ≥+,再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明:由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦,所以23a b c ++≤,当且仅当21a b c ===时,取等号,所以23a b c ++≤；【小问2详解】证明:因为2b c =,0a >,0b >,0c >,由（1）得243a b c a c ++=+≤,的为即043a c <+≤,所以1143a c ≥+,由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++,当且仅当124a c =,即1a =,12c =时取等号,所以113a c+≥.。
2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁U M＝（ ）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}【答案】A【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，所以∁U M＝{2，3，5}，则N∪∁U M＝{2，3，5}．故选：A．2．（5分）＝（ ）A．﹣1B．1C．1﹣i D．1+i【答案】C【解答】解：＝＝1﹣i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据题意，向量＝（3，1），＝（2，2），则+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），则有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）•（﹣）＝2，故cos〈+，﹣〉＝＝．故选：B．4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝＝＝．故选：D ．5．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 2+a 6＝10，a 4a 8＝45，则S 5＝（ ）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解答】解：等差数列{a n }中，a 2+a 6＝2a 4＝10，所以a 4＝5，a 4a 8＝5a 8＝45，故a 8＝9，则d ＝＝1，a 1＝a 4﹣3d ＝5﹣3＝2，则S 5＝5a 1+＝10+10＝20．故选：C ．6．（5分）执行下边的程序框图，则输出的B ＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：模拟执行程序框图，如下：n＝3，A＝1，B＝2，k＝1，k≤3，A＝1+2＝3，B＝3+2＝5，k＝2，k≤3，A＝3+5＝8，B＝8+5＝13，k＝3，k≤3，A＝8+13＝21，B＝21+13＝34，k＝4，k＞3，输出B＝34．故选：B．A．1B．2C．4D．5【答案】B【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足•＝0，可得∠F1PF2＝，又由椭圆C：+y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，可得|PF1|•|PF2|＝2，故选：B．8．（5分）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（ ）A．y＝x B．y＝x C．y＝x+D．y＝x+【答案】C【解答】解：因为y＝，y′＝＝，故函数在点（1，）处的切线斜率k＝，切线方程为y﹣＝（x﹣1），即y＝．故选：C．9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（ ）A．1B．C．2D．3【答案】A【解答】解：如图，PA＝PB＝2，AB＝BC＝2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD＝CD＝，在△PCD中，由PD＝CD＝，PC＝，得PD2+CD2＝PC2，则PD⊥CD，∴，∴×AB＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝．记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】A【解答】解：令g（x）＝﹣（x﹣1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x＝1，∵，而＝，∴，∴，∴由一元二次函数的性质可知g（）＜g（），∵，而，∴，∴，综合可得，又y＝e x为增函数，∴a＜c＜b，即b＞c＞a．故选：A．12．（5分）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos （2x+）＝﹣sin2x，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为：3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)_文科数学_原卷版
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,4,2,5M N ==，则U N M =ð（）A.{}2,3,5 B.{}1,3,4 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,52.()()()351i 2i 2i +=+-（）A.1- B.1C.1i- D.1i+3.已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A.117B.17C.D.4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.16B.13C.12D.235.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A.25B.22C.20D.156.执行下边的程序框图，则输出的B =（）A.21B.34C.55D.897.设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.58.曲线e 1=+xy x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A.e 4y x =B.e 2y x =C.e e 44y x =+ D.e 3e24y x =+9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A.B.C.355D.45510.在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为2的等边三角形，2,PA PB PC ===，则该棱锥的体积为（）A.1B.C.2D.311.已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>12.函数()y f x =的图象由cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为________．14.若()2π(1)sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．15.若x ，y 满足约束条件323,2331,x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为________．16.在正方体1111ABCD A B C D -中，4,AB O =为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．（1）求bc ；（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥平面,90ABC ACB ∠=︒．（1）证明：平面11ACC A ⊥平面11BB C C ；（2）设11,2AB A B AA ==，求四棱锥111A BB C C -的高．19.一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表m<m≥对照组试验组（ⅱ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.已知函数()2sin π,0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 0f x x +<，求a 的取值范围．21.已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，AB =（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，,M N 为C 上两点，且0FM FN ⋅=，求MFN △面积的最小值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知点()2,1P ，直线2cos ,:1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B ，且4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知()2||, 0 f x x a a a =-->．（1）求不等式()f x x <的解集；（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．。
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)
2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．(★)(5分)过点(1，2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线条数为( )A．1 B．2C．3 D．42．(★★)(5分)已知m,n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是( )A．若m⊂α，n∥α，则m∥nB．若m⊥n,m⊥β，则n∥βC．若α∩β=n,m∥n,则m∥α且m∥βD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β3．(★)(5分)已知双曲线方程为=1，则其渐近线方程为( )A．y=B．y=±C．y=±D．y=±4．(★★)(5分)点A，B的坐标分别是(-1，0)，(1，0)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率的商是λ(λ≠1)，则点M的轨迹是( )A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线5．(★★)(5分)下列命题中的假命题是( )A．对于命题，，则￢p：∀∈R，x2+x＞0B．“x=3”是“x2-3x=0”的充分不必要条件C．若命题p∨q为真命题，则p,q都是真命题D．命题“若x2-3x+2＞0，则x＞2”的逆否命题为：“若x≤2，则x2-3x+2≤0”6．(★)(5分)已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于( )A．4B．8C．12D．207．(★★)(5分)直线2ax+(a2+1)y-1=0(a＞0)的倾斜角的取值范围是( )A．[-) B．(0，] C．(] D．[)8．(★★★)(5分)已知圆C：x2+y2-8x+15=0，直线y=kx+2上至少存在一点P，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是( )A．B．C D．9．(★★)(5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m,则直线m与直线BC所成角的正弦值为( )A．B．C．1 D．10．(★★)(5分)已知在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=3，AD=4，AA′=5，∠BAD=120°，∠BAA′=60°，∠DAA′=90°，则AC′的长为( )A．B．C．D．11．(★★)(5分)已知双曲线=1(a＞0，b＞0)，过其右焦点F作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若双曲线的左顶点C满足•≥0，则双曲线离心率的最大值是( ) A．B．2C．D．312．(★★★)(5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形底面ABCD为正方形侧面PAD⊥底面ABCD，M为平面ABCD上的动点，且满足=0，则点M到直线AB的最远距离为( )A．2B．3+C．4+D．4+2二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13．(★)(5分)已知椭圆=1的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△ABF1的周长为16．14．(★★)(5分)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面ACD，∠CAD=90°，AB=2，AC=3，AD=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为29π．15．(★★)(5分)已知实数x,y满足不等式组，则+1的最大值为6．16．(★★★)(5分)给出下列命题，其中所有正确命题的序号是③④．①抛物线y2=8x的准线方程为y=2；②过点M(2，4)作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l仅有1条；③P是抛物线y2=8x上一动点，以P为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点Q(2，0)．④抛物线y2=8x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为M(2，4)．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17．(★)(10分)已知命题p：=1表示椭圆，命题：q：∃x∈R，mx2+2mx+2m-1≤0．(1)若命题q为真，求实数m的取值范围；(2)若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．18．(★★)(12分)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(-1，4)，B(-2，-1)，C(2，3)．(1)在△ABC中求边AC的高线所在直线的一般方程；(2)求平行四边形ABCD的对角线BD的长度；(3)求平行四边形ABCD的面积．19．(★★★)(12分)如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．(1)试在棱CD上确定一点M，使平面BEM∥平面PAD，说明理由．(2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-C的余弦值．20．(★★)(12分)为了落实国家“精准扶贫”的各项政策，帮助广大人民群众实现共同富裕的目标，各地政府结合当地实际情况展开了一系列的帮扶活动，某村在当地政府的支持指导下，计划种植A，B两种蔬菜．已知A，B的种植成本分别为每亩3000元和5000元，每亩的预期产量分别为3000千克和3500千克，该村目前可利用的空地为40亩，可利用的资金为150000元，A，B两种蔬菜的市场利润分别为3元/千克和4元/千克．假设计划种植A种蔬菜x亩，B种蔬菜y亩，请你设计一个最佳的种植方案帮助该村实现利润z最大，并求出最大利润．21．(★★)(12分)已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=kx+4．(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当|AB|=2时，求实数k的值；(2)若k=1，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，试探究：直线CD是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．22．(★★★)(12分)已知椭圆C：=1，直线l：y=kx+1，若椭圆C上存在两个不同的点P，Q关于l对称，设PQ的中点为M．(1)证明：点M在某定直线上；(2)求△OPM面积的取值范围．。
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学全国甲卷文科数学(全国甲卷、文科数学)
2023年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U ={1,2,3,4,5}，集合M ={1,4}，N ={2,5}，则U N C M =( )A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}2.35(1i )(2i)(2i)+=+-( ) A.－1B.1C.1－ID.l+i3.向量a =(3,1)，b =(2,2)，则cos <a +b ,a －b>=( )A.117B.17C.5D.54.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )A.16B.13C.12D.235.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 2+a 6=10，a 4a 8=45，则S 5=( )A.25B.22C.20D.156.执行下面的程序框图，输出的B =( )A.21B.34C.55D.897.设F 1，F 2；为椭圆C :2215x y += 的两个焦点，点P 在C 上,若12ꞏ0PF PF = ,则|PF 1|▪|PF 2|=( )A.1B.2C.4D.58.曲线1x e y x =+在点(1，2e)处的切线方程为( ) A.4e y x =B.2e y x =C.44e ey x =+ D.324e e y x =+9.已知双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)C 的一条渐近线与圆(x －2)2+(y －3)2=1交于A ，B 两点，则|AB |=( )A.5B.5C.5D.510.在三棱锥P －ABC 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，P A =PB =2，PC，则该棱锥的体积为( )A.1C.2D.311.已知数2(1)()x f x e --=，记2a f =，2b f =，2c f =则( ) A.b >c >aB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b12.已知f (x )为函数y =cos(2x +6π)向左平移6π个单位所得函数，则y =f (x )与1122y x =-交点个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考数学(全国甲卷文科)真题详细解读及评析
2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）适用省份四川、广西、贵州、西藏整I试卷总评2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、 题型与分值分布题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题三道，每题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。
二、 题目难度和复杂度三、知识点覆盖详细情况说明难度级别具体试题总分值整体评价★ ☆☆☆☆第1题、第2题、第4题、第13题、第15题25分整体试卷难度偏 易，整体复杂度不高，综合知识点大多都是2个左右★ ★☆☆☆第3题、第5题、第6题、第14题、第17题、第22题、第23题42分★ ★★☆☆第7题、第8题、第9题、第10题、第18题、第19题44分★ ★★★☆第11题、第20题、第21题29分★ ★★★★第12题、第16题10分知识点题型题目数量总分值整体评价集合单选题1个15分复数单选题1个15分平面向量单选题1个15分程序框图单选题1个15分主干知识考查全而，题目数量设置均衡；与课程标准保持了一致性。
数列单选题1个填空题1个210分三角函数单选题1个解答题1个217分概率与统计单选题1个解答题1个217分立体几何单选题1个填空题1个解答题1个322分圆锥曲线单选题2个解答题1个322分函数与导数单选题2个填空题1个解答题1个427分极坐标与参数方程选做题1个110分不等式填空题1个（线性规划问题）选做题1个215分四、高考试卷命题探究2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在素材使用方而，对文字数量加以控制，阅读理解雄度也有所降低：在抽象数学问题方而，力图设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题 要求层次与考生认知水平的契合与贴切。
2023年全国高考甲卷数学文科试卷附答案
2023年全国高考甲卷数学文科试卷附答案2023年全国高考甲卷数学文科试卷（附答案）小编带来了2023年全国高考甲卷数学文科试卷附答案，数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。
下面是小编为大家整理的2023年全国高考甲卷数学文科试卷附答案，希望能帮助到大家!2023年全国高考甲卷数学文科试卷附答案高三数学必考知识点(1)不等关系感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。
(2)一元二次不等式①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组(参见例2)。
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(参见例3)。
(4)基本不等式：①探索并了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的(小)值问题。
高三数学复习方法注重基础。
要做好基础知识的梳理、基本解题思路的归纳、基本数学思想方法的培养。
数学中的基本概念、定义、公式、数学中一些隐含的知识点、基本的解题思路和方法，是第一轮复习的重中之重。
因此建议同学要先把书本吃透，要先把书本上的常规题做好(近几年有很多高考题都来源于教材)，在教师上课前要预习，必须在自己的头脑里有一个比较清晰的知识网络，在掌握基本知识的基础上，对基本的解题思路和方法做小结和归纳。
上课要把教师解题的方法学到手。
每个同学必须对数学基本题的要求及应答方法、技巧做到心中有数。
学习要立足基础，揭示知识发生、发展和深化过程，展示问题的思维过程，从中领悟基础知识、基本方法的应用，通过变式训练归纳解题方法、技巧、规律和思想方法，促进由知识向能力转化，实现自我完善，争取收到做一题得一法、会一类通一片的效果。
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)
2023高考全国甲卷数学真题及答案(文数)2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案学好高考数学的技巧高考数学题目的总结比较。
建立自己的题库。
多做。
主要是指做高考数学习题，学数学一定要做习题，并且应该适当地多做些。
养成好的学习习惯，做好预习，把预习没看懂的东西，第二天上课着重听。
抓住课堂。
高考数学理科学习重在平日功夫，不适于突击复习。
高质量完成作业。
所谓高质量是指高正确率和高速度。
翻译：把中文翻译成为数学语言，包括：字母表示未知数、图像表示函数式或几何题目、概率语言等等。
该方法常用于函数，几何以及不等式等题目。
特殊化：在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目。
该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论。
盯住目标：把高考数学目标和已知结合，联想相关的定理、定义、方法。
在压轴题目中，往往需要不断转化目标，即盯住目标需要反复使用!各省高考用卷情况1、新高考一卷(8个省份)适用省份：山东、河北、湖北、福建、湖南、广东、江苏，浙江考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。
2、新高考二卷(3个省份)适用省份：海南、辽宁、重庆考试科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。
特点：语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。
3、全国甲卷(5个省份)适用省份：云南、贵州、四川、西藏、广西考试科目：语文、数学、外语、文综、理综特点：语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。
2023年全国高考甲卷文科数学试题及解析
绝密★启用前 试卷类型：A2023年普通高等学校招生统一考试（全国甲卷）文科数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号等填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．每小题给出的四个选项中，只有一项选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．设全集},,,,{54321=U ，集合},{41=M ，},{52=N ，则=M C N U （ ） A ．},,{532 B ．},,{431 C ．},,,{5421 D ．},,,{5432 【解析】 由},,{532=M C U ，},,{},{532⊆52=N ，得},,{532==M C M C N U U ，故选A ．2．=2+2+153))(()(i i i －（ ） A ．1－B ．1C ．i －1D ．i +1 【解析】 由5=2+2))((i i － ，i i －=3，所以，i i i i －－1=2+2+153))(()(，故选C ．3．已知向量),(13=a ，),(22=b ，则>=+<b a b a －,cos （ ）A ．171B ．1717C ．55D ．552【解析】 因为),(35=+b a ，),(11=－－b a ，所以1717=23435>=+<－－b a b a ,cos ，故选B ．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．61 B ．31 C ．21 D ．32【解析】 从这4名学生中随机选2名，共有24C 种不同选法，从高一的2名学生中选1人有12C 种选法，再从高二的2名学生中选1人有12C 种选法．选出2名学生来自不同年级的选法为12C 12×C 种．所以，选出2名学生来自不同年级的概率为32=64=×241212C C C ．故选D ．5．记n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,若10=+62a a ，45=84a a ，则=5S （ ） A ．25 B ．22 C ．20 D ．15 【解析】 因为10=2=+462a a a ，所以5=4a ，又45=84a a ，所以9=8a ，于是公差1=459=48=48－－－a a d ，所以20=5=5=5×2+=43515)(d a a a a S －，故选C ．6．执行下面的程序框图，则输出的=B （ ） A ．21 B ．34 C ．55 D ．89【解析】 1=n 时判断为“是”，执行3个处理框后，2=5=3=n B A ,,；2=n 时判断为“是”， 执行3个处理框后，3=13=8=n B A ,,；3=n 时判断为“是”， 执行3个处理框后，4=34=21=n B A ,,；4=n 时判断为“否”，输出34，故选B ．7．设21F F ,为椭圆1=+522y x C :的两个焦点，P 在C 上，若0=•21PF PF ，则=21PF PF （ ）A ．1B ．2C ．4D ．5【解析】 由4==222b ac －，所以4=2=21c F F ，又52=2=+21a PF PF ，21⊥PF PF ， 所以16==+221221F F PF PF 2，即16=2+21221PF PF PF PF －)(， 所以2=21PF PF ，故选B ．8．曲线1+=x e y x 在点),(21e处的切线方程为（ ）A ．x e y 4=B ．x e y 2=C ．4+4=e x e yD ．43+2=ex e y 【解析】 观察四个选项，只有B C 选项给出的直线过切点，故淘汰A D ，开始结束输出B又21+=′)(x xe y x ，可知曲线在点),(21e 处的切线斜率为4e，淘汰B ，故选C ．9．已知双曲线),(0>0>1=2222b a b y a x －的离心率为5，其中一条渐近线与圆1=3+222)()(－－y x 相交于B A ,两点，则=AB （ ）A ．55 B ．552 C ．553 D ．554 【解析】 由双曲线),(0>0>1=2222b a by a x －的离心率为5，可得双曲线的渐近线方程为0=±2y x ．又圆心),(32到0=+2y x 的距离为57，大于圆的半径1，所以0=+2y x 与圆不相交，圆心),(32到0=2y x －的距离为51=d ，小于圆的半径1=r ， 所以0=2y x －与圆相交，所以 554=54=5112=2=222)(－－d r AB ．故选D ．10．在三棱锥ABC P －中，ABC 是边长为2的等边三角形，2==PB PA ，6=PC ，则该棱锥的体积为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3【解析】 由2===AC BC AB ，2==PB PA ，6=PC ， 3==CO POABCPO可知PO AB CO AB ⊥⊥,，PO CO ⊥， 所以该棱锥的体积为1=2×3×21×31=+=2POCB POC A ABC P V V V －－－，故选A ．11．已知函数21=)()(－－x e x f ，记)(22=f a ，)(23=f b ，)(26=f c ，则( )A ．a c b >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【解析】 由于xe 在R 上是增函数，考虑二次函数21=)()(－－x x g ， )(x g 在),(10上是增函数，因为),(10∈22，),(1023∈，),(10262∈－， 0>223+6=26223－)－－(，－)－－0<222+6=26222( 所以1<23<262<22<0－， 即，)()()(23<262<22g g g －，)()()(23<26<22g g g 所以)()()(23<26<22f f f ， 即a c b >> ，故选A ．12．已知)(x f 为函数)cos(6+2=πx y 在向左平移6π个单位所的函数，则)(x f y =与2121=－x y 的交点个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 先通过平移得到x x x x f y 2=2+2=6+6+2==sin )cos())(cos()(－πππ，即x x f 2=sin )(－．分别作x y 2=sin －和2121=－x y 的图象，如图，因为2143×21>1=43×2－－－－－)())(sin(ππ，即84=21>83π， 2143×21>1=43×2－－ππ)sin(，即812=23<83π， 由图可知x y 2=sin －与2121=－x y 的交点个数为3．故选C ．二、填空题（每小题5分，共20分）13．记n S 为等比数列}{n a 的前n 项和,若367=8S S ，则}{n a 的公比为【解析】 设}{n a 的公比为q ，显然1≠q ， 由题意，有qq a q q a －－－－11×7=11×83161)()(，即0=17836－－q q ，解之81=3－q 或1=3q 舍去， 所以21=－q ，应填21－．14．若)sin()(2+++1=2πx ax x y －为偶函数，则=a【解析】 因为x a x x x ax x y )(cos )sin()(2+1++=2+++1=22－－π． 而1++2x x cos 是偶函数，所以2=a ，应填2．15． 设y x ,满足约束条件1≥+32333+2y x y x y x ≤－≤－ ，设y x z 2+3=，则z 的最大值为O xyπ【解析】 作出满足约束条件的点),(y x 的可行域， 由),(),(y x y x z •23=2+3=所以，当3=3=y x ,时，z 取得最大值15．故填15．16． 在正方体1111D C B A ABCD －中，4=AB ，O 为1AC 的中点，则该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是 【解析】 设正方体的棱长为4，O 为球心，于是，球心O 棱的最小距离为22=OM ，最大距离为32=OA ，所以球O 的半径的取值范围是],[3222，故填],[3222．16. 在ABC ∆中，2=AB ，°60=∠BAC ，6=BC ，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则=AD【解析】在ABC ∆中，由正弦定理知， ACBABBAC BC ∠sin sin =∠，即22=63=×=BCBACAB ACB ∠∠sin sin ，所以°45=ACB ∠，于是°75=ABC ∠，在ABD ∆和ACD ∆中，分别由正弦定理知，°30=°45sin sin CD AD ， °306=°75sin sin CD AD －，42+6=°75sin ， 由°30=°45sin sin CDAD ，得AD CD 2=2，由°306=°75sin sin CDAD －，得CD AD 262=26－－)(，解得2=AD ，故填2．三、解答题：本题共5小题,共60分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．O xyB 1ABCD A 1C 1D 1OM17.（12分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2=+222Aa cb cos －．（1）求bc ； （2）若1=+cbA bB a A b B a －－cos cos cos cos ，求ABC ∆的面积．【解析】 （1）由余弦定理，得A cos bca cb 2+=222－，得2=2++=+222222222bca cb ac b Aa cb －－－cos ，所以1=bc ； （2）利用余弦定理，得c b bca cb b ac b c a a bc a c b b ac b c a a c b A b B a A b B a －－－－－－－－2+×+2+×2+×2+×=+222222222222cos cos cos cos 1===222=22222222c bc b a c b c b a c b c c b a －－－－－－，即bc a c b －－=+222，所以21=2+=222－－bc a c b A cos ，23=A sin ，所以，ABC ∆的面积为43=23××21=21bc A bc sin ．18.（12分）如图，在三棱柱111C B A ABC －中，⊥1C A 底面ABC ，°90=∠ACB ．（1）证明：平面⊥11A ACC 平面C C BB 11；（2）设B A AB 1=，2=1AA ，求四棱锥C C BB A 111－的高． 【解析】 （1）由⊥1C A 底面ABC ，⊂BC 底面ABC ，所以⊥BC C A 1，又°90=∠ACB ，所以⊥BC AC ，⊂AC C A ,1平面11A ACC ，且C AC C A =1 ，所以，⊥BC 平面11A ACC ．又⊂BC 平面C C BB 11，所以平面⊥11A ACC 平面C C BB 11． （2）在BC A Rt 1∆和ABC Rt ∆中，B A AB 1=，BC 为公共边， 所以C A AC 1=，C A AC 1⊥，即CA A 1∆为等腰直角三角形， 又斜边2=1AA ，所以2===111C A C A AC ．由（1）知，平面⊥11A ACC 平面C C BB 11，所以1A 到平面11B BCC 的距离为1， 即四棱锥C C BB A 111－的高为1．19.（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后，统计每只小白鼠体重的增加量（单位：），试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 （1）计算实验组样本的平均数；（2）（i ）求 40 只小鼠体重的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表：ABCA 1B 1C 1（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有 95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：))()()(()(d b c a d c b a bc ad n K ++++=22－，【解析】 （1）实验组样本的平均数为20516+312+28+15+93+63+82+61+20+20802125354866768810212+20...................－－－－－－－－－－－819=2020=..－（2）（i ） 40 只小鼠体重的中位数423=2623+223=...m ．完成下面 2×2 列联表为（ii ）计算8413>4006=20×20×20×2040×14×146×6=22..)(－K ， 所以，有 95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．20.（12分）21.（12分）已知xxax x f 2=cos sin )(－，),(20∈ x ．（1）若1=a ，讨论)(x f 的单调性； （2）若0<+x x f sin )(，求a 的取值范围．【解析】 （1）由1=a ，xxx x f 2=cos sin )(－，xx x x x x x x f 3234232+=2+1=′cos cos cos cos cos sin cos )(－－ 0<2+2+1=32xx x x cos )cos )(cos cos (－－． 所以)(x f 在),(20π单调递减． 2）构造函数x xx ax x x f x g sin cos sin sin )()(+=+=2－， 则0=0)(g ，且x xx x a x g cos cos sin cos )(+2+=′322－ 所以0≤=1+1=0′a a g －)(． 若0=a ，则0<=+=+232xx x x x x x f cos sin sin cos sin sin )(－－，满足题意， 若0<a ，则0<=+=+232xx ax x x x ax x x f cos sin sin cos sin sin )(－－，满足题意， 所以，a 的取值范围是∞,0]－(．21.（12分）已知直线0=1+2y x －与抛物线)(:0>2=2p px y C 交于B A ,两点，154=AB ．（1）求p 的值；（2）设F 为px y 2=2的焦点，N M ,为C 上的两点，且0=•NF MF ，求MNF ∆面积的最小值．【解析】 （1）将0=12=－y x 代入px y 2=2，得0=2+42p py y －， 设),(),,(2211y x B y x A ，则p y y 4=+21，p y y 2=21， 于是，221221+=)()(y y x x AB －－212212214+5=5=y y y y y y －－)()(154=8165=2p p －．所以，2=p ，（2）F 为x y 4=2的焦点，),(01∴F ， 设),(M My y M 42,),(N Ny y N 42,由0=•NF MF ，得0=41•4122),(),(N N M M y y y y－－－－，即0=+414122N M NM y y y y ))((－－，0=1+++41162222N M N M NM y y y y y y )(－，即224+=4)()(N M N M y y y y －，设直线MN 的方程为n my x +=，与抛物线方程联立，得)(n my y +4=2，即0=442n my y －－，于是有，m y y N M 4=+，n y y N M 4=－，且0>16+16=2n m ∆，0>+2n m ．将224+=4)()(N M N M y y y y －变为224+=16+4)()(N M N M N M y y y y y y －，即224+4=41644)()()(n n m －－－，0>1=+422)()(－n n m ， 0≥1+6=422n n m －，解得22+3≥n 或223≤－n ，即1228≥4=－－n y y N M ．记MNF ∆面积为S ，则S =1+421=+4421=22NM N M N M M N N M yy y y y y y y y y －－－24+161=4+81=)(N M N M N M y y y y y y －2812=124=4+122816122－－－≥)()(．所以记MNF ∆面积的最小值为2812－．四、选做题：本题共2小题,任选一道作答，共10分．22 〖选修4－4：坐标系与参数方程〗（10分）【解析】 （1）因为令0=y ，得，αsin 1=1－t ，所以αsin 1==1t PA ， 令0=x ，得，αcos 2=2－t ，所以αcos 2==2t PB ， 由4=PB PA ，得4=2ααcos sin ，即1=2αsin ，1±=2αsin ， 由题意παπ<<2，所以43=πα． （2） 由（1）知t x 222=－，t y 22+1=，所以3=+y x ， l 的极坐标方程为3=+θρθρsin cos ．23 〖选修4－5：不等式选讲〗（10分）【解析】 （1）由x x f <)(，得0>+<2a a x a x ,－，两边平方，2222+2+<4+84a ax x a ax x －， 即0<3+10322a ax x －，0<33))((a x a x －－，因为0>a ，所以a x a 3<<3．解集为),(a a 33． （2）因为0>a ，当a x ≥时，a x x f 32=－)(； 当a x <时，x a x f 2=－)(； 作出函数图象，得),(),,(020a B a A ， ),(),,(a a D a C －023．函数图象与坐标轴围成的面积为2， 即 2=43=+2a S S BCD AOB ∆∆，所以362=a ． x y A O a -a a B C D。
2023年高考全国甲卷数学(文)试题及参考答案
2023年高考全国甲卷数学(文)试题及参考答案2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案2023考全国甲卷的省份2023年高考使用全国甲卷的省份有云南、广西、贵州、四川、西藏。
这五个省份的语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。
总分为750分，其中，语文150分、数学150分、外语150分、理科综合/文科综合300分。
1、全国乙卷有：2022年使用全国乙卷地区：河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西.2、新高考全国一卷有：2022年使用全国一卷地区：山东、广东、河北、江苏、福建、湖北、湖南。
3、新高考全国二卷有：2022年使用全国二卷地区：海南、重庆、辽宁。
4、自主命题的省、市有：包括北京市、上海市、天津市、浙江省，即1个省3个直辖市。
全国甲卷和全国乙卷的区别?哪个更难?全国甲卷和全国乙卷的区别体现在难度不同、使用省份不同、考试科目内容不同等，具体如下：(1)、乙卷难度比甲卷高。
乙卷英语和物理科目能够明显看出来比甲卷难，不过一些学生会觉得甲卷更难一些，这根据学生学习的大体程度去判断。
总而言之，高考试卷难度无法进行量化，只是因人而异，有的考生掌握了试卷上的知识点，就会觉得非常容易，反之，就觉得难。
(2)、乙卷和甲卷使用的省份不同。
乙卷使用的省区：山西、河北、河南、安徽、湖北、湖南、江西、福建等等;甲卷使用的省区：陕西、重庆、青海、新疆、吉林、辽宁、内蒙古等等。
(3)、乙卷和甲卷里面的科目内容也不同。
乙卷科目：英语和综合;甲卷科目：数学、语文、英语。
2023高考数学的答题方法有哪些数学简答题与主观的填空和选择题不同，它需要有规范的答题技巧，当我们通过对条件的分析找到解题的方法之后，其书写的过程一定要按步骤来进行。
因为高考数学的评分是按照步骤来给分的，关键的步骤不能舍去。
所以在答题时尽量的要使用数学符号是比较严谨的，而且其推理思路的过程要缓缓紧扣，否则出现混乱的情况下会被扣分。
2023全国甲卷文科数学解析
2023全国甲卷文科数学解析
2023全国甲卷文科数学解析
本次2023全国甲卷文科数学试卷分为选择题和解答题，共计150分。
选择题共有30道题，每道题2分；解答题共有5道题，每道题20分。
选择题部分包括代数、几何和统计与概率三个模块。
代数部分主
要考察了方程与不等式、函数与方程组等相关知识，涉及到了一元一
次方程、二次方程、绝对值方程、不等式的解集等内容。
几何部分主
要涉及到了平面几何和空间几何的相关知识，包括平面的性质、角度
的计算、三角形的性质、立体图形的计算等内容。
统计与概率部分主
要考察了统计分析和概率计算的相关知识，包括频数表、频数分布图、概率的计算等内容。
解答题部分包括解答和证明两个模块。
解答模块主要考察了解决
实际问题的能力，包括函数应用、图形分析和排列组合等内容。
证明
模块主要考察了推理和证明的能力，包括函数性质的证明和图形的证
明等内容。
本次试卷难度适中，注重考察学生的基础知识和解决实际问题的
能力。
同时，也注重考察学生的推理和证明的能力，对培养学生的逻
辑思维和数学思维能力有一定的促进作用。
总体来说，本次2023全国甲卷文科数学试卷考察了学生在代数、几何和统计与概率等方面的数学基础知识和运用能力，对于学生发展
数学思维和解决实际问题的能力起到了一定的促进作用。
希望同学们
认真复习，做好准备，取得好成绩。
2023年高考全国甲卷文科数学试题
2023年高考全国甲卷文科数学试题2023年高考全国甲卷文科数学试题参考内容一、选择题部分（共80分）1. 设函数 f(x) = ax² + bx + c，其中 a,b,c 均为实数，且a≠0。
若对于任意实数 x，f(x) ≥ 0，下列选项中正确的是（）A. a < 0B. b < 0C. c < 0D. b² - 4ac ≥ 0参考答案：D. b² - 4ac ≥ 0解析：题目要求对于任意实数 x，f(x) ≥ 0。
对于二次函数来说，a 不能为0，且当且仅当 b² - 4ac ≥ 0 时，函数图像才会与 x 轴有交点或与 x 轴有触点。
因此，选项 D 正确。
2. 已知函数 f(x) 的定义域为 [0,2]，值域为 [2,8]，则 f(1) = （）A. -1B. 0C. 1D. 2参考答案：D. 2解析：根据题意，函数 f(x) 的定义域为 [0,2]，值域为 [2,8]，即函数图像在定义域 [0,2] 上取值范围为 [2,8]，因此 f(1) 的取值为 2。
3. 某单位共有 25 名员工，其中男员工 15 人，女员工 A 人，男员工的平均工资是女员工的 2/3。
则女员工的人数 A 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8参考答案：C. 7解析：由题意可列出方程：15男/25 = (2/3)女/25。
解得：女员工的人数 A = 15 * (3/2) = 22.5，因为员工人数必须是整数，所以女员工的人数 A = 7。
4. 已知集合 A = {x | x ∈ [-1, 3]}，集合 B = {x | x ∈ (1,5)}，则A ∪B = （）A. [-1, 5]B. [-1, 5)C. (-1, 5]D. (-1, 5)参考答案：C. (-1, 5]解析：集合 A 中包含边界点 -1 和 3，而集合 B 中不包含边界点 1 和 5。
因此，A ∪ B 的结果为 (-1,5]。
2023高考文科数学全国甲卷试卷附解析
2023高考文科数学全国甲卷试卷附解析2023高考文科数学全国甲卷试卷（附解析）小编带来了2023高考文科数学全国甲卷试卷附解析，大家知道吗?数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
下面是小编为大家整理的2023高考文科数学全国甲卷试卷附解析，希望能帮助到大家!2023高考文科数学全国甲卷试卷附解析高中数学必考重要知识点1.终边与终边相同(的终边在终边所在射线上).终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).终边与终边关于轴对称终边与终边关于轴对称终边与终边关于原点对称一般地：终边与终边关于角的终边对称.与的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.2.弧长公式：，扇形面积公式：1弧度(1rad).3.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.4.三角函数线的特征是：正弦线“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线“躺在轴上(起点是原点)”、正切线“站在点处(起点是)”.务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦’‘纵坐标’、‘余弦’‘横坐标’、‘正切’‘纵坐标除以横坐标之商’”;务必记住：单位圆中角终边的变化与值的大小变化的关系为锐角5.三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”;高三数学复习方法指导1、变介绍方法为选择方法高三学生的头脑中已经储存了很多解题方法和规律，如何提取运用是第二轮数学复习的关键。
“给出方法解题目”不可取，必须“给出习题选方法”。
选法是思维活动，只要在如何选上做文章，才能解决好学生自做不会，老师一讲就通的问题。
2、变全面覆盖为重点讲练第二轮数学复习仅有两个半月的时间，从面面俱到从头来过一遍是根本做不到。
要做到紧紧围绕重点方法，重要的知识点，重要的数学思想和方法以及近几年的重点题型，狠抓过关。
3、变以量为主为以质取胜高三数学复习中一切的讲练都是要围绕学生展开的，贪多嚼不烂，学生如果消化不了，那么，讲再多也没有用。
2023高考文科数学全国甲卷试题及参考答案
2023高考文科数学全国甲卷试题及参考答案
1、通览全卷。
刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不要匆忙作答，可先从头到尾、
正面、反面浏览一遍，通览全卷不是“眼看手勿动”，一般可在不到十分钟完成四件事：
(1)填卷首、看说明、三涂两写。
(2)顺手解答、粗略分类。
顺手解答那些一眼看得出结论的简单选择题、填空题，
而只要解答出一两道题(称为热身运动)，情绪就会迅速稳定下来，并且“旗开得胜”
愉悦感还有一种增力作用，鼓舞我们去作更充分的发挥，同时，通览全卷也是克服“前面难题就攻不下，后面易题无暇顾及”的有效措施。
(3)做到三个心中有数。
对全卷一共几页，一共大小几道题心中有数，防止漏做题，发现漏印题;对每道题得几分心里有数，并粗略地分配一下各题的解答时间，既注
重了每道题的少丢分，更注重全卷多得分;对学科体系的分量心中有数，即大致分
一下哪些属代数题，哪些属三角题、哪些属立体几何题，哪些属解析几何题，为实施“先同后异”作准备。
2、答题要领。
一大二小三循环，一头一尾是两个小循环，各用十分钟左右，中间
是一个大循环，用100分钟。
在通览全卷过程中，先做简单题的第一遍解答是第一个小循环同时把情绪稳定下来，将思考推向高潮。
接下来的100分钟时最佳状态的发挥或收获果实的黄金季节，我们叫做答题的大
循环。
在此阶段应充分发挥自己的水平，基本完成全卷，会做的都做了。
在这个过程中要有全局意识，做整体把握，并执行“四先四后”“一慢一快”的方针。
2023年高考全国甲卷数学(文)真题
一、单选题二、多选题1. 若，则（ ）A．B．C．D ．52. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ）A ．关于直线对称B ．关于点中心对称C．D．3. 已知，则（ ）A．B．C．D．4. 复数（ ）A．B．C．D．5.已知圆的方程为，过直线：（）上的任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则直线在轴上的截距为（ ）A．B．C．D．6. 已知为等比数列的前n项和，，则（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167.双曲线的顶点到其渐近线的距离为（ ）A．B ．1C．D．8. 在中，，则（ ）A ．7B．C．D．9.已知，，，则（ ）A．B．C．D．10.已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的直线，与交于、Q两点，与交于、N两点，的中点为的中点为，则（ ）A ．当时，B ．的最小值为18C ．直线过定点D ．的面积的最小值为411. 已知P 是椭圆C：上的动点，Q 是圆D：上的动点，则（ ）A ．C的焦距为B ．C的离心率为C ．圆D 在C 的内部D ．|PQ |的最小值为2023年高考全国甲卷数学(文)真题2023年高考全国甲卷数学(文)真题三、填空题四、解答题12. 若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（ ）A ．a 的值为-2B ．乙组样本数据的方差为36C ．两组样本数据的样本中位数一定相同D ．两组样本数据的样本极差不同13.如图，在菱形中，，，、分别为、上的点，，，若线段上存在一点，使得，则____；若，则的最大值为 _____．14. 已知直线被圆截得的弦长为，则的值为_________.15. 如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为______.16. 已知直线l 1:过椭圆C : 的左焦点，且与抛物线M : 相切.(1)求椭圆C 及抛物线M 的标准方程;(2)直线l 2过抛物线M 的焦点且与抛物线M 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与椭圆的过右顶点的切线交于M ，N 两点.判断以MN 为直径的圆与椭圆C 是否恒交于定点P ，若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.17. 从2021年10月16日起，中央广播电视总台陆续播出了3期《党课开讲啦》节目，某校组织全校学生观看，并对党史进行了系统学习，为调查学习的效果，对全校学生进行了测试，并从中抽取了100名学生的测试成绩（满分：100分），绘制了频率分布直方图．(1)求m 的值；(2)若学校要求“学生成绩的均值不低于85分”，若不低于要求，不需要开展“党史进课堂“活动，每班配发党史资料，学生自由学习；若低于要求，需要开展“党史进课堂”活动，据以往经验，活动开展一个月能使学生成绩平均分提高2分，达到要求后不再开展活动．请判断该校是否需要开展“党史进课堂”活动，若需要开展，需开展几个月才能达到要求？(3)以样本分布的频率作为总体分布的概率，从全校学生中随机抽取4人，记其中成绩不低于85分的学生数为X ，求X 的分布列和数学期望．18. 一个随机变量的概率分布为：，其中A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角.(1)求A的值；(2)若，求数学期望的取值范围.19. 在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势．但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充．看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化．某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站（电子纸质均可凭电子借书卡借书）由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．（1）以每组数据所在区间中点的值作代表，求80名读书者年龄的平均数；（2）若将该80人分成两个年龄层次，年龄在定义为中青年，在定义为老年．为进一步调查阅读习惯（电子阅读和传统阅读）与年龄层次是否有关，得到如下列联表完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯”与“年龄层次”有关．中青年老年合计电子阅读13传统阅读13合计80附：．临界值表供参考：0.050.0100.0050.0013.841 6.6357.87910.82820. 已知矩形的长为2，宽为1.（如图所示）(1)若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面平面，分别求到AB和AD的距离.(2)在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将翻折成，使平面平面.又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形向上翻折，使C与重合，求线段NG的长.21. 动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两个不同的点，过点、分别作曲线的切线，且二者相交于点.(1)求曲线的方程；(2)求证：.。
2023年高考全国甲卷数学(文)真题及答案
所以 S5 = 5a1 + 5 4 d = 5 2 + 10 = 20 ． 2
故选：C.
方法二： a2 + a6 = 2a4 = 10 ， a4 a8 = 45 ，所以 a4 = 5 ， a8 = 9 ， 从而 d = a8 a4 = 1 ，于是 a3 = a4 d = 5 1 = 4 ，
.
【答案】A 【解析】
B. 1, 3, 4}
C. 1, 2, 4, 5}
D. 2, 3, 4, 5}
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集U = {1, 2, 3, 4, 5} ，集合M = {1, 4} ，所以ðU M = 2, 3, 5} ，
又 N = {2, 5} ，所以 N UðUM = {2, 3, 5}，
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并 交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 设全集U = 1, 2, 3, 4, 5} ，集合M = 1, 4 }, N = 2, 5} ，则 N U ðUM = ( )
A 2, 3, 5}
解析】
一
一
一
一
( ) ( ) 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 + b ,a一一一 b a , 一+ ab . 一a一 b
，从而利用平面向量
余弦的运算公式即可得解.
一
一
一
一
【详解】因为 =a(3, 1), b
一
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2023年高考文科数学全国甲卷试卷及解析
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高三数学复习的方法
一、注重综合考查，关注知识交汇
对数学知识的考查，既要全面又突出重点。
注重学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点设计试题。
二、坚持能力立意，专题复习应对
数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心。
数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。
三、回归课本，让课本习题焕发新活力
高考万变不离其宗，其中的“宗”和“本”指的都是课本。
很多高考题都源自课本中的定理或定理中的思想方法，或是例题、习题的重新组合等。
课本题大多蕴涵着丰富、深刻的背景。
实践证明，以课本为素材组织高考复习不仅不会影响高考成绩，而且是提高成绩非常有效的途径。
平时学习要用好课本，到了高三复习阶段，更要以课本为主，充分发挥教材的作用。
应在深入研究的基础上充分感悟教材的编写意图，积极开发课本的潜在功能，创设问题链情境，通过改变问题的某一“属性”，探索问题的引申、推广、拓展、变通，开展高考复习中的研
究性学习。
这不仅能跳出“题海”，又能巩固基础知识，掌握数学思想方法，深化数学的本质内涵，更为重要的是能激发问题意识，培养综合素养。
高考数学题的解答方法
一、夯实基础知识
高考数学题中容易题、中等题、难题的比重为3:5:2，即基础题占80%，难题占20%。
无论是一轮、二轮，还是三轮复习都把“三基”即基础知识、基本技能、基本思想方法作为重中之重，死握一些难题的做法非常危险!也只有“三基”过关，才有能力去做难题。
二、建构知识网络
数学教学的本质，是在数学知识的教学中，把大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，形成越来越有层次的数学知识网络结构，使学生体验整个学习过程中所蕴涵的数学思想、数学方法，形成解决问题的产生方式，因此，在高考复习中，在夯实基础知识的基础上，把握纵横联系，构建知识网络。
在加强各知识块的联系之后，抓主干知识，理清框架。
三、注重通性通法
近几年的高考题都注重对通性通法的考查，这样避开了过死、过繁和过偏的题目，解题思路不依赖特殊技巧，思维方向多、解题途径多、方法活、注重发散思维的考查。
在复习中千万不要过多“玩技巧”，过多的用技巧，会使成绩好的学生“走火入魔”，成绩差的学生“信心尽失”。
四、提高运算能力
运算能力是最基础的能力。
由于高三复习时间紧、任务重，老师和学生都不重视运算能力的培养，一个问题，看一看知道怎样解就行了。
这是我们高三学生
运算能力差的直接原因。
其实，运算的合理性、正确性、简捷性、时效性对学生考试成绩的好坏起到至关重要的作用。
因此，运算能力要进一步加强，让学生自己体悟运算的重要性和书写的规范性。
同时，在运算中不断地反思自己解题过程的合理性，转化的等价性等等。