湖南省怀化市高二数学上学期期末考试试题文湘教版

湖南省怀化市2012-2013年高二期末考试数学（文）试题
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，共150分.时量：120分钟. 第一部分（选择题）
一．选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知命题 :p x ∀∈R ，x sin ≤1，则 A ．R x p ∈∃⌝0:，0sin x ≥1
B ．R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>x
C ．:p x ⌝∀∈R ，x sin ≥1
D ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >
2．已知数列{}n a 中123n n a a +=+，10a =，则3a 的值为 A. 3 B. 5
C. 6
D. 9
3．椭圆2
214
x y +=的离心率为
A.
2 B. 3
4
C.
2
D.
23
4．等差数列{}n a 中，若37521a a a +=-，则5a 等于
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 5．曲线23y x x =-+在点（1,2）处的切线方程为
A. 1y
x =+ B. 3y x =-+ C. 3y x =+ D. 2y x =
6．设变量,x y 满足110x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则2x y +的最大值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2- 7．“1a =”是“直线:l y kx a =+和圆2
2
:2C x y +=相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8．若0,0a b >>，且函数
3
28()213
f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9．在同一坐标系中，方程2
2
1ax by +=与02
=+by ax （0>>b a ）的曲线大致是
第二部分（非选择题）
二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在题中横线上)
10．在ABC ∆中，若ο60=∠A ，ο
45=∠B ，2=
BC ，则AC =__________.
11．不等式2
2320x
x --<的解集为______________________ .
12．在ABC ∆中，ο
30=∠B ，4=BC ，3=AB ，则ABC ∆的面积为 . 13．在等比数列
{}n a 中，若2
11=a ，44=a ，则公比q = .
14. 已知),(y x P 是抛物线x y 82
-=的准线与双曲线1282
2=-y x 的两条渐近线所围成 的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则2
y z x
+=的范围是____________.
15. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3
2，左右焦点分别为1F 、2F ，点G 在
椭圆上，且120,GF GF ⋅=u u u r u u u u r
21F GF ∆的面积为6，则椭圆C 的方程为______________.
三、解答题：(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本小题满分12分） 求函数1
()(1)1
f x x x x =+
>-的最小值，并说明当x 取何值时，函数取得最小值.
17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 2
a b A ===． （1）求sin B 的值； （2）求c 的值.
18.（本小题满分12分）
已知椭圆的两焦点为12(2,0),(2,0)F F -，P 为椭圆上一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项.
(1)求此椭圆方程；
(2)若点P 满足ο
12021=∠PF F ，求21F PF ∆的面积．
19.（本小题满分13分）
已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++在0x 处取得极小值5-，其导函数()y f x '=的图象经过点)0,0(与)0,2(
(1) 求a ，b 的值； (2) 求0x 及函数()f x 的表达式.
20.（本小题满分13分）
某企业自2012年1月1日起正式投产，环保监督部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放的污水量进行了三个月的监测，监测的数据如下表，并预测，如果不加以治理，该企月 份
1月 2月 3月 该企业向湖区排放的污水量（单位：万立方米）
1
2
4
（1）如果不加以治理，求从2012年1月起，m 个月后，该企业总计向湖区排放了多少万立方米的污水；
（2）为保护环境，当地政府和企业从7月份开始投资安装污水处理设备，预计7月份的污水排放量比6月份减少4万立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少4万立方米，当企业的污水排放量为零后，再以每月25万立方米的速度处理湖区中的污水。

请问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万立方米.
21.（本小题满分13分）
如图，直线1l ：2p x -
=和x 交于点M ，点)0,2
(p
N ，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到1l 的距离与到点N 的距离相等. 若AMN ∆为锐角三角形，17=AM ，
3=AN ，且6=BN .
（1）曲线段C 是哪类圆锥曲线的一部分？
并求曲线段C 所在的圆锥曲线的标准方程； （2）已知点),(n m P 在曲线段C 上，直 线2l ：1=+ny mx ，求直线2l 被圆12
2
=+y x 截得的弦长的取值范围.
怀化市2012年下学期期末教学质量统一检测
高二数学（文科）参考答案
一、选择题（/
/
4595=⨯）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案
B D
C C A B A C D
二、填空题（/
/3065=⨯）
10.
332； 11.}22
1
|{<<-x x ； 12. 3； 13. 2； 14.),2
1
[∞+； 15. 162422=+y x 16解：Θ1()111f x x x =-+
+-
……………2分 又10x ->
……………4分
故()13f x ≥=……………8分 当且仅当1
11
x x -=
-即2x =时取“=”号……………10分 综上，当2x =时，函数取得最小值3 ……………12分 17解：（1）由2
1
cos =
A 得23sin =A ……………2分
由正弦定理
sin sin a b
A B =
2sin B
=，故sin 3B =…………6分
（2）由余弦定理222
2cos a b c bc A =+- ……………8分
得2
19442c c =+-⋅
即2250,c c --= ……………10分
解得61+=c （61-=c 舍去）……………12分
18解：（1）由已知得121228F F PF PF =+=82=⇒a ，4=∴a ………2分
从而2=c ……3分
故222
16412b a c =-=-=……………4分
所求椭圆的方程为
22
11612x y +=……………5分 （2）由余弦定理得：ο
120cos ||||216||||212221⋅⋅=-+PF PF PF PF …………7分
即||||16||||2|)||(|21212
21PF PF PF PF PF PF ⋅-=-⋅-+……………9分
解得48||||21=⋅PF PF ……………10分
312120sin ||||2121=⋅=
∴∆οPF PF S ABC ……………12分 19解：（1）'2
()32f x x ax b =++……………2分
过点)0,0(与)0,2(，故0
1240b a b =⎧⎨++=⎩得3;0a b =-⎧⎨=⎩…………5分
（2）由（1）得32
()3f x x x c =-+……………6分
由063)(2
/=-=x x x f 0=⇒x 或 2=x ……………8分 而当0x <时， '
()0f x >； 当02x <<时,'
()0f x <
当2x >时,'
()0f x > ；
故(2)f 是()f x 的最小值……………10分
从而有20=x ，5)2(-=f ……………11分
由5)2(-=f 5128-=+-⇒c ，解得1-=c ……………12分 13)(23
--=∴x x x f …………13分
20解：（1）每月污水排放量构成等比数列{}m a ，且 11=a ，2=q …………2分
122
1211)1(1-=--=--=
∴m m
m m q q a S ……………4分 （2）设治理后每月污水扥排放量构成的数列为{}n b ，由已知它构成等差数列
其中，5
1642428b a =-=-=……………5分
则1(1)28(4)(1)432n b b n d n n =+-=+-⋅-=-+……………6分 当0n b =时，8n =故到2013年2月排放量为0 ……………7分 此时湖中共有污水
612612812(280)8175122a a a b b b -+⨯+++++++=+=-L L ………10分
则治理t 个月后1752550,5t t -≤≥……………12分
到2013年6月时湖中的污水不多于50万立方米 …………………13分
21解：（1）依题意易知：曲线段C 是以点N 为焦点，1l 为准线的“抛物线的一段”，
其中A 、B 分别为C 的端点. ……………2分
设C 的方程为 )0(22
>=p px y )0,(>≤≤y x x x B A ，||MN p = 易知)0,2(p M -、)0,2
(p
N 由|AM |＝17，|AN |＝3得：
（x A ＋
2
p ）2
＋2px A ＝17 ①
（x A 2
p -
）2
＋2px A ＝9 ②
由①②解得x A ＝
p 4
，再将其代入①式并由p >0，解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==2
2A x p ……………5分 因为△AMN 是锐角三角形，所以2p
＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ……………6分
所以p ＝4，x A ＝1．由点B 在曲线段C 上，得x B ＝|BN |2
p
-＝4……………7分
综上得曲线段C 的方程为y 2
＝8x （1≤x ≤4，y ＞0）……………8分 （2）Θ点()n m P ,在曲线段C 上，()0,4182
>≤≤=∴n m m n ……………9分
圆12
2=+y x 的圆心到直线2:1l mx ny +=的距离为2
2
1n
m d +=
则直线 l 2 被圆12
2
=+y x 截得的弦长
212d t -=221
12n
m +-
=m m 81122
+-=)41(≤≤m …………11分 由41≤≤m 得48892
≤+≤m m 9
1814812≤+≤⇒m m
48181912-≤+-≤-⇒m m 4847
811982≤
+-≤⇒m m 6
141
324≤≤∴t ……………12分 阶段 所以直线 l 2 被圆12
2=+y x 截得的弦长的取值范围为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡6141,324…………13分
解法二：由22||||AD AM y y D A -==2
2||||AN AM -=
= 所以p x px A A 4
28=⇒=，
再由3242||||=+=+==p
p p x AD AN A 解得2=p 或 4=p
其他同解法一。