教科版物理高考第二轮复习——圆周运动与天体问题(学案)

教科版物理高考第二轮复习——圆周运动与天体问题（学案）
高考第二轮复习——圆周运动与天体问题
一、教学内容：
高考第二轮复习——圆周运动与天体问题
二、学习目标：
1、掌握圆周运动与天体问题分析的常规思维方法。

2、掌握圆周运动与天体问题的知识体系的重点与核心内容。

3、重点把握圆周运动与天体问题在高考题目中的热点题型及相应的解题策略。

考点地位：
圆周运动与天体问题是每年高考的必考内容，高考考查的热点问题包括：竖直面内的典型运动模型的考查，圆周运动的临界与极值问题、运用万有引力定律结合牛顿运动定律分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，天体的质量和密度的计算等，这些热点问题充分体现了现代科技信息与现代科技发展的密切联系. 出题形式既可以通过选择题形式考查也可以通过大型计算题形式进行考查.
（一）处理曲线运动问题的一般思路：
物体的运动状态是由初速度（v0）和受力情）决定的，这是处理复杂运动的力和运况（F
合
动的观点。

思路是：
如匀变速曲线运动问题：可根据初速度（v0）
）建立平面直角坐标系，将复和受力情况（F
合
杂运动转化为坐标轴上的简单运动来处理。

如平
【标准解答】由题意知座椅到中心轴的距离：
对座椅受力分析有：2mR tan mg F ω=θ=向
联立两式得.sin L r tan g θθω+= 【方法总结】求解匀速圆周运动的动力学问题的基础仍是牛顿第二定律，这就提醒我们在处理匀速圆周运动问题时，同样也离不开受力分析。

对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，应沿轨道半径方向和垂直于轨道半径方向上进行分解，然后沿轨道半径方向上的合力即为向心力，根据牛顿第二定律列方程求解。

变式1：
（1）为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破。

飞机在河道上空高H 处以速度v 0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。

求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小。

（不计空气阻力）
（2）如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO '转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半。

内壁上有一质量为m 的小物块。

求：
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。

答案：（1202gH v +；（2）①22H R mgH + 22mgR R H +，2gH
R
【解析】（1）设飞行的水平距离为s ，在竖直方向上212
H gt = 得飞行时间为 2H
t g =
则飞行的水平距离为 02H s v t v g ==设击中目标时的速度为v ，飞行过程中，由机械能守恒得
得击中目标时的速度为 202v gH v =+
（2）物块受力如图所示
①由平衡条件得 cos 0N
F mg θ-= 其中22
sin H R H θ=+ 得摩擦力为
22
sin f mgH F mg R H θ==+ 支持力为 22cos N mgR
F mg R H θ==+②这时物块的受力如图所示
由牛顿第二定律得 2
tan 2R mg ma m θω== 得筒转动的角速度为 22tan gH g R R θω==
问题2：圆周运动的临界与极值问题分析： 如图所示，质量为0.1kg 的木桶内盛水0.4kg ，用50cm 的绳子系着木桶，使它在竖直面内做圆周运动。

如果通过最高点和最低点时的速度大小分别为9m/s 和10m/s ，求木桶在最高点和最低点对绳的拉力和水对木桶的压力。

（g 取
2s /m 10）
【解析】（1）在最高点时，以木桶和水为研究对象，木桶和水的质量为：kg 5.0kg 4.0kg 1.0m 1=+=，水的质量为kg 4.0m 2=，则木桶和水受重力mg 和绳的拉力1T F 作用，有：
R v m g m F 2111T 1=+，即g m R v m F 1
211T 1-= 把数据代入上式，可得：N 76F 1T =，则木桶对绳的拉力大小为76N ，方向向上。

水在最高点受重力m 2g 和木桶对水的支持力1N F 的作用，有：R v
m g m F 2122N 1=+，即g m R v
m F 2
212N 1-= 把数据代入上式，可得：N 8.60F 1N =，则水对木桶的压力大小为60.8N ，方向向上。

（2）在最低点时，木桶和水受绳向上的拉力2T F 和向下的重力m 1g 作用，有R v
m g m F 22
11T 2=-，即R v m g m F 2
2
11T 2+=
把数据代入上式，可得：N 105F 2N =，则木桶对
绳的拉力大小为105N ，方向向下。

水在最低点受木桶向上的支持力2N F 和向下的重力g m 2作用，有：R v
m g m F 2222N 2=-，即R v
m g m F 22
22N 2+= 把数据代入上式，可得：N 84F 2
N =，则水对木桶的压力大小为84N ，方向向下。

【方法总结】求木桶对绳的拉力，必须要以水和木桶整体为研究对象，而求水对木桶的压力，必须以水为研究对象。

另外，求出拉力和压力后，还必须根据牛顿第三定律说明力的方向。

变式2：
某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛。

比赛路径如图所示，赛车从起点A 出发，沿水平直线轨道运动L 后，出B 点进入半径为R 的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C 点，并能越过壕沟。

已知赛车质量m ＝0.1kg ，通电后以额定功率P ＝
1.5W 工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力为0.3N ，随后在运动中受到的阻力均可不计。

图中L ＝10.00m ，R=0.32m ，h ＝1.25m ，S ＝1.50m 。

问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g ＝10 m/s 2）
【答案】2.53s
【解析】设赛车越过壕沟需要的最小速度为v 1，由平抛运动的规律
解得 s /m 3h 2g S v 1
== 设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v 2，最低点的速度为v 3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律
解得 354v gh ==m/s 通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是
min 4v =m/s
设电动机工作时间至少为t ，根据功能原理2
min
12Pt fL mv -= 由此
可得
t=2.53s
（三）万有引力定律及应用：
1、研究天体运动的基本方法：
研究天体运动（包括人造地球卫星的运动）的基本方法，是把天体的运动看作匀速圆周运动，天体间的万有引力提供所需要的向心力。

即r )T 2(m r m r v m r GMm 2
222
π=ω== 另外，一般不考虑天体自转因素的影响，而认为物体在某天体表面的重力大小等于天体对物体的万有引力，即：2
R GMm mg =，整理得2
gR GM =，此式常称为黄金代换。

2、人造卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系：
（1）由r GM v r v m r GMm 22
==得，知r 越大，v 越小。

（2）由32
2r GM r m r GMm
=ωω=得，知r 越大，ω越小。

（3）由GM r 2T r )T 2(m r
GMm 3
22π=π=得，知r 越大，T 越大。

（4）由2
2r GM a ma r GMm ==得，知r 越大，a 越小。

特别提醒：
①分析天体运动类问题的一条主线就是向
万F F =，抓住黄金代换2gR GM =。

②近地卫星的线速度即第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小速度。

③因卫星上物体的重力用来提供绕地球做
圆周运动的向心力，所以均处于失重状态。

与重力有关的仪器不能使用，与重力有关的实验不能进行。

④卫星变轨时，离心运动后速度变小，近心运动后速度变大。

3、同步卫星的四个“一定”
（1）轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面。

（2）周期一定：绕地球做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相同，T=24h 。

（3）高度一定：由)h R ()T 2(m )h R (Mm G 2
2
+π=+ 得m 106.3h 7⨯=。

（4）速率一定。

4、三个特殊位置物体的描述量比较
（1）在地球表面附近绕地球运转的卫星描述量111a v 、、ω；
（2）地球赤道表面上的物体描述量222a v 、、ω；
（3）地球同步卫星描述量为333a v 、、ω。

卫星绕地球做圆周运动的向心力完全由地球对卫星的万有引力提供，而放在地面上的物体随地球自转所需的向心力是由万有引力的一个分力提供的。

线速度关系：对两种卫星，由r GM v ,r v m r GMm
22
==知31v v >。

对（2）、（3）两个物体，由23v v ,r v >ω=，
故有2
31v v v >>。

角速度关系：321ω=ω>ω
向心加速度关系：卫星绕地球运转的向心加速度2
r GM a =，其中M 为地球质量，r 为卫星与地心间的距离，所以，31a a >。

对（2）、（3）两物体，根据232a a r a >ω=知，。

即有231a a a >>。

问题3：万有引力定律在天体、卫星运动中的综合利用：
据媒体报道，“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200km ，运行周期127分钟。

若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是（ ）
A. 月球表面的重力加速度
B. 月球对卫星的吸引力
C. 卫星绕月运行的速度
D. 卫星绕月运行的加速度
【标准解答】在月球表面万有引力等于重力， 即月mg R Mm G 2=，故2
R GM g =月 ① 对“嫦娥一号”卫星，万有引力提供向心力
)h R ()T 2(m )h R (Mm G 22+π=+，得2
3
2GT )h R (4M +π= ②
根据题意G 、R 、h 、T 已知，由①②式可求出月球表面的重力加速度，A 可以；由于不知卫星的质量，月球对卫星的吸引力不能求出；由h R v m ma )h R (Mm G 22+==+可得h R GM v ,)h R (M G a 2
+=+=，故C 、D 可求出，故选B 。

【方法总结】（1）卫星在圆形轨道上运行时主要利用万有引力等于向心力这个关系式，即ma r
GMm
2
=，式中的加速度a 根据条件或所求量选取r f 4r T
4,r ,r v 2222
22ππω或等形式来表示。

（2）星球表面物体受到的重力等于物体受
到的万有引力，即表
mg R
GMm 2
=，得2
R g GM 表
=，此时一般不考虑星球自转问题。

变式3：
已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响。

（1）推导第一宇宙速度v 1的表达式； （2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h ，求卫星的运行周期T 。

【答案】（1）1
v Rg =（22
2()
R h R g
π+【解析】（1）设卫星的质量为m ，地球的质量为M ，
在地球表面附近满足 2
Mm G mg R
= 得 2
GM R g = ①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力
①式代入②式，得到1v Rg =
（2）考虑①式，卫星受到的万有引力为 由牛顿第二定律22
4()F m R h T π=+ ④
③、④联立解得
2
2()R h T R g
π+=
变式4：
2019年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。

研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50⨯102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。

观测得到S2星的运行周期为15.2年。

（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50⨯102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M A是太阳质量M s的多少倍（结果保留一位有效数字）；
（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。

由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子所具有的势能
（设粒子在离黑洞无限远处的势能为E p=－G Mm
R
为零），式中M、R分别表示黑洞的质量和半径。

已知引力常量G=6.7⨯10－11N·m2/kg2，光速c=3.0⨯108m/s，太阳质量M s=2.0⨯1030kg，太阳半径R s=7.0⨯108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R A 与太阳半径R s之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。

【答案】（1）6
410
⨯，（2）17<
【解析】（1）S2星绕人马座A*做圆周运动
的向心力由人马座A *对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m S2，角速度为ω，周期为T ，则
2
A
2
2
2
M G S S m m r r
ω= ① 2T
π
ω=
②
设地球质量为m E ，公转轨道半径为r E ，周期为T E ，则2
S
2M G E
E
E
E
m m r r ω= ③
综合上述三式得
3
2
A S M M E E T r r T ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
式中 T E =1年 ④ r E =1天文单位 ⑤ 代入数据可得 6
A S
M 410M
=⨯ ⑥ （2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的势能为零。

“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有
2
102Mm mc G R
-< ⑦ 依题意可知 A
R R =，A
M M = 可得 A
2
2R A
GM c
< ⑧ 代入数据得 10
1.210m A
R <⨯ ⑨ 17A S
R
R
< ⑩。