华师大版九年级数学上册《用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程》课件
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22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
B．x＝0
C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝－4 9．(2014·舟山)方程x2－3x＝0的根为___x_1_＝__0_，__x_2＝__3____．
10．一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中，较大的根是
___x_＝__6___．
11．用因式分解法解方程： (1)x2＋7x＝0； 解：x1＝0，x2＝－7
C．x1＝0，x2＝92 D．x1＝0，x2＝－92
14．下列说法错误的是( A) A．关于x的方程x2＝k必有两个互为相反数的实数根 B．关于x的方程(x＋k)2＝0必有两个相等的实数根 C．关于x的方程(x－m)2＝k2必有两个实数根 D．关于x的方程x2＝1－m2可能没有实数根
2 15．若x2＋3与x2－4互为相反数，则x的值为_____±__2_____． 16．已知x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k 的值为____0_或__1____．
17．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2－b2， 则方程(4☆3)☆x＝13的解为x＝___±__6____．
18．用直接开平方法解方程： (1)2x2－9＝0； 解：x1＝32 2，x2＝－32 2 (3)(t－7)(t＋2)＝0； 解：t1＝7，t2＝－2
(2)25－8y2＝0； 解：y1＝54 2，y2＝－54 2 (4)x(x－3)＋8x＝0. 解：x1＝0，x2＝－5
(2)4x2－2x＝0； 解：x1＝0，x2＝12 (3)15x2＝3x.
解：x1＝0，x2＝15
12．下列关于 x 的方程中，一定有实数解的是(B )
A．x2＋1＝0
B．(2x－1)2＝0
C．(2x＋1)2＋3＝0 D．(12x－a)2＝a 13．一元二次方程 9x2－2x＝0 的解是( A ) A．x1＝0，x2＝29 B．x1＝0，x2＝－29
7．用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－49＝0；
(2)4x2＝1；
解：x1＝7，x2＝－7
解：x1＝12，x2＝－12
(3)3x2－36＝0； 解：x1＝2 3，x2＝－2 3
(4)6x2－3＝1.
解：x1＝
36，x2＝－
6 3
知识点3：用因式分解法解简单的一元二次方程
8．一元二次方程x2＝4x的根是( C )
21．如图，在长和宽分别是m，n的矩形纸片和四个角上都剪 去一个边长为x的正方形．
(1)用m，n，x表示纸片剩余部分的面积； 解：mn－4x2
(2)当m＝12，n＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积 时，求正方形的边长．
解：依题意有：mn－4x2＝4x2，将 m＝12，n＝4 代入上式，得 x2 ＝6，解得 x1＝ 6，x2＝－ 6(舍去)．即正方形的边
我们，还在路上……
知识点1：用直接开平方法解方程的条件
1．一元二次方程x2＝c有解的条件是( D)
A．c>0
B．c<0
C．c≤0
D．c≥0
2．若方程 x2＝a 的解是有理数，则实数 a 不能取下列四个数
中的( D )
A．1 B．4
11 C.4 D.2
3．已知一元二次方程mx2＋n＝0(n≠0)，若方程有解，则必须( D) A．n＝0 B．m，n同号 C．n是m的整数倍 D．m，n异号
知识点2：用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程 4．方程x2＝9的解是( A ) A．x＝±3 B．x＝3 C．x＝－3 D．x＝9
5．方程 x2－2＝0 的根是____x_1＝____2_，__x_2＝__－____2_____． 6．直角三角形的两边 x，y 满足|x2－16|＋ 25－y2＝0，则第三 边的长为_____3__或___4_1________．
22.2.1 直接开平方法和因式分解法 第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程
1．利用__平__方__根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直 接开平方法． 2．解一元二次方程，实质上是把一个一元二次方程“_降__次___” ，转化为两个__一__元__一__次___方程． 3．当p≥0时，x2＝p的解为____x_＝__±___p___． 4．当把一元二次方程的一边化为0，而另一边易分解成两个一 次因式的乘积时，可令每个因式分别等于0，得到两个 _____一__元__一__次__方__程______，从而实现降次求解的目的，这种解法 叫做因式分解法．
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个 根．
解：将 x＝3 代入原方程得 k 的值为± 2，再把 k＝± 2代入 方程得另一个根为 x＝－1
20．关于x的一元二次方程(2m－4)x2＋3mx＋m2－4＝0有一根为0， 求m的值． 解：将x＝0代入原方程，得m2－4＝0，解得m＝±2，∵2m－4≠0 ，m≠2，∴m＝－2
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A．x＝4
B．x＝0
C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝－4 9．(2014·舟山)方程x2－3x＝0的根为___x_1_＝__0_，__x_2＝__3____．
10．一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中，较大的根是
___x_＝__6___．
11．用因式分解法解方程： (1)x2＋7x＝0； 解：x1＝0，x2＝－7
C．x1＝0，x2＝92 D．x1＝0，x2＝－92
14．下列说法错误的是( A) A．关于x的方程x2＝k必有两个互为相反数的实数根 B．关于x的方程(x＋k)2＝0必有两个相等的实数根 C．关于x的方程(x－m)2＝k2必有两个实数根 D．关于x的方程x2＝1－m2可能没有实数根
2 15．若x2＋3与x2－4互为相反数，则x的值为_____±__2_____． 16．已知x＝1是关于x的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0的根，则常数k 的值为____0_或__1____．
17．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2－b2， 则方程(4☆3)☆x＝13的解为x＝___±__6____．
18．用直接开平方法解方程： (1)2x2－9＝0； 解：x1＝32 2，x2＝－32 2 (3)(t－7)(t＋2)＝0； 解：t1＝7，t2＝－2
(2)25－8y2＝0； 解：y1＝54 2，y2＝－54 2 (4)x(x－3)＋8x＝0. 解：x1＝0，x2＝－5
(2)4x2－2x＝0； 解：x1＝0，x2＝12 (3)15x2＝3x.
解：x1＝0，x2＝15
12．下列关于 x 的方程中，一定有实数解的是(B )
A．x2＋1＝0
B．(2x－1)2＝0
C．(2x＋1)2＋3＝0 D．(12x－a)2＝a 13．一元二次方程 9x2－2x＝0 的解是( A ) A．x1＝0，x2＝29 B．x1＝0，x2＝－29
7．用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－49＝0；
(2)4x2＝1；
解：x1＝7，x2＝－7
解：x1＝12，x2＝－12
(3)3x2－36＝0； 解：x1＝2 3，x2＝－2 3
(4)6x2－3＝1.
解：x1＝
36，x2＝－
6 3
知识点3：用因式分解法解简单的一元二次方程
8．一元二次方程x2＝4x的根是( C )
21．如图，在长和宽分别是m，n的矩形纸片和四个角上都剪 去一个边长为x的正方形．
(1)用m，n，x表示纸片剩余部分的面积； 解：mn－4x2
(2)当m＝12，n＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积 时，求正方形的边长．
解：依题意有：mn－4x2＝4x2，将 m＝12，n＝4 代入上式，得 x2 ＝6，解得 x1＝ 6，x2＝－ 6(舍去)．即正方形的边
我们，还在路上……
知识点1：用直接开平方法解方程的条件
1．一元二次方程x2＝c有解的条件是( D)
A．c>0
B．c<0
C．c≤0
D．c≥0
2．若方程 x2＝a 的解是有理数，则实数 a 不能取下列四个数
中的( D )
A．1 B．4
11 C.4 D.2
3．已知一元二次方程mx2＋n＝0(n≠0)，若方程有解，则必须( D) A．n＝0 B．m，n同号 C．n是m的整数倍 D．m，n异号
知识点2：用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程 4．方程x2＝9的解是( A ) A．x＝±3 B．x＝3 C．x＝－3 D．x＝9
5．方程 x2－2＝0 的根是____x_1＝____2_，__x_2＝__－____2_____． 6．直角三角形的两边 x，y 满足|x2－16|＋ 25－y2＝0，则第三 边的长为_____3__或___4_1________．