通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答

第三章 随机过程
学习目标
通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念
随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；
平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；
高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；
随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；
窄带随机过程的表达式和统计特性；
正弦波加窄带高斯过程的统计特性；
高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。

3.1 内容概要
3.1.1 随机过程的基本概念
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。

1.定义
角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。

角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。

可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。

研究随机过程正是利用了它的这两个特点。

2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在
11111(,)[()]
F x t P t x ξ=≤
含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。

如果存在
1
111111)
,(),(x t x F t x f ∂∂=
则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。

同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，
，，则ξ(t )的n 维分布函数为
{}
12121122(,,,;,,)
(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤
如果此能在
n
21n 21n 21n n n 21n 21n x )
t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，
则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。

显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。

3.数字特征
在实际运用中，往往不易或不需要求出分布函数或概率密度，而是用数字特征来描述随机过程的主要特征。

1)均值
[]111111()(,)E t x f x t dx ξ∞
-∞
=⎰
表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，是时间的确定函数，常记作a ( t )。

2）方差
}{2
[()][()()]D t E t a t ξξ=-
它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度，σ 2( t )表示。

当a ( t )=0时，方差σ 2( t )=
2[()]E t ξ（均方值）。

3）相关函数
在描述随机过程在两个不同时刻的随机变量之间的关联程度时，常采用协方差函数12(,)B t t 和相关函数12(,)R t t 。

随机过程ξ(t )的协方差函数为
{}
12112211222121212
(,)[()()][()()][()][()](,;,)B t t E t a t t a t x a t x a t f x x t t dx dx ξξ∞∞
-∞-∞
=--=--⎰
⎰
相关函数为1212122
121212(,)[()()](,;,)R t t E t t x x f x x t t dx dx ξξ∞∞
-∞-∞==
⎰⎰
二者关系 121212(,)(,)()()
B t t R t t a t a t =-
若a (t 1) =0 或a (t 2) =0，则B(t 1, t 2) = R(t 1, t 2)，因为R(t 1, t 2)是衡量同一过程的相关程度，所以称它为自相关函数。

若t 1< t 2，并令时间间隔21t t τ=-，则自相关函数R(t 1, t 2)可表示为11(,)R t t τ+。

这说明子相关函数是1t τ和的函数。

若要描述两个随机过程ξ(t )和η(t )之间的关联程度，则需引用互相关函数，即
1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=
3.1.2 平稳随机过程
1.定义
1）狭义平稳（严平稳）
若一个随机过程ξ(t )的任意有限维分布函数与时间起点无关，即1212(,,,,,,)n n n f x x x t t t = ；
1212(,,,,,,)
n n n f x x x t t t +∆+∆+∆ ；
（1）一维分布函数与时间t 无关：11111(,)()f x t f x =
（2）二维分布函数只与时间间隔τ = t 2 – t 1有关：21212212(,;,)(,;)f x x t t f x x τ=
2）广义平稳
随机过程ξ(t )的均值与t 无关，自相关函数只与时间间隔τ 有关，即
[]1111()()E t x f x dx a
ξ∞
-∞
==⎰
12(,)()
R t t R τ=
注意：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。

通信系统中所遇到的信号及噪声。

大多数可视为平稳过程。

以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的，且均指 广义平稳。

2.各态历经性
设x (t )是平稳过程ξ(t )的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：
/2
/2
/2/2
1()lim ()1
()()()lim ()()T T T T T T a x t x t dt
T R x t x t x t x t dt
T τττ-→∞-→∞===+=+⎰⎰
如果平稳过程使下式成立
()()
a a
R R ττ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ 则称该平稳过程具有各态历经性。

含义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。

意义：可用一次实现的“时间平均”值代替过程的“统计平均”值，从而使测量和计算的问题大为简化。

注意：具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。

在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。

3.自相关函数的性质
设ξ(t )为实平稳随机过程，则它的自相关函数()[()()]R E t t τξξτ=+ 具有如下主要性质：
（1）ξ(t )的平均功率：2
(0)[()]R E t ξ= （2）τ的偶函数：()()R R ττ=- （3）R (τ)的上界：
()(0)R R τ≤
（5）ξ(t )的直流功率：2
(0)()R R σ-∞=
4.频谱特性
随机过程的频谱特性可以用它的功率普密度（PSD ）来表述。

与确知信号一样，平稳过程的自相关函数()R τ与其功率普密度()P ξω是一对傅里叶变换，即
()()1
()()2j j P R e d R P e d ωτξωτξωττ
τωω
π
∞
--∞∞
-∞
==
⎰⎰
或者
22()()()()j f j f P f R e d R P e df
πτξπτξττ
τω∞
--∞∞
-∞==⎰⎰
简记为 ()()R P f ξτ⇔
以上关系称为维纳-辛钦关系。

它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。

并告诉我们以下结论：
（1） 对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率：(0)()R P f df ξ
∞
-∞=
⎰。

（2） 各态历经过程的任一样本函数的PSD 等于过程的PSD 。

也就是说，每一样本函数的谱特
性都能很好地表现整个过程的的谱特性。

（3） PSD 具有非负性和实偶性：()0P f ξ≥ 和 ()()P f P f ξξ-= 这与()R τ的实偶性对应。

3.1.3 高斯随机过程
高斯过程，也称正态过程，是通信领域中最重要也是最常遇见的一种过程。

1.定义
任意n 维（n =1,2,...）分布均服从正态分布的随机过程称为高斯过程。

2.重要性质
（1）若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的；
（2）若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的； （3）若干个高斯过程的代数和过程仍是高斯型；
（4）高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯型。

3.一维分布
高斯过程在任一给定时刻上的取值是一个高斯随机变量。

1）一维概率密度函数
2
2
()
()
2
x a
f x
σ
⎛⎫
-
=-
⎪
⎝⎭
式中：a－均值；σ2 －方差
（1）f (x)对称于直线x = a；
（2）()1
f x dx
∞
-∞
=
⎰和1
()()
2
a
a
f x dx f x dx
∞
-∞
==
⎰⎰；
（3）a表示分布中心，σ称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着σ的减小而变高和变窄；
（4）当a = 0和σ = 1时，称为标准化的正态分布。

2
()
2
x
f x
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
2）一维分布函数
在数字通信系统的抗噪声性能分析中，有时需要计算高斯随机变量ξ小于或等于某一取值x的概率()
P x
ξ≤。

它就等于概率密度函数()
f x的积分，即
2
2
()
()()
2
x z a
F x P x dz
ξ
σ
⎡⎤
-
=≤=-⎢⎥
⎣⎦
⎰
这个积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其他特殊函数，用查表的方法求出，本书多采用误差函数和互补误差函数来表述。

误差函数
2
()x t
erf x e dt
-
=
它是自变量的递增函数：(0)0,()1,()()
erf erf erf x erf x
=∞=-=-
且
互补误差函数
2
()1()t
x
erfc x erf x e dt
∞
-
=-=⎰
它是自变量的递减函数：(0)1,()0,()2().
erfc erfc erfc x erfc x
=∞=-=-
且。

当1
x 时（实际应用中只要x > 2即可近似）
，有2
()x
erfc x-
≈
利用误差函数，可将()
F x
表示为
11
22
()
1
1
2
erf x a
F x
erfc x a
⎧⎛⎫
+≥
⎪
⎪
=⎨
⎪
-≤
⎪
⎩
3.1.4 平稳随机过程通过线性系统
设线性系统的冲激响应为()()h t H ω⇔，则输出随机过程0()t ξ等于输入随机过程()i t ξ与()h t 的卷积，即
0()()()()()i i t h t t h t d ξξτξττ∞
-∞
=*=-⎰
假设：输入随机过程ξi (t ) 是均值为a ，自相关函数为R i (τ) ，功率谱密度为P i (ω)的平稳过程，利用上式可求得输出过程0()t ξ的统计特性：
1.输出过程ξo (t )的均值 0[()](0)E t a H ξ=⋅ 式中：(0)H 是线性系统在 f = 0处的频率响应，即直流增益。

2.输出过程的自相关函数 0110(,)()R t t R ττ+=
输出过程的自相关函数仅是时间间隔τ 的函数。

由以上两式可知，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳。

3.输出过程的功率谱密度 2
0()()()
i P f H f P f =
这是一个十分有用的结论。

当需求输出过程的自相关函数0()R τ时，可利用上式先求0()P f ，然后求其反傅里叶变换，这通常比直接求0()R τ要简便得多。

4.输出过程的概率分布
若线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。

换言之，高斯过程经过线性变换后的过程仍然为高斯型（数字特征可能不同）。

3.1.5 窄带随机过程
1.窄带条件
0c c
f f f ⎧
⎪⎨
⎪⎩ 带宽远小于中心频率
中心频率远离零频 一个典型的窄带随机过程的普密度和样本函数下图所示 2.表达式
窄带随机过程的表达式（包络~相位形式）为
()()cos[()],()0c t a t t t a t ξξξξωφ=+≥
其等价形式（同相~正交形式）为
()()cos ()sin c c s c t t t t t ξξωξω=-
其中 ()()cos ()
c t a t t ξξξφ=（同相分量）
()()sin ()
s t a t t ξξξφ= （正交分量）
注意：窄带随机过程的包络()a t ξ和相位()t ξφ以及()()c s t t ξξ和都是随机缓变的过程，均属低通型过程。

3.两个重要结论
对于一个均值为.，方差为2
ξσ的平稳高斯窄带过程()t ξ
结论1：其同相分量()()c s t t ξξ和正交分量皆为平稳高斯过程；均值皆为0，方差等于2
ξσ；且两者在同一时刻的取值是互不相关的和统计独立的（因为是高斯过程）。

即有
[()][()][()]0
c s E t E t E t ξξξ===
222
c s ξσσσ==
(0)(0)0cs sc R R ==
结论2：其包络a ξ(t )的一维分布是瑞利分布，相位ϕξ(t )的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， a ξ(t )与ϕξ(t )是统计独立的 ，即有
2
22()exp 02a a f a a ξ
ξξξξξσσ⎡⎤
=-≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1
()022f ξξφφππ
=
≤≤
(,)()()f a f a f ξξξξφφ=⋅
以上两个结论在带通传输系统的抗噪声性能分析中将会用到。

这是因为，在带通传输系统中，信道噪声经过接收端带通滤波器后，到达解调器前端的噪声就是一个平稳高斯窄带过程。

3.1.6 正弦波加窄带高斯噪声
在数字带通传输系统中，解调器输入端的合成波（信号加噪声）就属于这种情况。

设合成波为
()cos()()
c r t A t n t ωθ=++
式中，()()cos ()sin c c s c n t n t t n t t ωω=-为窄带高斯噪声，其均值为0，方差为2
n σ，当信号的相位θ 均匀分布在0 ～2π间 时，合成波的包络服从广义的瑞利分布，又称莱斯分布，其概率密度函数为
2202221()exp ()0
2n n n z
Az f z z A I z σσσ⎡⎤⎛⎫=-+≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
式中，I 0(x ) 是 第一类零阶修正贝塞尔函数，当0x ≥时，I 0(x )是单调上升函数，且有I 0(0)=1。

如果
A=0，上式变为瑞利分布，即信号为0，全为窄带噪声。

3.1.7 高斯白噪声和带限白噪声
1.白噪声
白噪声功率谱密度 0()()2
n n P f f =
-∞<<+∞，双边谱密度
或 0()(0)n P f n f =<<+∞，单边谱密度
式中，0n 为正常数，单位是（W/Hz ）
自相关函数 0
()()2
n R τδτ=
其曲线图如下
讨论：
（1）白噪声只有在0τ=（同一时刻）时才才相关，而在其他任意时刻上的随机变量都是不相关的。

（2）在实际中，只要噪声的功率普均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，即可视为白噪声，例如，热噪声和散弹噪声。

（3）如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声，我们常用它作为通信信道中的噪声模型。

（4）高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。

2.带限白噪声
这是白噪声经过带宽有限的信道或滤波器的情形。

常见形式有低通白噪声和带通白噪声 1）低通白噪声
白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。

其功率谱密度为
0()2
H n n f f P f ⎧≤⎪
=⎨⎪⎩其它
自相关函数为 0sin 2()2H H H f R n f f πτ
τπτ
=
其曲线如下图
结论：如果按照抽样定理，在时刻/2(1,2,3)H k f k τ==⋅⋅⋅⋅处，对低通白噪声进行抽样的话，各抽样值是互补相关的随机变量。

2）带通白噪声
白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。

功率谱密度为
0()2
220
c c n n B B
f f f P f f
⎧-
≤≤+⎪
=⎨⎪⎩其它
自相关函数为 0sin ()cos 2c B R n B f B πτ
τπτπτ
= 其曲线图如下
讨论：带通滤波器的 B << f c 时，带通白高斯噪声也称为窄带高斯白噪声。

它的表达式和统计特性与全面3.1.5所描述的窄带随机过程相同，即有
()()cos ()sin c c s c n t n t t n t t ωω=- [()][()][()]0
c s E n t E n t E n t ===
222
n c s σσσ==
上式表明()()()c s n t t n t 、和具有相同的平均功率（因为均值为0）
，即 0N n B =
上式在第5章和第7章分析通信系统的抗噪声性能时非常有用。

-
3.2 难点疑点
1、平稳过程和各态历经性
（1）判定一个随机过程ξ(t)是否平稳。

含义：统计平均=时间平均
2、平稳的几个关系
狭义平稳必广义平稳；广义平稳未必狭义平稳
各态历经过程必平稳过程；平稳过程未必各态历经过程
3、各态历经性的意义
一般情况下，当我们求解平稳随机过程ξ(t)的统计特性（均值、自相关函数等数字特征）时，不仅要知道ξ(t)的一维和二维概率密度函数，而且预先得到ξ(t)的全体样本函数，这实际上是很难办到的。

如果一个平稳过程具有各态历经性，我们就可用一个样本的“时间平均”来取代过程的“统计平均”，也就是说，通过一个样本函数就可以求得平稳过程的各数字特征量，从而使测量和计算的问题大大简化。

4、自相关函数的意义
（1）自相关函数可以用来判定一个随机过程是否广义平稳；
（2）自相关函数的傅里叶变换是功率谱密度，这一对变换沟通了随机过程时域和频域的关系，使我们更深入、更方便和更全面了解随机过程。

（3）由自相关函数可以求得平稳过程的平均功率、直流功率和交流功率。

（4）由自相关函数可以确定平稳过程的均值、方差等数字特征。

此外，相关函数的意义还可在数字信号的最佳接收、群同步等系统中体现出来。

5、随机过程ξ(t)是否存在傅里叶变换
答：不存在。

因为任何随机过程或随机信号，其时间波形没有确知的规律，即信号的有关参量(振幅、极性、出现时间等)都是不可预测的，所以我们无法求其傅里叶变换，也就是说随机过程没有确定的频谱函数。

那么如何描述随机过程的频谱特性呢？可用功率谱密度来描述随机过程的频谱特性。

因为：①随机过程属于功率信号而不属于能量信号；
②任何平稳随机过程都存在自相关函数及其傅里叶变换—功率谱密度。

6、功率谱密度（PSD）的意义
（1）可用来描述随机过程的频域特性；
（2）可用来描述通信系统中的滤波器及其他器件对信号和噪声的影响；
（3）PSD的积分面积等于平稳过程的总功率；
（4）与相关函数构成一对傅里叶变换，从而建立频域与时域之间的联系。

3.3 重点 考点
1、概念
随机过程的定义；狭义平稳和广义平稳；各态历经的含义和意义；高斯过程的性质、窄带过程的两个结论；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；功率谱密度的意义。

2、计算
数字特征（均值、方差、相关函数）、平稳过程的自相关函数及其性质；维纳-辛钦定理；高斯过程、白噪声通过线性系统。

3.4、习题解答
3-1 设X 是1,0==δa 的高斯随机变量，试确定随机变量d cX Y +=的概率密度函数)(y f ，其中c ，d 均为常数。

解：因为高斯随机变量经过线性变换后仍是高斯型，而X 是1,0==δa 的高斯随机变量，所以d cX Y +=也是高斯随机变量。

又因为]2)(exp[21)(2
2
2
δ
πδa x x f --=
根据性质Y 的均值为：d d cX E Y E =+=][][，
Y 的方差为：2222222])[(])[(])[(][c c X E c cX E d Y E Y D ====-=σ，
所以 ]2)(exp[21
)(222
22c a d y c y f δπδ---=
因为1,0==δa ，所以]2)(exp[21
]2)(exp[21
)(2
2
22
2c d y c c d y c y f --=--=
ππ 3-2 设一个随机过程)(t ξ可表示成)2cos(2)(θπξ+=t t ，式中θ是一个离散随机
变量，且2
1)0(==θP ，2
1
)2(==π
θP ，试求)1(ξE 及)1,0(ξR 。

解法一：由数学期望的公式2
201|
)(|)()]([π
θθξξξ==+=t P t P t E 有
)2
2cos(2212cos 221)]([πππξ+⋅+⋅=
t t t E
代入1=t ，得
12
cos 2210cos 221)22cos(2212cos 221) 1 (=⋅+⋅=+⋅+⋅=
ππππξE 由自相关函数公式得
)]2
2cos(2)22cos(2[21]2cos 22cos 2[21|
)]()([|)]()([)]()([),(21212
21202112121π
πππππξξξξξξπ
θθξ+⨯+⋅+⨯⋅=+====t t t t t t P t t P t t E t t R
1,021==t t 代入得
22
cos 4210cos 421)1,0(22=⨯+⨯=
π
ξR 解法二：在1=t 时，)(t ξ的均值
1
2
cos 2210cos 221 ][cos 2)]2[cos(2|)]2cos(2[) 1 (1=⋅+⋅==+=+==π
θθπθπξE E t E E t
在1,021==t t 时，)(t ξ的自相关函数
2
2
cos 4210cos 421 ]cos 4[)]2cos(2cos 2[)]1()0([)1,0(222=⨯+⨯==+⋅=⋅=π
θθπθξξξE E E R
3-3设随机过程t X t X t Y 0201sin cos )(ωω-=，若1X 与2X 是彼此独立且均值为0、方差为2σ的高斯随机变量，试求： （1）)]([t Y E 、)]([2t Y E ；
（2）)(t Y 的一维分布密度函数)(y f ； （3）),(21t t R 和),(21t t B 。

解：（1）0sin ][cos ][]sin cos [)]([02010201=-=-=t X E t X E t X t X E t Y E ωωωω 因为1X 和2X 相互独立，所以][][][2121X E X E X X E ⋅=， 又因0][][21==X E X E ，所以22221][][σ==X E X E ，故
2
20220021022022
20021022
1022
20021022
10201020120 sin sin cos ][][2cos sin ][sin cos ][2cos ][ ]sin cos sin 2cos [ )]sin cos )(sin cos [()]([σσωσωωωσωωωωωωωωωωωω=-=+-=+-=+-=--=t t t X E X E t t X E t t X X E t X E t X t t X X t X E t X t X t X t X E t Y E （2）高斯变量的线性组合仍然为高斯变量，故)(t Y 也服从高斯分布，则据（1）知)(t Y 的0)]([=t Y E ，2)]([σ=t Y D ，其一维分布密度函数
)2exp(21
)(2
2
σπσy y f -=
（3）
τ
ωσωσωωωωωωωω022********
220102
12022011021012121cos )(cos sin sin ][cos cos ][ )]sin cos )(sin cos [( )]
()([),(=-=+=--==t t t t X E t t X E t X t X t X t X E t Y t Y E t t R
其中，21t t -=τ
{}τ
ωσ022*********cos ),()]()([ )]()()][()([),(==⋅=--=t t R t Y t Y E t EY t Y t EY t Y E t t B
3-4 已知)(t X 和)(t Y 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为X a 和
Y a ，自相关函数分别为)(τX R 和)(τY R 。

（1）试求乘积)()()(t Y t X t Z ⋅=的自相关函数。

（2）试求和)()()(t Y t X t Z +=的自相关函数。

解：（1）)()()(t Y t X t Z ⋅=的自相关函数
)
()(),(),( )]()([)]()([)]()()()([ )]
t ()t ()()([)]t ()([)t , (212121212121 2 211 21 21ττY X Y X Z R R t t R t t R t Y t Y E t X t X E t Y t Y t X t X E Y X t Y t X E Z t Z E t R ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅= （2） )()()(t Y t X t Z +=的自相关函数
Y
X Y X Y X Y Y X X Z a a R R R a a a a R t Y t Y t X t Y t Y t X t X t X E Y X t Y t X E Z t Z E t R 2)()()()( )]()()()()()()()([ )]}
t ()t ([)]()({[)]t ()([)t , (21212121 2 211 21 21++=+++=+++=+⋅+=⋅=ττττ
评注：两个独立的平稳随机过程，其乘积的自相关函数等于它们各自的自相关函数的乘积；其和的自相关函数等于它们各自的自相关函数的之和，并外加两者均值之积的2倍。

3-5 已知随机过程)cos()()(0θω+=t t m t z ，其中)(t m 是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<<-+=其他
0101011)(ττ
τττm R 随机变量θ在)2,0(π上服从均匀分布，它与)(t m 彼此统计独立。

（1）证明)(t z 是广义平稳的； （2）试画出自相关函数)(τz R 的波形； （3）试求功率谱密度)(f P z 及功率S 。

解：（1）欲证随机过程)(t z 广义平稳，只需验证)(t z 的均值与时间无关，自相关函数仅与时间间隔τ有关即可。

因为)(t m 和)(t θ是彼此独立的随机过程，且θ是均匀分布的随机变量，
)(t m 是一个广义平稳随机过程，可知)]([t m E 为一常数，所以
21
)cos()]([ )][cos()]([)]cos()([)]([20
000=+⋅=+⋅=+=⎰
θπ
θωθωθωπd t t m E t E t m E t t m E t z E
]}
cos 2
1
[)]22cos(21[){( ]
cos 21
)22cos(21[)( )]cos()[cos()]()([ )]cos()()cos()([)]()([),(000000000000τωθτωωττωθτωωτθτωωθωτθτωωτθωττE t E R t E R t t E t m t m E t t m t t m E t z t z E t t R m m z +++=+++=++⋅++⋅=++⋅+⋅+⋅=+⋅=+
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎪⎨⎧<≤-<<-+=⋅=其他0
10 )1(cos 21
01)
1(cos 2
1
cos 2
1
)(000τττωτττωτ
ωτm R 通过以上计算，可知)(t z 的均值（数学期望）与时间无关，是一个常数，
它的自相关函数只与时间间隔τ有关。

满足广义平稳的条件，所以)(t z 是一个广义平稳的随机过程。

（2）自相关函数
⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎧<≤-<<-+=⋅=其他0
10 )1(cos 21
01)
1(cos 21
cos 2
1
)()(000τττωτττωτ
ωττm z R R 其波形如图3-1所示。

图3-1 自相关函数)(τz R 的波形
（3）因为)(t z 广义平稳，其自相关函数和其功率谱密度是一对傅里叶变换对，
即)()(τωz z R P ⇔，由图3-1可见，)(τz R 的波形可视为余弦函数与三角波的乘积。

且利用傅里叶变换的频域卷积性质，根据三角函数的傅里叶变换
⎪⎩⎪⎨⎧
⇔t Sa t tri 其他0
)2()(2ω 可得)(t z 的功率谱密度
)]
2()2([41 )12
(21)]()([21)(0
202200ωωωωωωωδωωδππω-++=⨯*-++⋅=
Sa Sa Sa P z
或
]}
)([])([{4
1
]
)222()222([41
)()2cos(21)()(20222022202202202f f Sa f f Sa f f Sa f f Sa d e tri f d R f P f j f j z z -++=-++=⋅==-∞
∞
--∞
∞-⎰⎰ππππππτ
ττπτττπτ
π 平均功率 2
1|)1(c o s 21
)0(00=-===τττωz R S 3-6 已知噪声)(t n 的自相关函数为||2
)(ττk n e k R -=，k 为常数： （1）试求其功率谱密度)(f P n 及功率N ； （2）试画出)(τn R 及)(f P n 的图形。

解：（1）对于平稳随机过程)(t n ，有)(τn R 和)(f P n 是一对傅里叶变换对
2
2
2
20202||2)2( )2121(2 22 2)()(f k k f j k f j k k d e e k d e e k d e e k d e
R f P f j k f j k f j k f j n n πππτ
ττ
τττπττ
πττπττ
π+=++-=+===--∞-∞--∞
∞---∞
∞-⎰⎰⎰
⎰ 2
)0(k R N n =
= （2）)(τn R 和)(f P n 的图形如图3-2所示。

图3-2 )(τn R 和)(f P n 的图形
3-7 一个均值为a ，自相关函数为)(τx R 的平稳随机过程)(t X 通过一个线性系统后的输出过程为)()()()(为延迟时间T T t X t X t Y -+= （1）试画出该线性系统的框图；
（2）试求)(t Y 的自相关函数和功率谱密度。

解：（1）该系统框图如图3-3所示。

图3-3 线性系统框图
（2）根据平稳过程)(t X 通过线性系统后的输出过程)(t Y 也是平稳的，以及维纳-辛钦定理可知)()(ωτX X P R ⇔，)()(ωτY Y P R ⇔。

)(t Y 的自相关函数为
)
()()(2 )()()()( )]()()()()()()()([ )]}
()([)]()({[)]()([)(T R T R R R T R T R R T t X T t X t X T t X T t X t X t X t X E T t X t X T t X t X E t Y t Y E R X X X X X X X Y ++-+=+++-+=-+-++-+-+++=-+++⋅-+=+⋅=τττττττττττττττ功率谱密度为
)()cos 1(2)(2)(2)]([)(ωωωωτωωX X T j X Y Y P T P e P R F P +=+==
另一种方法：利用公式)()()(2
ωωωX Y P H P ⋅=求解： 该系统的单位冲激响应 )()()(T t t t h -+=δδ 其相应的传递函数 2
2
2
2
2
c o s 2)(1)(T
j
T
j
T
j
T
j
T
j e
T
e
e
e
e
H ωωωωωωω----=+=+=
所以 )()c o s 1(2)()()(2
ωω
ωωωX X Y P T P H P +==⋅= )()()(2)(T R T R R R X X X Y ++-+=ττττ
3-8 一个中心频率为c f 、带宽为B 的理想带通滤波器如图P3-1所示。

假设输入是均值为零、功率谱密度为2/0n 的高斯白噪声，试求：
图P3-1
（1）滤波器输出噪声的自相关函数； （2）滤波器输出噪声的平均功率； （3）输出噪声的一维概率密度函数。

解：（1）已知高斯白噪声的功率谱密度2/)(0n f P n =，所以滤波器输出噪声)
(0t n
c
c
的功率谱密度
⎪⎩
⎪
⎨⎧+≤≤-=⋅=⋅=其他
222
|)(|2|)(|)()(0
2020B f f B f n f H n f H f P f P c c i
根据)()(00τR f P ⇔，输出噪声)(0t n 的自相关函数
τ
πτπττ
π
τ
πτ
πc f j B f B f f j B
f B f f j f B BSa n df
e n d
f e n df e
f P f P F R c c c c 2cos )( 2
2
)()]([)(0222022202001
0=+===⎰
⎰
⎰+
-
+
--
-∞
∞
--
（2）输出噪声)(0t n 的平均功率B n R N 000)0(==
（3）高斯过程经线性变换后仍为高斯过程，故输出噪声依然是高斯白噪声，且有
均值 0)0()]([)]([0=⋅=H t n E t n E i 方差 B n R R t n D 00002)()0()]([=∞-==σ
所以，输出噪声)(0t n 的一维概率密度函数
]2exp[21
]2exp[21
)(02
02
2
B n x B n x x f -=-=
πσσπ
3-9 一个RC 低通滤波器如图P3-2所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为2/0n 的高斯白噪声，试求：
（1）输出噪声的功率谱密度和自相光函数； （2）输出噪声的一维概率密度函数。

图P3-2
解：（1）RC 低通滤波器的传输函数 RC j C
j R C
j H ωωωω+=
+
=1111
)( 输出噪声)(0t n 的功率谱密度为 2020)
(112|)(|)()(RC n H P P i ωωωω+⋅=⋅= 根据)()(00ωτP R ⇔，并利用2
22ωτ+⇔
-a a
e a ，可得)(0t n 自相关函数： RC e
RC
n d C
R C R RC n d RC n F R τ
ωωπωωπωτ-∞
∞
-∞∞--=+=
+==⎰⎰4121221 )
(11
221)](P [)(02
222
2020010 （2）高斯过程经线必变换后仍为高斯过程，且有
均值 0)0()]([)]([0=⋅=H t n E t n E i 方差 RC
n R R t n D 4)()0()]([0
0002=
∞-==σ 故输出噪声的一维概率密度函数
]2exp[2]2exp[21
)(0
2
02
2
n RCx n RC x x f -=-=
πσσπ 3-10 一个LC 低通滤波器如图P3-3所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为2/0n 的高斯白噪声，试求： （1）输出噪声的自相关函数； （2）输出噪声的方差。

图P3-3
解：（1）低通滤波器的传输函数 L
j R R
H ωω+=
)(
输出噪声的功率谱密度 2
222
02
02|)(|)()(L R R n H P P i ωωωω+⋅=⋅=
根据)()(00ωτP R ⇔，并利用2
22ω
τ+⇔
-a a
e a ，可得输出噪声的自相关函数： τωωπ
ωτL R
e L
R n d L R R n F R -∞
∞--=+⋅=
=⎰4 221
)](P [)(02
222
001
0 （2）输出噪声的方差 L
R
n R R 4)()0(0002=
∞-=σ 3-11 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为b T ，脉冲幅度取1±的概率相等。

现假设任一间隔b T 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且具有广义平稳性，试证：
（1）自相关函数 ⎩
⎨⎧>≤-=b b b T T T R ττττξ 0 1)(
（2）功率谱密度 2)]([)(b b fT Sa T P πωξ=
证明：（1）设随机二进制矩形脉冲波形 ∑∞
-∞
=-=n b
n
nT t rect A t f )()(
其中n A 是脉冲幅度，取1±的概率相等。

则其自相关函数
][ ])()([ )]
()([)(n
n n b n
n b n A A E T n t rect A nT t rect A E t f t f E R '='-+'-=+=∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=τττ 下面对τ进行分段讨论： ○
1若b T >τ，即n A 和n
A '出现的时间间隔大于b T 且统计独立，有 0)2
1
1211)(211211(][][][=⨯+⨯-⨯+⨯-='='n n n
n A E A E A A E ○
2若b
T ≤τ，即n
A 和n
A '出现的时间间隔小于b
T ，可能出现以下几种情况： （Ⅰ）n A 和n
A '属于同一脉冲，其概率为b
b T T τ-；
（Ⅱ）n A 和n
A '分属不同的脉冲，但脉冲取值相同，其概率为21
⨯
b
T τ
； （Ⅲ）n A 和n
A '分属不同的脉冲，但脉冲取值不同，其概率为2
1⨯
b
T τ。

所以 b
b b b b
b n
n T T T T T T A A E τττ
τ-=-⨯⨯⨯+⨯⨯+
⨯-=')1(121121
1][22 综上所述，可得自相关函数
⎩⎨⎧>≤-=b
b b T T T R ττττξ 0 1)(
（2）根据宽平稳随机过程的性质，有
ττ
ττωωτωτξξ⎰⎰∞
∞
--∞
∞
--==d e T tri d e R P j b
j )(
)()(
根据傅里叶变换对)2
(
)(2b
b b
T Sa T T tri ωτ
⇔，有
22)]([)2
(
)(b b b
b fT Sa T T Sa T P πωωξ==
3-12 图P3-4为单个输入、两个输出的线性过滤器，若输入过程)(t η是平稳的，求)(1t ξ与)(2t ξ的互功率谱密度的表达式。

图P3-4
解：ττητηξd t h t h t t )()()()()(0111-=*=⎰∞
ττητηξd t h t h t t )()()()()(0222-=*=⎰∞
互相关函数为
β
αβηαηβαββηβααηαξξd d t t E h h d t h d t h E t t E t t R ])()([)()( ])()()()([ )]
()([),(0
210
2120
210
122112112⎰
⎰
⎰⎰∞
∞
∞
∞
--=--==
因为)(t η平稳，有1221 )()]()([t t R t t E -=-+=--τβατβηαηη 所以 )( )()()(),(1200
212112τβαβατβαηR d d R h h t t R =-+=⎰⎰
∞
∞
互功率谱密度为
⎰⎰⎰⎰∞
-∞∞∞
-∞
∞---+==0
210
1212])()()([ )()(β
βατβααττ
τωωτηωτd e R h h d d d e R P j j
令βαττ-+='，则ωβωατωωτττj j j j e e e e d d --'
--='= ,
)()()( )()()()(21
20
112ωωωτττββααωητωηωβωτP H H d e R d d e h d e h P j j j ⋅⋅='
'=*∞
∞
-'-∞
∞
-∞
-∞
⎰⎰⎰⎰
3-13 设平稳过程)(t X 的功率谱密度为)(ωx P ，其自相关函数为)(τx R 。

试求功率谱密度为)]()([2
100ωωωω-++x x P P 所对应的过程的相关函数（其中，0ω为正常数）。

解：)]()([)(2
1)]()([2
1
0000ωωδωωδωωωωω-++*=-++x x x P P P 根据)()(τωx x R P ⇔，则所对应的过程的相关函数为τωτ0cos )(x R
3-14 )(t X 是功率谱密度为)(f P x 的平稳随机过程，该过程通过图P3-5所示的系统。

图P3-5
（1）输出过程)(t Y 是否平稳？ （2）求)(t Y 的功率谱密度。

解：（1）因为线性系统的输入)(t X 是平稳过程，所以其输出过程)(t Y 也是平稳的。

（2）该系统的传输函数为ωωωωωωj e
T
j e
H T
j
T
j ⋅=⋅+=--2
2
cos
2)1()(
)(t Y 的功率谱密度为)()cos 1(2|)(|)()(22ωωωωωωX X Y P T H P P ⋅⋅+=⋅=
3-15 设)(t X 是平稳随机过程，其自相关函数在)1,1(-上为)1()(ττ-=x R ，是周期为2的周期性函数。

试求)(t X 的功率谱密度)(ωx P ，并用图形表示。

解：设)(τx R 在区间)1,1(-上的截短函数为)(τT R ，即
⎩⎨
⎧<<--=其他
111)(ττ
τT R
则周期性的自相关函数可表示为)()()(T T τδττ*=R R x 利用 )2
()()(2T T ω
ωτSa P R =⇔
2 )()2(2)( )()(T T =-=-=
⇔
-=∑∑∑T n T n T
nT n
n n
πωδππ
ωδπ
ωδτδτδ
并根据)()(τωx x R P ⇔和傅里叶变换的时域卷积定理，可得)(t X 的功率谱密度
∑∑-=-⋅=*=n
n x n n Sa n Sa P P )()2()()2()()()(22T T πωδπ
ππωδπωωδωω
其图形如图3-10所示（图中只画出了正频率部分，负频率部分关于纵轴对称）。

图3-10 功率谱密度图
3-16 设)(1t x 与)(2t x 为零均值且互不相关的平稳过程，经过线性时不变系统，其输出分别为)(1t z 与)(2t z ，试证明)(1t z 与)(2t z 也是互不相关的。

证明：因为 0)]([)]([)]()([22112211=⋅=t x E t x E t x t x E
0)0()]([)]([11=⋅=H t x E t z E 0)0()]([)]([22=⋅=H t x E t z E
所以
)]()([)()( ]
)()()()([)]()([22110
220
110
2211=--=--=⎰
⎰
⎰⎰∞
∞
∞
∞βαβαββββααd d t x t x E h a h d t x h d t x a h E t z t z E
即)(1t z 与)(2t z 也是互不相关的。