杆的模型应用及受力情况分析

杆的模型应用及受力情况分析
中学物理研究问题的思想方法，虽然在课本中没有明确指出，但它已经渗透到各部分内容的叙述中，只要留心就会发现这样的事实，物理学研究问题时，往往先从大量的事实中，抽象出它们的化身———理想化模型(如描述物体的有：质点、点电荷等；描述运动的有：匀变速直线运动、匀速圆周运动、简諧振动等；描述过程的有：弹性碰撞、等温变化、等幅振荡等；描述状态的有：热学中的平衡状态、电学中的静电平衡等；描述器件的有：如单摆、理想电表、理想变压器等……)，再对模型进行研究，得出有关的定义、概念、规律等知识，最后用这些规律性的知识去解决问题，这就是中学物理研究问题的基本方法。

即从实际问题分析
总结得出模型研究得出规律运用解决实际问题。

因此，在解决实际问题时，能否全面的掌握已经学过的模型（条件、范围、意义等）,是否能从问题所设定的情境中恰当地确认模型、正确地建立模型、熟练地应用模型是解决问题的关键。

物理学中杆是很常见的。

由于杆在实际中往往起到传递力和力矩的作用，它受到的可能是压力、拉力，有时可能是切力。

其方向可能沿杆的方向，也可能和杆有一定的夹角。

正是因为这样，实际中在没有明确给出杆的质量的情况下，我们通常将杆简化为：没有质量，不考虑粗细及形变的轻质细杆，即轻质细杆模型。

但实际问题是复杂的，在有些情况下只能将杆简化为：没有质量、没有形变，但必须考虑粗细的轻质粗杆，即轻质粗杆模型。

对杆的这两种模型来说，无论杆受力怎样，运动状态如何，总有：其合力为零；力矩的代数和为零，这是分析轻质杆受力问题的依据。

现举例分析两种模型的应用。

例1．小车上有轻质杆支架，B端固定一质量为m的小球，ADC端为铰链，D为AB的中点，CB 两点在同一水平线上，如图1所示，则1）当小车静止时，球和CD杆对AB杆的作用力各多大？2）当小车以加速度a向左运动时，球和CD杆对AB杆的作用力又怎样？
分析：1）当小车
静止时，系统平衡，要
分析小球和CD杆对AB
杆的作用力，必须先分析
小球和CD杆的受力情况。

以小球为研究对象：受力
如图1a，这时有F1＝mg,
即小球给AB杆的作用力
大小为mg,方向竖直向下。

以CD杆为研究对象：C端
和D端各受一个力作用
（CD为轻质细杆，不计杆
的重力）而平衡，这两个力
一定合力为零，合力矩为零。

受力如图1b，其方向一定沿
CD连线，大小相等，方向
相反，与CD的形状无关。

因此AB杆受力如图1c，
以A为轴，由ΣM＝0得：
F1‘ABsinα－N1’ADsin(180º－2α)=0 所以N1‘＝mg/cosα
2）当小车以加速度a
向左运动时，以小球为
研究对象，这时杆给小
球的作用力既有竖直分
量和mg平衡；又有水
F1
mg
图1a
D
C
图1b
A N1‘
α D
C B
F1‘
图1c
A N2‘
α D
C B
F2‘图1e
平分量产生加速度a,
如图1d ，有 F 2＝m 22a g ，
tg θ＝a/g CD 杆的受力如前。

故对AB 杆，受力如图1e 以A
为轴，由ΣM ＝0得：
F 2‘ABsin(α－θ)－N 2‘ADsin （180º－2α）＝0
所以 N 2’＝m(gtg α-a)/sin α
可见，当a<gtg α时，gtg θ<gtg α 则θ<α, CD
杆中有压力沿D 指向C ，AB 杆的B 端F 2‘不沿杆。

当a ＝gtg α时，θ＝α，CD 杆中无力，AB 杆B 端F 2
‘ 沿AB 杆。

当a>gtg α时，θ>α,CD 杆中有拉力，沿CD 方向，AB 杆B
端F 2‘的反向延长线在∠ABC 内。

例2．如图2所示，质量均为m 的小球ABCD 分别用轻质杆相连，AB ＝CD ＝2L ，AC 、BD 、OE 为细绳，且AC ＝BD ＝L ，E 为AB 的中点，试求：BD 剪断瞬时，OE 绳内的张力？
分析：因为杆为轻质杆，
每个小球及杆的受力如图 2a,下杆不受力（否则不能 满足合力为零， 合力矩为零）， 而a 1a 2a 3一定
相等（因为AC
间绳不可伸长 AE ＝BE ） 由此可得方程： mg ＋T 1—N 1＝ma ① N 2－mg ＝ma ② Mg －T 1＝ma ③ N 1L ＝N 2L ④ 解得：N 1＝N 2＝4mg/3
所以 T ＝N 1＋N 2＝8mg/3
例3、质量为m ＝6kg 半径为R 的球B ，固定在与半径等长的轻杆AD 的一端，另一端可绕A 转动，球搁在放置于水平地面的物体C 上，此杆水平，如图3，球与物体间的动摩擦因数μ＝0.4，将物体从球下匀速向右抽出，则杆的两端受到的力如何？
(g ＝10m/s 2)
分析：杆球受
力情况如图3a,杆
球受力可转化为 三个共点力,F A 必 过A 、E 两点，杆球受
力情况如图3a ， 以为A 转动轴 ΣM ＝0得方程： mg2R ＝N2R ＋fR f ＝μN 解得：N ＝50N 所以，f ＝20N F 2 Θ mg 图1d O
A E B
C D
图2
N 1 T N 2
a 1 T 1 a 2
T 1 mgN 1 N 2 mg
a 3 mg mg g
图2a
A D
B
C 图3 N F A F D1， F D2， F D1 F D2 f mg 图3c N F A E f
mg
图3a
故将F A 分解为竖直分量F A y ＝mg －N ，水平分量F A x ＝f,则：
F A ＝22)(N mg f -+＝105N
方向与水平成 tg α＝1/2
同理，球受到AD 杆D 端的力过D 、E 两点，受力如图3b 。

F D 方向与水平成45°角。

仔细分析球的受力情
况就会发现存在严重的
问体，球受力不满足平
衡条件。

对球无论F D 的
大小怎样，要竖直方向
平衡，则水平方向不平
衡；要水平方向平衡，则竖直方向不平衡。

为什么会出现这样的结果呢？原因是这种情况下把杆看成理想的细杆，与球接触处为一个点，即把杆看成轻质细杆模型是错误的。

假如杆与球接触处真为一个点，拉动C 物体时杆受合力矩不为零，必然转动，D 处必被折断。

所以这种情况杆与球接触处应为一个面，当拉动C 时，杆与球之间有两个力F D1、F D2，且这两个力要产生一个扭转力矩，即这种情况下杆的粗细不能忽略。

杆球受力如图3c ，建立正确的杆的模型以后，所存在的问体都迎刃而解了。

例4、一根长为2L ，质量不计的硬杆，杆的中点和
右端各固定一个质量为m 的小球a 、b ，杆可带着两
小球在竖直面内绕O 点转动，若杆从水平位置静止
释放，当杆下落到竖直位置时，如图4所示，求
两小球之间的杆
AB 对a 、b 小球
做的功？并分析
AB 杆的受力情况？
分析：a 、b 两球在下摆的过程中系统机械能守恒。

因为是轻质硬杆连接，所以任意时刻两球绕O 转动的角速度相等，故a 、b 两球在竖直位置时速度关系为：
V b ＝ω•2L ＝2ω•L ＝2 V a ①
以过O 点的水平面为零势面，由系统机械能守恒得：
21 m 2a V ＋21m 2b V －mgL －mg2L ＝0 ②
解①②得：V a ＝56gL V b ＝524gL 杆对a 球做的功等于a 球的机械能增量，即W a ＝21m 2a V －mgL ＝－52mgL 即杆对a 球做负功52mgL 。

杆对b 球做的功等于b 球的机械能增量，即W b ＝21m 2b V －mg2L ＝5
2mgL 即杆对b 球做正功5
2mgL 。

可见杆对a 、b 两球做功的代数和为零。

既然杆AB 对a 、b 球都做功，那么杆的受力情况怎样呢？这又牵涉到杆的模型问题，若取轻质细杆
模型，则受力如图4a
这种情况对a 、b
N F D
D E f mg 图3b O a A B b 图4
F a1
F a2’ F b1’ F a2 F b2 F b2’ F a1’ 图4b F b1
两球受力看不出问题，但对AB 杆受力则很容易
看出F'
a 和F'
b
的
合力矩不为零，
不满足力矩平衡条件。

果真这样的话，OAB将被折弯，不在一直线上，这与题设硬杆不符。

问题出在哪里呢？问题还出在对AB杆的模型应用上。

在这种情况下，杆的粗细不能被忽略，接触处不再是一个点，而是一个面。

杆受力情况应为图4b所示。

图中a球受到杆给的F a1、F a2的作用，其切向分量对a球来说与运动方向相反，故做负功；F a1、F a2径向分量和重力的径向分量、轴对杆拉力共同提供a 球做圆周运动的向心力。

对b球来说，杆给它的力F b1、F b2的切向分量与速度方向相同，故做正功；其径向分量和重力的径向分量共同提供b球做圆周运动的向心力。

对杆AB来说，A端受到F a1’、F a2’作用，B 端受到F b1’、F b2’作用，其中F a1’＝F b1’、F a2’＝F b2’，而力偶F a1’、F b1’，F a2’、F b2’的力矩大小相等，转动方向相反，这样对杆合力为零，合力矩也为零，满足平衡条件。

综上所述，在分析轻杆的受力时，要根据实际情况，正确应用杆的模型，才能得出正确的结论,才能解开有些问题的症结。