2020-2021学年高一数学人教A版必修4第一章 (三角函数)本章小结课件(共83张PPT)

1 2
)2
=
3 2
;
如果 a 是第二象限角,
cos(2p -a)= -
3 2
.
10.
已知 sin(p +a ) (1) cos(2p-a);
=
-
12(,2)计ta算n(:a-7p).
解:
由
sin( p
+a
)
=
-
1 2
得
sina
=
1 2
,
知 a 是第一、二象限角.
(2) tan(a-7p) = tana,
1- (-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
本章内容
1.1 任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图象与性质
1.5 函数 y=Asin(wx+j) 的图象
1.6 三角函数模型的简单应用 第一章 小结
本章小结
知识要点 复习参考题 自我检测题
1. 正角, 负角, 象限角 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.
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A组
1. 写出与下列各角终边相同的角的集合S, 并且
把 S 中适合不等式 -2p≤b<4p 的元素 b 写出来:
(1)
p
4
;
(2) - 32p;
(3) 152p;
解:
(1)
S ={b |b
=
p
4
+ 2kp ,
kZ}.
取 k = -1, 0, 1 时,
(4) 0.
b = - 74p ,
p
4
(1) 图象变化
左右平移, x 左加右减 | j |;
左右伸缩,
x
变为原来的
1
w
;
上下伸缩, y 变为原来的A倍.
13. 函数 y=Asin(wx+j)
(2) 物理意义(简谐振动)
振幅: A,
周期:
T=
2p w
,
频率:
f
=
1 T
,
相位: wx+j,
初相: j.
13. 函数 y=Asin(wx+j)
=
43- 2 5+ 33
=
5 7
.
8. 已知 tana =3, 计算:
(1)
4sina 5cosa
- 2cosa + 3sina
;
(2) sina cosa;
(3) (sina+cosa)2.
解: (2)
由已知得
sin2a cos2a
= 9,
解得
cos2a
=
1 10
,
则
sinacosa
=
tanacos2a
cos(-1103p );
(3) sin3, cos(sin2).
解: (1) sin37821=sin1821, tan1111=tan31,
=
3 10
.
法二:
tana
=
y x
=
3,
sina cosa
=
y r
x r
=
xy x2 + y2
=
x y
1 +
y x
=
1
1 3
+
3
=
3 10
.
8. 已知 tana =3, 计算:
(1)
4sina 5cosa
- 2cosa + 3sina
;
(2) sina cosa;
(3) (sina+cosa)2.
角的终边在第几象限, 这个角就叫做第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上, 这个角不属于任何象限.
与角 a 同终边的角的集合: {b | b =a + 2kp, kZ}.
终边与 a~b (a<b ) 之间的角重合的角的集合: {q | 2kp+a <q <2kp+b, kZ}.
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2. 弧度与角度
9. 正弦曲线
y=sinx
y
1·
-3p
-
5p
2
-2p
-
3p
2
-p
-
p ·o
2-1
p
·
p
3p ·2p
5p
3p
2
·2
2
x
五个关键点:
(0,
0)
(p2 , 1)
(p,
0)
(
3p
2
,
-1)
(2p, 0)
10. 余弦曲线
y
1·
y =cos x
·
-3p
-
5p
2
-2p
-
3p
2
-p
-
po 2-1
·p p ·3p 2p 5p 3p
解: (1) ∵ 4 弧度是第三象限角, ∴ sin4<0.
(2) ∵ 5 弧度是第四象限角, ∴ cos5>0.
(3) ∵ 8 弧度是第二象限角, ∴ tan8<0.
(4) ∵ -3 弧度是第三象限角, ∴ tan(-3)>0.
(4) tan (-3).
4.
已知
cosj
=
1 4
,
求 sinj,
tanj.
如果 a 是第一象限角,
tan(a
-
7p
)
=
sina cosa
=
1 2
3 2
=
3 3
.
如果 a 是第二象限角,
tan(a -7p )= -
3 3
.
11. 先比较大小, 再用计算器求值:
(1) sin37821, tan1111, cos642.5;
(2) sin(-879),
tan(
-
33p
8
),
S
=
12aR2
=
1 2
lR.
4. 角的终边上的点定义三角函数
sina
=
y r
,
cosa
=
x r
,
tana
=
y x
,
r = x2 + y2.
5. 三角函数线
正弦线 MP =sina. 余弦线 OM=cosa. 正切线 AT =tana.
二、三象限角的正切线 分别作在四、一象限.
y Ta
P
A
oM1x
解: (3) 原式 = sin2a+cos2a+2sinacosa
= 1+2sinacosa,
由(2)得 sina cosa = 130,
(sina
+ cosa )2
=
1+
2
3 10
=
8 5
.
9. 先估计结果的符号, 再进行计算:
(1) sin 265p +cos 235p + tan(- 245p ); (2) sin2+cos3+tan4 (可用计算器).
证明: (1)右边 = 1+sin2a+cos2a-2sina+2cosa-2sinacosa = 2-2sina+2cosa-2sinacosa = 2(1-sina)+2cosa(1-sina) = 2(1-sina)(1+cosa)
= 左边.
(2) 左边 = sin2a(1-sin2b)+sin2b+cos2a·cos2b = sin2a·cos2b+sin2b+cos2a·cos2b = (sin2a+cos2a)cos2b+sin2b = cos2b+sin2b
2· 2
2
x
五个关键点:
(0, 1) (p2 , 0) (p, -1) (32p , 0) (2p, 1)
11. 正切曲线 y
-
7p 2
-3p-
5p 2
-2p
-
3p 2
-p
-
p 2
op 2
p
3p 2
2p
5p 2
3p
7p 2
x
12. 正弦、余弦和正切函数的性质
定义域 值域
y=sinx R
[-1, 1]
解: (1) 265p 是第一象限角, sin 265p 0,
235p 是第一象限角, cos 235p 0,
- 245p 是第四象限角, tan(- 245p ) 0.
原式
=
sin(4p
+
p
6
)+
cos(8p
+
p
3
)+
tan( -6p
-
p
4
)
=
sin
p
6
+
cos p3
-
tan
p
4
=
1 2
+
1 2
个有效数字). 解: a = 54 = 541p80rad ≈0.942 rad,
扇形周长 C = ra+2r
=150.942+215
≈44(cm).
扇形面积
S
=
1 2
rl
= 1215(150.942)
≈1.1102 (cm2).
3. 确定下列三角函数值的符号: (1) sin 4; (2) cos 5; (3) tan 8;
,
49p .
(2)
S ={b |b
=
-
2p
3
+ 2kp ,
kZ}.
取 k = 0, 1, 2 时,
b
=
-
2p
3
,
4p
3,Biblioteka 130p .A组1. 写出与下列各角终边相同的角的集合S, 并且
把 S 中适合不等式 -2p≤b<4p 的元素 b 写出来:
(1)
p
4
;
(2) - 32p;
(3) 152p;
解: (3) S ={b |b = 152p + 2kp , kZ}.
sina=tanacosa.
tan2a
=
sin2a 1- sin 2a
=
1- cos2a cos2a
.
8. 诱导公式
(1) 2kp +a.
(2) p +a.
(3) -a.
(4) p -a.
(5)
p
2
-a
.
(6)
p
2
+a.
(7)
3p
2
+a.
(8)
3p
2
-a.
横轴加减, 同名函数, 象限定正负.
纵轴加减, 互余函数, 象限定正负.
解: 由已知得 sin2x=4cos2x, 1-cos2x=4cos2x,
解得
cos x =
5 5
.
又由已知得 tanx =2,
则 x 是第一、第三象限角.
当 x 是第一象限角时,
cos x =
5 5
,
sin x =
1-(
5 5
)2=
2
5 5
;
当 x 是第三象限角时,
cos x = -
5 5
,
sin x = -
弧长等于半径所对的圆心角为 1 弧度的角.
|a
|
=
l r
.
1 周角=2p 弧度.
1 平角=p 弧度. 1 = 1p80rad. 1 rad = (1p80) 57.30 = 5718.
3. 用弧度数表示扇形的弧长与面积
R: 半径, l : 弧长, S: 面积,
a : 圆心角的弧度数,
l = a R.
(3) 由图象求 y=Asin(wx+j) 的解析式.
观察图象上的如下信息: ① 周期; ② 对称轴, 对称中心; ③ 振幅; ④ 特殊点, 已知点; ⑤ 单调性, 奇偶性; ⑥ 函数值的正负, 范围.
14. 三角函数模型的应用.
角边关系的应用. 周期的应用. 最值的应用. 综合应用: ① 画散点图; ② 建模型; ③ 解决实际问题.
原式 ≈1.077.
10.
已知 sin(p +a ) (1) cos(2p-a);
=
-
12(,2)计ta算n(:a-7p).
解:
由
sin( p
+a
)
=
-
1 2
得
sina
=
1 2
,
知 a 是第一、二象限角.
(1) cos(2p-a) = cosa,
如果 a 是第一象限角,
cos(2p -a)=
1-(
解:
cosj
=
1 4
0,
∴ j 是第一、四象限角,
当 j 是第一象限角时,
sinj =
1-cos2j =
15 4
,
tanj
=
sinj cosj
=
15 4
1 4
=
15.
当 j 是第四象限角时,
sinj = -
1-cos2j = -
15 4
,
tanj
=
sinj cosj
=-
15 4
1 4
=
-
15.
5. 已知 sinx=2cosx, 求角 x 的三个三角函数值.
= 1 = 右边.
8. 已知 tana =3, 计算:
(1)
4sina 5cosa
- 2cosa + 3sina
;
(2) sina cosa;
(3) (sina+cosa)2.
解:
(1)
原式
=
4sina cosa 5cosa cosa
-
2cosa cosa
+
3sina cosa
=
4tana - 2 5+ 3tana
取 k = -2, -1, 0 时,
(4) 0.
b
=
-
8 5
p
,
2p
5
,
152p .
(4) S ={b |b = 2kp , kZ}.
取 k = -1, 0, 1 时,
b = -2p , 0, 2p .
2. 在半径为 15 cm 的圆中, 一扇形的弧含有 54,
求这个扇形的周长与面积 (p 取 3.14, 计算结果保留两
最大值 最小值
y=sinx
x
=
2kp
+
p
2
,
y最大 =1
x