苏科版七年级下册数学第七章《平面图形的认识(二)》较难练习题【答案+解析】

第七章《平面图形的认识（二）》较难练习题
一、选择题
1.下列说法中正确的个数有()(1)在同一平面内，不相交的两条直线一定平行；
(2)在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；
(3)相等的角是对顶角；
(4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
(5)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(6)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2.如图a是长方形纸条，∠DEF=25º，将纸条沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图
c，则∠CFE的度数是
A. 120º
B. 110º
C. 105º
D. 100º
3.如图，△ABC的面积为1.第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使
A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1.第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2018，最少经过多少次操作()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4.如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，
交BD于点G，交BC于点H.下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；
③∠F=∠BAC−∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确个数是()
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
5.如图，在△ABC中，点F，D，E分别是边AB，
BC，AC上的点，且AD，BE，CF相交于点O，若点
O是△ABC的重心.则以下结论：①线段AD，BE，CF
是△ABC的三条角平分线；②△ABD的面积是△ABC
面积的一半；③图中与△ABD面积相等的三角形有5
；⑤AO=2OD.
个；④△BOD的面积是△ABD面积的1
3
其中一定正确结论有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上一
点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有()
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；
③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7.如图，∠ABC=∠ACB,AD,BD、CD分别平分△ABC的
外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：
①AD//BC：②∠ACB=2∠ADB：③∠ADC=90∘−
∠ABD：④∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，
EG//BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=
2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=
1
∠CGE．
2
其中正确的结论是()
A. ①③
B. ②④
C. ①③④
D. ①②③④
二、填空题
9.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则∠1，∠2，∠3中一定相等的两个角是
________．
10.如图△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABC中AD
边上的中线，若△ABC的面积是24，AE=6，则点B到
ED的距离是________．
11.如图所示，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，
∠ADE=∠EDF，∠CED=∠FEG.则∠F=______．
12.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的
外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：
①AD//BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°−∠ABD；④BD平分∠ADC；
⑤∠BDC=1
∠BAC．
2
其中正确的结论有______(填序号)
13.如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=3，BC=4，
AB=5，则CD=_________．
14.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分
∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=______．
15.如图，AB//CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB=x°，∠P1FD=y°.
则∠P1=.(用x，y的代数式表示)，若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次
平分下去，则∠P n=．
16.如图，AB//DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于
点P，且∠P−2∠C=54°，则∠C=_____度．
三、解答题
17.如图，已知AB//CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交
AB于点E，PN交CD于点F，
(1)当三角形PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系是
_________．
(2)当三角形PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD—∠AEM=90°．
(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的
度数．
18.如图，已知直线CB//OA，∠C=∠OAB=100°，点E、点F在线段BC上，满足∠FOB=
∠AOB=α，OE平分∠COF．
(1)用含有α的代数式表示∠COE的度数；
(2)若沿水平方向向右平行移动AB，则∠OBC︰∠OFC的值是否发生变化？若变化，
找出变化规律；若不变，求其比值．
19.已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD//BE
(1)如图①，当∠A=58°，∠B=118°时，求∠C的度数；
(2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的
数量关系；
(3)如图③，在(2)的前提下，且有AC//QB，QP⊥PB，试求出∠DAC：∠ACB：∠CBE
的值．
20.已知AB//CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点
F．
(1)如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．
(2)如图2，若∠ABM=1
3∠ABF，∠CDM=1
3
∠CDF，试写出∠M与∠E之间的数量关
系并证明你的结论．
(3)若∠ABM=1
n ∠ABF，∠CDM=1
n
∠CDF，∠E=m°，请直接用含有n，m的代数式表
示出∠M．
答案和解析
1.A
解：(1).在同一平面内，不相交的两条直线一定平行.故此选项正确；
(2).如图：
直线a上两条线段AB和CD，但是AB和CD不平行，所以在同一平面内，不相交的两条线段不一定平行，故此选项错误；
(3)
如图：两个角相等，所以相等的角不一定是对顶角，所以此选项错误；
(4)两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，这里没有说两直线平行，故此选项错误；
(5)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这里没有强调同一平面内，故此选项错误；
(6)同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这里没有强调同一平面内，过直线外一点，故此选项错误；
2.C
解：延长AE到H，由于纸条是长方形，
∴EH//GF，
∴∠1=∠EFG，
根据翻折不变性得∠1=∠2，
∴∠2=∠EFG，
又∵∠DEF=25°，
∴∠2=∠EFG=25°，
∠FGD=25°+25°=50°．
在梯形FCDG中，
∠GFC=180°−50°=130°，
根据翻折不变性，∠CFE=∠GFC−∠GFE=130°−25°=105°．
3.A
解：△ABC与ΔA1BB1底相等(AB=A1B)，高为1：2(BB1=2BC)，故面积比为1：2，∵△ABC面积为1，
∴SΔA1B1B=2．
同理可得，SΔC
1B1C =2，SΔAA
1C
=2，
∴SΔA
1B1C1=SΔC
1B1C
+SΔAA
1C
+SΔA
1B1B
+SΔABC=2+2+2+1=7；
同理可证ΔA2B2C2的面积=7×ΔA1B1C1的面积=49，
第三次操作后的面积为7×49=343，
第四次操作后的面积为7×343=2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2018，最少经过4次操作．
4.B
解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，
∴①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，
∴②正确；
③∠ABD=90°−∠BAC，
∠DBE=∠ABE−∠ABD=∠ABE−90°+∠BAC=∠CBD−∠DBE−90°+∠BAC，∵∠CBD=90°−∠C，
∴∠DBE=∠BAC−∠C−∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC−∠C−∠DBE，
∴③错误；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，
∴④正确，
正确答案为①②④，共3个．
5.D
解：①∵O是△ABC的重心，
∴线段AD，BE，CF是△ABC的三条中线，故①错误；
②∴BD=1
2BC，∴S△ABD=1
2
S△ABC，故②正确；
③∵O是△ABC的重心，
∴BD=CD，
又∵△ABD与△ADC的高相等，
∴△ABD与△ACD的面积相等=1
2
S△ABC，
同理可知：△CBE与△ABE，△ACF与△BCF面积相等，并且都为△ABC面积的一半，∴图中与△ABD面积相等的三角形个数为5个，故③正确；
④∵O是△ABC的重心，
∴AO=2OD，故⑤正确；
∴DO=1
3
AD，
∴△BOD的面积是△ABD面积的1
3
，故④正确．
故其中正确的结论有②③④⑤，共4个．
6.B
解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
7.C
解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，
∴AD//BC，∴①正确；
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC=1
2∠EAC，∠DCA=1
2
∠ACF，
∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ADC=180°−(∠DAC+∠ACD)
=180°−1
2
(∠EAC+∠ACF)
=180°−1
2
(∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)
=180°−1
2
(180°−∠ABC)
=90°−1
2
∠ABC，∴③正确；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，∴∠BAC=2∠BDC，∴④错误；
即正确的有3个．
8.C
解：①∵EG//BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故错误；
③∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG//BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD，故正确；
④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+1
2
(∠ABC+∠ACB)=135°，
∴∠DFE=360°−135°−90°=135°，
∴∠DFB=45°=1
2
∠CGE，故正确．
9.∠2与∠3
解：如图，
由三角形的外角性质得，∠1=∠4+90°，∠2=∠6+90°，∠3=∠5+90°或∠7+90°，∵∠6=∠7(对顶角相等)，∠4与∠5互余，不一定相等，
∴一定相等的是∠2与∠3．
10.2
解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴S△ABD=S△ACD=1
2
S△ABC,
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE=S△BED=1
2
S△ABD,
∴S△ABE=1
4
S△ABC,
∵△ABC的面积是24，
∴S△ABE=1
4
×24=6，
∵AE=6，
∴AE边上的高为2×6
6
=2，即点B到ED的距离是2，
11.70°
解：在△ABC中，∠A=10°，∠ABC=90°，
在△AED中，∠FDE是它的一个外角，
∴∠FDE=∠A+∠AED，
∵∠ADE=∠EDF、
∴∠ADE=∠EDF=90°
∴∠CED=90°−∠A=80°
∵∠CED=∠FEG，
∴∠FEG=80°．
在△AEF中，∠FEG是它的一个外角，
∴∠FEG=∠A+∠F，
∴∠F=∠FEG−∠A=80°−10°=70°．
12.①②③⑤
解：(1)∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD//BC，
故①正确．
(2)由(1)可知AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故②正确．
(3)在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°∴∠ADC=90°−∠ABD，
故③正确；
(4)如果BD平分∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴只有在△ABC是正三角形时才有BD平分∠ADC
故④错误．
(5)∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，
∴1
2∠BAC+1
2
∠ABC=1
2
∠ACF，
∵∠BDC+∠DBC=1
2
∠ACF，
∴1
2∠BAC+1
2
∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC=1
2
∠ABC，
∴1
2∠BAC=∠BDC，即∠BDC=1
2
∠BAC．
故⑤正确．
13.12
5
解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，AC=3，BC=4，AB=5，
∴S△ABC=1
2AB×CD=1
2
×AC×BC，
∴AB×CD=AC×BC，
∴5CD=3×4，
解得：CD=12
5
．
14.15°
解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，
∴∠DBC=1
2∠ABC，∠DCB=1
2
∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=1
2(∠ABC+∠ACB)=1
2
(180°−
∠A)=1
2
×(180°−60°)=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°−60°=300°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6=1
2∠MBC，∠1=1
2
∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1=1
2
(∠MBC+∠NCB)=150°，
∴∠E=180°−(∠5+∠6+∠1)=180°−150°=30°，∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F=1
2∠E=1
2
×30°=15°．
15.x+y；x+y
2n−1
解：(1)过点P1作P1H//AB，
∵AB//CD，
∴P1H//AB//CD，
∴∠P1EB=∠EP1H，∠P1FD=∠FP1H，∴∠EP1F=(x+y)°，
同理∠P2=1
2
(x+y)°，......，
∴∠P n=(x+y
2n−1
)°，
故答案为x+y；x+y
2n−1。

16.24
解：如图，延长KP交AB于F，
∵AB//DE，DK平分∠CDE，
∴∠BPF=∠EDK=∠CDK，
设∠C=α，则∠BPG=2α+54°，
∵∠BPG是△BPF的外角，∠CDK是△CDG的外角，
∴∠BFP=∠BPG−∠ABP=2α+54°−∠ABP，∠CDK=∠C+∠CGD=α+∠BGP=α+(180°−∠BPG−∠CBP)，
∴2α+54°−∠ABP=α+180°−(2α+54°)−∠CBP，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∴2α+54°=α+180°−(2α+54°)，
解得α=24°，
17.解：(1)作PG//AB，如图①所示：
则PG//CD，
∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，
∵∠1+∠2=∠P=90°，
∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°，
故答案为∠PFD+∠AEM=90°；
(2)证明：如图②所示：
∵AB//CD，
∴∠PFD+∠BHF=180°，
∵∠P=90°，
∴∠BHF+∠2=90°，
∵∠2=∠AEM，
∴∠BHF=∠PHE=90°−∠AEM，
∴∠PFD+90°−∠AEM=180°，
∴∠PFD−∠AEM=90°；
(3)如图③所示：
∵∠P=90°，
∴∠PHE=90°−∠FEB=90°−15°=75°，∵AB//CD，
∴∠PFC=∠PHE=75°，
∵∠PFC=∠N+∠DON，
∴∠N=75°−30°=45°．
18.解：(1)∵CB//OA，
∴∠C+∠AOC=180°，
∵∠C=100°，∴∠AOC=80°，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=1
2
∠COF+
1
2
∠FOA
=1
2(∠COF+∠FOA)=1
2
∠AOC=40°，
又∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠FOE=40°−α；
(2)∠OBC∶∠OFC的值不发生改变．
∵BC//OA，
∴∠FBO=∠AOB，
又∵∠BOF=∠AOB，
∴∠FBO=∠BOF，
∵∠OFC=∠FBO+∠FOB，
∴∠OFC=2∠OBC，
即∠OBC∶∠OFC=∠OBC∶2∠OBC=1∶2.
19.解：(1)在图①中，过点C作CF//AD，则CF//BE．
∵CF//AD//BE，
∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°−∠B，
∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°−(∠B−∠A)=120°；
(2)解：在图②中，过点Q作QM//AD，
则QM//BE，
∵QM//AD，QM//BE，
∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD=1
2∠CAD，∠EBQ=1
2
∠CBE，
∴∠AQB=∠BQM−∠AQM=1
2
(∠CBE−∠CAD)．∵∠C=180°−(∠CBE−∠CAD)=180°−2∠AQB，∴2∠AQB+∠C=180°；
(3)解：∵AC//QB，
∴∠AQB=∠CAP=1
2∠CAD，∠ACP=∠PBQ=1
2
∠CBE，
∴∠ACB=180°−∠ACP=180°−1
2
∠CBE，
∵2∠AQB+∠ACB=180°，
∴∠CAD=1
2
∠CBE，
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，
∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，
∴∠ACB=180°−(∠CBE−∠CAD)=120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE=60°：120°：120°=1：2：2．
20.解：(1)如图，作EG//AB，FH//AB，
∵AB//CD，
∴EG//AB//FH//CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，
∴∠ABE+∠CDE=280°，
∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，
∴∠ABF+∠CDF=140°，
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°；
(2)6∠M+∠E=360°，
∵∠ABM=1
3∠ABF，∠CDM=1
3
∠CDF，
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，
∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°，
∵∠M=∠ABM+∠CDM，
∴6∠M+∠E=360°；
(3)由(2)结论可得，
2n∠ABN+2n∠CDM+∠E=360°，∠M=∠ABM+∠CDM，解得：∠M=360°−m°
2n
，。