2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修4习题:模块综合检测 Word版含答案
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模块综合检测
(时间:120分钟,满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设向量a =(1,0),b =⎝⎛⎭⎫
12,12,则下列结论中正确的是( ) A .|a |=|b | B .a·b =2
2
C .a -b 与b 垂直
D .a ∥b
解析:选C .a -b =⎝⎛⎭⎫12,-1
2,(a -b )·b =0, 所以a -b 与b 垂直.故选C .
2.已知sin(π+α)=1
3,则cos 2α=( )
A .79
B .89
C .-79
D .429
解析:选A .由于sin(π+α)=13,所以sin α=-13,所以cos 2α=1-2sin 2α=1-2×⎝⎛⎭⎫-132 =79
.
3.下列函数中同时满足最值是1
2,最小正周期是6π的三角函数的解析式是( )
A .y =1
2sin ⎝⎛⎭⎫x 3+π6 B .y =1
2sin ⎝⎛⎭⎫3x +π6 C .y =2sin ⎝⎛⎭⎫
x 3-π6
D .y =1
2sin ⎝⎛⎭
⎫x +π6 解析:选A .由题意得,A =12,2πω=6π,ω=1
3
,故选A .
4.已知平面对量a =(1,2),b =(-2,m ),且a ∥b ,则2a +3b 等于( ) A .(-5,-10) B .(-4,-8) C .(-3,-6)
D .(-2,-4)
解析:选B .由于a =(1,2),b =(-2,m ), 所以1×m -2×(-2)=0, 所以m =-4.
所以2a +3b =(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).
5.在△ABC 中,A =15°,则3sin A -cos(B +C )的值为( ) A .
2
2
B .
32
C . 2
D .2
解析:选C .由于A +B +C =180°, 所以原式=3sin A -cos(180°-A ) =3sin A +cos A =2sin(A +30°) =2sin(15°+30°)=2sin 45°=2.
6.已知向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=2,c =a +b ,c ⊥a ,则a 与b 的夹角等于( ) A .30° B .60° C .120°
D .90°
解析:选C .设a ,b 的夹角为θ,由c ⊥a ,c =a +b ⇒(a +b )·a =a 2+a·b =0⇒a·b =-1⇒cos θ=a·b |a ||b |=-
12且0°≤θ≤180°⇒θ=120°.故选C .
7.已知α,β为锐角,且tan α=17,sin β=3
5,则α+β等于( )
A .3π
4
B .2π3
C .π4
D .π3
解析:选C .由于β为锐角,sin β=3
5,
所以cos β=1-sin 2β=4
5
,
所以tan β=
sin βcos β=3
4
, 所以tan(α+β)=tan α+tan β
1-tan αtan β
=17+341-17×34
=1.
由于α,β为锐角,所以α+β∈(0,π), 所以α+β=π
4
.
8.将函数y =3cos x +sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( )
A .π12
B .π6
C .π3
D .5π6
解析:选B .y =f (x )=3cos x +sin x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π
3,向左平移m (m >0)个单位长度后得f (x +m )=2sin ⎝⎛⎭⎫x +m +π3,由于图象关于y 轴对称,令x =0,得⎪⎪⎪⎪2sin ⎝
⎛⎭⎫m +π
3=2, 从而m +π3=2k π±π2
,
故m =2k π+π6或m =2k π-5π
6,k ∈Z .
又m >0,所以m min =π
6
.
9.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,x ≥0)的部分图象如图所示,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (11)的值等于( )
A .2
B .2+ 2
C .2+2 2
D .-2-2 2
解析:选C .由图象可知,函数的振幅为2,初相为0,周期为8,则A =2,φ=0,2π
ω=8,从而f (x )=2sin
π4
x . 所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (11)=f (1)+f (2)+f (3)=2sin π4+2sin π2+2sin 3π
4=2+22.
10.已知向量a =(2cos φ,2sin φ),φ∈⎝⎛⎭⎫
π2,π,b =(0,-1),则a 与b 的夹角为( ) A .φ B .π2-φ
C .π
2+φ D .3π2
-φ 解析:选D .|a |=
(2cos φ)2+(2sin φ)2=2,|b |=1,a·b =-2sin φ,设a 与b 的夹角为θ,则cos θ
=a·b |a |·|b |=-2sin φ2×1
=-sin φ=sin(-φ)=cos ⎝⎛⎭⎫3π2-φ,即cos θ=cos ⎝⎛⎭⎫3π2-φ,且3π2-φ∈⎝⎛⎭⎫π2,π,所以θ=3π2-φ.故选D .
11.已知|p |=22,|q |=3,p ,q 的夹角为π4,如图所示,若AB →=5p +2q ,AC →
=p -3q ,D 为BC 的中点,
则|AD →
|为( )
A .152
B .
152
C .7
D .18
解析:选A .由于AD →=12(AC →+AB →)=1
2(5p +2q +p -3q )=12(6p -q ),
所以|AD →
|=|AD →|2=12
(6p -q )2
=12
36p 2-12p ·q +q 2
=1
2
36×()222
-12×22×3×cos π4+32=152
.
12.已知函数y =2sin(ωx +θ)(ω>0,0<θ<π)为偶函数,其图象与直线y =2的交点的横坐标为x 1,x 2,
若|x 1-x 2|的最小值为π,则( )
A .ω=2,θ=π
2
B .ω=12,θ=π
2
C .ω=12,θ=π
4
D .ω=2,θ=π
4
解析:选A .由于函数y =2sin(ωx +θ)(ω>0,0<θ<π)为偶函数,所以θ=π
2,所以y =2cos ωx ,排解C ,
D ;y =2cos ωx ∈[-2,2],
结合题意可知T =π,所以2π
ω
=π,所以ω=2,排解B ,故选A .
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知2sin θ+3cos θ=0,则tan(3π+2θ)=________.
解析:由同角三角函数的基本关系式,得tan θ=-32,从而tan(3π+2θ)=tan 2θ=2tan θ
1-tan 2 θ=2×⎝⎛⎭
⎫-321-⎝⎛⎭⎫
-322=125
. 答案:125
14.在平面直角坐标系xOy 中,已知OA →=(-1,t ),OB →
=(2,2).若∠ABO =90°,则实数t 的值为________. 解析:由于∠ABO =90°,所以AB →⊥OB →,所以OB →·AB →=0. 又AB →=OB →-OA →
=(2,2)-(-1,t )=(3,2-t ), 所以(2,2)·(3,2-t )=6+2(2-t )=0. 所以t =5. 答案:5
15.已知函数f (x )=2sin 2⎝⎛⎭⎫π4+x -3cos 2x -1,x ∈⎣⎡⎦⎤π4,π
2,则f (x )的最小值为________. 解析:f (x )=2sin 2⎝⎛⎭⎫
π4+x -3cos 2x -1
=1-cos ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫π4+x -3cos 2x -1 =-cos ⎝⎛⎭⎫π2+2x -3cos 2x =sin 2x -3cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 由于π4≤x ≤π
2,
所以π6≤2x -π3≤2π3,
所以1
2≤sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3≤1. 所以1≤2sin ⎝
⎛⎭⎫2x -π
3≤2, 所以1≤f (x )≤2,所以f (x )的最小值为1. 答案:1
16(2021·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →=2a ,AC →
=2a +b ,则下列结论中正确的是________.(写出全部正确结论的编号)
①a 为单位向量;②b 为单位向量;③a ⊥b ;④b ∥BC →;⑤(4a +b )⊥BC →. 解析:由于 AB →
2=4|a |2=4,所以|a |=1,故①正确;
由于 BC →=AC →-AB →=(2a +b )-2a =b ,又△ABC 为等边三角形,所以|BC →
|=|b |=2,故②错误; 由于 b =AC →-AB →
,所以a ·b =12AB →·(AC →-AB →)=12×2×2×cos 60°-12
×2×2=-1≠0,故③错误;
由于 BC →
=b ,故④正确;
由于 (AB →+AC →)·(AC →-AB →)=AC →2-AB →2=4-4=0, 所以(4a +b )⊥BC →
,故⑤正确. 答案:①④⑤
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,A (1,-2),B (-3,-4),O 为坐标原点. (1)求OA →·OB →;
(2)若点P 在直线AB 上,且OP →⊥AB →,求OP →
的坐标. 解:(1)OA →·OB →
=1×(-3)+(-2)×(-4)=5. (2)设P (m ,n ),由于P 在AB 上,所以BA →与P A →
共线.
BA →=(4,2),P A →
=(1-m ,-2-n ),所以4·(-2-n )-2(1-m )=0. 即2n -m +5=0.①
又由于OP →⊥AB →
,所以(m ,n )·(-4,-2)=0. 所以2m +n =0.②
由①②解得m =1,n =-2,所以OP →
=(1,-2).
18.(本小题满分12分)已知tan α=-13,cos β=5
5,α,β∈(0,π).
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求函数f (x )=2sin(x -α)+cos(x +β)的最大值. 解:(1)cos β=
5
5
,β∈(0,π), 得sin β=25
5,即tan β=2.
所以tan(α+β)=tan α+tan β
1-tan αtan β
=-13+21+23
=1.
(2)由于tan α=-1
3,α∈(0,π),
所以sin α=
110,cos α=-310
. 所以f (x )=-355sin x -55cos x +55cos x -25
5sin x =-5sin x .
所以f (x )的最大值为5.
19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π
4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值;
(2)争辩f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π
2上的单调性. 解:(1)f (x )=4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π
4 =22sin ωx ·cos ωx +2
2cos 2ωx
=2(sin 2ωx +cos 2ωx )+2 =2sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx +π
4+2. 由于f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 从而有2π
2ω
=π,故ω=1.
(2)由(1)知,f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π
4+2. 若0≤x ≤π2,则π4≤2x +π4≤5π
4.
当π4≤2x +π4≤π
2
, 即0≤x ≤π
8
时,f (x )单调递增;
当π2<2x +π4≤5π4,即π8<x ≤π
2
时,f (x )单调递减. 综上可知,f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π8上单调递增,在区间⎝⎛⎦
⎤π8,π
2上单调递减. 20.(本小题满分12分)(2021·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π
2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f (x )的解析式;
(2)将y =f (x )图象上全部点向左平行移动π
6个单位长度,得到y =g (x )的图象,求y =g (x )的图象离原点O 最
近的对称中心.
解:(1)依据表中已知数据,解得A =5,ω=2,φ=-π
6
,数据补全如下表:
且函数解析式为f (x )=5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. (2)由(1),知f (x )=5sin ⎝
⎛⎭⎫2x -π6, 因此g (x )=5sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x +π6-π6=5sin ⎝
⎛⎭⎫2x +π6. 由于y =sin x 的对称中心为(k π,0),k ∈Z . 令2x +π6=k π,k ∈Z ,解得x =k π2-π
12
,k ∈Z .
即y =g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2-π12,0,k ∈Z ,其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫-π
12,0. 21.(本小题满分12分)将射线y =17x (x ≥0)围着原点逆时针旋转π
4后所得的射线经过点A (cos θ,sin θ).
(1)求点A 的坐标;
(2)若向量m =(sin 2x ,2cos θ),n =(3sin θ,2cos 2x ),求函数f (x )=m·n ⎝⎛⎭
⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2的值域. 解:(1)设射线y =1
7x (x ≥0)与x 轴的非负半轴所成的锐角为α,
则tan α=1
7
,α∈⎝⎛⎭⎫0,π2. 所以tan α<tan π
4,所以α∈⎝⎛⎭⎫0,π4, 所以tan θ=tan ⎝⎛⎭⎫α+π4=17+11-17
×1=4
3
,
θ∈⎝⎛⎭⎫π4,π2,
所以由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ+cos 2
θ=1,sin θcos θ=43,
得⎩⎨⎧sin θ=4
5,cos θ=3
5.
所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫
35,45. (2)f (x )=3sin θ·sin 2x +2cos θ·2cos 2x =125sin 2x +12
5cos 2x =
1225
sin ⎝⎛
⎭⎫2x +π4. 由x ∈⎣⎡⎦⎤0,π
2, 得2x +π4∈⎣⎡⎦⎤
π4,5π4, 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4∈⎣⎡⎦⎤-2
2,1, 所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤
-125
,1225.
22.(本小题满分12分)已知向量OA →
=(cos α,sin α),α∈[-π,0],向量m =(2,1),n =()0,-5,且m ⊥(OA →
-n ).
(1)求向量OA →
; (2)若cos(β-π)=
2
10
,0<β<π,求cos(2α-β)的值. 解:(1)由于OA →
=(cos α,sin α), 所以OA →
-n =()
cos α,sin α+5. 由于m ⊥(OA →-n ),所以m ·(OA →
-n )=0, 所以2cos α+sin α+5=0.① 又sin 2α+cos 2α=1,②
由①②得sin α=-
55,cos α=-25
5
, 所以OA →
=⎝⎛⎭⎫-255,-
55. (2)由于cos(β-π)=210
, 所以cos β=-2
10
, 又0<β<π, 所以sin β=1-cos 2β=72
10
,
且π
2
<β<π. 又由于sin 2α=2sin αcos α=2×⎝
⎛⎭⎫-
55×⎝⎛⎭⎫-255=4
5
,cos 2α=2cos 2α-1=2×45-1=35,
所以cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β =35×⎝⎛⎭⎫-210+45×72
10 =25250=2
2
.。