人教初中数学八上《角平分线的性质(2)》教案 (公开课获奖)

角的平分线的性质
课题12.3角的平分线的性质（第二课时）教科书第49——50页相关内容
教学目标1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理. 2．会用角平分线性质定理的逆定理解决问题．
重点角平分线性质定理的逆定理及应用. 难点灵活应用两个性质解决问题．
使用
多媒
体
多媒体课件
教学过程教师活动学生活动说明或
设计意
图
复习旧知，导入新课1．角的平分线的性质定理是怎样叙述
的？
2．用数学语言怎样描述？
师作出草图帮助理解．
３．反过来，到一个角的两边的距离相等
的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如右图（１）,PD⊥OA，PE⊥
OB，点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
这节课我们就来探究这个问题.
出示课题并板书课题.
1.集体回答：
角的平分线的性质定理：角的平分线
上的点到角的两边的距离相等。

２．看图说出数学语言：
∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，
且PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ PD = PE
３．讨论，证明．
图（１）
1．如上右图（１），点P是否在∠AOB
的平分线上呢？
首先我们要作出辅助线，怎么做呢？
怎样证明呢？
教师巡视，引导证明．
1．前后桌同学讨论．并试着给出证明．
证明: 经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在Rt△PDO和Rt△PEO中
PO＝PO，
PD=PE，
∴ Rt△PDO≌R t△PEO（HL）
P
合作探究，解决问题通过证明，你得到什么结论？
这就是角的平分线的性质定理的逆定理，
也叫做角的平分线的判定定理．
这个定理用数学语言如何表示呢？
２．角的平分线的性质定理与判定定理有
什么区别呢？
出示课件加以说明．
老师点拨．
３．随堂练习．
填空：如右图（２）
(1)∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(__________________________)
(２)∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴__________
(______________________________)
４．解决问题：（课本第49页思考题）
如下图（3），要在S区建一个贸易市场，
使它到铁路和公路距离相等，离公路与
铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在
何处？（比例尺为1︰20000）
图（3）
5.教学例1：已知：如右图（5）,在△ABC
中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，
垂足分别是E，F，且BE＝CF。

∴∠ POD＝∠POE，
∴点P在∠AOB的平分线上.
即：OC平分∠AOB
结论：角的内部到角的两边的距离相
等的点在角的平分线上。

∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．
∴OP平分∠AOB．
即点P在∠AOB的平分线上.
２．通过老师的点拨，得出：它们的
题设与结论刚好相反，是一对互逆定
理，它们在应用上也不相同，角的平
分线的性质可用来证明线段相等；而
角的平分线的判定定理是用来判定角
的平分线．
３．看图回答问题．
图（２）
４．动手试一试，解决问题.
解：如下图（4），作夹角的角平分线
OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。

s
O
A
C D
E
B
1 2
s
D
求证：AD 是∠BAC 的角平分线 分析：
AD 是∠BAC 的平分线
DE ＝DF △BDE ≌△CDF 学生如有困难，板书解题过程.
6.教学例题2.如下图（6），△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。

求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等.
图（6） 点拨：过点P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ， PF ⊥AC 于F 想一想：点P 也在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
图（4）
图（5）
5.按照老师的分析写出解题步骤.（步
骤略） 6.根据老师的提示思考并尝试证明. 证明：过点P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ， PF ⊥AC 于F ∵BM 是△AB C 的角平分线，点P 在BM 上（已知）
∴PD=PE.（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF.
即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等.
思考并回答：点P 也在∠A 的平分线上，角形三条角平分线相交于一点．
1.练习.（课本P50页练习第2题.） 如右图（7），△ABC 的∠B 的外角平分线BD 与∠C 的外角平分线CE 相交于点P.求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 所在直线的距离相等
2.已知：如右图（8），BE ⊥AC 于E ， CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于D ， BD=CD .
1.同桌讨论并解题. （解题步骤略）
A
B
C
E F D
A
B
C
P
C
课
堂
练
习
，
巩
固
提
升
求证： AD平分∠BAC .
图（9）
3、变式：
已知：如上图（9）,在△ABC中， BD＝CD,
∠1= ∠2.
求证：AD平分∠BAC.
巡视，对有困难的学生给予帮助.
待学生做完后讲评.
图（7）
图（8）
2与3学生画出草图，自己解
题.个别学生上台板演.
课堂小结1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？
３．怎样用数学语言表达角的平分线的判
定定理？
４．你还有哪些困惑？
释疑.
自主回答，畅所欲言.
提出疑问，当堂解决.
布置作业1.课本第51页习题12.3第3、6、7题.
2.选用作业设计.
12.3角的平分线的性质（第二课时）
角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（如
A
B
C
F
E
D
A
B C
D
E F
1 2
P A
O B C
E D 1
2
A
A
D
N E B
F
M
C 板 书 设 计
下图）
∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ． ∴OP 平分∠AOB ．
即点P 在∠AOB 的平分线上
∴PD=PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

） 例1：
例2： 练习讲评：
作 业 设 计
１．如下图，已知:BD ⊥AM 于点D,CE ⊥AN 于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F 在∠A 的平分线上.
2、如下图，要在S 区建一个广告牌P ，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在 何处？
第１题图 第２题图
3、如图所示，BF 与CE 相交于D ，BD=CD ，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E 。

求证：点D 在∠BAC 的角平分线上。

公路
公路 铁路
S
15.2.2 分式的加减教学目标
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点
1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法
教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程
例、习题的意图分析
1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入
1．说出分数混合运算的顺序.
2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解
（教科书）例7 计算
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
（教科书）例8 计算：
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：
(1) x
x x x x 22
)242(2+÷-+- （2）)11()(
b a a b b b a a -÷--- （3）)2
1
22()41223(
2+--÷-+-a a a a 五、课后练习
1．计算： (1))1)(1(y
x x y x y +--+ (2)22242)44122(
a
a
a a a a a a a a -÷-⋅+----+
(3)zx
yz xy xy
z y x ++⋅++)111(
2．计算24
)2121(a
a a ÷--+，并求出当=a -1的值.
六、答案：
四、（1）2x （2）b
a ab
- （3）3 五、1.(1)
2
2y
x xy
- (2)21-a （3）z 1 2.原式=4
22
--a a ，当=a -1时，原式=-31.
13.3.1 等腰三角形
教学目标
（一）教学知识点
1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求
1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．
2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．
重点难点
重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．
难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备
师：多媒体课件、投影仪；
生：硬纸、剪刀．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
[师]那什么样的三角形是轴对称图形？
[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．
A
B
I
C
A
B
I
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．
[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．
……
[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
[师]有了上述概念，同学们来想一想．
（演示课件）
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？
[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等． [生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线． [生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．
[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．
[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．
[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． [师]很好，大家看屏幕． （演示课件）
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
（投影仪演示学生证明过程）
[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为
,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
所以△BAD≌△CAD（SSS ）． 所以∠B=∠C．
[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为
,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
所以△BAD≌△CAD．
所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=1
2
∠BDC=90°．
D
C
A B
D C
A
B
[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．
（演示课件）
[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．
[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．
[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，• 再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角． [师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷．
（课件演示）
[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC． ∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．
在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习
（一）课本练习 1、2、3． 练习
1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．
(2)
120︒
36︒
(1)
答案：（1）72° （2）30°
2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？
D C
A
B
D
C A B
答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．
3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．
答：∠B=77°，∠C=38.5°．
（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．课后作业
（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．
2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究
如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，
垂足为D ，DE∥AB 交AC 于E ．
求证：AE=CE ．
E
D
C
A
B
过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：
证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，
12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADP≌△ADC． ∴∠P=∠ACD． 又∵DE∥AP， ∴∠4=∠P． ∴∠4=∠ACD． ∴DE=EC．
同理可证：AE=DE ．
∴AE=C E ．
E
D
C
A
B
P
D
C
A B
板书设计
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1．等边对等角
2．三线合一
三、例题分析
四、随堂练习
五、课时小结
六、课后作业
备课资料
参考练习
1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）
A．某一条边上的高 B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线 D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）
A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50°答案：1．C 2．C
3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为x cm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．解得x=4．
所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．
15.2.2 分式的加减
教学目标
明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
重点难点
1．重点：熟练地进行分式的混合运算.
2．难点：熟练地进行分式的混合运算.
3．认知难点与突破方法
教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.
教学过程
例、习题的意图分析
1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入
1．说出分数混合运算的顺序.
2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解
（教科书）例7 计算
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
（教科书）例8 计算：
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：
(1) x
x x x x 22
)242(2+÷-+- （2）)11()(
b a a b b b a a -÷--- （3）)2
1
22()41223(
2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(y
x x
y x y +--+ (2)22242)44122(
a
a
a a a a a a a a -÷-⋅+----+
(3)zx
yz xy xy
z y x ++⋅++)111(
2．计算24
)2121(a
a a ÷--+，并求出当=a -1的值.
六、答案：
四、（1）2x （2）
b
a ab
- （3）3
五、1.(1)
2
2y x xy
- (2)21-a （3）z 1
2.原式=4
22
--a a ，当=a -1时，原式=-31.。