【合集】2003-2004年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析

2003年考研数学（三）真题答案
1.【分析】当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】
当1>λ时，有
,0,
0,0,1sin 1cos )(21
=≠⎪⎩
⎪⎨⎧+='--x x x
x x x x f 若若λλλ显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0
f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.
2. 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y = ′0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2
b 与a 的关系.
【详解】
由题设，在切点处有
03322=-='a x y ，有.22
a x =又在此点y 坐标为0，于是有
030023
0=+-=b x a x ,
故
.
44)3(6422
202202a a a x a x b =⋅=-=3. 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当0 ≤x ≤1,0 ≤y −x ≤1时，被积函数才
不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.
【详解】
⎰⎰-=D
dxdy x y g x f I )()(=
dxdy
a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤1
0,102
=.
])1[(21
21
1
2
a dx x x a dy dx a
x x
=-+=⎰⎰
⎰
+4. 【分析】 这里 ααT
为 n 阶矩阵，而 αT
= α2a 2
为数，直接通过 AB =E 进行计算
并注意利用乘法的结合律即可.
【详解】由题设，有
)
1
)((T T a E E AB αααα+-==T
T T T a
a E αα
αααααα⋅-+-11
=T T T T
a a E αααααααα
)(1
1-+-=T
T T a a E αα
αααα21-+-=E a
a E T
=+--+αα)121(,
于是有
0121=+--a a ，即0122
=-+a a ，解得.1,2
1-==a a 由于A<0,故a=-1.
5.. 【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为
)
4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +--=E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y),
且.
DX DZ =于是有
cov(Y,Z)=
DZ
DY Z Y ),cov(=
.
9.0),cov(==XY DY
DX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式：D (X +a ) =DX ，cov(X ,Y +a ) =cov(X ,Y ).
6.. 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量
n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：
).(111
1∞→→∑∑==n EX n X n n
i i p n i i 【详解】
这里2
2221,,,n X X X 满足大数定律的条件，且
22)(i i i EX DX EX +==
2
1
)21(412=+，因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 12
1依概率收敛于.
2111
2=∑=n i i EX n 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
7.【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.
【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有
)0(0
)
0()(lim )(lim
)(lim 00
f x f x f x x f x
g x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.
【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时g(x)=,
0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C)三项，故应选(D).
【评注2】若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()
(lim
000
A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.
8..【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.
【详解】
可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知
0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零,故应选(A).
【评注1】本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而
),(0y x f 在0x x =处的导数即).
,(00y x f x '【评注2】本题也可用排除法分析，取2
2
),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2
),0(y y f =，可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).
9.【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】
若
∑∞
=1
n n
a
绝对收敛，即
∑∞
=1
n n
a
收敛，当然也有级数
∑∞
=1n n
a
收敛，再根据
n
n n a a p +=
，n
n n a a q -=
及收敛级数的运算性质知，
∑∞
=1
n n
p
与
∑∞
=1
n n
q
都收敛，故应选
(B).
10.. 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件.
【详解】 根据
A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a a
b b b a b b
b a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠,故必有a ≠b 且a+2b=0.应选(C).
【评注】n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：
.1)(,
1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩
⎪
⎨⎧=n A r n A r n A r n A r 11..【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.
【详解】(A):
若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有
02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，
则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα ，矛盾.可见（A ）成立.
(B):若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数
s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.
(C)s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.
(D)s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.
综上所述，应选(B).
【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的数
s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关.其逆否
命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等
价性.
12.. 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.
【详解】因为
21)(1=
A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且
41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，4
1
)(42=A A P 0)(321=A A A P ，
可见有
)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，
)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.
故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).
【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.
13..【分析】只需求出极限)(lim 1
x f x -
→，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】因为
)(lim 1
x f x -→=)1(1sin 11[lim 1
x x x x --+-
→πππ=
x
x x
x x ππππ
π
sin )1(sin )1(lim 1
1
1
---+
-→=
x
x x x
x πππππππ
π
cos )1(sin cos lim 1
1
1
-+---+
-
→=x
x x x x
x ππππππππππsin )1(cos cos sin lim
1
1
221----+-
→=
.
1
π
由于f(x)在)1,2
1[上连续，因此定义
π
1
)1(=f ，
使f(x)在]1,2
1[上连续.
【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换 y=1-x ，转化为求 y →0 +
的极限，可以适当简化.
14..【分析】
本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，
)(21,2
2y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.
22u
v f v u f ∂∂∂=∂∂∂【详解】
v
f
x u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂，
.v
f y u f x y
g ∂∂-∂∂=∂∂故
v f v f x
v u f xy u f y x g ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，.
222
2222222v f v f y u v f xy u f x y g ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂所以
2
2
2222222222)()(v
f y x u f y x y
g x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂=.
2
2y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.
15.. 【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换：x =r cos θ, y =r sin θ，有
dxdy
y x e e I D
y x
)sin(22)
(22
+=⎰⎰+-π=.
sin 20
22
dr r re d e
r ⎰
⎰
-π
π
π
θ令2
r t =，则
tdt e e I t sin 0
⎰-=π
ππ.
记
tdt e A t sin 0
⎰-=π
，则
t
t de e A --⎰-=int 0
π
=]
cos sin [0
⎰----π
πtdt e t e t t
=⎰
--
π
cos t
tde =]
sin cos [0
tdt e t
e t t
⎰--+-π
π=.
1A e
-+-π
因此
)1(2
1
π-+=
e A ，).
1(2
)1(2πππππe e e I +=+=-
【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.
16..【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按通常方法求极值.
【详解】
.1)1()(1
2
12∑∞
=-+-
=-='n n n x
x x x f 上式两边从0到x 积分，得
).1ln(2
11)0()(2
02x dt t t f x f x
+-=+-=-⎰
由f(0)=1,得
).
1(),1ln(2
1
1)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0.由于
,
)1(1)(222
x x x f +--=''01)0(<-=''f ，
可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为
f(0)=1.
【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.
17.. 【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 F(x)求导，并将其余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.
【详解】(1)由
)
()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)
()(2
2
x f x g +=)()(2)]()([2
x g x f x g x f -+=(22
)x e -2F(x),
可见F(x)所满足的一阶微分方程为
.
4)(2)(2x e x F x F =+'
(2)]
4[)(222C dx e e e x F dx x
dx +⎰⋅⎰=⎰
-=]4[42C dx e e x x
+⎰-=.
22x x
Ce e
-+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得
C=-1.于是
.
)(22x x e e x F --=【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.
18..【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于
13
)
2()1()0(=++f f f ，问
题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.
【详解】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是
M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(.
故
.
3)
2()1()0(M f f f m ≤++≤
由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使
.
13
)
2()1()0()(=++=
f f f c f 因为f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在
)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.
0)(='ξf 【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.
19..【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，
而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等.可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.
【详解】方程组的系数行列式
b
a a a a a
b a a a a a b a a a a a b a A n n n n ++++=
3
2
1
321321
321=).
(1
1
∑=-+n
i i n a b b
(1)当0≠b 时且01
≠+
∑=n
i i
a
b 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.
(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为
.
02211=+++n n x a x a x a 由01
≠∑=n
i i
a
可知，),,2,1(n i a i =不全为零.不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础
解系为
T a a )0,,0,1,(12
1 -
=α，T a a )0,,1,0,(1
32 -=α，.
)1,,0,0,(,1T n n a a -=α当∑=-
=n
i i
a
b 1
时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为
⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
----∑∑∑∑====n i i n n
n
i i
n
n
i i
n
n
i i
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 13
2
113213121321
1
（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-
n
i i
a
1
1
倍）
→⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡
----∑=100
101010011321
1 n n
i i
a a a a a （将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）
→
.
0000100101010011
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--- 由此得原方程组的同解方程组为
12x x =，13x x =，1,x x n = .
原方程组的一个基础解系为
.
)1,,1,1(T =α【评注】本题的难点在∑=-
=n
i i
a
b 1
时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的
秩为n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T
)1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.
20..【分析】特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由
此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.
【详解】（1）二次型f 的矩阵为
.200200⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ由题设，有
1)2(2321=-++=++a λλλ，
.
12242
002002321-=--=-=b a b b
a λλλ解得a=1,b=-2.
(2)由矩阵A 的特征多项式
)3()2(2
020202
012+-=+----=-λλλλλλA E ，
得A 的特征值.
3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系
T )1,0,2(1=ξ，.
)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系
.
)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得
T 5
1,
0,5
2(
1=η，T )0,1,0(2=η，.
)5
2,0,5
1(
3T -
=η令矩阵
[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡
-
==5205
1010510
5232
1ηηηQ ，
则Q 为正交矩阵.在正交变换X=QY 下，有
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，
且二次型的标准形为
.3222
3
2221y y y f -+=【评注】本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：
二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为
)].
2()2()[2(2
00200
22b a a b b a A E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,22
32321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得
1)2(2321=-+=++a λλλ，.
12)2(22321-=+-=b a λλλ解得 a=1,b=2.
21..【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y=F(X),然后按定义求Y 的分布函数即可。

注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.
【详解】易见，当x<1时，F(x)=0;当x>8时，F(x)=1.对于]8,1[∈x ，有
.
131)(31
32
-==⎰
x dt t x F x
设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1.对于)1,0[∈y ，有
}
)({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤==})1({}1{3
3+≤=≤-y X P y X P =.
])1[(3
y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为
.1,
10,
0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩
⎪
⎨⎧=y y y y y G 若若若【评注】事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当y<0时，G(y)=0;当1≥y 时，G(y)=1;
当01<≤y 时，}
)({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤==)}
({1
y F
X P -≤
=.
))((1
y y F
F =-22..【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.
【详解】设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为
}
{)(u Y X P u G ≤+==}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P .
由于X 和Y 独立，可见
G(u)=}
2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P =).
2(7.0)1(3.0-+-u F u F 由此,得U 的概率密度
)
2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g =).
2(7.0)1(3.0-+-u f u f 【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.
2004年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1)若5)(cos sin lim 0
=--→b x a
e x
x
x ，则a =
1
，b =
4
-.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cos sin lim 0
=--→b x a
e x
x
x ，且0)(cos sin lim 0
=-⋅→b x x x ，所以
0)(lim 0
=-→a e x x ，得a =1.极限化为51)(cos lim
)(cos sin lim
00=-=-=--→→b b x x
x
b x a
e x x x
x ，得b =-4.因此，a =1，b =-4.【评注】一般地，已知)
()
(lim
x g x f ＝A ，(1)若g (x )→0，则f (x )→0；
(2)若f (x )→0，且A ≠0，则g (x )→0.
(2)设函数f (u ,v )由关系式f [xg (y ),y ]=x +g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠0，
则
)
()(2
2v g v g v
u f
'-
=∂∂∂.
【分析】令u =xg (y )，v =y ，可得到f (u ,v )的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u =xg (y )，v =y ，则f (u ,v )=
)()
(v g v g u
+，所以，)(1v g u f =∂∂，)
()
(22v g v g v u f '-=∂∂∂.
(3)设⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<≤-=21
,12121,)(2
x x xe x f x ，则2
1
)1(22
1-
=
-⎰dx x f .
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x -1=t ，再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x -1=t ，⎰
⎰
⎰
--==-1
2
11
2
12
2
1)()()1(dt
x f dt t f dx x f ＝2121(0)1(12
121
2
1
2-=-+=-+⎰⎰
-dx dx xe x .
【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4)二次型2
132
322
21321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为
2.
【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换
或配方法均可得到答案.【详解一】因为2
132
322
21321)
()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=3
231212
32221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=21112111
2A ,
由初等变换得
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,
从而
2)(=A r ,即二次型的秩为2.
【详解二】因为2
132
322
21321)
()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=3231212
32221222222x x x x x x x x x -++++=2322321)(23
)2121(2x x x x x -+++
=222
12
32y y +=,
其中,21
213211x x x y ++=322x x y -=.
所以二次型的秩为2.
(5)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则=
>
}{DX X P e
1
.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于2
1
λDX =
,X 的分布函数为⎩⎨
⎧≤>-=-.0,
0,
0,1)(x x e x F x λ故
=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e
1
=.
【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.
(6)设总体X 服从正态分布),(2
1σμN ,总体Y 服从正态分布),(2
2σμN ,
1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本,则
2
2121212((21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
【详解】因为21
21])(11[1
σX X n E n i i =--∑=,21
22](11[2
σY Y n E n j j =--∑=,故应填2
σ.
【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数2
)
2)(1()2sin(||)(---=
x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.
(A)(-1,0).
(B)(0,1).(C)(1,2).
(D)(2,3).[A ]
【分析】如f (x )在(a ,b )内连续，且极限)(lim x f a x +
→与)(lim x f b x -
→存在，则函数f (x )
在(a ,b )内有界.
【详解】当x ≠0,1,2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-
=+
-→x f x ，42
sin )(lim 0
-=-→x f x ，
4
2
sin )(lim 0=
+
→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1,0)内有界，故选(A).
【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，则f (x )在闭区间[a ,b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a ,b )内连续，且极限)(lim x f a x +
→与)(lim x f b x -
→存在，则函数f (x )在开区间(a ,b )内有界.
(8)设f (x )在(-∞,+∞)内有定义，且a x f x =∞
→)(lim ，
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,00,)1
()(x x x f x g ，则
(A)x =0必是g (x )的第一类间断点.(B)x =0必是g (x )的第二类间断点.
(C)x =0必是g (x )的连续点.
(D)g (x )在点x =0处的连续性与a 的取值有关.[D ]
【分析】考查极限)(lim 0
x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元x
u 1
=
，
可将极限)(lim 0
x g x →转化为)(lim x f x ∞
→.
【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0
u f x f x g u x x ∞
→→→===a (令x
u 1
=
)，又g (0)=0，所以，当a =0时，)0()(lim 0
g x g x =→，即g (x )在点x =0处连续，当a ≠0时，
)0()(lim 0
g x g x ≠→，即x =0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x =0处的连续性
与a 的取值有关，故选(D).
【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9)设f (x )=|x (1-x )|，则
(A)x =0是f (x )的极值点，但(0,0)不是曲线y =f (x )的拐点.(B)x =0不是f (x )的极值点，但(0,0)是曲线y =f (x )的拐点.(C)x =0是f (x )的极值点，且(0,0)是曲线y =f (x )的拐点.
(D)x =0不是f (x )的极值点，(0,0)也不是曲线y =f (x )的拐点.[C ]【分析】由于f (x )在x =0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，
考查f (x )在x =0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.
【详解】设0<δ<1，当x ∈(-δ,0)⋃(0,δ)时，f (x )>0，而f (0)=0，所以x =0是f (x )
的极小值点.
显然，x =0是f (x )的不可导点.当x ∈(-δ,0)时，f (x )=-x (1-x )，02)(>=''x f ，当x ∈(0,δ)时，f (x )=x (1-x )，02)(<-=''x f ，所以(0,0)是曲线y =f (x )的拐点.故选(C).
【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x =0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10)设有下列命题：
(1)若
∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛.
(2)若
∑∞
=1
n n u 收敛，则∑∞=+1
1000n n u 收敛.
(3)若1lim 1
>+∞→n
n n u u ，则∑∞
=1
n n u 发散.
(4)若
∑∞=+1
)(n n n v u 收敛，则∑∞=1
n n u ，∑∞
=1
n n v 都收敛.
则以上命题中正确的是(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).[B ]
【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令n
n u )1(-=，显然，
∑∞
=1
n n u 分散，而∑∞
=-+1
212)(n n n u u 收敛.
(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.
(3)是正确的，因为由1lim 1
>+∞→n
n n u u 可得到n u 不趋向于零(n →∞)，所以∑∞
=1n n u 发散.
(4)是错误的，如令n v n u n n 1
,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞
=1
n n v 都发散，而
∑∞
=+1
)(n n n v u 收敛.故选(B).
【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.
(11)设)(x f '在[a ,b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是
(A)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f >f (a ).(B)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f >f (b ).(C)至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f =0.
[D
]
【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知)(x f '在[a ,b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，
至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)
()(lim
)(>--='+
→a
x a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点)
,(0b a x ∈使得
0)
()(00>--a
x a f x f ，即)()(0a f x f >.同理，至少存在一点)
,(0b a x ∈使得)()(0b f x f >.所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12)设n 阶矩阵A 与B 等价,则必有
(A)当)0(||≠=a a A 时,a B =||.(B)当)0(||≠=a a A 时,a B -=||.(C)当0||≠A 时,0||=B .
(D)当0||=A 时,0||=B .
[D
]
【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件:)()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时,n A r <)(,又A 与B 等价,故n B r <)(,
即0||=B ,故选(D).
【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,属基本题型.
(13)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*
≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.
(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.[B ]【分析】要确定基础解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -,而且
⎪⎩
⎪
⎨⎧-<-===.1)(,0,
1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r 根据已知条件,0*
≠A 于是)(A r 等于n 或1-n .又b Ax =有互不相等的解,即解不惟一,故1)(-=n A r .从而基础解系仅含一个解向量,即选(B).
【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*
A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14)设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ,对给定的)1,0(∈α,数αu 满足αu X P α=>}{,
若αx X P =<}|{|,则x 等于(A)
2
αu .
(B)
2
1α
u
-
.(C)
2
1αu -.
(D)
αu -1.
[C ]
【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由αx X P =<}|{|,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
2
1}{α
x X P -=
>.故正确答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考查.
三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分8分)求)cos sin 1
(
lim 2
22
x
x x
x -
→.
【分析】先通分化为“
00
”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】x
x x
x x x
x x
x x 222220
2
22
sin cos sin lim
cos sin 1
(
lim -=-
→→=346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22
020304220==-=-=-→→→→x x x x x x x x
x x x x x x .
【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0
”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16)(本题满分8分)求
⎰⎰++D
d y y x σ)(
22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).
【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(2
2
1≤+=y x y x D 减去小圆
}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.
【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(2
2
22
2
1≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，
由对称性，
0=⎰⎰D
yd σ.
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
+-+=+2
1
222222D D D
d y x d y x d y x σ
σσ⎰
⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20
2
2
32
20
220
dr r d dr r d .
)23(9
16
932316-=-=
ππ所以，
)23(9
16
)(2
2-=++⎰⎰πσD
d y y x .【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17)(本题满分8分)
设f (x ),g (x )在[a ,b ]上连续，且满足
⎰⎰≥x a
x
a
dt t g dt t f )()(，x ∈[a ,b )，⎰⎰=b
a
b a
dt t g dt t f )()(.
证明：
⎰⎰≤b
a
b
a
dx x xg dx x xf )()(.
【分析】令F (x )=f (x )-g (x )，⎰=x
a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F (x )=f (x )-g (x )，⎰=
x
a dt t F x G )()(，
由题设G (x )≥0，x ∈[a ,b ]，
G (a )=G (b )=0，)()(x F x G ='.从而
⎰⎰⎰⎰-=-==b
a
b a
b
a b
a
b
a
dx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，
由于G (x )≥0，x ∈[a ,b ]，故有
0)(≤-⎰b
a
dx x G ，
即
0)(≤⎰b
a dx x xF .因此
⎰⎰≤b
a
b
a
dx x xg dx x xf )()(.
【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18)(本题满分9分)
设某商品的需求函数为Q =100-5P ，其中价格P ∈(0,20)，Q 为需求量.
(I)求需求量对价格的弹性d E (d E >0)；(II)推导)1(d E Q dP
dR
-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.
【分析】由于d E >0，所以dP dQ Q P E d =
；由Q =PQ 及dP
dQ
Q P E d =可推导
)1(d E Q dP
dR
-=.【详解】(I)P
P
dP dQ Q P E d -==
20.
(II)由R =PQ ，得
)1(1(d E Q dP
dQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=.又由120=-=
P
P
E d ，得P =10.
当10<P <20时，d E >1，于是0<dP
dR
，故当10<P <20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E >0时，需求量对价格的弹性公式为dP
dQ
Q P dP dQ Q P E d -==
.
利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：
Qdp E dR d )1(-=，
Q E dp
dR
d )1(-=，p E dQ dR d )11(-=，d E Ep
ER
-=1(收益对价格的弹性).(19)(本题满分9分)
设级数
)(8
642642428
64+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ).求：
(I)S (x )所满足的一阶微分方程；(II)S (x )的表达式.
【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.
【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=
8
64264242)(8
64x x x x S ，易见
S (0)=0，
+⋅⋅+⋅+=
'6
42422)(7
53x x x x S )
642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x )](2
[2
x S x x +=.
因此S (x )是初值问题
0)0(,2
3
=+='y x xy y 的解.
(II)方程2
3
x xy y +='的通解为
]
2
[3
C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰-22
2
12
x Ce x +--
=，
由初始条件y(0)=0，得C =1.故12
2
2
2-+-
=x e x y ，因此和函数12
)(2
2
2-+-
=x e x x S .
【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题.(20)(本题满分13分)
设T
α)0,2,1(1=,T
ααα)3,2,1(2-+=,T
b αb α)2,2,1(3+---=,T
β)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,
(Ⅰ)β不能由321,,ααα线性表示;
(Ⅱ)β可由321,,ααα唯一地线性表示,并求出表示式;
(Ⅲ)β可由321,,ααα线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.
【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组β
αk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解.【详解】设有数,,,321k k k 使得
βαk αk αk =++332211.
(*)
记),,(321αααA =.对矩阵),(βA 施以初等行变换,有
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡---→000101111b a b a .
(Ⅰ)当0=a 时,有
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA .
可知),()(βA r A r ≠.故方程组(*)无解,β不能由321,,ααα线性表示.(Ⅱ)当0≠a ,且b a ≠时,有
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
-→01
0010
1011001a a 3),()(==βA r A r ,
方程组(*)有唯一解：
a
k 1
11-
=,a
k 12=
,03=k ．
此时β可由321,,ααα唯一地线性表示,其表示式为
211
)11(αa
αa β+-=．
(Ⅲ)当0≠=b a 时,对矩阵),(βA 施以初等行变换,有
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
--→00
0011
1011001a a ，2),()(==βA r A r ,方程组(*)有无穷多解，其全部解为
a
k 1
11-
=,c a
k +=
12,c k =3，其中c 为任意常数．
β
可由321,,ααα线性表示,但表示式不唯一,
其表示式为
321)1
(11(αc αc a
αa β+++-=．
【评注】本题属于常规题型,曾考过两次(1991,2000).
(21)(本题满分13分)
设n 阶矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .
(Ⅰ)求A 的特征值和特征向量;
(Ⅱ)求可逆矩阵P ,使得AP P 1
-为对角矩阵.
【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题,通常可由求解特征方程
0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.
【详解】
(Ⅰ)
1当0≠b 时，1
11
||---------=
-λb
b
b λb b b λA E λ
＝1
)]
1(][)1(1[------n b λb n λ,
得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ．对b n λ)1(11-+=，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b b n A E λ)1()1()1(1 →⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(1
11)
1(n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111
111111 n n n →⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛---0000000011
11
n n n n n →⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---00001100
101010
01
解得T
ξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为
T
k ξk )1,,1,1,1(1 =(k 为任意不为零的常数)．
对b λ-=12，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛000000111 得基础解系为
T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．
故A 的属于2λ的全部特征向量为
n
n ξk ξk ξk +++ 3322(n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．
2当0=b 时，
n λλλλA E λ)1(1
010001
||-=---=
-
,
特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．
(Ⅱ)
1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(11
2当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P ,均有
E AP P =-1．
【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算,齐次线性方程组的求解和矩阵
的对角化等问题,属于有一点综合性的试题.另外,本题的解题思路是容易的,只要注意矩阵中含有一个未知参数,从而一般要讨论其不同取值情况.(22)(本题满分13分)
设A ，B 为两个随机事件,且41)(=
A P ,31)|(=A
B P ,21)|(=B A P ,令⎩⎨
⎧=不发生，
，发生，A A X 0,
1⎩⎨
⎧=.
0,1不发生，发生，B B Y 求
(Ⅰ)二维随机变量),(Y X 的概率分布;(Ⅱ)X 与Y 的相关系数XY ρ;(Ⅲ)2
2
Y X Z +=的概率分布.
【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】
(Ⅰ)因为12
1
)|()()(=
=A B P A P AB P ，于是6
1
)|()()(==
B A P AB P B P ，
则有
12
1)(}1,1{=
===AB P Y X P ，61)()((}0,1{=
-====AB P A P B A P Y X P ，121
)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ，
3
2)]()()([1)(1)(}0,0{=
-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ，(或
3
2121611211}0,0{=---
===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：
Y
X
1
01
321216112
1(Ⅱ)方法一：因为
41)(=
=A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ，41)(2==A P EX ，6
1
)(2==B P EY ，
163)(22=-=EX EX DX ，16
5
)(22=
-=EY EY DY ，24
1)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数
15
1515
1),(=
=
⋅=
DY
DX Y X Cov ρXY ．
则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365,E(XY)=12
,
故24
1
)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而
.15
15),(=
⋅=
DY
DX Y X Cov XY ρ(Ⅲ)Z 的可能取值为：0，1，2．
3
2}0,0{}0{=
====Y X P Z P ，4
1}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ，12
1}1,1{}2{=
====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：
Z 01
2
P
324112
1【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23)(本题满分13分)
设随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,(其中参数1,0>>βα.设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,
(Ⅰ)当1=α时,求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ)当1=α时,求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ)当2=β时,求未知参数α的最大似然估计量.
【分析】本题是一个常规题型,只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,
从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】
当1=α时,X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，
，，
101,),(1
x x x ββx f β(Ⅰ)
由于
⎰⎰+∞
++∞∞
--=
⋅
==1
1
,1
);(ββ
dx x βx dx βx xf EX β令
X ββ
=-1
,解得
1-=
X X
β,所以,参数β的矩估计量为
1
-=
X X
β.(Ⅱ)对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 ,似然函数为
∏
=+⎪⎩
⎪
⎨⎧=>==n
i i βn n
i n i x x x x βαx f βL 1
1
21.,0),,,2,1(1,)();()(其他 当),,2,1(1n i x i =>时,0)(>βL ,取对数得
∑=+-=n
i i x ββn βL 1
ln )1(ln )(ln ,
对β求导数，得
∑=-=n
i i x βn βd βL d 1
ln )]([ln ，
令
0ln )]([ln 1
=-=∑=n
i i x βn βd βL d ，解得
∑==
n
i i
x
n
β1
ln ，
于是β的最大似然估计量为
∑==n
i i
x
n
β
1
ln ˆ．
(Ⅲ)当2=β时,X 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=，
，，
αx αx x αβx f 0,2),(32
对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 ,似然函数为
∏
=⎪⎩
⎪
⎨⎧=>==n
i i n n
n i n i αx x x x ααx f βL 1
3
212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他 当),,2,1(n i αx i =>时,α越大，)(αL 越大,即α的最大似然估计值为
},,,min{ˆ21n x x x α
=,于是α的最大似然估计量为
},,,min{ˆ21n X X X α
=．。