【大学】利用希尔伯特(Hilbert)变换研究系统的约束特性
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§5.6 利用希尔伯特(Hilbert)变换
研究系统的约束特性
•希尔伯特变换的引入 •可实现系统的网络函数与希尔伯特变换
.
一．由傅里叶变换到希尔伯特变换
已知正负号函数的傅里叶变换 Fsgnt 2
根据对称性得到 sgn 1 2
j
则
2π jt
1 πt
jsgn
sgn 为奇函数 1
t
jsgn
若系统函数为
H
(
j
)
jsgn
j
j
90 90
则冲激响应 ht F 1H j 1
πt
0 0
.
系统框图: f t
F
系统的零状态响应 fˆ t
ht
jsgn
fˆ t
Fˆ
fˆ t f t ht f t 1
利用卷积定理
πt
F
fˆ t
Fˆ
F
jsgn
jF jF
0 0
1
j
又
H(j ) Hj ej Rj jX (j )
则
R( j
)
jXj
1 2π
Rj
jX
j
π
1
j
1 2π
π
Rj
X
j
1
j 2π
π
X j
Rj
1
.
所以
Rj
jX
j
1 2
Rj
1 2π
X
j d
j
X j
2
1 2π
Rj
d
根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得
R(
j
)
1 π
X
jX j
式中实部 虚部
Rj
a
2
a
2
X
j
a
2
2
.
现在求X j 的希尔伯特变换
H
X
j
1 π
X j d
1
π
2
a2
d
令
2 a 2
A
ja
B
ja
C
可求出各分式系数
则
A
1 2
ja
,
B
1 2
ja
,C
2 a
2
HX j 1 π
1 2
ja
ja
1 2
ja
ja
2
a 2
d
.
H
X
j
1 π
1 2
ja
ja
1
ja
2
ja
2
a2
d
1
π 2 a2
a 2
2
a2
d
π
1
2 a2
a2
2
a
2
2 a
2
d
1
π 2 a 2
a
arctan
a
a
ln
2
a
2
ln
π
1
2 a2
a
π 2
.
例5-6-3
试分析下面系统可以产生单边带信号 乘法器 y1t
cos 0 t
gt
移相
yt
2
sin0t
G
1
m
m
H j
乘法器
gˆ t
y2t
已知信号gt 是带限信号，其频谱函数为 G
图中系统函数 Hj jsgn 载频 0 m
.
解：
由调制定理可知
y1t gtcos0t 为带通信号
j
d
X
j
1 π
Rj
d
因果系统系统函数H (j )的实部与虚部满足希尔
伯特变换约束关系。
.
例5-6-2
已知h(t) e at u(t)，证明F h(t)的实部与虚部满足希尔
伯特变换的约束关系。
因为 Fht F eatu(t) 1
a j
即系统函数
Hj
a a2 2
ja2 2
Rj
求f t cos0t的希尔伯特变换fˆ t 。
用三种方法求解此题：
方法1 :
希尔伯特变换 fˆ t比 f t滞后π 弧度，即
2
fˆ
t
H
f
t
cos
0t
π 4
sin0t
方法2：
因F Fcos0t π 0 π 0
.
则希尔伯特变换的频谱函数为
Fˆ F jsgn jπ 0 jπ 0
0 0
利用卷积定理
F
Fˆ
jsgn
jF jF
0 0
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞后
π 弧度的宽带相移全通网络。
2
.
希尔伯特变换
Hf
t
fˆ t 1
π
f d
t
fˆ t f t 1
πt
H 1
fˆ t
f t 1
π
f d
t
f
t
fˆ
t
1 πt
.
例5-6-1
即：
Fˆ jπ 0 0 fˆ t sin0t
方法3：
直接用希尔伯特变换定义式
H
cos
0t
1 π
cos0 t
d
sin0t
.
二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特 变换
可实现系统是因果系统，其冲激响应
ht ht ut 即: ht 0 t 0
其傅里叶变换
H j
1 2π
H j
π
π 2
0
0
a 2 a2
R
.
三．常用希尔伯特变换对
f t
cos 0 t s in 0 t
e j0t
m t ej0t
fˆ t
s in 0 t cos0t
je j0t
jmt ej0t
对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足 希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数 学工具在通信系统中得到了广泛的应用。
其频谱函数
F y1 t
Y1
1 2
G
0
1 2
G
0
gˆt 是 gt 的希尔伯特变换信号
其频谱
Fgˆt Gˆ jGj sgn
则
y2 t gˆt sin0t
.
其频谱函数
F y2 t
Y2
1
2
Gˆ
jπ
0
0
j 2
jG
0
sgn
0
jG
0
sgn
0
即
Y2
1 2
G
0
sgn
0
1 G
2
0
sgn
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞
后 π 弧度的宽带相移全通网络。
2
.
同理可得到:
若系统冲激响应为 ht 1
πt 其网络的系统函数为
H
(
)
F
ht
jsgn
j
该系统框图为
j
90 90
fˆ t
f t
ht
Fˆ
F
输出信号
jsgn
f t
fˆ t ht
fˆ
t
1 πt
.
0
输出信号
yt y1t y2 t
其频谱为
Y Y1 Y2 频谱图如下所示
.
频谱图
1 2
G
0
Y1
1 2
G
0
0 m 0
O
0
0
m
1 G
2
0
sgn(
0
)
Y2
1 2
பைடு நூலகம்
G
0
sgn(
0
)
0 m 0
O
0 0 m
Y
1
0 m 0
O
0 0 m
Y 是带通信号（上边带调幅信号）的频谱。
.
研究系统的约束特性
•希尔伯特变换的引入 •可实现系统的网络函数与希尔伯特变换
.
一．由傅里叶变换到希尔伯特变换
已知正负号函数的傅里叶变换 Fsgnt 2
根据对称性得到 sgn 1 2
j
则
2π jt
1 πt
jsgn
sgn 为奇函数 1
t
jsgn
若系统函数为
H
(
j
)
jsgn
j
j
90 90
则冲激响应 ht F 1H j 1
πt
0 0
.
系统框图: f t
F
系统的零状态响应 fˆ t
ht
jsgn
fˆ t
Fˆ
fˆ t f t ht f t 1
利用卷积定理
πt
F
fˆ t
Fˆ
F
jsgn
jF jF
0 0
1
j
又
H(j ) Hj ej Rj jX (j )
则
R( j
)
jXj
1 2π
Rj
jX
j
π
1
j
1 2π
π
Rj
X
j
1
j 2π
π
X j
Rj
1
.
所以
Rj
jX
j
1 2
Rj
1 2π
X
j d
j
X j
2
1 2π
Rj
d
根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得
R(
j
)
1 π
X
jX j
式中实部 虚部
Rj
a
2
a
2
X
j
a
2
2
.
现在求X j 的希尔伯特变换
H
X
j
1 π
X j d
1
π
2
a2
d
令
2 a 2
A
ja
B
ja
C
可求出各分式系数
则
A
1 2
ja
,
B
1 2
ja
,C
2 a
2
HX j 1 π
1 2
ja
ja
1 2
ja
ja
2
a 2
d
.
H
X
j
1 π
1 2
ja
ja
1
ja
2
ja
2
a2
d
1
π 2 a2
a 2
2
a2
d
π
1
2 a2
a2
2
a
2
2 a
2
d
1
π 2 a 2
a
arctan
a
a
ln
2
a
2
ln
π
1
2 a2
a
π 2
.
例5-6-3
试分析下面系统可以产生单边带信号 乘法器 y1t
cos 0 t
gt
移相
yt
2
sin0t
G
1
m
m
H j
乘法器
gˆ t
y2t
已知信号gt 是带限信号，其频谱函数为 G
图中系统函数 Hj jsgn 载频 0 m
.
解：
由调制定理可知
y1t gtcos0t 为带通信号
j
d
X
j
1 π
Rj
d
因果系统系统函数H (j )的实部与虚部满足希尔
伯特变换约束关系。
.
例5-6-2
已知h(t) e at u(t)，证明F h(t)的实部与虚部满足希尔
伯特变换的约束关系。
因为 Fht F eatu(t) 1
a j
即系统函数
Hj
a a2 2
ja2 2
Rj
求f t cos0t的希尔伯特变换fˆ t 。
用三种方法求解此题：
方法1 :
希尔伯特变换 fˆ t比 f t滞后π 弧度，即
2
fˆ
t
H
f
t
cos
0t
π 4
sin0t
方法2：
因F Fcos0t π 0 π 0
.
则希尔伯特变换的频谱函数为
Fˆ F jsgn jπ 0 jπ 0
0 0
利用卷积定理
F
Fˆ
jsgn
jF jF
0 0
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞后
π 弧度的宽带相移全通网络。
2
.
希尔伯特变换
Hf
t
fˆ t 1
π
f d
t
fˆ t f t 1
πt
H 1
fˆ t
f t 1
π
f d
t
f
t
fˆ
t
1 πt
.
例5-6-1
即：
Fˆ jπ 0 0 fˆ t sin0t
方法3：
直接用希尔伯特变换定义式
H
cos
0t
1 π
cos0 t
d
sin0t
.
二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特 变换
可实现系统是因果系统，其冲激响应
ht ht ut 即: ht 0 t 0
其傅里叶变换
H j
1 2π
H j
π
π 2
0
0
a 2 a2
R
.
三．常用希尔伯特变换对
f t
cos 0 t s in 0 t
e j0t
m t ej0t
fˆ t
s in 0 t cos0t
je j0t
jmt ej0t
对于任意因果函数，傅里叶变换的实部与虚部都满足 希尔伯特变换的约束关系，希尔伯特变换作为一种数 学工具在通信系统中得到了广泛的应用。
其频谱函数
F y1 t
Y1
1 2
G
0
1 2
G
0
gˆt 是 gt 的希尔伯特变换信号
其频谱
Fgˆt Gˆ jGj sgn
则
y2 t gˆt sin0t
.
其频谱函数
F y2 t
Y2
1
2
Gˆ
jπ
0
0
j 2
jG
0
sgn
0
jG
0
sgn
0
即
Y2
1 2
G
0
sgn
0
1 G
2
0
sgn
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞
后 π 弧度的宽带相移全通网络。
2
.
同理可得到:
若系统冲激响应为 ht 1
πt 其网络的系统函数为
H
(
)
F
ht
jsgn
j
该系统框图为
j
90 90
fˆ t
f t
ht
Fˆ
F
输出信号
jsgn
f t
fˆ t ht
fˆ
t
1 πt
.
0
输出信号
yt y1t y2 t
其频谱为
Y Y1 Y2 频谱图如下所示
.
频谱图
1 2
G
0
Y1
1 2
G
0
0 m 0
O
0
0
m
1 G
2
0
sgn(
0
)
Y2
1 2
பைடு நூலகம்
G
0
sgn(
0
)
0 m 0
O
0 0 m
Y
1
0 m 0
O
0 0 m
Y 是带通信号（上边带调幅信号）的频谱。
.