电工技术基础第五章
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Im I = 0.707I m 2 正弦交流电压的有效值为
U Um 2 0.707 m U
正弦交流电动势的有效值为
E Em 2 0.707Em
四、交流电的有效值
例如：正弦交流电流 i = 2sin( t－30) A 的有效值 I = 2×0.707 = 1.414 A，如果通过 R = 10 的电阻时，在 一秒时间内电阻消耗的电能(又叫做平均功率)为 P = I2R = 20 W，即与 I = 1.414 A 的直流电流通过该电阻 时产生相同的电功率。 我国工业和民用交流电源的有效值为 220 V、频率为 50 Hz，因而通常将这一交流电压简称为工频电压。 有效值和最大值是从不同角度反映交流电流强弱的物 理量。通常所说的交流电的电流、电压、电动势的值，不 作特殊说明的都是有效值。例如，市电电压是220V，是 指其有效值为220V。
注意：
学习交流电，不但要注意它与直流电的共同点，而且 要注意两者之间的区别，要加深对交流电特性的理解，千 万不要轻易地把直流电路中的规律套用到交流电路中去。 在交流电路中，随时间变化的量用小写字母表示，如 随时间变化的电流、电压、电动势和功率的瞬时值，分别 用i、u、e、p表示；不随时间变化的量用大写字母表示， 如电流、电压、电动势的有效值和平均功率分别用大写字 母I、U、E、P表示。
三、旋转矢量
用旋转矢量表示正弦量的优点：
1. 方便进行加、减运算，旋转矢量的加、减运算服 从平行四边形法则。 2. 旋转矢量既可以反映正弦量的三要素（振幅、频 率、初相），又可以通过它在纵轴上的投影求出 正弦量的瞬时值。
3. 在同一坐标系中，运用旋转矢量法可以处理多个 同频率旋转矢量之间的关系。
旋转矢量－注意事项
§5-5 纯电容电路
把电容器接到交流电源上，如果电容器的漏电 电阻和分布电感可以忽略不计，这种电路叫做纯电 容电路。
1mHz = 106 Hz
二、正弦交流电的周期、频率和角频率
3．角频率
在交流电解析式中，ω是单位时间内角度的变化量， 叫做角频率。角频率与频率的关系为
2 2f T
与频率类似，它表示正弦交流电流在单位时间内作周期 性循环变化的次数，即表征交流电交替变化的速率(快慢)。 角频率的国际单位制是：弧度每秒(rad/s) 。
上述两个公式说明，正弦交流电压和电流的有效值、 最大值之间均满足欧姆定律。
二、电流、电压间相位关系
电阻的两端电压 u 与通过它的电流 i 同相，且其数量服 从欧姆定律。波形图和相量图如图 5－20 所示。
uR i R
注意：上述关系是纯电阻电路所特有的，只有在纯电阻电路 中，任一时刻的电压、电流值服从欧姆定律。
例如已知某正弦交流电流的最大值是 10 A，频率为 50Hz， 设初相位为 60 ，则该电流的瞬时表达式为
i(t) = Imsin( t i0) = 10sin(2f t 60) = 10sin(314t 60)A
二、波形图
在平面直角坐标系中，将时间t或角度ωt作为横坐标，与之 对应的e，u，i的值作为纵坐标，作出e，u，i随时间t或角度 ωt变化的曲线，这种方法叫图像法，这种曲线叫交流电的波 形图，它的优点是可以直观地看出交流电的变化规律。
5种典型相位关系
注意：如果已知正弦交流电的振幅、频率（或者周期、 角频率）和初相（三者缺一不可），就可以用解析式或波形 图将该正弦交流电唯一确定下来。因此，振幅、频率（或周 期、角频率）、初相叫做正弦交流电的三要素。
四、交流电的有效值
交流电和直流电具有不同的特点，但是从能量转换的 角度来看，两者是可以等效的。 在电工技术中，有时并不需要知道交流电的瞬时值，而 规定一个能够表征其大小的特定值——有效值，其依据是交 流电流和直流电流通过电阻时，电阻都要消耗电能(热效应)。
§5-1 正弦交流电的基本概念
一、交流电的产生
如果电流的大小及方向都随时间做周期性变化，并且 在一个周期内的平均值为零的电流称为交流电。 根据法拉第电磁感应定律，研制出了交流发电机。如 图所示，为最简单的交流发电机的模型示意图。 如图所示的交流发电机所产生的电动势，按正弦规律变 化。
e eab ecd 2 BLv sin(t 0 ) Em sin(t 0 )
pL = UIcos[1 cos(2 t)] UI sin sin(2 t) = UI sin(2 t)
1、瞬时功率
2、平均功率
有功功率 PL = UI cos = 0
3、无功功率
无功功率 即纯电感电路不消耗功率(能量)，电感与电源之间进行着可逆 的能量转换。
U2 QL = UI = I2XL = XL
二、纯电阻电路的功率
1、瞬时功率
在纯电阻电路中，由于电压与电流同相，即相位差 = 0， 则瞬时功率 pR = UIcos[1 cos(2t)] UI sin sin(2 t) = UIcos[1 cos(2 t)]
2、平均功率
有功功率
无功功率
U2 PR = UI cos = UI = I2R = R QR = UI sin = 0
正弦交流电路－导论
在直流电路中，电流、电压的方向都不随时间变化。 如图5－1所示。
图5-1 直流电流 在交流电路中，电流、电压的大小和方向随时间做周 图5-2 几种常见交流电的电流波形图 期变化，且在一个周期内平均值为零，这样的电流、电 压叫做脚边电流、交变电压，统称为交流电。如图5-2所 示。
正弦交流电路－导论
S P 2 Q 2 PR
视在功率
即纯电阻电路消耗功率(能量)。
纯电阻电路的小结
（1）纯电阻交流电路中，电流和电压同相。 （2）电压与电流的最大值、有效值和瞬时值 之间，都服从欧姆定律。 （3）有功功率（平均功率）等于电流有效值 与电阻两端电压的有效值之积。
§5-4 纯电感电路
家庭用洗衣机中有电动机， 电动机有绕组，绕组由线圈组 成，本节研究正弦交流电路中 只有电感时的情况。 常见的电感有以下几种。
设正弦交流电流 i( t ) 在一个周期 T 时间内，使一电 阻R 消耗的电能为 QR ，另有一相应的直流电流 I 在时间 T
内也使该电阻 R 消耗相同的电能，即 QR = I2RT 。
四、交流电的有效值
就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流(i 与 I)是等效 的，则该直流电流 I 的数值可以表示交流电流 i(t) 的大小，于 是把这一特定的数值 I 称为交流电流的有效值。理论与实验均 可证明，正弦交流电流 i 的有效值 I 等于其振幅(最大值)Im 的 0.707 倍，即
二、电流、电压间的相位关系
两端的电压为
在纯电感电路中，电感两端的电压uL超前电流 ，线圈 2
u L U m sin(t ) 2
根据电流、电压的解析式，作出电流和电压的波形图以 及它们的旋转矢量图，
三、纯电感电路的功率
在纯电感电路中，由于电压比电流超前 90 ，即电压与电 流的相位差 = 90，则瞬时功率
纯电感电路的小结
1、在纯电感的交流电路中，电流和电压是同频率的 正弦量。（在直流电路中电感电压恒为零，相当于断 路。）
2、电压uL与电流的变化率成正比，电压超前电 流 2。
3、电流、电压最大值和有效值之间都服从欧姆定律， 而瞬时值不服从欧姆定律，要特别注意。 4、电感是储能元件，它不消耗电能，其有功功率为 零，无功功率等于电压有效值与电流有效值之积。
2．相位差
在讨论两个正弦量的相位关系时： (1)当 > 0 时，称第一个正弦量比第二个正弦量越前 (或超前) ,如图 5-6(a) ； (2)当 < 0 时，称第一个正弦量比第二个正弦量滞后 (或落后) | | ，如图 5-6(b) ； (3)当 = 0 时，称第一个正弦量与第二个正弦量同相 如图 5-6(c)； (4)当 = 或 180 时，称第一个正弦量与第二个 正弦量反相如图 5-6 (d)； (5)当 = 或 90 时，称第一个正弦量与第二 2 个正弦量正交。如图 5-6(e)
三、相位和相位差
1．相位
任意一个正弦量 y = Asin( t 0 )的相位为( t 0 ). 相位反映的是 t 时刻线圈平面与中性面的夹角. 相位是一个随时间变化的量。当t=0时，相位，叫做初相 位（简称初相），它反映了正弦交流电起始时刻的状态。
注意：初相的大小和时间起点的选择有关，习惯上初相 用绝对值小于π的角表示。， 相位的意义：相位是表示正弦交流电在某一时刻所处状 态的物理量，它不仅取决于瞬时值的大小和方向，还能表示 正弦交流电的变化趋势。
二、正弦交流电的周期、频率和角频率
2．频率
交流电周期的倒数叫做频率(用符号 f 表示)，即
1 T f
它表示正弦交流电流在单位时间内作周期性循环变化的
次数，即表征交流电交替变化的速率(快慢)。频率的国际单 位制是：赫兹(Hz) 。
经常用的频率单位还有千赫 (kHz) 、兆赫 (MHz)
1 kHz = 103 Hz；
电工基础 （第2版）
主编：刘志平、苏永昌
第五章 正弦交流电路
电压、电流随时间按正弦规律变化的电流，叫做正弦交 流电。本章主要介绍正弦交流电的产生、正弦交流电的三要 素、表征正弦交流电路特征的物理量、正弦交流电的表示方 法、简单正弦交流电路的计算、谐振电路及其应用。 第一节 正弦交流电的 基本概念 第二节 旋转矢量 第三节 第四节 第五节 第六节 纯电阻电路 纯电感电路 纯电容电路 RL串联电路 第七节 RC串联电路 第八节 RLC串联电路 第九节 串联谐振电路 第十节 实际线圈与电容 并联电路 第十一节 并联谐振电路 第十二节 提高功率因数 的意义和方法
一、电流、电压间的数量关系
电感电流与电压的大小关系
U I XL
显然，感抗与电阻的单位相同，都是欧姆()。 感抗：理论和实验证明，感抗的大小与电源频率成正比 （演示实验一中可以观察到），与线圈的电感成正比。 感抗的公式为
X L 2fL
显然，频率越大，电感感抗越大，对电流的 阻碍作用也就越大。
只有正弦量才能用旋转矢量表示，只有 同频率正弦量才能借助于平行四边形法则进 行旋转矢量的加、减运算。
§5-3 纯电阻电路
只含有电阻元件的交流电路叫做纯电阻电路，如含有白 炽灯、电炉、电烙铁等的电路。
一、电流与电压间数量关系
电流、电压的数量关系也可以理解为电流与电压间 的大小关系。
U I R
Um Im R
图5-9 交流电波形图
三、旋转矢量
旋转矢量不同于力学中的矢量，它是随时间变化的矢量， 它的加、减运算服从平行四边形法则。 如何用旋转矢量表示正弦量？ 以坐标原O为端点做一条有向线段，线段的长度为正弦量 的最大值Im，旋转矢量的起始位置与x轴正方向的交角为正弦 量的初相 0 ，它以正弦量的角频率ω为角速度，绕原点O逆时 针匀速转动，即在任意时刻t旋转矢量与x周正半轴的交角 为 t 0 。则在任一时刻，旋转矢量在纵轴上的投影就等于 该时刻正弦量的的瞬时值。
三、相位和相位差
2．相位差
设有两个同频率的正弦交流电流
i1 I m1 sin(t 01 )
i2 I m 2 sin(t 02 )
那么，第一个正弦量的初相为 01 ，第二个正弦量的初
相为 02 ，则这两个正弦量的相位差为 = 01 02
并规定 || ≤ 180 或 || ≤
§5-2 旋转矢量
一、解析式
用三角函数表示正弦交流电随时间变化的关系，这种 方法叫做解析式法。 i(t) = Imsin( t i0) u(t) = Umsin( t u0) e(t) = Emsin( t e0) 只要给出时间 t 的数值，就可以求出该时刻i、u、e的值。
二、正弦交流电的周期、频率和角频率
1、周期
交流电完成一次周期性变化所用的时间，叫做周期。也就是 线圈匀速转动一周所用的是时间。用T表示，单位是s（秒）。
显然正弦交流电流或电压相邻的两个最大值(或相邻 的两个最小值)之间的时间间隔即为周期，由三角函数 知识可知
2 图5-4 正弦交流电的周期 T
U Um 2 0.707 m U
正弦交流电动势的有效值为
E Em 2 0.707Em
四、交流电的有效值
例如：正弦交流电流 i = 2sin( t－30) A 的有效值 I = 2×0.707 = 1.414 A，如果通过 R = 10 的电阻时，在 一秒时间内电阻消耗的电能(又叫做平均功率)为 P = I2R = 20 W，即与 I = 1.414 A 的直流电流通过该电阻 时产生相同的电功率。 我国工业和民用交流电源的有效值为 220 V、频率为 50 Hz，因而通常将这一交流电压简称为工频电压。 有效值和最大值是从不同角度反映交流电流强弱的物 理量。通常所说的交流电的电流、电压、电动势的值，不 作特殊说明的都是有效值。例如，市电电压是220V，是 指其有效值为220V。
注意：
学习交流电，不但要注意它与直流电的共同点，而且 要注意两者之间的区别，要加深对交流电特性的理解，千 万不要轻易地把直流电路中的规律套用到交流电路中去。 在交流电路中，随时间变化的量用小写字母表示，如 随时间变化的电流、电压、电动势和功率的瞬时值，分别 用i、u、e、p表示；不随时间变化的量用大写字母表示， 如电流、电压、电动势的有效值和平均功率分别用大写字 母I、U、E、P表示。
三、旋转矢量
用旋转矢量表示正弦量的优点：
1. 方便进行加、减运算，旋转矢量的加、减运算服 从平行四边形法则。 2. 旋转矢量既可以反映正弦量的三要素（振幅、频 率、初相），又可以通过它在纵轴上的投影求出 正弦量的瞬时值。
3. 在同一坐标系中，运用旋转矢量法可以处理多个 同频率旋转矢量之间的关系。
旋转矢量－注意事项
§5-5 纯电容电路
把电容器接到交流电源上，如果电容器的漏电 电阻和分布电感可以忽略不计，这种电路叫做纯电 容电路。
1mHz = 106 Hz
二、正弦交流电的周期、频率和角频率
3．角频率
在交流电解析式中，ω是单位时间内角度的变化量， 叫做角频率。角频率与频率的关系为
2 2f T
与频率类似，它表示正弦交流电流在单位时间内作周期 性循环变化的次数，即表征交流电交替变化的速率(快慢)。 角频率的国际单位制是：弧度每秒(rad/s) 。
上述两个公式说明，正弦交流电压和电流的有效值、 最大值之间均满足欧姆定律。
二、电流、电压间相位关系
电阻的两端电压 u 与通过它的电流 i 同相，且其数量服 从欧姆定律。波形图和相量图如图 5－20 所示。
uR i R
注意：上述关系是纯电阻电路所特有的，只有在纯电阻电路 中，任一时刻的电压、电流值服从欧姆定律。
例如已知某正弦交流电流的最大值是 10 A，频率为 50Hz， 设初相位为 60 ，则该电流的瞬时表达式为
i(t) = Imsin( t i0) = 10sin(2f t 60) = 10sin(314t 60)A
二、波形图
在平面直角坐标系中，将时间t或角度ωt作为横坐标，与之 对应的e，u，i的值作为纵坐标，作出e，u，i随时间t或角度 ωt变化的曲线，这种方法叫图像法，这种曲线叫交流电的波 形图，它的优点是可以直观地看出交流电的变化规律。
5种典型相位关系
注意：如果已知正弦交流电的振幅、频率（或者周期、 角频率）和初相（三者缺一不可），就可以用解析式或波形 图将该正弦交流电唯一确定下来。因此，振幅、频率（或周 期、角频率）、初相叫做正弦交流电的三要素。
四、交流电的有效值
交流电和直流电具有不同的特点，但是从能量转换的 角度来看，两者是可以等效的。 在电工技术中，有时并不需要知道交流电的瞬时值，而 规定一个能够表征其大小的特定值——有效值，其依据是交 流电流和直流电流通过电阻时，电阻都要消耗电能(热效应)。
§5-1 正弦交流电的基本概念
一、交流电的产生
如果电流的大小及方向都随时间做周期性变化，并且 在一个周期内的平均值为零的电流称为交流电。 根据法拉第电磁感应定律，研制出了交流发电机。如 图所示，为最简单的交流发电机的模型示意图。 如图所示的交流发电机所产生的电动势，按正弦规律变 化。
e eab ecd 2 BLv sin(t 0 ) Em sin(t 0 )
pL = UIcos[1 cos(2 t)] UI sin sin(2 t) = UI sin(2 t)
1、瞬时功率
2、平均功率
有功功率 PL = UI cos = 0
3、无功功率
无功功率 即纯电感电路不消耗功率(能量)，电感与电源之间进行着可逆 的能量转换。
U2 QL = UI = I2XL = XL
二、纯电阻电路的功率
1、瞬时功率
在纯电阻电路中，由于电压与电流同相，即相位差 = 0， 则瞬时功率 pR = UIcos[1 cos(2t)] UI sin sin(2 t) = UIcos[1 cos(2 t)]
2、平均功率
有功功率
无功功率
U2 PR = UI cos = UI = I2R = R QR = UI sin = 0
正弦交流电路－导论
在直流电路中，电流、电压的方向都不随时间变化。 如图5－1所示。
图5-1 直流电流 在交流电路中，电流、电压的大小和方向随时间做周 图5-2 几种常见交流电的电流波形图 期变化，且在一个周期内平均值为零，这样的电流、电 压叫做脚边电流、交变电压，统称为交流电。如图5-2所 示。
正弦交流电路－导论
S P 2 Q 2 PR
视在功率
即纯电阻电路消耗功率(能量)。
纯电阻电路的小结
（1）纯电阻交流电路中，电流和电压同相。 （2）电压与电流的最大值、有效值和瞬时值 之间，都服从欧姆定律。 （3）有功功率（平均功率）等于电流有效值 与电阻两端电压的有效值之积。
§5-4 纯电感电路
家庭用洗衣机中有电动机， 电动机有绕组，绕组由线圈组 成，本节研究正弦交流电路中 只有电感时的情况。 常见的电感有以下几种。
设正弦交流电流 i( t ) 在一个周期 T 时间内，使一电 阻R 消耗的电能为 QR ，另有一相应的直流电流 I 在时间 T
内也使该电阻 R 消耗相同的电能，即 QR = I2RT 。
四、交流电的有效值
就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流(i 与 I)是等效 的，则该直流电流 I 的数值可以表示交流电流 i(t) 的大小，于 是把这一特定的数值 I 称为交流电流的有效值。理论与实验均 可证明，正弦交流电流 i 的有效值 I 等于其振幅(最大值)Im 的 0.707 倍，即
二、电流、电压间的相位关系
两端的电压为
在纯电感电路中，电感两端的电压uL超前电流 ，线圈 2
u L U m sin(t ) 2
根据电流、电压的解析式，作出电流和电压的波形图以 及它们的旋转矢量图，
三、纯电感电路的功率
在纯电感电路中，由于电压比电流超前 90 ，即电压与电 流的相位差 = 90，则瞬时功率
纯电感电路的小结
1、在纯电感的交流电路中，电流和电压是同频率的 正弦量。（在直流电路中电感电压恒为零，相当于断 路。）
2、电压uL与电流的变化率成正比，电压超前电 流 2。
3、电流、电压最大值和有效值之间都服从欧姆定律， 而瞬时值不服从欧姆定律，要特别注意。 4、电感是储能元件，它不消耗电能，其有功功率为 零，无功功率等于电压有效值与电流有效值之积。
2．相位差
在讨论两个正弦量的相位关系时： (1)当 > 0 时，称第一个正弦量比第二个正弦量越前 (或超前) ,如图 5-6(a) ； (2)当 < 0 时，称第一个正弦量比第二个正弦量滞后 (或落后) | | ，如图 5-6(b) ； (3)当 = 0 时，称第一个正弦量与第二个正弦量同相 如图 5-6(c)； (4)当 = 或 180 时，称第一个正弦量与第二个 正弦量反相如图 5-6 (d)； (5)当 = 或 90 时，称第一个正弦量与第二 2 个正弦量正交。如图 5-6(e)
三、相位和相位差
1．相位
任意一个正弦量 y = Asin( t 0 )的相位为( t 0 ). 相位反映的是 t 时刻线圈平面与中性面的夹角. 相位是一个随时间变化的量。当t=0时，相位，叫做初相 位（简称初相），它反映了正弦交流电起始时刻的状态。
注意：初相的大小和时间起点的选择有关，习惯上初相 用绝对值小于π的角表示。， 相位的意义：相位是表示正弦交流电在某一时刻所处状 态的物理量，它不仅取决于瞬时值的大小和方向，还能表示 正弦交流电的变化趋势。
二、正弦交流电的周期、频率和角频率
2．频率
交流电周期的倒数叫做频率(用符号 f 表示)，即
1 T f
它表示正弦交流电流在单位时间内作周期性循环变化的
次数，即表征交流电交替变化的速率(快慢)。频率的国际单 位制是：赫兹(Hz) 。
经常用的频率单位还有千赫 (kHz) 、兆赫 (MHz)
1 kHz = 103 Hz；
电工基础 （第2版）
主编：刘志平、苏永昌
第五章 正弦交流电路
电压、电流随时间按正弦规律变化的电流，叫做正弦交 流电。本章主要介绍正弦交流电的产生、正弦交流电的三要 素、表征正弦交流电路特征的物理量、正弦交流电的表示方 法、简单正弦交流电路的计算、谐振电路及其应用。 第一节 正弦交流电的 基本概念 第二节 旋转矢量 第三节 第四节 第五节 第六节 纯电阻电路 纯电感电路 纯电容电路 RL串联电路 第七节 RC串联电路 第八节 RLC串联电路 第九节 串联谐振电路 第十节 实际线圈与电容 并联电路 第十一节 并联谐振电路 第十二节 提高功率因数 的意义和方法
一、电流、电压间的数量关系
电感电流与电压的大小关系
U I XL
显然，感抗与电阻的单位相同，都是欧姆()。 感抗：理论和实验证明，感抗的大小与电源频率成正比 （演示实验一中可以观察到），与线圈的电感成正比。 感抗的公式为
X L 2fL
显然，频率越大，电感感抗越大，对电流的 阻碍作用也就越大。
只有正弦量才能用旋转矢量表示，只有 同频率正弦量才能借助于平行四边形法则进 行旋转矢量的加、减运算。
§5-3 纯电阻电路
只含有电阻元件的交流电路叫做纯电阻电路，如含有白 炽灯、电炉、电烙铁等的电路。
一、电流与电压间数量关系
电流、电压的数量关系也可以理解为电流与电压间 的大小关系。
U I R
Um Im R
图5-9 交流电波形图
三、旋转矢量
旋转矢量不同于力学中的矢量，它是随时间变化的矢量， 它的加、减运算服从平行四边形法则。 如何用旋转矢量表示正弦量？ 以坐标原O为端点做一条有向线段，线段的长度为正弦量 的最大值Im，旋转矢量的起始位置与x轴正方向的交角为正弦 量的初相 0 ，它以正弦量的角频率ω为角速度，绕原点O逆时 针匀速转动，即在任意时刻t旋转矢量与x周正半轴的交角 为 t 0 。则在任一时刻，旋转矢量在纵轴上的投影就等于 该时刻正弦量的的瞬时值。
三、相位和相位差
2．相位差
设有两个同频率的正弦交流电流
i1 I m1 sin(t 01 )
i2 I m 2 sin(t 02 )
那么，第一个正弦量的初相为 01 ，第二个正弦量的初
相为 02 ，则这两个正弦量的相位差为 = 01 02
并规定 || ≤ 180 或 || ≤
§5-2 旋转矢量
一、解析式
用三角函数表示正弦交流电随时间变化的关系，这种 方法叫做解析式法。 i(t) = Imsin( t i0) u(t) = Umsin( t u0) e(t) = Emsin( t e0) 只要给出时间 t 的数值，就可以求出该时刻i、u、e的值。
二、正弦交流电的周期、频率和角频率
1、周期
交流电完成一次周期性变化所用的时间，叫做周期。也就是 线圈匀速转动一周所用的是时间。用T表示，单位是s（秒）。
显然正弦交流电流或电压相邻的两个最大值(或相邻 的两个最小值)之间的时间间隔即为周期，由三角函数 知识可知
2 图5-4 正弦交流电的周期 T