(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测(十四)导数的概念及运算(含解析)新人教A版

课时跟踪检测(十四) 导数的概念及运算

一、题点全面练

1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0

D ．(e －1)x －y －1＝0

解析：选C 由于y ′＝e －1

x

，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处

的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.

2．曲线f (x )＝x 3

－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3)

B ．(－1,3)

C ．(1,3)和(－1,3)

D ．(1，－3)

解析：选C f ′(x )＝3x 2

－1，令f ′(x )＝2，则3x 2

－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.

3.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是

f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )

A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)

B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)

C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)

D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)

解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.

4．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax

－ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则

a ＝( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选D ∵y ＝e ax

－ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax

－

1

x ＋1

，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.

5．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3

－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线

的倾斜角α的取值范围为( )

A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π

B.⎣⎢⎡⎭⎪

⎫2π3，π

C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫2π3，π D.⎝

⎛⎦

⎥⎤π2，5π6

解析：选C 因为y ′＝3x 2

－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α

的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫2π3，π.

6．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π

2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a

＝________.

解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a

2，所以1×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－a 2＝－1，解得a ＝2.

答案：2

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2

＋154x －9都相切，则a 等于( )

A ．－1或－25

64

B ．－1或21

4

C ．－74或－2564

D ．－7

4

或7

解析：选A 因为y ＝x 3

，所以y ′＝3x 2

， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3

相切于点(x 0，x 3

0)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 2

0，

所以切线方程为y －x 3

0＝3x 2

0(x －x 0)，即y ＝3x 2

0x －2x 3

0. 又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝3

2

.

当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2

＋154x －9相切可得a ＝－2564；

当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2

＋154x －9相切，可得a ＝

－1.

综上，a 的值为－1或－25

64

.

2．(2019·南昌模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________.

解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，令ln x ＝t ，则x ＝e t

，所以f (t )＝e t

＋t ，所以f (x )＝x ＋e x

，

所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1

＝1＋e. 答案：1＋e

(二)素养专练——学会更学通

3．[逻辑推理]已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，

f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )

A ．－sin x －cos x

B ．sin x －cos x

C ．－sin x ＋cos x

D ．sin x ＋cos x

解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .

4．[逻辑推理]曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2

C ．2 3 D. 3

解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．

∵y ′＝22x －1，∴2

2x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离

为d ，则d ＝|2＋8|

4＋1

＝2 5.

5．[直观想象]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线

y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切

线方程为________．

解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－1

3.又g (x )

＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所

以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝

0.

答案：y －3＝0

6．[逻辑推理、数学运算]设函数f (x )＝ax －b x

，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.

(1)求f (x )的解析式；