上海市静安区2013届高三数学一模试卷(文理卷-含答案)

静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测
数学试卷（文理科合并）
（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2013.1
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知函数
)7
22sin(21)(π+=
ax x f 的最小正周期为π4，则正实数a = . 2．等比数列{}n a （*N n ∈）中，若1612=a ，2
1
5=a ，则=12a .
3．（理）两条直线0943:1=+-y x l 和03125:2=-+y x l 的夹角大小为 .
（文）求和：n
n n n n n
C C C C 32793321
++++ = .（*N n ∈）
4．（理）设圆过双曲线
116
92
2=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . （文）同理3
5．（理）某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有 种游览选择． （文）设x ，
y 满足条件⎩⎨
⎧≤+≤-≤-≤,
11,
31y x y x 则点),(y x 构成的平面区域面积等于 . 6．（理）求和：n
n n n n
nC C C C ++++ 321
32= .（*N n ∈）
（文）设
y x ,满足约束条件
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≤≤≤≤≤+≤+,
40,30,1223,
5y x y x y x 使目标函数
y
x z 56+=的值最大的点
),(y x 坐标
是 . 7．（理）设数列{}n a 满足当2n a n
>（*N n ∈）成立时，总可以推出21)1(+>+n a n 成立．下列四个命题：
（1）若93
≤a ，则164≤a ．
（2）若103=a ，则255>a ．
（3）若255≤a ，则164≤a ． （4）若2)1(+≥n a n
，则21n a n >+．
其中正确的命题是 .（填写你认为正确的所有命题序号）
（文）设圆过双曲线
116
92
2=-y x 右支的顶点和焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . 8．（理）已知曲线C 的极坐标方程为θρ
sin 4=．若以极点为原点，极轴为x 轴的
正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+⋅=⋅=2
3,2t y t x （t 为参数），则
此直线l 被曲线C 截得的线段长度为 . （文）同理5
9．（理）请写出如图的算法流程图输出的S 值 . （文）已知
0<a ，关于x
的不等式
4)1(22>++-x a ax 的解集
是 .
10．（理）已知α、β为锐角，且
2sin cos sin 1sin cos sin 1=-+⋅-+β
β
βααα，则βα
tan tan = .
（文）已知
α
、
β
为锐角，且
2
)2
tan 1)(2tan 1(=++β
α，则
βαtan tan = .
11．（理）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西13
12
arcsin
方向行走13米至点A 处，再沿正南方向
行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上．则在以圆心O 为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中圆O 的方程为 .
（文）数列
{}n a 的前n 项和为22n S n
=（*N n ∈），对任意正整数n ，数列{}n b 的项都满足等式
022
12
1=+-++n n n n n a b a a a ，则n b = .
南
理第11题
理第9题
12．（理）过定点)0,4(F 作直线l 交y 轴于Q 点，过Q 点作QT FQ ⊥交x 轴于T 点，延长TQ 至P 点，使
QP TQ =，则P 点的轨迹方程是 .
（文）同理11
13．（理）已知直线0)
1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）
过定点P ，点Q 在函数x
x y 1
+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 . （文）设P 是函数
x
x y 2
+
=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为
A 、
B ，则PB PA ⋅的值是 .
14．（理）在复平面内，设点A 、P 所对应的复数分别为i π、)3
2sin()32cos(π
π-+-t i t （i 为虚数单位）
，则当t 由
12π连续变到4
π
时，向量AP 所扫过的图形区域的面积是 . （文）设复数i a a z
)sin 2()cos (θθ-++=（i 为虚数单位）
，若对任意实数θ，2≤z ，则实数a 的取值范围为 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．（理）若复数02
1≠z z ，则2121z z z z =是12z z =成立的（ ）
(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件
（文）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年，绿化面积及原绿化面积之比为y ，则y=f(x)
的图像大致为 （ ） 16．（理）等差数列}{n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则数列}{n a 前n 项和n S （*N n ∈）中最小
的是（ ）
(A) 7S 或8S (B) 12S (C)13S (D)14S （文）同理15
17．（理）函数
])5,3[(2
12
6)(2∈-+-=x x x x x f 的值域为（ ）
(A) ]3,2[ (B) ]5,2[ (C) ]3,3
7
[
(D) ]4,3
7[
（文）函数
])3,1[(42)(2∈+-=x x
x x x f 的值域为 （ ）
(A) ]3,2[ (B) ]5,2[ (C) ]3,37[ (D) ]4,3
7[ 18．（理）已知
O
是△
ABC
外接圆的
圆心，A 、B 、C 为△ABC
的内角，若
AO m AC B
C
AB C B ⋅=+2sin cos sin cos ，则m 的值为 （ ） (A) 1 (B) A sin
(C) A cos (D) A tan
（文）已知向量a 和b 满足条件：a b ≠且0≠⋅b a .若对于任意实数t ，恒有b
a b t a -≥-，则
在a 、b 、b a
+、b
a -这四个向量中，一定具有垂直关系的两个向量是（ ）
(A) a 及b a - (B) b 及b a - (C) a 及b a + (D)b 及b a +
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分5分．
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．
（1）设MN 及AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；
（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．
（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知数列}{n a 的递推公式为⎩⎨
⎧=∈≥+-=-.
2),2(,3231*1a N n n n a a n n
（1）令n a b n n -=，求证：数列}{n b 为等比数列；
（2）求数列}{n a 的前 n 项和.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
（理）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边长，a ，b ，c 成等比数列． （1）求B 的取值范围；
（2）若x = B ，关于x 的不等式cos2x
4sin(
24x +
π
)sin(
2
4x
-π)+m ＞0恒成立，求实数m 的取值范围． （文）已知c b a ,,分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边长，且c A b B a 5
3
cos cos =-．
G
N D
M C
（理19题）
（1）求：
B
A
tan tan 的值； （2）若
060=A ，5=c ，求a 、b ．
21．（理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知数列}{n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有 （1）当3=n
时，求所有满足条件的三项组成的数列1a 、2a 、3a ；
（2）试求出数列}{n a 的任一项n a 及它的前一项1-n a 间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列}{n a ，使得2012
2013
-=a ？若存在，求出这样的无穷数列}{n a 的一个通项公式；若不存在，说明理由．
（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是正方形，其中AB =2米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．
（1）设MN 及AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数； （2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
已知椭圆12222=+b
y a x 的两个焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，2
c 是2a 及
2b 的等差中项，其中a 、b 、c 都是正数，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线及
原点的距离为
2
3． （1）求椭圆的方程；
（2）（理）点P 是椭圆上一动点，定点
)2,0(1A ，求△11PA F 面积的最大值；
（文）过点
A 作直线交椭圆于另一点M ，求AM
长度的最大值；
（3）已知定点)0,1(-E ，直线t kx y +=及椭圆交于C 、D 相异两点．证明：对任意的0>t ，都存在
实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．
23．（理）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
A
B
D C
（文21题）
函数
)(x f y =，D x ∈，其中≠D ．若对任意D x ∈，)()(x f x f =，则称)(x f y =在D 内
为对等函数． （1）指出函数
x y =
，3x y =，x y 2=在其定义域内哪些为对等函数；
（2）试研究对数函数
x y a log =（0>a 且1≠a ）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；
若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使
x y a log =在所给集合内成为对等函数；
（3）若
{}D ⊆0，)(x f y =
在D 内为对等函数，试研究)(x f y =（D x ∈）的奇偶性．
（文）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知
x
x f 2
1log )(=，当点
)
,(y x M 在
)(x f y =的图像上运动时，点)
,2(ny x N -在函数
)(x g y n =的图像上运动（*N n ∈）．
（1）求
)(x g y n =的表达式；
（2）若方程)2()(21a x g x g +-=有实根，求实数a 的取值范围；
（3）设
)
(2)(x g n n x H =，函数
)
()()(11x g x H x F +=（
b
x a ≤≤<0）的值域为
]2
2
log ,22[log 4
25
2++a b ，求实数a ，b 的值．
高三年级 文理科数学试卷答案及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法及所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
3.第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.
4.给分或扣分均以1分为单位. 答案及评分标准
1．41=
a
； 2．64； 3．（理）6533arccos ；（文）14-n 4．（理）3
16；（文）同理3 5．（理）13；（文）2 6．（理）1
2-⋅n n ；（文）)3,2(
7．（理）（2）（3）（4）；（文）316 8．（理）4；（文）同理5 9．（理）91093；（文）)2,2
(a
10．（文理）1； 11．（理）2252
2
=+y x ；（文）1
4142
2-+=n n b n ； 12．（理）x y 162
=；（文）同理11
13．（理）),3[+∞-；（文）
1 14．（理）
6
π
；（文）]55,55[-
. 15．（文理）D ； 16．（理）C ；（文）D ； 17．（文理）A ；18．（文理）B 19（理）解：（1）
①如图1所示，当MN 在矩形区域滑动， 即0＜x ≤1时，
△EMN 的面积S =x ⨯⨯22
1
=x ；
··········· 1分 ②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，
即1＜x ＜31+
时，
如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，
∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ，且FG ＝3.
又∵ MN ∥CD ， ∴ △MNG ∽△DCG ．
∴ GF
GH DC MN =，即2[31]3
x MN +-． ········ 4分
A
G
N D
M C
图2
H F
G
D M A
图1
故△EMN 的面积S ＝12[31]23
x x +-⨯⨯
＝x
x )331(332++-
；
··············· 6分 综合可得：
()()
201331113
33x x S x x x ⎧⎪
=⎛⎫
⎨-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
，＜≤．＜＜ ··················· 7分
（2）①当MN 在矩形区域滑动时，x S =，所以有10≤<S ； ················ 8分
②当MN 在三角形区域滑动时，S =x x )3
3
1(332++-
. 因而，当2
31+=x （米）时，S 得到最大值，最大值S =33
2
1+（平方米）.
∴ S 有最大值，最大值为3
321+
平方米. ························
12分 （文）解：（1）11113))1((3333323----=--=+-=-+-=-=n n n n n n
b n a n a n n a n a b ，2≥n
又1111=-=a b ，所以0≠n b （*N n ∈），
)2(31
≥=-n b b n n
所以，数列}{n b 是以1为首项3为公比的等比数列． ···················· 6分 （2）13-=n n
b ，n b a n n += ····························· 8分
所以数列}{n a 的前 n 项和)21()(21n b b b S n n +++++++= =2
132-++n n n ．
··········································· 14分 20（理）解：（1）∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2
=ac ······················ 1分
则cos B =ac b c a 2222-+=ac
ac c a 222-+ ··························· 3分
而a 2
+c 2
≥2ac ∴cos B =ac ac c a 222-+≥21
2=ac ac ，
等号当且仅当a =c 时取得，即21≤cos B ＜1，得到3
0π≤<B ． ············································ 7分 （2）cos2x 4sin(
24x π+)sin(24x π-)=cos2x 4sin(24x π+)cos(2
4x
π+) =2cos x
2
2cos x 1=2(cos x
2
1)2
2
3 ··························· 11分 ∵x =B ∴
2
1
≤cos x ＜1
∴2(cos x
21)2
23≥2
3 则由题意有：
m ＜
23即m ＞2
3
····························· 14分 （说明：这样分离变量1cos 2cos 22cos cos 22++-=->x x x x m
参照评分）
（文）解：（1）由正弦定理C c B b A a sin sin sin =
=得C A B B A sin 5
3
cos sin cos sin =-，2分 又B A B A B A C sin cos cos sin )sin(sin +=+=，所以A B B A cos sin 5
8
cos sin 52=， 5分
可得4cos sin cos sin tan tan ==A
B B A B A ． ··························· 7分
（2）若0
60=A ，则23sin =A ，2
1cos =A ，3tan =A ，得43tan =B ，可得19194cos =
B ，
1919
3sin ⨯=B ． ·································· 10分
由正弦定理C c
B b A a sin sin sin =
=得 19sin sin =⋅=A C c a ，2sin sin =⋅=B C
c
b ···················
14分 21（理）解：（1）当1=n 时，3
121a a =，由01≠a 得11=a ． ·············· 1分
当
2
=n 时，
3
2
221)1(a a +=+，由
2≠a 得
2
2=a 或
1
2-=a ．当
3
=n 时，
3
3
3
22321)1(a a a a ++=++，若22=a 得33=a 或23-=a ；若12-=a 得13=a ； · 5分
综上讨论，满足条件的数列有三个：
1，2，3或1，2，2或1，1，1． ··························· 6分 （2）令n n a a a S +++= 21，则3
32312n
n a a a S +++= （*N n ∈）．
从而3
1
3
3
23
121)(++++++=+n n n n
a a a a a S ． ·················· 7分
两式相减，结合01≠+n a ，得12
12++-=n n n a a S ． ··················· 8分
当1=n
时，由（1）知11=a ；当2≥n 时，)(221--=n n n S S a =)()(2
121n n n n a a a a ---++，即0)1)((11=--+++n n n n a a a a ，所以n n a a -=+1或11+=+n n a a ． ··········· 12分
又11=a ，2012
2013-=a ，所以无穷数列
{}n a 的前2012项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2013
项开始组成首项为2012，公比为
1的等比数列．故
⎩
⎨⎧>-⋅≤≤=)2012()1(2012)20121(n n n a n
n ． ························· 14分
（说明：本题用余弦定理，或者正弦定理余弦定理共同使用也可解得，请参照评分） （文）解：（1）
①如图1所示，当MN 在正方形区域滑动， 即0＜x ≤2时，
△EMN 的面积S =x ⨯⨯22
1
=x ；
··········· 2分 ②如图2所示，当MN 在三角形区域滑动，
即2＜x ＜32+
时，
如图，连接EG ，交CD 于点F ，交MN 于点H ， ∵ E 为AB 中点，
∴ F 为CD 中点，GF ⊥CD ，且FG ＝3.
又∵ MN ∥CD ， ∴ △MNG ∽△DCG ． ∴ GF
GH DC MN =，即3
)
23(2x MN
-+=
． ····· 5分
故△EMN 的面积S ＝
x x ⋅-+⋅3
)23(221 ＝x x )3321(332++-
； ·············· 7分
综合可得：
⎪⎩⎪
⎨⎧+<<++-
≤<=322,)33
21(3
320,2x x x x x S ··················· 8分
说明：讨论的分段点x=2写在下半段也可． （2）①当MN 在正方形区域滑动时，x S =，所以有20≤<S ； ···············
10分 ②当MN 在三角形区域滑动时，S =x x )3
3
21(332++-. 因而，当22
3
1<+=x （米）
，S 在)32,2(+上递减，无最大值，20<<S ． 所以当2=x
时，S 有最大值，最大值为2平方米. ····················
14分 22．解：（1）在椭圆中，由已知得2
2
22
2
2
b a b a
c +=
-= ················ 1分
过点
),0(b A -和)0,(a B 的直线方程为
1=-+b
y
a x ，即0=--a
b ay bx ，该直线及原点的距离为
23，
E
D M
A
图1
A
D
C
图2
由点到直线的距离公式得：2322=+b a ab
······················· 3分
解得：1,32
2==b a ；所以椭圆方程为1132
2=+y x ··················· 4分 （2）（理）)0,2(1-F ，直线11A F 的方程为22+=x y ，611=A F ，当椭圆上的点P 到直线11A F 距离最大时，△11PA F 面积取得最大值 ·························· 6分 设及直线11A F 平行的直线方程为d x y +=2，将其代入椭圆方程11322=+y x 得：01223722=-++d x d x ，0=∆，即03
28328822=+-d d ，解得72=d ，当7-=d 时，椭圆上的点P 到直线11A F 距离最大为372+，此时△11PA F 面积为
21422372621+=+9分 （文）设),(y x M ，则)1(322y x -=，422)1(2222++-=++=y y y x AM ，其中1
1≤≤-y ············································ 6分 当21=y 时，2AM 取得最大值29，所以AM 长度的最大值为223 ············ 9分
（3）将t kx y +=代入椭圆方程，得0336)31(222=-+++t ktx x k ，由直线及椭圆有两个交点，所以
0)1)(31(12)6(222>-+-=∆t k kt ，解得3122
->t k ················ 11分 设),(11y x C 、),(22y x D ，则2
21316k kt x x +-=+，222131)1(3k t x x +-=⋅，因为以CD 为直径的圆过E 点，所以0=⋅ED
EC ，即0)1)(1(2121=+++y y x x ， ·················· 13分 而))((2121t kx t kx y y ++==221212)(t x x tk x x k +++，所以
01316)1(31)1(3)1(22
222=++++-+-+t k kt tk k t k ，解得t t k 3122-= ·········· 14分
如果3122
->t k 对任意的0>t 都成立，则存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点． 09)1(31)312(2222222>+-=---t
t t t t t ，即3122->t k ．所以，对任意的0>t ，都存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点． ······························ 16分 23（理）解：（1）x y =，3x y =是对等函数； ····················· 4分
（2）研究对数函数
x y a log =，其定义域为),0(+∞，所以x x a a log log =，又0log ≥x a ，所以当且仅当0log ≥x a 时)()(x f x f =成立．所以对数函数x y a log =在其定义域),0(+∞内不是对等函数． ············································ 6分 当10<<
a 时，若]1,0(∈x ，则0log ≥x a ，此时x y a log =是对等函数； 当1>a 时，若),1[+∞∈x ，则0log ≥x a ，此时x y a log =是对等函数；
总之，当10<<a 时，在]1,0(及其任意非空子集内x y a log =是对等函数；当1>a 时，在),1[+∞及其
任意非空子集内
x y a log =是对等函数． ························· 10分 （3）对任意D x ∈，讨论)(x f 及)(x f -的关系．
1）若D 不关于原点对称，如
x y =虽是对等函数，但不是奇函数或偶函数； ········· 11分 2）若{}0=D ，则0)0()0(≥=f f ．当0)0(=f 时，)(x f 既是奇函数又是偶函数；当0)0(>f 时，
)(x f 是偶函数． ····································
13分 3）以下均在D 关于原点对称的假设下讨论．
当0>x 时，0)()()(≥==x f x f x f ； 当0<x 时，)()()(x f x f x f =-=，若)()(x f x f =，则有)()(x f x f =-；此时，当0>x 时，0<-x ，令t x =-，则t x -=，且0<t ，由前面讨论知，)()(t f t f =-，从而)()(x f x f -=； 综上讨论，当0<x 时，若0)(≥x f ，则)(x f 是偶函数．
················· 15分
若当0<x 时，0)(≤x f ，则)()()()(x f x f x f x f -==-=；此时，当0>x 时，0<-x ，令t x =-，则t x -=，且0<t ，由前面讨论知，)()(t f t f -=-，从而)()(x f x f --=；
若0)0(=f ，则对任意D x ∈，都有)()(x f x f -=-．
综上讨论，若当0<x 时，0)(≤x f ，且0)0(=f ，则)(x f 是奇函数．若0)0(≠f ，则)(x f 不是奇函数也不是偶函数． ··································· 18分 （文）解：（1）由⎩⎨
⎧-==)2(),(x g ny x f y n 得x n x nf x g n 21log )()2(==-，所以)2(log )(21+=x n x g n ，（2->x ）
． ····································· 4分 （2）)(log 2)2(log 2
121a x x +=+，即a x x +=+2（02>+x ） ········· 6分
2++-=x x a ，令02>+=x t ，所以4922≤
++-=t t a ，当47-=x 时，49=a ．即实数a 的取值范围是]49,
(-∞ ································· 10分 （3）因为n x n n x x H )2(1
2)()
2(log 21+==+，所以)2(log 21)(2
1+++=x x x F ． )(x F 在),2(+∞-上是减函数． ·····························
12分 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22log )(22log )(5242b b F a a F 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++++=+++22log )2(log 2
122log )2(log 2152214221b b b a a a ，所以⎩⎨⎧==3,2b a ···· 16分。