2024届湖南省祁东县第一中学高三下学期开学摸底(文理合卷)数学试题

2024届湖南省祁东县第一中学高三下学期开学摸底（文理合卷）数学试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．已知集合{

}2

(,)|A x y y x ==，{}

2

2(,)|1B x y x

y =+=，则A B 的真子集个数为（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3．设i 是虚数单位，若复数5i

2i

()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-

B ．3

C ．1

D ．1-

4．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：2 1.414,3 1.732,5 2.236≈≈≈） A ．22个

B ．24个

C ．26个

D ．28个

5．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）

A ．

2

6

B ．

33

C 3

D ．

23

6．已知010

2

1

:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题

B ．p q ∧是真命题

C ．()p q ∨⌝是真命题

D ．()p q ∧⌝是假命题

7．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移

1

8

个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．

8

π B ．

34π C ．

2

π D ．

4

π 8．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数

2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,

,n x x x x 的方差为1，则

1232+1,2+1,2+1,

,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线

性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆy

bx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1

210

010

y y y y ++

=”

的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

9． 若x,y 满足约束条件x 0

x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪

≥=+⎨⎪≤⎩

，则的取值范围是

A ．[0,6]

B ．[0,4]

C ．[6, +∞）

D ．[4, +∞）

10．设全集U =R ，集合2

{|340}A x x x =-->，则U

A =（ ）

A ．{x |-1

B ．{x |-4

C ．{x |-1≤x ≤4}

D ．{x |-4≤x ≤1}

11．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2i

B ．﹣1+2i

C ．1﹣2i

D ．1+2i

12．已知直线l ：210y x =+过双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方

程为（ ）

A ．22

1520x y -=

B ．22

1205

x y -=

C ．22

1169

x y -

= D ．22

1916

x y -=

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．

14．在二项式()

6

22x +的展开式中，8x 的系数为________.

15．在ABC ∆中，已知23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则cos C 的最小值是________．

16．设f （x ）＝e tx （t ＞0），过点P （t ，0）且平行于y 轴的直线与曲线C ：y ＝f （x ）的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若S （1，f （1）），则△PRS 的面积的最小值是_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知()2

21f x x x =+-.

（1）解关于x 的不等式：()2x

f x x

>

； （2）若()f x 的最小值为M ，且(),,a b c M a b c R +

++=∈，求证：222222

2a b a c c b c b a

+++++≥.

18．（12分）已知函数()()0sin ax

f x e bx =，设()n f x 为()1n f x -的导数，*n N ∈．

（1）求()1f x ，()2f x ；

（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论．

19．（12分）已知函数()()2

2ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）.

（1）讨论函数()f x 在[]1,e 上的单调性；

（2）若存在[]

1,x e ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.

20．（12分）已知AB 是圆O ：2

2

4x y +=的直径，动圆M 过A ，B 两点，且与直线20y +=相切. （1）若直线AB 的方程为0x y -=，求

M 的方程；

（2）在y 轴上是否存在一个定点P ，使得以MP 为直径的圆恰好与x 轴相切？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（12分）设函数

.

(I )求

的最小正周期；