奈曼旗民族中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

奈曼旗民族中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．1
2． 甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：
分组[70,80[80,90[90,100[100,110频数34815分组[110,120[120,130
[130,140
[140,150]
频数
15
x
3
2
乙校：
分组[70,80[80,90[90,100[100,110
频数1289分组[110,120[120,130[130,140
[140,150]
频数
10
10
y
3
则x ，y 的值分别为 A 、12,7
B 、 10,7
C 、 10，8
D 、 11,9
3． 如图所示，阴影部分表示的集合是（
）
A ．（∁U
B ）∩A B ．（∁U A ）∩B
C ．∁U （A ∩B ）
D ．∁U （A ∪B ）
4． 已知函数f （x ）=log 2（x 2+1）的值域为{0，1，2}，则满足这样条件的函数的个数为（
）
A ．8
B ．5
C ．9
D ．27
5． 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a 必过；④在吸烟
与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某
人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6． 在△ABC 中，若2cosCsinA=sinB ，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
7． 的展开式中，常数项是（ ）6
2
)21(x x -
A ．
B ．
C ．
D ．
45-4516
15-16
15
8． 在中，，，则等于（ ）
ABC ∆60A =o
1b =sin sin sin a b c
A B C
++++
A ．
B
C
D 9． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A ．34种
B ．35种
C ．120种
D ．140种
10．如图，在正四棱锥S ﹣ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ∥BD ；②EP ⊥AC ；③EP ⊥面SAC ；④EP ∥面SBD 中恒成立的为（
）
A ．②④
B ．③④
C ．①②
D ．①③
11．两条平行直线3x ﹣4y+12=0与3x ﹣4y ﹣13=0间的距离为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．5
12．若函数y=x 2+bx+3在[0，+∞）上是单调函数，则有（ ）
A ．b ≥0
B ．b ≤0
C ．b ＞0
D ．b ＜0
二、填空题
13．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E 、F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′交于M 、N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′；
②当且仅当x=时，四边形MENF 的面积最小；③四边形MENF 周长l=f （x ），x ∈0，1]是单调函数；④四棱锥C ′﹣MENF 的体积v=h （x ）为常函数；以上命题中真命题的序号为 ．
14．设不等式组
表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2
的概率是 ．　
15．若tan θ+
=4，则sin2θ= ．
16．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．　
17．函数f （x ）=log a （x ﹣1）+2（a ＞0且a ≠1）过定点A ，则点A 的坐标为 ．
18．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被抽到的概率都为，则总体的个数为 ．
三、解答题
19．如图所示，在边长为
的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，
K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．
20．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数，()()323
1312
f x x k x kx =-+++其中.
k R ∈
（1）当时，求函数在上的值域；
3k =()f x []0,5（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.
()f x []1,2k 21．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角AC 边长为BC 边长的,C θ=()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）.试用和表示；
θa S （2）若恰好当时，S 取得最大值，求的值.
60θ=o a
22．已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点P （1，f （1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x ∈（0，+∞）都有f （x ）＞2（a ﹣1）成立，试求a 的取值范围；
（Ⅲ）记g （x ）=f （x ）+x ﹣b （b ∈R ）．当a=1时，函数g （x ）在区间[e ﹣1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围．　
23．（本小题满分12分）已知向量满足：，，.,a b r r ||1a =r ||6b =r ()2a b a ∙-=r r r
（1）求向量与的夹角；
（2）求.
|2|a b -r r
24．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0，e 为自然对数的底数）．（1）求函数f （x ）的最小值；
（2）若f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值．
奈曼旗民族中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°=cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos （45°﹣15°）=cos30°=
．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．　
2． 【答案】B
【解析】　1从甲校抽取110×
＝60人，
1 200
1 200＋1 000
从乙校抽取110×＝50人，故x ＝10，y ＝7.
1 000
1 200＋1 0003． 【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A ，但不属于集合B 的元素构成，∴对应的集合表示为A ∩∁U B ．故选：A ．　
4． 【答案】C
【解析】解：令log 2（x 2+1）=0，得x=0，令log 2（x 2+1）=1，得x 2+1=2，x=±1，令log 2（x 2+1）=2，得x 2+1=4，x=．
则满足值域为{0，1，2}的定义域有：{0，﹣1，﹣ }，{0，﹣1， }，{0，1，﹣
}，
{0，1， }，{0，﹣1，1，﹣ }，{0，﹣1，1，
}，
{0，﹣1，﹣，
}，{0，1，﹣，
}，{0，﹣1，1，﹣
，
}．
则满足这样条件的函数的个数为9．
故选：C ．
【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了学生对函数概念的理解，是中档题．　
5． 【答案】C
【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；
对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x ，变量x 增加一个单位时，y 应平均减少5个单位，②错误；对于③，线性回归方程y=bx+a 必过样本中心点，正确；
对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关
系时，
我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误；综上，其中错误的个数是2．故选：C ．　
6． 【答案】D
【解析】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA ，∴sinCcosA ﹣sinAcosC=0，即sin （C ﹣A ）=0，∴A=C 即为等腰三角形．故选：D ．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．　
7． 【答案】D
【解析】，2612316611
()()()22
r r r r r r r T C x C x x --+=-
=-令，解得．
1230r -=4r =∴常数项为．4461
15()216
C -=
8． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积，所以，又，所011sin sin 6022S bc A bc =
===4bc =1b =
以，又由余弦定理，可得，所以4c =222220
2cos 14214cos 6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=a =
，故选B ．sin sin sin sin a b c a A B C A ++===++考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到是解答的关键，属于中档试题．
sin sin sin sin a b c a
A B C A
++=++9． 【答案】A
【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有
种，所以既有男生又有女生的选法有
﹣
=34种．故选：A ．
【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题
10．【答案】A
【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．
在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，
不可能EP∥BD，因此不正确；
在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．
在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，
若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，
因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．
在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD，
∴EP∥平面SBD，因此正确．
故选：A．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
11．【答案】D
【解析】解：两条平行直线3x﹣4y+12=0与3x﹣4y﹣13=0间的距离为：=3．
故选：D．
【点评】本题考查平行线之间的距离公式的求法，考查计算能力．
12．【答案】A
【解析】解：抛物线f（x）=x2+bx+3开口向上，
以直线x=﹣为对称轴，
若函数y=x2+bx+3在[0，+∞）上单调递增函数，
则﹣≤0，解得：b≥0，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
二、填空题
13．【答案】　①②④　．
【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．
②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积
最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF 的面积最小．所以②正确．
③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的
长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．
④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．
14．【答案】 ．
【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外
区域D：表示正方形OABC，（如图）
其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）．
因此在区域D内随机取一个点P，
则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，
且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分
∵S正方形OABC=22=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•22=4﹣π
∴所求概率为P==
故答案为：
【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．
15．【答案】 ．
【解析】解：若tanθ+=4，则
sin2θ=2sinθcosθ=====，
故答案为．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．
16．【答案】　﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3　．
【解析】解：根据题意知：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1，
∴﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．
故答案为：﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．
【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，属中档题．
17．【答案】　（2，2）　．
【解析】解：∵log a1=0，
∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，
则函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a 1=0，属于基础题．　
18．【答案】　300　．
【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，
所以总体中的个体的个数为15÷=300．
故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件，解得
，
，
，
∴S=πrl+πr 2=10π，∴
20．【答案】（1）;（2）.[]1,212k ≥【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得，再()'f x =()()31x x k --分和两种情况进行讨论；1k ≤1k >试题解析：（1）解： 时，3k =()3
2
691
f x x x x =-++ 则()()()
2
3129313f x x x x x =-+=--'
令得列表
()0f x '=121,3x x ==x 0
()
0,11
()
1,33()
3,53
()f x '+
0 -0
+()
f x 1
单调递增5
单调递减
1
单调递增
21
由上表知函数的值域为()f x []
1,21
（2）方法一：()()()()
2
331331f x x k x k x x k =-++=--'①当时，，函数在区间单调递增1k ≤[]()1,2,'0x f x ∀∈≥()f x []1,2所以()()()min 3
1113132
f x f k k ==-
+++=
即（舍） 5
3
k =
②当时，，函数在区间单调递减
2k ≥[]()1,2,'0x f x ∀∈≤()f x []1,2 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意
③当时,
12k <<当时，区间在单调递减
[)1,x k ∈()'0f x <()f x [)1,k 当时，区间在单调递增(],2x k ∈()'0f x >()f x (],2k 所以()()()322min 3
13132
f x f k k k k k ==-+++=化简得：32340k k -+=即()()2
120
k k +-=所以或（舍）
1k =-2k =注：也可令()3
2
34
g k k k =-+则()()2
3632g k k k k k =='--对()()1,2,0
k g k ∀∈'≤在单调递减
()3234g k k k =-+()1,2k ∈所以不符合题意
()02g k <<综上所述：实数取值范围为k 2
k ≥方法二：()()()()
2
331331f x x k x k x x k =-++=--'①当时，，函数在区间单调递减2k ≥[]()1,2,'0x f x ∀∈≤()f x []1,2 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分
②当时，，函数在区间单调递增
1k ≤[]()1,2,'0x f x ∀∈≥()f x []1,2所以不符合题意()()min 23f x f <=
③当时,
12k <<当时，区间在单调递减[)1,x k ∈()'0f x <()f x [)1,k 当时，区间在单调递增
(],2x k ∈()'0f x >()f x (],2k 所以不符合题意()()()min 23f x f k f =<=综上所述：实数取值范围为k 2k ≥
21．【答案】（1） （2）21sin 212cos a S a a θ
θ
=
⋅
+-2a =+
【解析】试
题解析：
（1）设边，则，BC x =AC ax =在三角形中，由余弦定理得：
ABC ，
22212cos x ax ax θ=+-所以，
221
12cos x a a θ=+-所以，2
11sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=⋅⋅=⋅+-（2）因为，()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1212cos a a a a a S a a θθθθ
θ
+--⋅=+-'⋅，()
()
22
2
2cos 121212cos a a a
a a θθ
+-=⋅+-令，得0S '=02
2cos ,1a
a
θ=
+且当时，，，0θθ<02
2cos 1a
a θ>+0S '>当时，，，0θθ>02
2cos 1a
a
θ<+0S '<所以当时，面积最大，此时，所以，0θθ=S 0060θ=22
1
12
a a =
+解得，2a
=±因为，则.
1a >2a =+点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f （x ）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．
所以，
，
． 由f'（x ）＞0解得x ＞2；由f'（x ）＜0，解得 0＜x ＜2．
所以f （x ）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．
（Ⅱ）
，由f'（x ）＞0解得；
由f'（x ）＜0解得．
所以，f （x ）在区间上单调递增，在区间
上单调递减．
所以，当时，函数f （x ）取得最小值，．因为对于∀x ∈（0，+∞）都有f （x ）＞2（a ﹣1）
成立，所以，
即可．
则． 由解得．
所以，a 的取值范围是 ．
（Ⅲ） 依题得
，则
．
由g'（x ）＞0解得 x ＞1； 由g'（x ）＜0解得 0＜x ＜1．
所以函数g （x ）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g （x ）在区间[e ﹣1，e]上有两个零点，所以
，
解得． 所以，b 的取值范围是
．
【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．　
23．【答案】（1）；（2）．
3
π
【解析】
试题分析：（1）要求向量的夹角，只要求得这两向量的数量积，而由已知，结合数量
,a b r r
a b ⋅r r ()2a b a ∙-=r r r 积的运算法则可得，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式，把
a b ⋅r r
22a a =r r
考点：向量的数量积，向量的夹角与模．
【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计
算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式求得这两个
cos ,a b
a b a b
⋅<>=r r
r r r r 向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在内及余弦值求出两向量的夹角．[0,]π24．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0），∴f'（x ）=e x ﹣a ，
由f'（x ）=e x ﹣a=0得x=lna ，
由f'（x ）＞0得，x ＞lna ，此时函数单调递增，由f'（x ）＜0得，x ＜lna ，此时函数单调递减，即f （x ）在x=lna 处取得极小值且为最小值，最小值为f （lna ）=e lna ﹣alna ﹣1=a ﹣alna ﹣1．（2）若f （x ）≥0对任意的x ∈R 恒成立，等价为f （x ）min ≥0，
由（1）知，f （x ）min =a ﹣alna ﹣1，设g （a ）=a ﹣alna ﹣1，则g'（a ）=1﹣lna ﹣1=﹣lna ，由g'（a ）=0得a=1，
由g'（x ）＞0得，0＜x ＜1，此时函数单调递增，由g'（x ）＜0得，x ＞1，此时函数单调递减，∴g （a ）在a=1处取得最大值，即g （1）=0，因此g （a ）≥0的解为a=1，∴a=1．　。