四川省乐山市2016年中考数学试题及答案解析

A
B
C
D
E
图2
35°
60°
主视方向
图1
乐山市2016年高中阶段教育学校招生统一考试
数 学
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．
第一部分（选择题 共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．本部分共10小题，每小题3分，共30分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项符合题目要求．
1.下列四个数中，最大的数是
()A 0
()B 2
()C 3-
()D 4
答案：D
考点：考查实数大小的比较，难度较小。

解析：最大的数为4。

2．图1是由四个大小完全相同的正方体组成的几何体，那么它的俯视图是
答案：B
考点：考查三视图。

解析：俯视图是物体向下正投影得到的视图，上面往下看，能看到三个小正方形，左边两个，右边一个，故选B 。

3．如图2，CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线，若35B ∠=，60ACE ∠=，则A ∠=
()A 35 ()B 95
()C 85
()D 75
答案：C
C
O 图4
D
B
A
A
B
C
D
图3
考点：考查三角形的外角和定理，角平分线的性质。

解析：依题意，得：∠ACD ＝120°，又∠ACD ＝∠B ＋∠A ，所以，∠A ＝120°－35°＝85 4．下列等式一定成立的是
()A 235m n mn += ()B 326()=m m ()C 236m m m ⋅=
()D 222()m n m n -=-
答案：B
考点：考查乘方运算。

解析：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，所以，326
()=m m 正确。

5.如图3，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．．
的是 ()A sin AD
B AB = ()B sin AC
B B
C = ()C sin AD
B AC
=
()D sin CD
B AC
= 答案：C
考点：考查正弦函数的概念。

解析：由正弦函数的定义，知：A 、B 正确，又∠CAD ＝∠B ， 所以，sin sin CD
B CAD AC
=∠=
，D 也正确，故不正确的是C 。

6. 不等式组20
210
x x +>⎧⎨
-≤⎩的所有整数解是
()A 1-、0 ()B 2-、1- ()C 0、1 ()D 2-、1-、0
答案：A
考点：考查不等式组的解法。

解析：解不等式组，得：1
22
x -<≤
，整数有－1.0。

7. 如图4，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA CD =，且40ACD ∠=， 则CAB ∠=
()A 10 ()B 20
()C 30
()D 40
答案：B
考点：考查圆的性质，等腰三角形的性质。

y
x
O
C A
解析：∠CAD ＝∠B ＝∠D ＝
1
2
（180°－40°）＝70°， 又AB 为直径，所以，∠CAB ＝90°－70°＝20°，
8．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是
()
A 1
3 ()
B 1
6 ()C 1
9
()D 112
答案：C
考点：考查概率问题。

解析：投掷这两枚骰子，所有可能共有36种，其中点数之和为9的有（3,6），（4,5），（5,4），（6,3）共4种，所以，所求概率为：
41369
=。

9. 若t 为实数，关于x 的方程2
420x x t -+-=的两个非负实数根为a 、b ，则代数式2
2
(1)(1)a b --的最
小值是
()
A 15- ()
B 16- ()
C 15 ()
D 16
答案：A
考点：考查一元二次方程根与系数关系，二次函数的性质。

解析：依题意，得：4,2a b ab t +==-
22(1)(1)a b --＝222()()1ab a b -++＝22()()21ab a b ab -+++＝2(2)2(2)15t t -+--
＝2
215t t --， 又164(2)0
20
t ab t =-->⎧⎨
=-≥⎩，得26t ≤<，
所以，当t ＝2时，2
215t t --有最小值－15。

10．如图5，在反比例函数2
y x
=-
的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC BC =，当点A 运动时，点C 始终在函数k
y x
=的
图象上运动，若tan 2CAB ∠=，则k 的值为
()A 2 ()B 4
()C 6
()D 8
E 图6
D C
B
A
答案：D
考点：考查双曲线的，三角形的相似，三角函数概念。

解析：连结CO ，由双曲线关于原点对称，知AO ＝BO ，又CA ＝CB ， 所以，CO ⊥AB ，因为tan 2CAB ∠=，所以，CO
AO
＝2 作AE ⊥x 轴，CD ⊥x 轴于E 、D 点。

则有△OCD ∽△OEA ，所以，AE OE AO OD CD OC ==
＝1
2 设C （m ，n ），则有A （－11
,22
n m ），
所以，k n m =①， 12
122
m n -=
- ② 解①②得：k ＝8
第二部分（非选择题 共120分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．计算：5-=__▲__. 答案：5
考点：考查绝对值的概念，难度较小。

解析：5-=5
12．因式分解：3
2
a a
b -=__▲__. 答案：))((b a b a a -+
考点：考查提公因式法，平方差公式。

图8
D
C
B
A
图7
a 5
2
解析：32
a a
b -=2
2
()a a b -＝))((b a b a a -+
13．如图6，在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，
若ADE ∆与ABC ∆的周长之比为2:3，4AD =，则DB =___▲__. 答案：2
考点：考查相似三角形的性质。

解析：依题意，有△ADE ∽△ABC ，因为ADE ∆与ABC ∆的周长之比为2:3， 所以，
2
3
AD AB =，由AD ＝4，得：AB ＝6，所以，DB ＝6－4＝2 14．在数轴上表示实数a 的点如图7所示，化简2
(5)2a a -+-的结果为___▲__. 答案：3
考点：考查数轴，二次根式及绝对值。

解析：由图可知25a <<，所以，原式＝(5)2a a --+-＝3
15. 如图8，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，23AC =,以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交
于点D ,将BD 绕点D 旋转0
180后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为___▲__. 答案：2233
π-
考点：考查三角形，扇形的面积公式。

解析：依题意，有AD ＝BD ，又90ACB ∠=，所以，有 CB ＝CD ＝BD ，即三角形BCD 为等边三角形 ∠BCD ＝∠B ＝60°，∠A ＝∠ACD ＝30°， 由23AC =，求得：BC ＝2，AB ＝4，
BCD BD BCD S S
S 弓形扇形＝－＝
6042
333603
ππ⨯－＝－， 阴影部分面积为：ACD AD S S S 弓形＝－＝233)3π－(－＝2233π
-
16.高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数.
例如：[]2.32=，[]1.52-=-. 则下列结论：
①[][]2.112-+=-； ②[][]0x x +-=；
③若[]13x +=，则x 的取值范围是23x ≤<； ④当11x -≤<时，[][]11x x ++-+的值为0、1、2.
其中正确的结论有___▲__（写出所有正确结论的序号）. 答案：①③
考点：考查应用知识解决问题的能力。

解析：①[][]2.11312-+=-+=-，正确；
②取特殊值x ＝1时，[][][1][1]121x x +-=+-=-=-，故错误；
③若[]13x +=，则314x ≤+<，即x 的取值范围是23x ≤<，正确；
④当11x -≤<时，有1x +，1x -+不能同时大于1小于2，
则[][]11x x ++-+的值可取不到2，错误。

三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17. 计算：0
11
2016sin 4532
︒-+
--. 考点：考查实数的运算。

解析： 原式2211223=+
--23
=. 18. 解方程：
11
322x x x
--=
--. 考点：考查分式方程。

解析：
方程两边同乘2-x ，
得)1()2(31--=--x x ，………………………………… （3分） 即1631+-=+-x x ，…………………………………（6分） 则62-=-x …………………………………（7分） 得3=x . 检验，当3=x 时，02≠-x .
图9
F E D
C
B
A 所以，原方程的解为3=x .……………………………………（9分）
19. 如图9，在正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 是边BC 的中点，连结CE 、DF .
求证:CE DF =.
考点：三角形全等。

解析：
ABCD 是正方形，∴BC AB =， 90=∠=∠FCD EBC .………(3分)
又 E 、F 分别是AB 、BC 的中点，
∴CF BE =，………………………(5分) ∴DFC CEB ∆≅∆，………………………(7分)
∴CE DF =.………………………(9分)
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20. 先化简再求值：2
32()121
x x x x x x --÷+++，其中x 满足2
20x x +-=. 考点：分式的求值。

解析： 原式=
2
(1)32
121
x x x x x x x +--÷+++………………（1分）
=22221
12x x x x x x -++⨯+-………………（2分）
=2
(2)(1)12
x x x x x -+⨯+-………………（4分）
=)1(+x x =x x +2
.………………（7分）
220x x +-=，∴22=+x x ，
即原式=2. ………………（10分）
21. 甲、乙两名射击运动员中进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图10所示.
根据图中信息，回答下列问题：
（1）甲的平均数是_____▲______，乙的中位数是______▲________；
（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？ 考点：统计的相关知识。

解析：
解：（1）8，7.5 ；………………（4分） （2）1
(710...7)810x =
+++=乙；………………（5分） 2S =甲()()()222
168108...78 1.610⎡⎤-+-++-=⎣
⎦………………（7分） 2S 乙=()()()222
178108...78 1.210⎡⎤-+-++-=⎣⎦………………（9分）
22S S <乙甲，∴乙运动员的射击成绩更稳定.…………（10分）
22.如图11，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75︒
方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.
图12
y
x
O
A B
D
75°
45°
图1
C
B
A
考点：勾股定理，应用数学知识解决实际问题。

解析：
设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时.
如图1所示，由题得4575120ABC ︒
︒
︒
∠=+=，…………………（1分）
12AB =，10BC x =，14AC x =
过点A 作AD CB ⊥的延长线于点D ， 在Rt ABD ∆中，12,60AB ABD ︒
=∠=， ∴6,63BD AD ==.
∴106CD x =+.…………………（3分）
在Rt ACD ∆中，由勾股定理得：()()()2
2
2
1410663x x =++…………（7分）
解此方程得123
2,4
x x ==-
（不合题意舍去）. 答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时…………（10分）
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．如图12，反比例函数k y x =
与一次函数y ax b =+的图象交于点(2,2)A 、1
(,)2
B n . （1）求这两个函数解析式；
（2）将一次函数y ax b =+的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数k
y x
=的图象有且只有一个交点，求m 的值.
图13
O
F
E
D
C
B A
E
D
B 考点：反比例函数、一次函数的图象及其性质，一元二次方程。

解析：
（1） (2,2)A 在反比例函数k
y x =的图象上，4=∴k .………………………（1分） ∴反比例函数的解析式为4
y x
=.
又 1(,)2B n 在反比例函数4y x =的图象上，∴42
1
=n ，得8=n ，…………………（2分）
由(2,2)A 、1
(,8)2B 在一次函数y ax b =+的图象上，
得⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=b a b a 21
822，解得10,4=-=b a .………………………（4分）
∴一次函数的解析式为104+-=x y .………………………（5分）
(2)将直线104+-=x y 向下平移m 个单位得直线的解析式为m x y -+-=104，………………（6分）
直线m x y -+-=104与双曲线4
y x
=
有且只有一个交点， 令x
m x 4104=
-+-，得04)10(42
=+-+x m x ， 064)10(2=--=∆∴m ，解得2=m 或18.…………………（10分）
24．如图13，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，
ED 、AC 的延长线交于点F .
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若32EB =,且3
sin 5
CFD ∠=,求⊙O 的半径与线段AE 的长.
考点：圆的切线的判定，圆的性质的应用。

解析：
（1）证明：如图2所示，连结OD ， ∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠. ∵OC OD =，∴ODC OCD ∠=∠.
∴ B  ODC ，∴ OD ∥ AB .…………（2 分）
∵ DE  AB ，∴ OD  EF .
∴ EF 是⊙ O 的切线…………（5 分）
（2）在 RtODF 和 RtAEF 中，
∵ sin CFD  3 ，∴ OD  AE  3 . 5 OF AF 5
设 OD  3x ，则 OF  5x.∴ AB  AC  6x ， AF  8x .…………（6 分）
∵ EB  3 ，∴ AE  6x  3 .…………（7 分）
2
2
∴
6x

3 2

3 ，解得
x
=
5
，…………（9
分）
8x 5
4
∴⊙ O 的半径长为 15 ， AE = 6 ……………………（10 分） 4
六、本大题共 2 小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分. 25．如图14 ，在直角坐标系 xoy 中，矩形 OABC 的顶点 A 、 C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上，点 B 的坐标是
(5，2) ，点 P 是 CB 边上一动点（不与点 C 、点 B 重合），连结 OP 、 AP ，过点 O 作射线 OE 交 AP 的
延长线于点 E ，交 CB 边于点 M ，且 AOP  COM ，令 CP  x ， MP  y .
（1）当 x 为何值时， OP  AP ？
（2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在 x ，使 OCM 的面积与 ABP 的面积之和等于 EMP 的面积.若存在，
请求 x 的值；若不存在，请说明理由.
y
E
CM
PB
O
考点：三角形的相似的判定及其应用。

解析：
Ax
图14
（1）如图 3 所示，由题意知， OA  BC  5, AB  OC  2, B  OCM  90 ， BC ∥ OA
∵ OP  AP ，∴ OPC  APB  APB  PAB  90 .


∴ OPC  PAB .……………………(1 分)
∴ OPC ∽ PAB .……………………(2 分)
∴
CP AB

OC PB
，即
x 2

2 5
x
，解得
x1

4,
x2
 1 （不合题意,舍去）.
∴当 x  4 时， OP  AP .……………………(4 分)
（2）如图 3 所示，∵ BC ∥ OA ，∴ CPO  AOP .
∵ AOP  COM ，∴ COM  CPO .
y
E
CM F P B
O
D
图3
Ax
∵ OCM  PCO ，∴ OCM ∽ PCO .……………………(6 分)
∴ CM  CO ，即 x  y  2 .
CO CP
2x
∴ y  x  4 ， x 的取值范围是 2  x  5 .……………………(8 分) x
（3）假设存在 x 符合题意. 如图 3 所示，过 E 作 ED  OA 于点 D ，交 MP 于点 F ， 则 DF  AB  2.
∵ OCM 与 ABP 面积之和等于 EMP 的面积，
∴ SEOA

S矩OABC

25 
1 5ED 2
.
∴ ED  4, EF  2 .…………………(9 分)
∵ PM ∥ OA ，∴ EMP ∽ EOA . ∴ EF  MP .…………………(10 分) ED OA
即 2  y ，解得 y  5 . ∴由（2） y  x  4 得， x  4  5 .………(11 分)
45
2
x
x2
解得 x1

5  89 4
, x2

5  89 4
（不合题意舍去）.
……………………(12 分)
∴在点 P 的运动过程中，存在 x  5  89 ，使 OCM 与 ABP 面积之和等于 EMP 的面积. 4
26．在直角坐标系 xoy 中，A(0, 2) 、B(1, 0) ，将 ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的 BCD .
（1）求经过 A 、 B 、 C 三点的抛物线的解析式； （2）连结 AC ，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动点，若直线 PC 将 ABC 的面积分成1: 3 两部分，
求此时点 P 的坐标； （3）现将 ABO 、BCD 分别向下、向左以1: 2的速度同时平移，求出在此运动过程中 ABO 与 BCD
重叠部分面积的最大值.
y A
C
BO D
x
y
O
x


考点：二次函数，三角形相似，考查解决问题的能力。

解析：
（1）∵ A(0, 2) 、 B(1, 0) ，将 ABO 经过旋转、平移变化得到如图 4.1所示的 BCD ，
∴ BD  OA  2,CD  OB  1, BDC  AOB  90 .∴ C 1,1 .…………………(1 分)
设经过 A 、 B 、 C 三点的抛物线解析式为 y  ax2  bx  c ，
a  b  c  0 则有 a  b  c  1 ，解得： a   3 ,b  1 , c  2 .
y
c  2
22
A
∴抛物线解析式为 y   3 x2  1 x  2 .…………………(4 分) 22
PE
C
（2）如图 4.1 所示，设直线 PC 与 AB 交于点 E . ∵直线 PC 将 ABC 的面积分成1: 3 两部分，
B FO
D
x
∴ AE  1 或 AE  3 ，…………………(5 分) BE 3 BE
过 E 作 EF  OB 于点 F ，则 EF ∥ OA .
图4.1
∴ BEF ∽ BAO ,∴ EF  BE  BF .
AO BA BO
∴当 AE  1 时， EF  3  BF ， BE 3 2 4 1
∴ EF  3 , BF  3 ，∴ E( 1 , 3) .…………………(6 分)
2
4
42
设直线 PC 解析式为 y  mx  n ，则可求得其解析式为 y   2 x  7 ， 55
∴

3 2
x2

1 2
x

2


2 5
x

7 5
，∴
x1


2 5
,
x2
 1（舍去），
∴
P1
(
2 5
,
39 25
)
.…………………(7
分)
当
AE BE

3 时，同理可得
P2 (
6 7
,
23) .…………………(8 49
分)
（3）设 ABO 平移的距离为 t ， A1B1O1 与 B2C1D1 重叠部分的面积为 S .


可由已知求出
A1B1
的解析式为
y

2x

2

t
，
A1B1
与
x
轴交点坐标为
(t
 2
2
,
0)
.
C1B2 的解析式为 y 
1 2
x

t

1 2
，
C1B2
与
y
轴交点坐标为
(0,
t

1 2
)
.
………(9 分)
①如图
4.2
所示，当
0

t

3 5
时，
A1B1O1
与
B2C1D1
重叠部分为四边形.
设 A1B1 与 x 轴交于点 M ， C1B2 与 y 轴交于点 N ， A1B1 与 C1B2 交于点 Q ，连结 OQ .
由
   
y y
 
2x  2t 1 x 1  22
t
，得

 
 
x y
 
4t  3
5t 3
3
，∴ Q( 4t  3 , 5t ) .……………(10 分) 33
y A1
C1
∴
S

SQMO

SQNO

1 2
2t 2

5t 3

1  (t 2

1) 2
3  4t 3
QN
B2 M O D1
x
  1 3t2  t 
1
.
B1 O1
12
4
∴ S 的最大值为 25 .…………………(11 分) 52
图4.2
y
②如图
4.3 所示，当
3 5

t

4 5
时，
A1B1O1
与
B2C1D1
重叠部分为直角三角形.
设 A1B1 与 x 轴交于点 H ， A1B1 与 C1D1 交于点 G .则 G(1 2t, 4  5t) ，
C1 A1
D1H

2t 2
1 2t

4  5t 2
， D1G

4  5t
.
∴S

1 2
D1H
D1G

1 2
4  5t 2
(4

5t)

1
(5t

4)2
.…………………(12
B2
分)
4
G H
D1 O
B1 O1
x
∴当 3  t  4 时， S 的最大值为 1 .
55
4
图4.3
综上所述，在此运动过程中 ABO 与 BCD 重叠部分面积的最大值为 25 .…………………(13 分)
52













。