2016年全国初中数学联赛试题+答案

2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
（3 月 20 日上午 8:30 - 9:30）
一、选择题（本题满分 42分，每小题7分） （本题共有6个小题，每题均给出了代号为 确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内 出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内） 1 冃
x 称为x 的小数部分.已知t ，a 是t
2 V3
B V
2
AB 8, CD 2,则 BCE 的面积为
A. 12
B.15
C. 16
5.如图，在四边形 ABCD 中， BAC 线的交点为M ，则DM
A 山 B.二
2
3
C.辽
D.1
2 2
( )
D. 18
BDC 900，AB AC . 5 , CD 1,对角
6.设实数x, y, z 满足x y z 1,则M xy 2yz 3xz 的最大值为
（
）
的小数部分，b 是t 的小数部分，则
1 2b 2.三种图书的单价分别为 30本，那么不同的购书方案有 A. 9 种 B. 10 种
10元、 15元和20元, C.11 种 某学校计划恰好用 500元购买上述图书 （ ） 3（A ）.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差, D.12 种 则称这个正整数为“和谐数” 如：2 13 ( 1)3,26 33 13, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中, 所有的“和谐数”之和为 A. 6858 B. 6860
C.9260
D.9262 2 3（B ）.已知二次函数 y ax bx 1（a 0）的图象的顶点在第二象限，且过点
(1,0).当 a b 为整数时，ab
B.1 4
4.已知e O 的半径OD 垂直于弦 AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交e O 于点
A. 0 C. § 4 D. 2 E ,若
A B, C D 的四个答案，其中有且仅有一个是正
.
每小题选对得7分；不选、选错或选 ，一律得0分.）
1.用x 表示不超过x 的最大整数,
C.
二、填空题(本题满分28分，每小题7分)
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上
.)
1.【1(A)、2( B)】 已知 ABC 的顶点A 、C 在反比例函数y ——(x 0)的图象
x
上， ACB 900, ABC 300, AB x 轴，点B 在点A 的上方，且AB 6,则点C 的坐 标为
1(B).已知 ABC 的最大边 BC 上的高线 AD 和中线 AM 恰好把 BAC 三等分，
AD 、、3,则 AM ——
2(A).在四边形ABCD 中，BC // AD , CA 平分 BCD , O 为对角线的交点，
CD AO, BC OD,贝U ABC
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰 好为原来两个三位数的乘积的
3倍，这个六位数是 ___________ . _______
3(B).若质数p 、q 满足：3q p 4 0, p q 111,则pq 的最大值为
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个 5行5列的表格内(每 格填入
一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2.考虑每列中各数之和，设这 5个和的最小值为 M ,则M 的最大值为
第二试
(3 月 20 日上午 9:50 — 11:20)
一、(本题满分20分)
已知a, b 为正整数，求 M 3a 2 ab 2 2b 4能取到的最小正整数值
2 - 3
B
1 - 2
C. D.1
(A).如图，点C 在以AB 为直径的e O 上，CD AB 于点D ,点E 在BD 上，AE 四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与e O 交于点N •证明：FN DE .
求(a 2 ab b 2)(b 2 be c 2)(c 2 ca a 2)的值.
AC,
(B).已知：a b c 5, a 2 b 2 c 2
15, a 3 b 3 c 3
47.
(A).已知正实数x, y, z满足：xy yz zx 1 ,且
(x2 l)(y2 1) (y2 l)(z21) (z2 l)(x2 1) 4
xy yz zx
1 1 1
(1) 求的值.
xy yz zx
(2) 证明：9(x y)( y z)( z x) 8xyz(xy yz zx).
(B).如图，在等腰ABC中，AB AC . 5, D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E, EB的延长线与AD的延长线交于点F,求AD AF的值.
A
亠
\/D V
2016
年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
（3 月 20 日上午 8:30 - 9:30）
一、选择题（本题满分 42分，每小题7分） （本题共有6个小题，每题均给出了代号为 确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内 出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内）
y z 30 x
y 20 2x
即
，解得
依题意得，x, y,z 为自然数（非负整数），
3y 4z 100 2x z 10 x
故0 x 10, x 有11种可能的取值（分别为 0,1,2,L ,9,10）,对于每一个x 值，y 和z 都 有唯一的值（自然数）相对应 .即不同的购书方案共有 11种，故选C.
3（A ）.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，
则称这个正整数为“和谐数”
如：2 13 （ 1）3,26 33 13, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中， 所有的“和谐数”之和为
（
AB,C D 的四个答案， .
每小题选对得 ，一律得0分.）
其中有且仅有一个是正
7分；不选、选错或选 1.用x 表示不超过x 的最大整数，把x
称为x 的小数部分 .已知t
一^—=，a 是
2 .3
2b a
A.-
2
B.出
2
C. 1
D ..3
【答案】 A .
【解析】
Qt
1 2
3,1 2, 3 2
.3 4,即 3 t 4,
2 <3
a t 3 3 1. 又
t
2 x3, 2
1,
4
2
b t (
4)
2
1 1 1 1 2
3 3 1
2b a 2(2 . 3) 3 1
2 2
■3
3,
A.
500元购买上述图
（ ）
C.11 种
D.12 种 【解析】设购买三种图书的数量分别为
x, y, z,则
x y z 10x 15y
30 20z 500’
t 的小数部分, 某学校计划恰好用 15元和20元, 10元、
2.三种图书的单价分别为 书30本，那么不同的购书方案有 A. 9 种
B. 10 种 【答案】
C.
故选 2
b 是t 的小数部分，贝U -
2016 年全国初中数学联合竞赛试题及详解
）A. 6858 B. 6860 C. 9260 D. 9262
【答案】B.
【解析】(2k 1)3 (2 k 1)3(2k 1) (2 k 1) (2 k 1)2 (2 k 1)(2k 2
1) (2k 1)
2 2
2(12k 1)(其中k为非负整数)，由2(12k 1) 2016得, k 0,1,2丄,8,9，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为
13( 1)3(3313) (5333) (173153) (1931 73) 1931 6860.故选B.
3(B).已知二次函数y ax2bx 1(a 0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0). 当a b为整数时，ab
B.1
4
A. 0 C. D.
【答案】B.
【解析】依题意知a 0,
b
2a
0,a 0, 0,且b a 1，
a b a ( a 1) 2a 0, 2a 1 1
1
2
4.已知e O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交eO于点E,
又a b为整数，2a 10,故a b, ab ，故选B.
若AB 8, CD 2,则BCE的面积为(
A.12
B.15
C. 16
D. 18
【解析】设OC x,则OA OD x 2,
QOD AB于C, AC CB -AB 4,
2
在Rt OAC 中，OC2 AC2 OA2,
(第4题答案图) 即x2 2 2
4 (x 2),解得x 3，即OC
Q OC为ABE的中位线，BE 2OC 6. Q AE是eO的直径, B 90o,
S BCE 6B BE - 4 6
2 2
12.故选 A.
5.如图, 在四边形ABCD中, BAC BDC 900，AB AC 5 , CD 1,对角线
的交点为则DM ( )
（本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上 .）
,设 AM x,则 CM .5 x, AH 上 CM
,5
12 3
A.
B.
C.
D.1
2
3
4
【答案】C. 【解析】
2 2
M xy (2 y 3x)z xy (2 y 3x)(1 x y) 3x 4xy 2y 3x 2y
2 2
2
1
1 2
1 2 y 2
x -
y x
3x
3x 2
x
—
2
2
2
2
1 2
2
1
2 1 2
1 2
3
3
y x
—
x x
—
y x
x
—
—
—
2
2
2
2
4
4
当且仅当x
1 ,y 0时， M 取 等号 ，故 M max
3
■ ?
故选C.
2
4
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
D.-
2
【答案】
D. 【解析】 过点 A 作AH BD 于点H,则 AMH 〜 CMD ,
AH
C D
AM
而,
QCD
AH
AM 在 Rt ABM 中，BM 、，AB 2
AM 2
、•、x 2
5,则 AH
AB AM BM
x 2 5
「x% ；x‘显然x 0，化简整理得2x2 5 5x
10 0
解得x 5, （ x 2-、5不符合题意，舍去），故
2
CM ,在 Rt CDM 中, DM
CM 2 CD 2 故选 D.
2
6.设实数x, y,z 满足x y z 1,则M
xy 2yz 3xz 的最大值为（
AD 又AM 平分 DAC,
QD AC
1.【1(A)、2 ( B)】 已知 ABC 的顶点A 、C 在反比例函数y
仝(x 0)的图象
x
上， ACB 900, ABC 30°, AB x 轴，点B 在点A 的上方, 且AB 6,则点C 的坐
标为 【答案】 2 . 2，
【解析】如图，过点 C 作CD AB 于点D . 在 Rt ACB 中，BC
AB cos ABC 3. 3 在Rt BCD 中, CD BC sinB 二 2 (第1题答案图)
BD BC cos B 9
2,
AD AB BD n,—
n
依题意知n m 0,故 CD n m, AD 3亦
n m 2 Ji! 13 3 m n 2 解得 J 2 ，故点C 的坐标为 2.3
1(B).已知 ABC 的最大边 BC 上的高线 AD 和中线 AM 恰好把 BAC 三等分,
AD .3,则 AM 【答案】2. 【解析】 依题意得 BAD (1)若 ABC (第1题答案图1) DAM MAC , ADB
ACB 时，如答案图 所示, (第1题答案图
900,故 ABC ADC
ACB .
ADM 也 ADB, BD DM
-CM ,
2
DAC 600,从而 BAC 900, ACD 300.
DM CM
-,在 Rt DAC 中，即 cos DAC -
2 2
3(B).若质数p 、q 满足：3q p 4 0, p q 111,则pq 的最大值为
在 Rt ADC 中，CD AD tan DAC .3 tan 60° 3, DM 1.
在 Rt ADM 中，AM AD DM 2.
(2)若 ABC ACB 时，如答案图2所示.同理可得AM 2.综上所述，AM 2. 2(A).在四边形ABCD 中，BC // AD , CA 平分 BCD , O 为对角线的交点，
代入①得1000 t 3tx, x 1000 t ,Qx 是三位数， x 1000 t 100，解得 3t 3t
1000
t
,Qt 为正整数， t 的可能取值为1,2,3.验证可知，只有t 2符合，此时
299
x 167, y 334.故所求的六位数为167334.
CD AO, BC OD,则
ABC
【答案】126°. 【解析】设 OCD
,ADO
QCA 平分 BCD , OCD OCB
OCD
DAO
,AD CD ,Q CD
AO, AD
AO ,
ADO AOD
BOC OBC
5
OC BC ,
Q BC OD, OC OD, ODC OCD
Q BOC
ODC OCD, BOC OBC OCB 180°
2 ,
2
180o
,解得
36o
,
72° , DBC BC D
BD CD
AD, ABD BAD
180°
54°
2
54 ,
故 ABC
ABD
DBC
126°.
【解析】设两个三位数分别为
x, y ，则 1000x y 3xy ，①
y 3xy 1000x (3y 1000) x,故y 是x 的正整数倍，不妨设 y tx (t 为正整数)， OCB OBC
DAO 得到一个六位数，这个六位数恰
3倍，这个六位数是
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号, 好为原来两个三位数的乘积的 【答案】16733
4.
72o
Q BC // AD , ADO
【答案】1007.
因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当 q 取得最大值时， pq 取得最
大值.
3
又p q 111， 3q 4 q 111, q 28—，因q 为质数，故q 的可能取值为
4
23,19,17,13,11,7,5,3,2，但 q 23 时，p 3q 4 65 5 13 不是质数，舍去.
当 q 19 时，p 3q 4 53恰为质数•故 q max 19,( pq)max 53 19 1007. 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个 5行5列的表格内(每
格填入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2•考虑每列中各数之和，设这
5个和的最小值为 M ,则M 的最大值为 _________ . ____
【答案】10.
【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论 ，确定M 的最大值.
(1) 若5个1分布在同一列，则 M 5 ；
(2) 若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为
3,故 2M 5 1 5 3 20,故 M 10;
(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为
3，故 3M 5 1 5 2 5 3 30,故 M 10;
(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于
3,这与已知矛盾
第二试
(3 月 20 日上午 9:50 — 11:20)
一、(本题满分20分) 已知a,b 为正整数，求 M
3a 2 ab 2 2b 4能取到的最小正整数值
【解析】
解：
因 a,b 为正整数，要使得
M 3a 2
ab 2 2b 4的值为正整数，则有
a 2.
当a 2时,
b 只能为1,此时M 4.故M 能取到的最小正整数值不超过 4.
当a 3时， b 只能为1或2.若b 1,M
18;若 b 2，则M 7.
【解析】由3q p 4
0得，p 3q 4,
2
pq q(3q 4) 3q 4q
当a 4时，b 只能为1或2或3•若b 1,M 38 ;若b 2, M 24 ；若 b 3,则M 2.
(下面考虑： M 3a 2 ab 2 2b 4的值能否为1?)
(反证法)假设 M 1，则 3a 2 ab 2 2b 4 1，即 3a 2 ab 2 2b 5 ,
a(3a b 2) 2b 5
①
因b 为正整数，故2b 5为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，
不妨设a 2m 1,b 2n ，其中m,n 均为正整数，则
a(3a b 2) (2m 1) 3(2m 1) (2n)2
4(3m 2 3m 2mn 2 n 2) 3
2
即a(3a b )被4除所得余数为3,而2b 5
2(2n) 1 4n 1被4除所得余数为1,
故①式不可能成立，故 M 1.因此，M 能取到的最小正整数值为 2. 二、(本题满分25分)
(A).如图，点 C 在以AB 为直径的e O 上，CD AB 于点D ,点E 在BD 上，
AE AC,四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与e O 交于点N .证明：FN DE .
点 M 在 CD 上, DE DM EF MF
Q AE AC, AE 2 AM AN
(
第2(A)题答案图)
【证明】：连接
BC 、 BN.Q AB 为eO 的直径， CD AB 于点D
ACB
ANB
ADC 90o
Q CAB DAC, ACB
ADC, ACB s ADC,
AC AB
AD AC
AC 2 AD AB
由四边形DEFM 是正方形及CD
AB 于点D 可知:
Q NAB DAM , ANB ADM ,
ANB s ADM , AN ^AB AD AM
AD AB AM AN
2
AC AM AN ,
以点F为圆心、FE为半径作e F,与直线AM交于另一点P,则e F与AB切于点E,
即AE是e F的切线，直线AMP是e F的割线，故由切割线定理得AE2AM AP AN AP,即点N与点P重合，点N在e F上，FN FE DE .
(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)
2 2 2
3 3 3
(B).已知：a b c 5, a b c 15, a b c 47.
求(a2 ab b2)(b2 be c2)(c2 ca a2)的值.
【解析】由已知得ab bc ca 1 (a b c)2(a2b2c2) 5
由恒等式a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)得，
47 3abc 5 (15 5), abc 1
2 2
又a ab b (a b c)(a b) (ab bc ca) 5(5 c) 5 5(c 1)
同理可得b2 bc c2
2
5(4 a),c
2
ca a 5(4 b)
•••原式=53(4 a)(4 b)(4 c) 125 64 16(a b c) 4(ab bc ca) abc 125 [64 16 5 4 5 ( 1)] 625.
【注：恒等式(t a)(t b)(t c) t3(a b c)t2 (ab bc ca)t abc 】
三、(本题满分25分)
(A).已知正实数x, y, z满足：xy yz zx 1 ,且
2 2 2 2 2 2
(X 1)(y 1) (y 1)(Z 1) (z 1)(x 1) 4
xy yz zx
1 1 1
(3) 求的值.
xy yz zx
(4) 证明：9(x y)( y z)( z x) 8xyz(xy yz zx).
2 2 2 2 2 2
【解析】(1)解：由等式(x 1)(
y
1) (
y
1)(z 1) (z 1)(x 1)
4, xy yz zx
去分母得z(x2 1)(y2 1) x(y2 1((z2 1) y(z2 1)(x2 1) 4xyz ,
2 2 22 22 /22\/22\/22、c ,、n
x y z xy z x yz x(y z ) y(z x ) z(x y ) 3xyz (x y z) xyz 0,
xyz(xy yz zx) (x y z)(xy yz zx) (x y z) xyz 0
,
[xyz (x y z)]( xy yz zx 1) 0，Q xy yz zx 1, xy yz zx 1
0 xyz (x y z) 0, xyz x y z，原式=x y z 1.
xyz
(2)证明:由(1)得计算过程知
xy
z x y z ，又Q x, y, z为正实数9(x y)(y z)(z x) 8xyz(xy yz zx)
9(x y)(y z)(z x) 8(x y z)(xy yz zx)
x(y2z2) / 2 2
y(z x )z(x2y2) 6 xyz
x(y z)2y(z x)2z(x y)20.
••• 9(x y)(y z)(z x) 8xyz(xy yz zx).
【注：(x y：)(y z)(z x) x2y 2
xy 2
y z 2 2
yz z x 2
zx 2xyz
x( :y2 z2) y(z2x2) z(x y )2xyz
(x y z)(xy yz zx) x2y xy 2 2 y z yz 2 z2x zx2 3xyz
x(y2 z2) y(z2 x2) z(x2 y2) 3xyz 】
(B).如图，在等腰ABC中，AB AC .5, D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E, EB的延长线与AD的延长线交于点F,求AD AF的值.
ABD AED ,代E, B,D四点共圆，BED BAD (同弧所对得圆周角相等)【解析】如图，连接AE, ED,CF ,则Q AB AC, ABD ACB
Q点C关于直线AD的对称点为点E ,BED BCF, AED ACD ACB
(第3( B)题答案图)
BAD BCF , A,B, F,C 四点共圆，AFB ACB ABD
AB AF 2厂2
AFB s ABD, , AD AF AB2 5 5.
AD AB
（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）。