2016全国初中数学联赛决赛试卷

2016全国初中数学联赛决赛试卷
（3月20日上午8:45---11:45）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。

将你选择的答案的代号填在题后的括号内。

每小题选对得7分，不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、化简｜2-x ｜+（2-x ）2－1442+-x x 所得的结果是（ ） A 、2-x B 、5-4x C 、3 D 、-3
2、若实数x,y,z 满足：x+2y+3z=0,2016x+2015y+2014z=2017,则x+y+z 的值是（ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、2016
3、已知点E 是正方形ABCD 中BC 边的中点，过点B ，D 分别作AE 的垂线，垂足分别为F ，G ，则∠FBG=（ ）
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、75°
4、若k 为实数，使得关于x 的方程kx 2－(2k+3)x+3=0有有理数根，就称k 为“好数”,则“好数”k 的个
数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
5、在Rt △ABC 中，AC=6，E 在AC 边上一点，满足CE=2AE ，D 为斜边AB 的中点，F 是线段BC 上一动点，满足∠EDF=90°，则BF-FC 的最大值是（ ）
A 、22
B 、23
C 、32
D 、33
6、已知n(n ≥3)个实数a 1，a 2，……a n ,满足a 1=1,a n =1,｜a i+1－a 1｜≤2(1≤i ≤n-1)若a 1+a 2+……+a n =2016，则正整数n 最小值是（ ）
A.61
B. 62
C.63
D.64
二．填空题（本大题满分28分，每小题7分）
本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上。

7、已知点O 是锐角△ABC 的外心，∠BAC=60°，延长CO 交AB 于点D ，延长BO 交AC 于点E ，则CE BD 的值是 。

8、已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象经过三点A(-1,-3),B(4,2),C(0,2),设P 为该抛物线对称轴上的动点，
若PA+PC 取得最小值时P 的坐标为（m ，n)，则n 的值 是
9、在一个“乘法幻方”中，每一行数之积、每一列数之积、对角线各数之积都相等。

若在右图的空格中填上正数，构成一个“乘法幻方”，则x 的值是 。

10、设正实数a,b 满足：对实数X ，当1≤x ≤4时，都有ax+b-3≤0,则
b a -1的最小值是 。

三、解答题（本题共三小题，第11题20分，第12、13题各25分，满分70分）
11、已知二次函数y 1=ax 2+4x+b 与y 2=bx 2+4x+a 都有最小值，记y 1、y 2的最小值分别为m 、n.
(1) 若m+n=0,求证：对任意的实数x ，都有y 1+y 2≥0；
(2) 若m,n 均大于0，且mn=2，记M 为m,n 中的最大者，求M 的最小值。

12、证明：（1）存在无穷组正整数（m,n ），其中m ≠n ，使得
22n )(+++mn m n m mn 是整数； (2）任意两对个互质的正整数m 与n, 2
2n )(+++mn m n m mn 都不是整数。

13、如图，已知△ABC 中AB=AC,点D 是边AC 上一动点，过D 作DE ∥AB 交BC 于点E,点F 为BD 的中点。

点O 1、点O 2分别为△CDE 、△BDE 的外接圆圆心。

求证：（1）∠AFO=90°;(2)2
1FO FO FD FA =。