2024年北京市丰台区高考数学一模试卷及答案

2024北京丰台高三一模
数 学
2024.03
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合{
}
2
20A x x x =−≤，{}
10B x x =−>，则A B =（ ）
A.{}
0x x ≥
B.{}
01x x <≤
C.{}
1x x >
D.{}
12x x <≤
2.已知公差为d 的等差数列{}n a 满足：5321a a −=，且20a =，则d =（ ） A.1−
B.0
C.1
D.2
3.已知双曲线22
2:1x C y a −=（0a >）的离心率为2
，则a =（ ）
A.2
C.
2
D.
12
4.5
22x x ⎛⎫
− ⎪⎝
⎭的展开式中，x 的系数为（ ）
A.80−
B.40−
C.40
D.80
5.已知向量a ，b 满足(
)
3,1b =，()b a λλ=∈R ，且1a b ⋅=，则λ=（ ）
A.
14 B.
12
C.2
D.4
6.按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以A0，A1，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：
①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为 ②将Ai （i 0,1,,9=）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为()A i 1+规格纸
张（如图）.
某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为（ ） A.6
B.7
C.8
D.9
7.在平面直角坐标系xOy 中，直线1:l ax by +=上有且仅有一点P ，使1OP =，则直线l 被圆
22:4C x y +=截得的弦长为（ ）
A.1
C.2
D.
8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，则“()8
k k π
απ=
+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α−是
奇函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9.正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于该半正多面体的四个结论：
；
②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；
③表面积为12S =+
④外接球的体积为V =. 其中所有正确结论的序号是（ ） A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
10.已知数列{}n a 满足()()*1*2,,2
121,,2
n
n n a n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=−∈⎪⎩N N 则（ ）
A.当10a <时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立
B.当11a >时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立
C.当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，11
2100
n a −
<
D.当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得1121000
n a −
> 第二部分（非选择题110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.
12i
34i
+=−_________.
12.在ABC △中，若5b =，4
B π
=
，3
cos 5
A =
，则a =_________. 13.已知F 是抛物线2
4y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________. 14.已知函数()f x 具有下列性质：
①当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++；②在区间()0,+∞上，()f x 单调递增；③()f x 是偶函数.
则()0f =________；函数()f x 可能的一个解析式为()f x =_________.
15.目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道.现有材料科技条件下，对于一个n 级火箭，在第n 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为
()()()
1212103ln
999n n
n a a a v a a a =+++， 其中()1,2,,n
p j
j i i n
p j i
j i
m m a i n m m m ==+=
=+−∑∑.
注：p m 表示人造天体质量，j m 表示第j （1,2,,j n =）级火箭结构和燃料的总质量.
给出下列三个结论： ①1
2
1n a a a <；②当1n =时，3ln10v <；③当2n =时，若12ln 2v =6.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，12CA CB CC ===，D 为AB 中点. （Ⅰ）求证：1AC ∥平面
1B CD ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1B B C D −−的余弦值. 条件①：1BC AC
⊥； 条件②：1B D =
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 17.（本小题14分）已知函数(
)2
1cos sin
2
f x x x x ωωω=−+（0ω>）.
（Ⅰ）若2ω=，求6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （Ⅱ）若()f x 在区间,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，012f π⎛⎫
−= ⎪⎝⎭
，求ω的值.
18.（本小题13分）某医学小组为了比较白鼠注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A ，第2组注射药物B.试验结果如下表所示.
260mm 的概率；
（Ⅱ）从两组皮肤疱疹面积在[)60,80区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X 的分布列和数学期望EX ；
（Ⅲ）用“0k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)30,50区间内，“1k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)50,80区间内（1,2k =），写出方差1D ξ，2D ξ的大小关系.（结论不要求证明）
19.（本小题14分）已知椭圆22
22:1x y E a b
+=（0a b >>）的焦距为，以椭圆E 的四个顶点为顶点
的四边形的周长为16. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）过点()0,1S 的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .是否存在定点D ，使得
1
2
DM PQ
=
？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.
20.（本小题15分）已知函数()()e ln 1x f x x x =++−，曲线():C y f x =在点()()
00,x f x 处的切线为
():l y g x =，记()()()h x f x g x =−.
（Ⅰ）当00x =时，求切线l 的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥； （Ⅲ）当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数.（结论不要求证明）
21.（本小题15分）已知集合{
}
*
2n M x x n =∈N ≤（n ∈N ，4n ≥），若存在数阵
1212
n n a a a T b b b ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦满足： ①{}
{}1212,,
,,,,n n n a a a b b b M =；
②()1,2,
,k k a b k k n −==.
则称集合n M 为“好集合”，并称数阵T 为n M 的一个“好数阵”. （Ⅰ）已知数阵6712x y z T w ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
是4M 的一个“好数阵”，试写出x ，y ，z ，w 的值； （Ⅱ）若集合n M 为“好集合”，证明：集合n M 的“好数阵”必有偶数个； （Ⅲ）判断()5,6n M n =是否为“好集合”.若是，求出满足条件{}12,,,n n a a a ∈的所有“好数阵”
；若不是，说明理由.
参考答案
第一部分（选择题 共40分）
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案
A
C
B
A
D
C
D
A
B
D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）12i
55
−+
（12）42（13）3
（14）1−，()||1f x x =−（答案不唯一）
（15）②③
注：（15）题给出的结论中有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或错选得0分，其他得3分．
三、解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题14分）
解：（Ⅰ）证明：连接1BC ，设1
1BC B C E =，连接DE ，
在三角形1ABC 中，D 、E 分别为AB 、1BC 的中点， 所以1AC ∥DE ．
因为1AC ⊄平面1B CD ，
DE ⊂平面1B CD ，
所以1AC ∥平面1B CD ．
…………………4分
（Ⅱ）选择条件①：1
BC AC ⊥在直三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥底面ABC ， 所以1CC CA ⊥，1CC CB ⊥， 因为1BC AC ⊥，1
11CC AC C =， 所以BC ⊥面11ACC A ，所以BC AC ⊥． 如图建立空间直角坐标系C xyz −，因为12CA CB CC ===， 所以1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2)C A B B ． 因为D 为AB 中点，所以(1,1,0)D ． 易知(1,0,0)=m 是平面1BCB 的法向量．
在平面1CDB 内，1(1,1,0),(0,2,2)CD CB ==． 设(,,)x y z =n 是平面1CDB 的法向量， 因为CD ⊥n ，1CB ⊥n ，
所以0CD ⋅=n ，10CB ⋅=n ，即0
220x y y z +=⎧⎨+=⎩
，
取1x =，得1,1y z =−=，所以(1,1,1)=−n ．
因为13
cos ,3
13⋅<>=
==
⨯m n m n m n ， 因为二面角1B B C D −−为锐二面角，
z
y
x
E
D
B
A
C
A 1
C 1
B 1
所以二面角1B B C D −−
的余弦值为3
．
选择条件②：1B D =在直三棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥底面ABC ， 所以1BB AB ⊥．
因为2221111,2,BB BD B D BB B D +===，
所以BD =
因为D 为AB
中点，所以AB =
所以222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥．
因为1CC ⊥底面ABC ，故可如图建立空间直角坐标系C xyz −． 以下同解法1． ………………14分
（17）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为2ω=，
所以211
()cos sin 633322
f ππππ=−+=．
………………4分
（Ⅱ）21
()cos sin 2
f x x x x ωωω=−
+
1cos212222
sin(2)
6
x x x ωωω−=
−+π
=+因为()f x 在区间[,]62
ππ
上单调递减，
所以2263T πππ
≥−=，即3T ω
2π2π=≥
， 所以03ω<≤．
因为()012f π
−=，
所以()sin()01266
f ωπππ
−=−+=，即16()k k ω=+∈Z ，
所以1ω=． ………………14分
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）设事件C =“被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm 2”，
则86
12()
101025
P C ． ………………4分
（Ⅱ）X 的可能取值为1,2,3.
2124
361(1)5C C P X C ， 1224
36
3(2)
5
C C P X
C ，
3436
1(3)
5
C P X C ， 所以X
1311
232555
EX ．
………………11分 （Ⅲ）12D D ．
………………13分
（19）（本小题14分）
解：（Ⅰ）由题意得22216,
2.c a b c ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎩
解得22
12,4.
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆E 的方程为221124x y
+=．
………………5分 （Ⅱ）若存在定点D ，使得1
2
DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ．
当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为2
2
4x y +=①， 当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±， 因此PQ 为直径的圆的方程为()2
2
19x y +−=②．
联立①②得0,
2,
x y =⎧⎨
=−⎩猜测点D 的坐标为()0,2−．
设直线l 的方程为1y kx =+， 由221,1,124
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩得()2231690k x kx ++−=．
设()()1122,,,P x y Q x y ，则
121222
69
,3131
k x x x x k k +=−
=−++． 所以()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+()()()()()()()12121212212122222233139
96139
31310x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k =+++=+++=++++⎛⎫⎛
⎫=+−+−+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
=．
综上，存在定点D ()0,2−，使得1
2
DM PQ =．
………………14分
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(1,)−+∞，
当00x =时，0()(0)1f x f ==；
1
'()e 11
x f x x =+
−+，0'()'(0)1f x f ==； 故切线l 的方程为1y x =+．
………………5分
（Ⅱ）()()()e ln(1)(1)e ln(1)21x
x
h x f x g x x x x x x =−=++−−+=++−−，
1(1)e 21
'()e 211
x x
x x h x x x +−−=+−=
++． 解法1：令()(1)e 21x m x x x =+−−，则'()(2)e 2x
m x x =+−．
当(1,0)x ∈−时，2(1,2)x +∈，e (0,1)x
∈，故(2)e 212x
x +<⨯=，'()0m x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()m x 单调递减，()(0)0m x m >=；
当(0,)x ∈+∞时，22x +>，e 1x
>，故(2)e 212x
x +>⨯=，'()0m x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()m x 单调递增，()(0)0m x m >=； 综上，()0m x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 所以()h x 在(1,)−+∞上单调递增．
又因为(0)0h =，故函数()h x 有唯一零点0x =．
且当(1,0)x ∈−时，()0h x <；当(0,)x ∈+∞时，()0h x >； 因此当(1,0)x ∈−时，()0xh x >；当(0,)x ∈+∞时，()0xh x >； 故()0xh x ≥； 解法2：1
'()e 21
x
h x x =+−+， 令1()e 21
x
g x x =+
−+，则21'()e (1)x g x x =−+．
当(1,0)x ∈−时，1(0,1)x +∈，
2
1
1(1)
x >+，e 1x <，故'()0g x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=； 当(0,)x ∈+∞时，11x +>，
2
1
1(1)
x <+，e 1x >，故'()0g x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，()(0)0g x g >=； 综上，()0g x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 以下同解法1． ………………13分 （Ⅲ）2．
………………15分
解：（Ⅰ）解：8,5,4,3x y z w ==== ．
………………4分
（Ⅱ）证明：当集合n M 为“好集合”时，设121
2n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是n M 的一个“好数阵”，构造数阵：12
12212121212121n n n b n b n b n a n a n a +−+−+−⎡⎤⎢⎥+−+−+−⎣
⎦，记为T ． 因为T 是“好数阵”，所以当1,2,,k n =时，(21),(21)k n k n n b M n a M +−∈+−∈， 且{}{}121221,21,,2121,21,,21n n n n b n b n b n a n a n a M +−+−+−⋃+−+−+−=． 因为(21)(21)(1,2,
,)k k k k n b n a a b k k n +−−+−=−==，
所以12
12212121212121n n n b n b n b T n a n a n a +−+−+−⎡⎤=⎢⎥+−+−+−⎣
⎦也是n M 的一个“好数阵”，一方面，因为(21)(21),(21)(21)(1,2,,)k k k k n n a a n n b b k n +−+−=+−+−==，
所以T T =.
另一方面，假设2221n b a +−=，因为222,a b −=所以22212n b b +−=+，
所以221
2
n b −=，与2n b M ∈矛盾，所以T T ≠，
故集合n M 的“好数阵”必有偶数个； ………………9分 （Ⅲ）假设1
21
2
n n a a a T b b b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
是集合n M 的一个“好数阵” 由题意得：21
1
1
n n n
i i i i i a b i ===+=∑∑∑，1
1
1
n
n
n
i i i i i a b i ===−=∑∑∑，相加得：
2111
(12)2(1)(53)2222n
n
n
i i i i n n n n n n a i i ===+⨯+⨯+=+=+=
∑∑∑， 即1(53)
4n
i i n n a =+=∑当6n =时，6
163399
42i i a =⨯==
∑，与6
1
*i i a N =∈∑矛盾；所以6M 不是“好集合”. 当5n =时，5
1
528
354i i a =⨯==∑，若{}123455,,,,a a a a a ∈， 因为{}1234510,,,,a a a a a ∈，{}123451,,,,a a a a a ∉，所以{}12345,,,,a a a a a 只有以下两种可能：{}
10,5,9,8,3和{}
10,5,9,7,4（1）若{}{}12345,,,,10,5,9,8,3a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,4,6,7b b b b b =，使5k k a b −=的只有94−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064
−=−=或情形一：514−=时，只有1073,862,321−=−=−=，可得13
8105926714T ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦；
情形二：1064−=时，只有523,312,871−=−=−=，可得28
351097
1264T ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
（2）若{}{}12345,,,,10,5,9,7,4a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,3,6,8b b b b b =，使5k k a b −=的只有72−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064
−=−=或情形一：514−=时，只有963,1082,431−=−=−=，可得341095738612T ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
； 情形二：1064−=时，只有413,532,981−=−=−=，可得495410783162T ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
综上，6M 不是“好集合”；5M 是“好集合”，且满足{}123455,,,,a a a a a ∈的好数阵有四个： 138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，341095738612T ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，
4954107 83162
T
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
.………………15分
第11页/共11页。