2019-2020学年河南省焦作市数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2019-2020学年河南省焦作市数学高二下期末学业质量监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1
．二项式6
6ax ⎛+ ⎝⎭
的展开式中5x
2
0a
x dx =⎰（ ） A ．
1
3
B ．
12
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二项式定理的展开式可得a ，再利用微积分基本定理即可得出． 【详解】 二项式（ax
6
的展开式中通项公式：T r+2=66
3(
)r r
-（ax ）r ，令r=2，则T 6
=56
a 2x 2
． ∵x 2
56
2
，解得a=2． 则0
a
⎰x 2dx=1
⎰
x 2dx=
3101|3x =13
． 故选：A ． 【点睛】
用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加
2．已知复数32i
z i
-=+的共扼复数在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ） A ．32x y -= B ．32x y -=
C ．32x y +=
D ．32x y +=
【答案】A 【解析】 【分析】
化简得到1z i =-，故1z i =+，则1x =，1y =，验证得到答案. 【详解】 因为()()()()
3231222i i i z i i i i ---=
==-++-，所以z 的共扼复数为1i +，则1x =，1y =. 故满足32x y -=.
【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
3．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中的记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据如图：根据下表数据可得回归方程9.49.1y x =+，那么表中m 的值为（ ）
A ．27.9
B ．25.5
C ．26.9
D ．26
【答案】D 【解析】 【分析】
计算出x 、y ，将点()
,x y 的坐标代入回归直线方程可求出m 的值. 【详解】
由题意得4235742x +++=
=，493954142
44
m m y ++++==，
由于回归直线过样本的中心点()
,x y ，所以，
1427
9.49.14242
m +=⨯+=，解得26m =， 故选：D. 【点睛】
本题考查回归直线方程的应用，解题时要熟悉回归直线过样本中心点这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.
4．设a ，b 均为正实数，则“1ab >”是“222a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
确定两个命题1ab >⇒222a b +>和222a b +>⇒1ab >的真假可得． 【详解】
∵a ，b 均为正实数，若1ab >，则222a b +≥>，命题1ab >⇒222a b +>为真； 若14,8a b ==
，满足22
0,0,2a b a b >>+>，但112
ab =<，故222a b +>⇒1ab >为假命题． 因此“1ab >”是“222a b +>”的充分不必要条件． 故选：A.
本题考查充分必要条件的判断．解题时必须根据定义确定命题p q ⇒和 q p ⇒的真假．也可与集合包含关系联系． 5．定义运算a b c d
＝ad －bc ，若复数z 满足1i z
z
-＝－2，则z =（ ）
A ．1－i
B ．1＋i
C ．－1＋i
D ．－1－i
【答案】D 【解析】
分析：直接利用新定义，化简求解即可. 详解：由
a b c d
＝ad －bc ，则满足
1i z
z
-＝－2，
可得：2iz z +=-，
()()()
212
1111i z i i i i ---∴=
==-+++-， 则1z i =--. 故选D.
点睛：本题考查新定义的应用，复数的除法运算法则的应用，以及共轭复数，考查计算能力. 6．下列不等式中正确的有( )
①sin ,(,0)x x x >∈-∞；②1,x
e x x R ≥+∈；③ln ,(0,)x
x x e x <<∈+∞ A ．①③ B ．①②③ C ．② D ．①②
【答案】B 【解析】 【分析】
逐一对每个选项进行判断,得到答案. 【详解】
①()sin ,,0x x x >∈-∞,设函数()sin f x x x =-,()f x 递减,()(0)0f x f >=,即sin x x >,正确
②1,x
e x x R ≥+∈,设函数()1x
g x e x =--,()g x 在(0,)+∞递增,()g x 在(,0)-∞递减,
()(0)0g x g ≥=,即1x e x ≥+,正确
③ln ,(0,)x
x x e x <<∈+∞,由②知x e x >,设函数()ln m x x x =-,()m x 在(0,1)递减,()m x 在(1,)+∞递增,()(1)10m x m ≥=>,即ln ,(0,)x
x x e x <<∈+∞正确 答案为B
本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力. 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x
f x m =-，则
()2019f =（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1． 【详解】
∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-； ∴(2)()()f x f x f x +=-=-； ∴(4)()f x f x +=； ∴()f x 的周期为4；
∵[0,1]x ∈时，()2x
f x m =-； ∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=； ∴1m =；
∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；
∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
8．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（ ） A ．
1
8
B ．
14
C ．38
D ．
12
【答案】C 【解析】
用列举法得出：抛掷三枚古钱币出现的基本事件的总数，进而可得出所求概率. 【详解】
抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为3
8
.
故选C 【点睛】
本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.
9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数x ，都有
()()
20xf x f x '+>恒成立，且1f
=，则使()2
2x f x <成立的实数x 的集合为（ ）
A ．(()
2-∞-+∞，
，
B ．(
C ．(-∞，
D ．)+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
抽象函数解不等式考虑用函数的单调性，构造函数()()2
h x x f x ＝，可得()h x 为偶函数，且在()h x 在
()
0+∞，
上为增函数，将不等式化为(||)h x h <，即可求解.
【详解】
令()()2
h x x f x ＝，易知函数()h x 为偶函数，
当0x >时，()()()()()()
2220h x xf x x f x x f x xf x '+'+'＝＝>，
所以()h x 在()0+∞，
上为增函数，
所以()2
2
2x f x f =
<，
即()||h x h <，所以x <，
解之得x <.
故选:B. 【点睛】
本题考查抽象函数不等式，利用函数的单调性将不等式等价转换，解题的关键构造函数，构造函数通常从已知条件不等式或所求不等式结构特征入手，属于中档题.
10．设是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，
交另一条渐近线于点
．若2FA FB =，则双曲线的离心率是（ ）
A ．2
B ．2
C ．
23
3
D ．
143
【答案】C 【解析】
试题分析：双曲线的渐近线为12:,:b b
l y x l y x a a
=
=-，到一条渐近线的距离FA b =，则2FB b =，在Rt AOF ∆中，OF c =，则22OA c b a =-=，设1l 的倾斜角为θ，则=AOF θ∠，=2AOB θ∠，在Rt AOF ∆中，tan b a θ=
，在Rt AOB ∆中，3tan 2b a θ=，而22tan tan 21tan θ
θθ
=-，代入化简可得到2
2
3a
b ，因此离心率2242313b e a =+==
考点：双曲线的离心率；
11．不等式|3|1x+<的解集是（ ） A ．{| 2 }x x >- B ．{|4}x x <-
C ．{|4 2 }x <x <--
D ．{| 4 x x <-或2}x >-
【答案】C 【解析】 【分析】
问题化为﹣1＜x+3＜1，求出它的解集即可． 【详解】
不等式可化为﹣1＜x+3＜1， 得﹣4＜x ＜﹣2，
∴该不等式的解集为{x|﹣4＜x ＜﹣2}． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是基础题目．
12．如图，用6种不同的颜色把图中A B C D 、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A ．496种
B ．480种
C ．460种
D ．400种
【答案】B 【解析】
分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C 63C 31C 21，用四种颜色涂色时，有C 64C 41C 31A 22种结果，根据分类计数原理得到结果． 详解：由题意知本题是一个分类计数问题， 只用三种颜色涂色时，有C 63C 31C 21=120（种）． 用四种颜色涂色时，有C 64C 41C 31A 22=360（种）． 综上得不同的涂法共有480种． 故选：C ．
点睛：本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看出给图形涂色只有两种不同的情况，颜色的选择和颜色的排列比较简单． 二、填空题：本题共4小题
13．将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同的名额分配方法共有______种.(用数字作答) 【答案】84 【解析】 【分析】
根据题意，用隔板法分析：先将将10个名额排成一列，在空位中插入3个隔板，由组合数公式计算即可得答案. 【详解】
根据题意，将10个名额排成一列，排好后，除去2端，有9个空位， 在9个空位中插入3个隔板，可将10个名额分成4组，依次对应4个学校，
则有3
984C =种分配方法，
故答案为：84. 【点睛】
本题考查组合数公式的应用，注意10个名额之间是相同的，运用隔板法求解，属于基础题. 14．观察下列算式：
311=，3352+=，379113++=，3131517194+++=，…，3111113115m n +++
+=，
则m n +=____．
【答案】142； 【解析】 【分析】
观察已知等式的规律，可猜想第n 行左边第一个奇数为
(1)1n n -+后续奇数依次为：(1)3,(1)5,,(1)(21),n n n n n n n -+-+-+-由第n 行第一个数为111，
即：111(1)1n n =-+，解得：11n =，可得：(111)11(2111)131m =-⨯+⨯-=，即可得解. 【详解】
第n 行等号左边第一个加数为第(123)n +++
+个奇数，即(1)1n n +-，于是第一个加数为
(1)12n n --+，所以第n 个等式为3[(1)1][(1)1]n n n n n -++
++-=，11n =，131m =
【点睛】
本题主要考查归纳与推理，猜想第n 行左边第一个奇数为(1)1n n -+进而后续奇数依次为：
(1)3,(1)5,,(1)(21),n n n n n n n -+-+-+-是解题的关键.
15．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个. 【答案】7. 【解析】 【分析】
设开始有细胞a 个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数898282222a a =----，根据条件列式求解.
【详解】
设最初有细胞a 个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以 经过1个小时细胞有1a =2(2)222a a -⋅=-，
经过2个小时细胞有21(2)2a a =-⋅=2232[(22)2]2222a a --⋅=--， ······
经过8个小时细胞有898282222a a =----，又8772a =，
所以89822222772a ----=，88
24(21)772a --=，7a =.
故答案为7. 【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.
16．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是双曲线上一点，且2AF x ⊥轴，
若12AF F △的内切圆半径为(31)a -，则其渐近线方程是__________． 【答案】2y x =± 【解析】
分析：由题意可得A 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，设Rt △AF 1F 2内切圆半径为r ，运用等积法和勾股定理，可得r=c ﹣a ，结合条件和渐近线方程，计算即可得到所求． 详解：由点A 在双曲线上，且AF 2⊥x 轴， 可得A 在双曲线的右支上，
由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，
设Rt △AF 1F 2内切圆半径为r ， 运用面积相等可得S 12
AF F =
1
2
|AF 2|•|F 1F 2| =
1
2
r （|AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|）， 由勾股定理可得|AF 2|2+|F 1F 2|2=|AF 1|2， 解得r=
)
2121
22312
2
AF F F AF c a
c a a +--=
=-=，
3c a ⇒=，即b 2a =
∴渐近线方程是2y x =， 故答案为：2y x =．
点睛：本题主要考查双曲线的定义及简单的几何性质、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．若存在常数k （0k >），使得对定义域D 内的任意1x ，2x （12x x ≠），都有1212|()()|||f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”.
（1）判断函数2()log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；
（2）若函数()f x =
14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；
（3）若()y f x =（x ∈R ）是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数1x ，2x ，都有
12|()()|1f x f x -≤.
【答案】（1）不是；详见解析（2）1
2
；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用特殊值,即可验证()2log f x x =是不是“2-利普希兹条件函数”.
（2）分离参数,将不等式变为关于1x ,2x 的不等式,结合定义域即可求得常数k 的最小值;
（3）设出()f x 的最大值和最小值,根据一个周期内必有最大值与最小值,结合a b -与1的大小关系,及“1-利普希兹条件函数”的性质即可证明式子成立. 【详解】
（1）函数2()log f x x =不是“2-利普希兹条件函数” 证明: 函数()2log f x x =的定义域为()0,∞+ 令1211,24
x x =
= 则()2
21111
log log 1212424
f f ⎛⎫
⎛⎫
-=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
1112
242
-= 所以11112
2424
f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
不满足()()1212f x f x k x x -≤-
所以函数2()log f x x =不是“2-利普希兹条件函数”
（2）若函数()f x =
14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”
则对定义域[]1,4内任意1x ,2x （12x x ≠）,均有()()1212f x f x k x x -≤-
12k x x ≤-
设12x x >
12
k ≤,
k ≤ 因为2114x x ≤<≤
所以1
1
4
2
<
<
k ≤的k 的最小值为12
（3）证明:设()f x 的最大值为M ,最小值为m 在一个周期内,函数值必能取到最大值与最小值 设()(),f a M f b m ==
因为函数()y f x =（x ∈R ）是周期为2的“1-利普希兹条件函数” 则()()()()12f x f x M m f a f b a b -≤-=-≤- 若1a b -≤,则()()121f x f x a b -≤-≤成立 若1a b ->,可设a b >,则021b a <+-<
所以()()()()()12221f x f x M m f a f b a b -≤-=-+≤-+<成立 综上可知,()()121f x f x -≤对任意实数1x ,2x 都成立 原式得证. 【点睛】
本题考查了函数新定义及抽象函数性质的应用,对题意正确理解并分析解决问题的方法是关键,属于难题.
18．设01()(,)(,)(1)n p x a n p a n p x +=+-(,)(1)r r a n p x +⋅⋅⋅+-(,)(1)n
n a n p x +⋅⋅⋅+-，其中p R ∈，
*n N ∈，(,)(0,1,2,,)r a n p r n =⋅⋅⋅与x 无关.
（1）若2(5,)10a p =，求p 的值； （2）试用关于n 的代数式表示：
(1)(,0)n
i
i i a n =+∑；
（3）设0
(,1)n
n i i T a n n ==
-∑
，1n c =，试比较1
2ln
21n
i i i c c =-∑与ln(21)
2
n c +的大小. 【答案】 (1) 0p =;(2) 1
(1)(,0)(2)2
n
n i i i a n n -=+=+∑;(3)12ln(21)
ln
212
n
i n i i c c c =+>-∑.
【解析】
分析：（1）由()25,10a p =，即可求出p ； （2）当0p =时，()()()()()()()01,0,01,01,01r
n
n r n x a n a n x a n x a n x =+-+
+-+
+-，两边同
乘以1x -，再等式两边对x 求导，最后令2x =即可； （3）猜测：()1ln 212ln
212
n
n i
i i c c c =+>-∑，利用数学归纳法证明.
详解：（1）由题意知()()3
2
255,110a p C p =+=，所以0p =.
（2）当0p =时，()()()()()()()01,0,01,01,01r
n
n r n x a n a n x a n x a n x =+-++-+
+-，
两边同乘以1x -得：
()()()()()()()
()()
2
1
1
011,01,01,01,01r n n r n x x a n x a n x a n x a n x ++-=-+-+
+-+
+-，
等式两边对x 求导，得：
()()()()()()()()()()1011,02,011,011,01r
n
n n r n nx x x a n a n x r a n x n a n x --+=+-+
++-+
++-，
令2x =得：
()()()()()()10122,02,01,01,0n n r n n a n a n r a n n a n -+=++
+++++，
即
()()()1
1,022
n
n i
i i a n n -=+=+∑.
（3）()1n
n T n =+
，1n c n ==， 猜测：
()1
ln 212ln
212
n
n i
i i c c c =+>-∑，
当1n =时，1
2ln
ln221n
i i i c c ==-∑，(
)ln 21
ln322
n c +==
ln2>，此时不等式成立；
②假设n k =时，不等式成立，即：
()1
ln 212ln
212
k
i k i
i =+>-∑，则1n k =+时， ()()()()()()2
1
12
111ln 2121222221ln ln ln ln ln 212121212211221k k
i i k i i i i k k k k c c c k c c c k k ++==+⎡
⎤+++=+>+=+⋅⎢⎥---+-+⎢⎥⎣⎦
∑∑ ()()()2221231484148311ln ln ln ln 232212212212
k k k k k k k k k k +⋅+⎛⎫⎛⎫++++=>==+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ()
1ln 212
k c ++=
所以当1n k =+时，不等式也成立； 根据①②可知，n N ∀∈，均有
()1
ln 212ln
212
n
n i
i i c c c =+>-∑.
点睛：利用数学归纳法证明等式时应注意的问题
(1)用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0； (2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n ＝k 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
19．已知函数()()()2
1ln 1f x x a x x =-+-+（其中a R ∈，且a 为常数）. （1）当4a =时，求函数()y f x =的单调区间；
（2）若对于任意的()1,x ∈+∞，都有()0f x >成立，求a 的取值范围； （3）若方程()10f x a ++=在()1,2x ∈上有且只有一个实根，求a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）在（0,1），(2,)+∞上单调递增，在（1,2）上单调递减（Ⅱ）(],2-∞（Ⅲ）2
1ln 2
a -<< 【解析】
【试题分析】（1）将4a =代入()()()2
1ln 1f x x a x x =-+-+再求导，借助导函数值的符号确定函数()()()2
14ln 1f x x x x =-+-+的单调区间；
（2）借助问题（1）的结论，对参数a 进行分类讨论，最终确定参数a 的取值范围；（3）依据题设条件将问题进行等价转化为()()g x 10f x a =++=的零点的个数问题，再运用导数知识及分类整合思想进行分析探求： 解：⑴函数
的定义域为
由知
当时，
所以函数
在（0,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减，
在上单调递增
（Ⅱ）由
当时,对于恒成立,在上单调递增
,此时命题成立;
当时,在上单调递减,在上单调递增, 当时,有
.这与题设矛盾,不合. 故的取值范围是
（Ⅲ）依题意,设,原题即为若
在
上有且只有一个零点,求的取值范围.显
然函数
与
的单调性是一致的.
当时,因为函数在上递增,由题意可知解得;
‚当时,因为,当时,总有,此时方程没有实
根。

综上所述,当时,方程在
上有且只有一个实根。

点睛：解答本题的第一问时，先将4a =代入()()()2
1ln 1f x x a x x =-+-+再求导，借助导函数值的符号确定函数()()()2
14ln 1f x x x x =-+-+的单调区间；求解第二问时，借助问题（1）的结论，对参数a 进行分类讨论，最终确定参数a 的取值范围；解答第三问时，依据题设条件将问题进行等价转化为
()()g x 10f x a =++=的零点的个数问题，再运用导数知识及分类整合思想进行分析探求，从而求出参
数的取值范围。

20．已知抛物线C ：y 2＝4x 和直线l ：x ＝－1.
(1)若曲线C 上存在一点Q ，它到l 的距离与到坐标原点O 的距离相等，求Q 点的坐标； (2)过直线l 上任一点P 作抛物线的两条切线，切点记为A ，B ，求证：直线AB 过定点. 【答案】 (1)1,22Q ⎛⎫
± ⎪⎝⎭
；(2)证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）设Q(x ，y)，则(x ＋1)2
＝x 2
＋y 2
，又y 2
＝4x ，解得Q
；（2）设点(－1，t)的直线
方程为y －t ＝k(x ＋1)，联立y 2＝4x ，则Δ＝0，得k 2＋kt －1＝0，则切点分别为A ，B
，
所以A ，B ，F 三点共线，AB 过点F(1，0)。

试题解析：
(1)设Q(x ，y)，则(x ＋1)2
＝x 2
＋y 2
，即y 2
＝2x ＋1， 由
解得Q
.
(2)设过点(－1，t)的直线方程为y －t ＝k(x ＋1)(k≠0)，代入y 2
＝4x ，得ky 2
－4y ＋4t ＋4k ＝0， 由Δ＝0，得k 2
＋kt －1＝0，
特别地，当t ＝0时，k ＝±1，切点为A(1，2)，B(1，－2)，显然AB 过定点F(1，0). 一般地方程k 2＋kt －1＝0有两个根， ∴k 1＋k 2＝－t ，k 1k 2＝－1， ∴两切点分别为A ，B ， ∴
＝
，
＝
，
又－＝2＝0，
∴
与
共线，又
与
有共同的起点F ，
∴A，B ，F 三点共线，∴AB 过点F(1，0)， 综上，直线AB 过定点F(1，0).
点睛：切点弦问题，本题中通过点P 设切线，求得斜率k ，再求出切点A ，B
，通过证明
与
共线，AB 过点F(1，0)。

一般的，我们还可以通过设切点，写出切线方程，直接由交点P ，结合两
点确定一条直线，写出切点弦直线方程，进而得到定点。

21．如图,在四面体ABCD 中, D 在平面ABC 的射影O 为棱AB 的中点, E 为棱BD 的中点,过直线
OE 作一个平面与平面ACD 平行,且与BC 交于点F ,已知5AC BC ==, 2AO DO ==.
(1)证明: F 为线段BC 的中点
(2)求平面ACD 与平面DOF 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）30
6
【解析】
分析：(1)根据题中两面平行的条件，结合面面平行的性质，得到线线平行，其中一个点是中点，那就是三角形的中位线，从而得到一定为中点；
(2)利用题中所给的相关的垂直的条件，建立相应的坐标系，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得到对应二面角的余弦值. 详解：(1)证明:
平面EOF 平面ACD ，
平面ACD ⋂平面ABC AC =， 平面EOF ⋂平面ABC OF =，
OF AC ∴，
O ∴为AB 的中点, F ∴为BC 的中点.
(2)解:
,AC BC O =为AB 的中点, CO AB ∴⊥，
以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示,则()0,0,0O ，
()()()0,1,0,2,0,0,0,0,2C B D ，
()11,,0,1,0,12F E ⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
，
易求得11,
,02OF ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()()1,0,1,0,0,2OE OD ==， 设平面EOF 的法向量为()1111,,n x y z =，则110n OE n OF ⋅=⋅=， 即11111
02
x z x y +=+
=， 令12y =-，得()11,2,1n =--.
设平面DOF 的法向量为()2222,,n x y z =，则220n OF n OD ⋅=⋅=，即2221
202
x y z +==， 令22y =-，得()21,2,0n =-
121212,n n cos n n n n ⋅∴〈〉=
⋅ 30
665
==⋅， 又平面EOF 平面ACD ，
平面ACD 与平面DOF 所成锐二面角的余弦值为
30
6
. 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面平行的性质、三角形中位线的平行性以及应用空间向量求二面角的余弦值，在求解的过程中，需要对定理的条件和结论要熟悉，以及空间角的向量求法要掌握.
22．如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,π
2
ABC BAD ∠∠＝＝
，42PA AD AB BC Q ＝＝，＝＝，是PB 中点。

(1)求异面直线PD 与CQ 所成角的大小； (2)求QC 与平面PCD 所成角的大小。

【答案】 (1) 22
3arcsin 【解析】 【分析】
（1）推导出PA⊥AB，PA⊥AD．以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
A-xyz ，利用向量法能求出异面直线DP 与CQ 所成角的余弦值．(2) 设平面PCD 法向量(),,n u v w =，
QC 与平面PCD 所成角ϕ,由0
CD n CD n ⎧
⋅=⎨⋅=⎩得出()1,1,1n =，代入sin CQ n CQ n
ϕ⋅=
⋅即可得解.
【详解】
（1）以A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A-xyz ，
()()()()0,0,4,0,4,0,4,2,0,2,0,2P D C Q ，设PD 与CQ 所成角是θ ()()0,4,4,1,2,2PD CQ =-=--
22
cos 3423
PD CQ PD CQ
θ⋅=
=
=⋅⋅
所以PD 与QC 所成角是22
arccos
3
. （2）设平面PCD 法向量(),,n u v w =，QC 与平面PCD 所成角ϕ
()()CD 2,2,0,0,4,4PD =-=- 22004400u v u v
CD n v w w v CD n ⎧-+==⎧⎧⋅=⇒⇒⎨
⎨⎨-==⋅=⎩
⎩⎩ 令1v =, ()1,1,1n =
3sin 933CQ n CQ n
ϕ⋅=
=
=⋅⋅ 所以QC 与平面PCD 所成角3arcsin 9
.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．。