广西贺州高级中学2015届高三第二次月考数学(理)试题 Word版含答案

贺州高级中学2014-2015学年度上学期高三第二次月考
理科数学试题
命题者： 审题者：
注意事项：
1．试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，分值150分，考试时间120分钟；
2．第Ⅰ卷为单项选择题，请将答题卷上选择题答案用2B 铅笔涂黑，务必填涂规范； 3．第Ⅱ卷为填空题和解答题，请用0.5mm 的黑色签字笔在答题卷上作答．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．给出的四个答案中，只有一个是符合题意．)
1．已知集合{}
2,R A x x x =≤∈，{
}
4,Z B x =≤∈，则A B =（ ）
（A ）()0,2 （B ）[]0,2 （C ） {}0,2 （D ）{}0,1,2 2．复数31
1i z i
-=
+（i 为虚数单位）的模是（ ） （A ）5
（B ）22
（C ）5 （D ）8
3．设x ，R y ∈，向量)1,(x a =，),1(y b =，)4,2(-=c ，且⊥，∥，则||b a +＝（ ） （A ）5 （B ）10 （C ）52
（D ）10
4．已知31
sin()23πα+
=，则cos 2α=（ ） （A ）79- （B ）79 （C ）13- （D ）1
3
5．已知命题tan 1p x R x ∃∈=：
，使，命题q :0,2>∈∀x R x .下面结论正确的是（ ） （A ）命题“p q ∧”是真命题 （B ）命题“p q ∧⌝”是假命题
（C ）命题 “p q ⌝∨”是真命题 （D ）命题“q p ⌝∧⌝”是假命题 6．已知{}n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a （ ）
（A ）7 （B ）5 （C ）5- （D ）7-
7．在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =（ ）
（A ）（B ）（C （D
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A
B
D
C
（第14题）
8．曲线x
y 2
=
与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ） （A ） 2ln2 （B ）2ln2- （C ）4ln2- （D ）42ln2-
9．已知x
a x f =)(1，a
x x f =)(2，x x f a log )(3=,0(>a 且)1≠a ，在同一坐标系中画出其中两个函数．．．．．．在第Ⅰ象限的图象，正确的是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
10．已知0ω>，函数()sin(4
f x x πω=+
在(,)2π
π上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
（A ）15[,]24 （B ） 13[,24 （C ） 1
(0,]2
（D ）(0,2]
11．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x M
f x x M ∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子
集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅,则()()()()1
1
A B A B f x F x f x f x +=++的值
域为（ ）
（A ）20,3⎛⎤ ⎥⎝
⎦ （B ）{
}1 （C ）12,,123
⎧⎫⎨⎬⎩⎭ （D ）1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
12．设函数(
)x f x m
π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2
2200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 （ ） （A ）()(),66,-∞-∞ （B ）()(),44,-∞-∞ （C ） ()
(),22,-∞-∞ （D ）()(),14,-∞-∞
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13．已知
2)
2sin()cos()
sin()2sin(
=-+--+-x x x x πππ
，则=x tan ．
14．如图, 在ABC ∆中，AB AD ⊥
，=1||= ，则⋅ .
15．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面
理科数学 第2页（共4页）
4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.
16．已知函数)(x f 是定义在R
上的奇函数，当0>x 时，)1()(-=-x e x f x ，给出以下命
题：
①当0<x 时，)1()(+=x e x f x ；
②函数)(x f 有五个零点；
③若关于x 的方程m x f =)(有解，则实数m 的取值范围是)2()2(f m f ≤≤-；
④1x ∀，R x ∈2，2|)()(|21<-x f x f 恒成立.
其中，正确命题的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知向量(cos ,sin )θθ=，=(13-,), 2
2π
≤θ≤π-. （1）当a ⊥b 时，求θ的值； （2）求||+的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足41=a ，144--=n n a a ),2(*N n n ∈≥，设2
1
-=
n n a b . （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式. 19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
C
c
A a sin cos 3=.
（1）求A 的大小；
（2）若6=a ，求c b +的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，
理科数学 第3页（共4页）
43b S =.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证11
32n T ≤<.
21．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x x =，()23g x x =- （1）证明：()()f x g x >
（2）证明：220143(112)(123)(120142015)e ⨯-+⨯+⨯⋅⋅⋅+⨯>
22．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知a ，b ，c 均为正数，证明： （1）9111)(≥⎪⎭⎫
⎝
⎛++++c b a c b a ； （2）3≥-++-++-+c
c
b a b b a
c a a c b .
参考答案及评分标准
一、选择题： 15DABAD - 610D B D B A - 1112BC
- 理科数学 第4页（共4页）
二、填空题：13．
1
3
14 15．6766 16．①④
三、解答题 17．解：（1） b a ⊥ ∴0sin cos 3=-=⋅θθb a ……………………2分
易知0cos ≠θ，得3t a n =θ (4)
分
又∵2
2π
≤θ≤π-
即：θ=3π (6)
分
（2）||b a +=4)sin cos 3(21+-+=θθ )3
sin(45π
--=θ………………………………………………………
9分
∵2
2
π
π
≤
≤-
θ ∴6
365πππ≤-≤-
θ ∴ 21)3
sin(1≤
-
≤-π
θ ∴4)3
sin(42≤--≤-π
θ……………………… 11分
∴3||3≤+≤ ………………………………………………………………………12分
18．解：（1）∵21-=n n a b ，∴)2(2
1
11≥-=
--n a b n n ……………………………………1分
则2
12142212111111=---=---=------n n n n n n n a a a a a b b ……………………………………4分
即)2(2
1
1≥=--n b b n n ∴
数
列
{}
n b 是以
2
1为公差的等差数
列 ……………………………………………………………6分 （2）由已知可得2
1
2111=-=a b ，则n b n 21= (9)
分
∴n a b n n 2
1
21=-= ，解得22+=n a n …………………………………………………………
12分
19．解：（1）由已知条件结合正弦定理有：A a
C c A a sin sin cos 3=
=……………………2分
从而有：A A sin cos 3=，则3tan =A ………………………………………………… 4分
∵π<<A 0，∴3
π
=A (6)
分
（2）由正弦定理得：34sin sin sin ===A
a
C c B b ∴B b sin 34=，C c sin 34=，且3
2π
=+C B (8)
分
∴)6sin(12)32sin(sin 34sin 34sin 34π
π
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
-+=+=+B B B C B c b (10)
分 ∵
656
6
ππ
π
<
+
<B ，∴12)6
sin(126≤+<π
B 即：(]12,6∈+c b .………………………………………………………………………………12分
20．解：（1）∵n a 是n S 和1的等差中项， ∴21n n S a =- 当1n =时，11121a S a ==-，∴11a = 当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 化
简得12-=n n a a …………………………………………………………………………………2分
∵11
a =，
∴)(0*
N n a n ∈≠，则有
1
2n
n a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，
∴12n n a -=，21n n S =- …………………………………………………………………………4分
设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d =
∴1(1)221n b n n =+-⨯=- ………………………………………………………………
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…6分
（2）
11111
()(21)(21)22121n c b b n n n n ===--+-+
……………………9分∴数列{}n T 是一个递增数列 ∴113n T T ≥=
. 综上所述，11
32
n T ≤< …………………12分
21．解：（1）令()()()ln 23F x f x g x x x x =-=-+)0(>x ()ln 12ln 1F x x x '=+-=-， (2)
分
令()0F x '=，得e x =
∴当(0,)x e ∈时，0)(<'x F ，当(,)x e ∈+∞时，0)(>'x F
∴)(x F 的单调减区间是(0,)e ，单调增区间是(,)e +∞………………………………………4分
∴min ()()ln 2330F x F e e e e e ==-+=->
故()()f x g x > ………………………………………………………………………………6分
（2）由（1）ln 23x x x >-，得233
ln 2x x x x
->
=- 令1(1)x n n =++，得[])
1(3
2)1(132)1(1l n +->++->++n n n n n n ， (9)
分
则有)201520141ln()321ln()211ln(
⨯+++⨯++⨯+
⎪
⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯-⨯>201520141321211320142 1220143[1]2015
=⨯--
320142-⨯>
即ln[(112)(123)(120142015)]220143+⨯+⨯⋅⋅⋅+⨯>⨯-…………………………………
11分
则220143
(112)(123)(120142015)e ⨯-+⨯+⨯⋅⋅⋅+⨯>成立. …………………………………
12分
22．解：（1）∵a ，b ，c 均为正数， 由柯西不等式得
[]
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎪⎭⎫
⎝⎛++++222222)1()1()1( )()()(111)(c b a
c b a c b a c b a
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2
111⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
⋅+⋅+⋅≥c c b b a a
9=
不等式得证. ……………………………………………………………………………………5分
（2）
3-+++++=-++-++-+c
b
c a b a b c a c a b c c b a b b a c a a c b 3)()()(-+++++=c
b
b c c a a c b a a b
3222-++≥ 3=
不等式得证.………………………………………………………………………………………10分
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